Г. Н. Аверьянов, А. П. Солдатов, Задача линейного сопряжения с треуголь- ным матричным коэффициентом, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 2019, том 160, 3–8

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. Н. Аверьянов, А. П. Солдатов, Задача линейного сопряжения с треуголь- ным матричным коэффициентом, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 2019, том 160, 3–8

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:12:25

Тематические обзоры.

Том 160 (2019). С. 3–8

УДК 517.9

ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ

С ТРЕУГОЛЬНЫМ МАТРИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

c

2019 г. Г. Н. АВЕРЬЯНОВ, А. П. СОЛДАТОВ

Аннотация. Рассматривается классическая задача линейного сопряжения для аналитических вектор-функций на кусочно гладкой кривой с треугольным матричным коэффициентом в весо- вых пространствах Гельдера. Для двумерного случая найдены условия существования решения, приведено решение этой задачи, подробно разобрано построение канонической матрицы-функции.

Ключевые слова: задача линейного сопряжения, весовое пространство, каноническая функция.

LINEAR CONJUGATION PROBLEM

WITH A TRIANGULAR MATRIX COEFFICIENT

c

2019 G. N. AVER’YANOV, A. P. SOLDATOV

Abstract. We consider a classical linear conjugation problem for analytic vector-valued functions on a piecewise smooth curve with a triangular matrix coefficient in weighted H¨older spaces. For the two-dimensional case, conditions for the existence of a solution are found, a solution of this problem is given, and the construction of the canonical matrix function is analyzed in detail.

Keywords and phrases: linear conjugation problem, weighted space, canonical function.

AMS Subject Classification: 45E05, 35F15

Рассмотрим классическую задачу линейного сопряжения

φ⁺−Gφ⁻ =g (1)

для аналитических вектор-функций φ = (φ₁, . . . , φl) с треугольным матричным коэффициен- томG, заданным на кусочно гладкой кривойΓ. Последняя составлена из конечного числа ориен- тированных гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. Гранич- ные значенияφ^±понимаются по отношению к этой ориентации. Концы указанных дуг составляют множество F угловых точек кривой.

При достаточно малом ρ >0кривая Γτ = Γ∩ {|z−τ|6ρ}состоит из некоторого числаnτ дуг Γτ,j,16j6nτ, с общим концомτ. Для определенности их нумерация выбрана в порядке обхода точкиτ против часовой стрелки. По отношению к ориентации кривойΓдугаΓτ,j может «входить»

либо «выходить» из точкиτ; соответственно этому полагаемσ_τ,j = 1иσ_τ,j =−1. Открытый круг

|z−τ|< ρразбивается кривойΓна криволинейные секторыSτ,j,16j6nτ, боковыми сторонами которого служат дуги Γτ,j и Γ_τ,j+1. Приnτ = 1 эти стороны совпадают, т.е множествоSτ =S_τ,1 представляет собой круг с разрезом вдоль Γτ = Γτ,1.

Все принятые в [1] обозначения относительно весовых классов Гельдера сохраняются без изме- нений. Как и в [1], предполагается, что матрица-функцияGкусочно непрерывна и принадлежит

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 1.7311.2017/БЧ) и Мини- стерства образования и науки Республики Казахстан (международный проект № 3492.ГФ4).

ISSN 0233–6723 c ВИНИТИ РАН, 2019

4 Г. Н. АВЕРЬЯНОВ, А. П. СОЛДАТОВ

классу C₍₊₀₎^µ (Γ, F), причем ее определитель detG всюду отличен от нуля, включая предельные значения

(detG)(τ, j) = lim

t∈Γτ,j

t→τ

(detG)(t), 16j6n_τ,

в угловых точках τ ∈F кривой.

Задачу (1) рассматриваем в весовом классе C_λ^µ( ˆD, F) аналитических в открытом множестве D=C\F функций, компоненты φkкоторых имеют конечные порядки на бесконечности, подчи- ненные условию

degφk6nk−1, 16k6l, (2)

с заданными целыми числами nk. Другими словами, в окрестности ∞ они имеют поведение O(|z|^nk−1) или, что равносильно, допускают разложение

φ_k(z) = X

s6nk−1

c_j,sz^s.

