Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. А. Кабанов, А. А. Александров, Оптимизация траектории пространственно- го движения летательного аппарата как твердого тела, Автомат. и телемех. , 2010, выпуск 1, 46–56
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 16:34:43
Автоматика и телемеханика,№ 1, 2010
Детерминированные системы
c
⃝2010 г. С.А. КАБАНОВ, д-р техн. наук
(Балтийский государственный технический университет “Военмех”
им. Д.Ф. Устинова, Санкт-Петербург), А.А. АЛЕКСАНДРОВ
(ОАО «Концерн “Гранит-Электрон”», Санкт-Петербург)
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА КАК ТВЕРДОГО ТЕЛА1
Рассматривается задача оптимального управления летательным аппаратом (ЛА) по принципу максимума Л.С. Понтрягина с минимизацией затрат на управление. Динамика ЛА в пространстве описывается уравнениями Эйлера и Пуассона. Двухточечная краевая задача решается методом Ньютона. Пред- ставлены результаты численного моделирования, даны рекомендации по обес- печению сходимости итерационной процедуры.
1. Введение
Рассматривается задача оптимального управления пространственным движени- ем летательного аппарата (ЛА), описываемым уравнениями Эйлера и Пуассона, по приведению его из произвольно заданного начального состояния в фиксированное конечное состояние с учетом интегральных ограничений на вектор управления. Для такой модели в [1] получены аналитические выражения для прогнозируемых значе- ний вектора состояния ЛА при постоянных векторах перегрузки и угловой скорости в связанной системе координат. Эти решения можно использовать в алгоритмах с прогнозирующей моделью для одного критерия Красовского и в алгоритмах по- следовательной оптимизации с подстраиваемой прогнозирующей моделью [2–4] для иерархии из двух критериев.
Данная работа является продолжением и развитием ряда исследований по опти- мальному управлению с использованием представленной модели [1–5]. Оптимальное управление строится по принципу максимума Л.С. Понтрягина [6]. При этом двух- точечная краевая задача решается методом Ньютона. Решение многомерной задачи представляет в случае общих начальных и конечных условий существенные вы- числительные трудности, связанные с обеспечением сходимости итерационной про- цедуры. Поэтому решить задачу оптимального управления движением ЛА, опи- сываемого уравнениями Эйлера и Пуассона (15 уравнений), значительно сложнее, чем, например, при описании динамики ЛА как материальной точки в пространстве
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле- дований (проект № 09-08-00829).
(6 уравнений) [7, 8]. Однако, в рассматриваемую систему включены уравнения для угловых скоростей, что является достоинством рассматриваемой модели и способно облегчить решение задачи стабилизации ЛА на оптимальной траектории.
Статья посвящена разработке вычислительного алгоритма оптимального управ- ления траекторией движения ЛА как твердого тела с минимизацией затрат на управление для различных условий.
2. Постановка задачи
Исследуется управляемое пространственное движение ЛА. Требуется привести его из начального состояния в заданное конечное с минимизацией затрат на управ- ление.
Уравнения динамики ЛА как твердого тела включают в себя [1, 2]:
∙ уравнения Эйлера, описывающие движение центра масс в связанной системе координат (СК):
˙
𝜐= Ω⋅𝜐+𝑔⋅(𝑛−𝜀2), (1)
где𝜐 – вектор абсолютной земной скорости,𝑔 – ускорение свободного падения,𝑛– вектор перегрузок,
∙ уравнение Пуассона, описывающее динамику направляющих косинусов между осями связанной и нормальной СК,
˙
𝜀= Ω⋅𝜀, (2)
∙ уравнения для определения географических координат:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
˙ 𝜑 ℎ˙ 𝜆˙
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=𝑑∗⋅𝜀⋅𝜐, где 𝑑∗ =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣ 1
𝑅З+ℎ 0 0
0 1 0
0 0 1
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ , (3)
𝑅З= 6375км – радиус Земли,ℎ– высота полета,𝜑и𝜆– широта и долгота положения ЛА соответственно.