Задача Римана—Гильберта исчерпывающим образом изучена в известных монографиях [2,3,5]

в классе H^∗ интегрируемых функций φ, принадлежащих C_λ^µ( ˆD, F) с некоторыми λ > −1 и 0< µ <1, а также в классахHεпочти ограниченных функций H( ˆD, F) ограниченных функций, принадлежащих, соответственно, C_λ^µ( ˆD, F) для всехλ <1, иC₍₊₀₎^µ ( ˆD, F) c некоторым0< µ <1.

Однако различные приложения этой задачи требуют исследования этой задачи в пространствеC_λ^µ для всех весовых порядков. Например, подобная ситуация возникает при рассмотрении задачи Римана—Гильберта в односвязных областях с кусочно гладкой границей с помощью конформных отображений (см. [4]), а также при изучении задачи линейного сопряжения для полианалитиче- ских функций.

В дальнейшем для простоты ограничимся случаем l= 2, когда G=

G₁ G₀ 0 G₂

. (3)

В силу треугольности этой матрицы задача (1) сводится к последовательному решению двух скалярных задач сопряжения

ψ⁺−G_kψ⁻=g, k= 1,2, (4)

в классе функций ψ∈C_λ^µ( ˆD, F), подчиненных условию (2) на бесконечности.

Запишем для краткости интеграл типа Коши в форме (Iϕ)(z) = 1

2πi Z

Γ

ϕ(t)dt

t−z , z /∈Γ,

который при −1 < λ < 0 определяет ограниченный оператор I : C_λ^µ(Γ, F) → C_λ^µ( ˆD, F). Исхо- дя из непрерывной на Γ\F ветви логарифма lnGk, которая вместе с Gk принадлежит классу C₍₊₀₎^µ (Γ, F), введем функцию h_k = I(lnG_k), которая исчезает на бесконечности, и связанную с ней функцию

X_k(z) =e^hk(z)Y

τ

(z−τ)^−sτ, (5)

с некоторыми целымиs_τ, которая является канонической для задачи (4).

В секторах Sτ,j функцияhk представима в виде hk(z) = 1

2πi

"_nτ X

s=1

στ,s(lnGk)(τ, s)

#

ln(z−τ) +hk,τ,j(z), hk,τ,j ∈C₍₊₀₎^µ (Sτ,j, τ).

Положим

1 2π arg

nτ

Y

j=1

G_k(τ, j)στ,j

=α_k,τ +iβ_k,τ, 06α_k,τ <1,

так что

1 2πi

"_nτ X

s=1

στ,s(lnG_k)(τ, s)

#

=α_k,τ +iβ_k,τ +s_k,τ

с некоторым целымsk,τ. Заметим, что сумма слагаемых в левой части поτ совпадает с индексом КошиIndGk функцииGk, т.е. деленную на2πiсумму приращенийlnGkна дугах, составляющих кривую Γ\F, которые взяты в соответствии с их ориентацией. Таким образом,

IndGk =X

τ

(αk,τ +iβk,τ +sk,τ). (6) Очевидно, в секторах Sτ,j функцияXk представима в виде

X_k(z) =A_k,τ,j(z)(z−τ)^{δk,τ+iβk,τ}, δ_k,τ =−sτ +s_k,τ+α_k,τ, (7) где A,1/A∈C₍₊₀₎^µ ( ˆSτ,j, τ).

Произвол в выборе целых чиселsτ в определении (5) подчиним условию

λ6δk< λ+ 1 (8)

по отношению к весовому порядку δ_k = (δ_k,τ, τ ∈F). Тогда [α_k,τ −λ_τ] +s_k,τ =s_τ, где [x]означает целую часть числа x. С учетом (6) отсюда

z→∞lim z^κkX_k(z) = 1, κ_k=X

τ

α_k,τ −λ_τ

+ IndG_k−X

τ

α_k,τ +iβ_k,τ

. (9)

С помощью канонической функции легко описать (см. [1]) разрешимость задачи (4). С этой целью обозначим через Pk класс многочленов степени не выше κ_k+nk−1 (при κ_k+nk 6 0 полагаем P_k = 0), и пусть Q_k имеет аналогичный смысл по отношению к многочленам степени не выше−(κ_k+nk)−1. Таким образом,

dimPk=κ_k+nk, dimQk= 0 при κ_k+nk>0, dimP_k= 0, dimQ_k=−(κ_k+n_k) при κ_k+n_k60.

Во всех случаях

dimPk−dimQk=κ_k+nk. Теорема 1. При выполнении условий

λτ −αk,τ ∈/ Z, τ ∈F,

задача (4) разрешима в классе функций ψ ∈C_λ^µ( ˆD, F), подчиненных условию degψ6 nk−1 на бесконечности, тогда и только тогда, когда

(X⁺)⁻¹g, q

= 0, q∈Qk, где для краткости введено обозначение

hϕ, qi= Z

Γ

ϕ(t)q(t)dt.

При выполнении этого условия ее общее решение дается формулой ψ=X_kI[(X_k⁺)⁻¹g] +X_kp, p∈P_k.

Отметим, что согласно (7) оператор умножения g→(X_k⁺)⁻¹gосуществляет изоморфизм C_λ^µ→ C_λ−δ^µ

k. В силу (9) весовой порядок λ_k = λ−δ_k удовлетворяет условию −1 < λ_k < 0, так что оператор g → XkI[(X_k⁺)⁻¹g] ограничен C_λ^µ(Γ, F) → C_λ^µ( ˆD, F). Если условие (9) нарушено для некоторых τ, то можно лишь утверждать, что функция ψ=X_kI[(X_k⁺)⁻¹g] принадлежит классу C_λ−0^µ (т.е. классуC_λ−ε^µ для любого ε >0).

Из теоремы также следует, что индекс задачи равенdimPk−dimQk =κ_k+nk.

6 Г. Н. АВЕРЬЯНОВ, А. П. СОЛДАТОВ

Обратимся к задаче (1)–(3), для которой положим

a=G₀X₂⁻(X₁⁺)⁻¹. (10)

В силу (7) эта функция принадлежит классу C_δ^µ

2−δ₁(Γ, F). Согласно (8) весовой порядок δ₂−δ₁ заключен строго между −1и 1, так что функция aинтегрируема на Γ. В соответствии с этим в принятых выше обозначениях можем ввести классы многочленов

P₂⁰ ={p∈P₂ | hap, qi= 0, q ∈Q₁}, Q⁰₁={q∈Q₁| hap, qi= 0, p∈P₂}. (11) Лемма 1. разложениях

P₂ =P₂⁰⊕P₂¹, Q₁ =Q⁰₁⊕Q¹₁ (12) подпространства P₂¹ и Q¹₁ имеют общую размерность r = dimP₂¹ = dimQ¹₁. При этом суще- ствует единственный линейный оператор R, который интегрируемой на Γ функции g ∈ L(Γ) ставит в соответствие многочленp=Rg∈P₂¹ со свойством

hap, qii=hg, qii, 16i6r, (13) где q₁, . . . , q_r— некоторый базис вQ¹₁.

Доказательство.Согласно определению (11) билинейная формаhap, qiневырождена на произве- денииP₂¹×Q¹₁в том смысле, что равенстваhap, qi= 0,q∈Q¹₁, влекутp= 0и, наоборот, равенства hap, qi= 0,p∈P₂¹, влекутq= 0. Отсюда равенство dimP₂¹= dimQ¹₁ получается непосредственно.

В самом деле, пусть элементы p₁, . . . , ps и q₁, . . . , qr образуют базисы вP₂¹ и Q¹₁ соответствен- но. Тогда в силу указанного свойства невырожденности строки и столбцы (s×r)-матрицы A с элементами hapi, qji линейно независимы, так что эта матрица квадратна.

Полагая p=ξ₁p₁+. . . ξrpr∈P₂¹, систему (13) запишем в виде

r

X

i=1

ξihapi, qji=hg, qji, j= 1, . . . , r.

Поскольку матрица A этой системы обратима, то по отношению к обратной матрицеB = (Bij)^r₁ приходим к выражению

ξ_i =

r

X

j=1

B_ijhg, q_ji,

так что можем положить

Rg= X

16i,j6r

Bijpihg, qji.

Единственность оператора R со свойством (13) почти очевидна. В самом деле, пусть p ∈ P₂¹ и hap, qii = 0, 1 6 i 6 r. Тогда hap, qi = 0 для всех q ∈ Q₁ и, следовательно, p ∈ P₁⁰, что в соответствии с разложением (12) возможно только для p= 0.