Здесь матрица Пуассона (кососимметрическая):
Ω =−ΩT=
[ 0 𝜔𝑧 −𝜔𝑦
−𝜔𝑧 0 𝜔𝑥
𝜔𝑦 −𝜔𝑥 0 ]
,
где 𝜔 – вектор угловой скорости ЛА относительно земной нормальной СК, пред- ставленный в проекциях на оси связанной системы координат.
Матрица направляющих косинусов между осями связанной и нормальной СК 𝜀T= (𝜀1𝜀2 𝜀3), где𝜀1, 𝜀2,𝜀3 – соответствующие векторы, представлена в таблице.
Таблица.Направляющие косинусы
𝑥𝑔 𝑦𝑔 𝑧𝑔
𝑥 𝜀11 = cos𝜓⋅cos𝜗 𝜀21= sin𝜗 𝜀31=−sin𝜓⋅cos𝜗 𝑦 𝜀12= sin𝜓⋅sin𝛾−cos𝜓⋅sin𝜗⋅cos𝛾 𝜀22= cos𝜗⋅cos𝛾 𝜀32= cos𝜓⋅sin𝛾+ sin𝜓⋅sin𝜗⋅cos𝛾 𝑧 𝜀13= sin𝜓⋅cos𝛾+ cos𝜓⋅sin𝜗⋅sin𝛾 𝜀23=−cos𝜗⋅sin𝛾 𝜀33= cos𝜓⋅cos𝛾−sin𝜓⋅sin𝜗⋅sin𝛾
Представим вектор состояния в виде 𝑥=[
𝑥T1 𝑥T2 𝑥T3 𝑥T4 𝑥T5
]T , где
𝑥1=𝜀1= (𝜀11 𝜀12 𝜀13)T, 𝑥2=𝜀2= (𝜀21 𝜀22 𝜀23)T,
𝑥3=𝜀3= (𝜀31 𝜀32 𝜀33)T, 𝑥4= (𝜐𝑥𝜐𝑦 𝜐𝑧)T, 𝑥5= (𝜑 ℎ 𝜆)T.
При этом𝑦˙𝑔= ˙ℎ, 𝑥˙𝑔 = (𝑅З+ℎ)⋅𝜑,˙ 𝑧˙𝑔= (𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑⋅𝜆,˙ 𝑥𝑔 – дальность полета, 𝑧𝑔 – боковое отклонение.
За управление принимается вектор 𝑢=[
𝑛T 𝜔T]T
= [𝑛𝑥 𝑛𝑦 𝑛𝑧 𝜔𝑥𝜔𝑦 𝜔𝑧]T,
где𝑛𝑥, 𝑛𝑦,𝑛𝑧 – компоненты вектора перегрузки в связанных осях.
Задача состоит в приведении ЛА из начального состояния𝑥(𝑡0) =𝑥0:𝜓0=𝜗0=
= 𝛾0 = 0, 𝑥𝑔0 = 0, 𝑦𝑔0 = 200 м, 𝑧𝑔0 = 200 м, 𝜐𝑥0 = 300 м/с, 𝜐𝑦0 = 𝜐𝑧0 = 0 в конечное 𝑥𝑓: 𝜓𝑓 = 𝜗𝑓 = 𝛾𝑓 = 0, 𝑥𝑔𝑓 = 2000 м, 𝑦𝑔𝑓 = 0, 𝑧𝑔𝑓 = 0, 𝜐𝑥𝑓 = 300 м/с, 𝜐𝑦𝑓 = 𝜐𝑧𝑓 = 0. Таким образом, планируется осуществить маневр по 𝑆-образной траектории с выполнением условий равенства углов и соответствующих проекций скоростей на левом и правом концах траектории.