Теорема 2. Пусть условия (9)выполнены для обоих значенийk= 1,2и функцииg₁, g₂ ∈L(Γ) определяются равенствами

2X₁⁺g₁ = 2f₁+G₀G⁻¹₂

−f₂+X₂⁺S(X₂⁺)⁻¹f g₂

, X₂⁺g₂ =f₂ (14) с сингулярным оператором КошиS. Задача (1)–(3)разрешима в классеC_λ^µ( ˆD, F)аналитических в D=C\Γ вектор-функций φ= (φ1, φ2) тогда и только тогда, когда

hg₁, qi= 0, q∈Q⁰₁; hg₂, qi= 0, q∈Q₂, (15) и при выполнении этих условий в обозначениях леммы1общее решение задачи дается формулой

φ₁=X₁

I(g₁−Rg₁+p⁰₂) +p₁

, φ₂=X₂(Ig₂−Rg₁+p⁰₂), p₁ ∈P₁, p⁰₂ ∈P₂⁰, (16) с оператором R из леммы 1.

Доказательство. Запишем краевое условие (3) в покомпонентном виде φ⁺₁ −G₁φ⁻₁ =f₁+G₀φ⁻₂, φ⁺₂ −G₂φ⁻₂ =f₂,

и последовательно ко второму и первому уравнениям применим теорему 1. Тогда необходимые и достаточные условия разрешимости задачи примут вид

h(X₁⁺)⁻¹(f₁−G₀φ⁻₂), qi= 0, q∈Q₁; h(X₂⁺)⁻¹f₂, qi= 0, q ∈Q₂, (17) при выполнении которых ее решение дается формулами

φ₁ =X₁I

(X₁⁺)⁻¹(f₁−G₀φ⁻₂)

+X₁p₁, p₁ ∈P₁, φ₂ =X₂I

(X₂⁺)⁻¹f₂

+X₂p₂, p₂ ∈P₂. (18)

Из последнего равенства по формуле Сохоцкого—Племеля имеем:

2φ⁻₂ =X₂⁻

−(X₂⁺)⁻¹f₂+S(X₂⁺)⁻¹f₂

+ 2X₂⁻p₂ =G⁻¹₂

−f₂+X₂⁺S(X₂⁺)⁻¹f₂

+ 2X₂⁻p₂, так что в обозначениях (10), (14) получим

(X₁⁺)⁻¹(f₁−G₀φ⁻₂) =g₁+ap₂. (19) В результате первое соотношение в (17) примет вид

hg₁+ap₂, qi= 0, q ∈Q₁.

Очевидно, оно равносильно паре соотношений hg₁, qi = 0, q ∈ Q⁰₁, и hg₁ +ap₂, qi = 0, q ∈ Q¹₁. Полагая p2 =p⁰₂+p¹₂,p^j₂ ∈P₂^j, в последнем соотношении можем p2 заменить наp¹₂. На основании леммы1 из него следует, что p¹₂ =−Rg₁. Совместно с первым соотношением отсюда приходим к условию разрешимости (15) дляg₁. При этом (19) переходит в

(X₁⁺)⁻¹(f₁−G₀φ⁻₂) =g₁−Rg₁+ap⁰₂, p⁰₂ ∈P₂⁰.

Подставляя это выражение в (18), приходим к справедливости (16), что завершает доказательство

теоремы.

Отметим, что число линейно независимых условий ортогональности в (15) равно dimQ⁰₁ + dimQ₂. C другой стороны, формула (16) показывает, что пространство решений однородной за- дачи имеет размерность dimP₁+ dimP₂⁰. Поэтому индекс задачи равен

κ(G) = dimP₁+ dimP₂⁰−dimQ⁰₁−dimQ₂. Согласно (12) имеем

dimP₂⁰= dimP2−dimP₂¹, dimQ⁰₂= dimQ2−dimQ¹₂.

Подставляя эти выражения в предыдущее равенство и учитывая, что dimP₂¹ = dimQ¹₁ в силу леммы1, приходим к выражению

κ(G) = X

k=1,2

(dimP_k−dimQ_k) =κ₁+κ₂−n₁−n₂

для индекса задачи, аналогичному для скалярного случая.

Задачу линейного сопряжения (1) в пространствеC_λ^µ с любым весовым порядкомλможно ре- шать с помощью канонической матрицы-функцииX(z). Вопрос ее существования и асимптотики в точках τ ∈F были изучены в [6]. Однако в рассматриваемом случае (3) треугольной матрицы этот вопрос решается элементарно.

Каноническую матрицу для данного коэффициента ищем в аналогичном виде X =

X₁ X₀ 0 X2

;

тогда соотношение X⁺ =GX⁻ для этих матриц сводится к уравнению X₀⁺=G1X₀⁻+G0X₂⁻

для неизвестной функции X₀. Оно представляет собой неоднородную задачу сопряжения и ее решение выписывается по формуле X₀ = X₁I

(X₁⁺)⁻¹X₂⁻G₀

. Поскольку (X₁⁺)⁻¹X₂⁻G₀ ∈

8 Г. Н. АВЕРЬЯНОВ, А. П. СОЛДАТОВ

C_δ^µ

2−δ₁(Γ, F) и в силу (8), (9) весовые порядки δk удовлетворяют условию −1 < δ₂ −δ₁ < 1, отсюда заключаем, что в секторах Sτ,j функция X₀ принадлежит классам

X₀(z)∈ (C_δ^µ

2( ˆS_τ,j, τ), δ_2,τ < δ_1,τ, C_δ^µ

1−0( ˆS_τ,j, τ), δ_2,τ >δ_1,τ, Следовательно,

X₀ ∈C_δ^µ′−0( ˆD, F), δ_τ^′ = min(δ_1,τ, δ_2,τ), (20) и

X⁻¹ =

X₁⁻¹ −X₁⁻¹X₂⁻¹X₀ 0 X₂⁻¹

∈C_δ^µ′′−0( ˆD, F), δ_τ^′′= max(δ1,τ, δ2,τ). (21) Как и в скалярном случае, отсюда можно выписать общее решение задачи (1), (3) в классеC_λ^µ. В самом деле, для вектор-функции ψ=X⁻¹φ∈C_λ−δ^µ ′′( ˆD, F) имеем краевую задачуψ⁺−ψ⁻=g с правой частью g = (X⁺)⁻¹f ∈ C_λ−δ^µ ′′(Γ, F). Поскольку −1 < λ−δ^′′ < 0, ее общее решение выписывается в видеψ=Ig+p с некоторым вектор-многочленом p= (p₁, p₂). Отсюда

φ=XI

(X⁺)⁻¹f

+Xp. (22)

Заметим, что в классеC_λ^µ, где λудовлетворяет условию (9), задача (1), (3) всегда разрешима и ее решение дается формулой

φ₁=X₁I

(X₁⁺)⁻¹(f₁+G₀φ⁻₂)

, φ₂ =If₂.

Одновременно это решение представимо и в виде (22), хотя правая часть этой формулы в силу (20), (21) и принадлежит только классу C_λ+δ^µ ′−δ^′′.

Чтобы подчинить правую часть (22) условию (2), необходимо на функциюf и многочленpна- ложить соответствующие условия, которые как раз и приводят к описанию ядра и коядра задачи, фигурирующих в теореме 2. Согласно [6] для матрицы X(z) можно выписать асимптотическое представление в секторах S_τ,k, основанное на спектральных характеристиках матрицы

Gτ =

nτ

Y

j=1

G(τ, j)σ_τ,j

,

где произведение берется в порядке обхода дуг Γτ,j с общим началом τ против часовой стрелки.

С помощью этой асимптотики можно показать, что в действительности формула (22) определяет решение в классеC_λ^µ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аверьянов Г. Н., Солдатов А. П.Асимптотика решений задачи линейного сопряжения для аналити- ческих функций в угловых точках кривой// Диффер. уравн. — 2016. —52, № 9. — С. 1150–1159.

2. Векуа Н. П.Системы сингулярных интегральных уравнений. — М.: Наука, 1970.

3. Гахов Ф. Д.Краевые задачи. — М.: Физматгиз, 1963.

4. Мещерякова Е. С., Солдатов А. П.Задача Римана—Гильберта в семействе весовых пространств Гель- дера// Диффер. уравн. — 2016. —52, № 1. — С. 518–527.

5. Мусхелишвили Н. И.Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.

6. Солдатов А. П.Кpаевая задача линейного сопpяжения теоpии функций// Изв. АH СССР. Сеp. мат.

— 1979. —43, № 1. — С. 184–202.

Аверьянов Георгий Николаевич

Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Белгород E-mail: averianov@bsu.edu.ru

Солдатов Александр Павлович

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН, Москва E-mail: soldatov48@gmail.com