В качестве целевого функционала выбирается критерий Лагранжа
𝐼= 1 2 ⋅
𝑡𝑓
∫
𝑡0
(𝑢T⋅𝑘−2⋅𝑢) 𝑑𝑡,
отражающий затраты на управление на интервале оптимизации, где 𝑘−2 =
= diag[
𝑘1−2. . . 𝑘6−2
],𝑡0 и𝑡𝑓 – заданный начальный и свободный конечный моменты времени соответственно.
Синтез оптимального управления по принципу максимума [6] сводится к реше- нию двухточечной краевой задачи, которая может быть решена методом Ньюто- на [9]. При этом вычислительная трудоемкость во многом определяется необходи- мостью численного интегрирования системы канонических уравнений.
3. Построение оптимального управления
Для решения поставленной задачи по принципу максимума [6] запишем гамиль- тониан системы:
𝐻=𝑝T𝑥⋅𝑥˙ +1 2 ⋅(
𝑢T⋅𝑘−2⋅𝑢)
=
= 𝑝T𝑥 ⋅𝐹+𝑘−2 2 ⋅(
𝑛2𝑥+𝑛2𝑦+𝑛2𝑧+𝜔2𝑥+𝜔2𝑦+𝜔𝑧2)
=
= 𝐿1⋅𝜔𝑥+𝐿2⋅𝜔𝑦+𝐿3⋅𝜔𝑧+𝑝𝜐𝑥⋅𝑔⋅𝑛𝑥+𝑝𝜐𝑦⋅𝑔⋅𝑛𝑦+ +𝑝𝜐𝑧⋅𝑔⋅𝑛𝑧+𝑘−2
2 ⋅(
𝑛2𝑥+𝑛2𝑦+𝑛2𝑧+𝜔𝑥2+𝜔𝑦2+𝜔𝑧2) +𝐿0,
где
𝐿1=𝑝𝜀12 ⋅𝜀13−𝑝𝜀13⋅𝜀12+𝑝𝜀22⋅𝜀23−𝑝𝜀23 ⋅𝜀22+𝑝𝜀32 ⋅𝜀33−𝑝𝜀33 ⋅𝜀32+ +𝑝𝜐𝑦⋅𝜐𝑧−𝑝𝜐𝑧⋅𝜐𝑦,
𝐿2=−𝑝𝜀11 ⋅𝜀13+𝑝𝜀13 ⋅𝜀11−𝑝𝜀21 ⋅𝜀23+𝑝𝜀23 ⋅𝜀21−𝑝𝜀31⋅𝜀33+𝑝𝜀33 ⋅𝜀31−
−𝑝𝜐𝑥⋅𝜐𝑧+𝑝𝜐𝑧 ⋅𝜐𝑥,
𝐿3=𝑝𝜀11 ⋅𝜀12−𝑝𝜀12⋅𝜀11+𝑝𝜀21⋅𝜀22−𝑝𝜀22 ⋅𝜀21+𝑝𝜀31 ⋅𝜀32−𝑝𝜀32 ⋅𝜀31−
−𝑝𝜐𝑦⋅𝜐𝑥+𝑝𝜐𝑥⋅𝜐𝑦
и независящая от управления часть𝐿0 (∂𝐿0
∂𝑢 = 0 )
:
𝐿0=𝑝𝜐𝑥⋅𝑔⋅(−𝜀21) +𝑝𝜐𝑦 ⋅𝑔⋅𝜀23+𝑝𝜐𝑧⋅𝑔⋅𝜀23+ +𝑝𝜑⋅
(𝜀11⋅𝜐𝑥+𝜀12⋅𝜐𝑦+𝜀13⋅𝜐𝑧
𝑅З+ℎ
)
+𝑝ℎ⋅(𝜀21⋅𝜐𝑥+𝜀22⋅𝜐𝑦+𝜀23⋅𝜐𝑧) +
+𝑝𝜆⋅
(𝜀31⋅𝜐𝑥+𝜀32⋅𝜐𝑦+𝜀33⋅𝜐𝑧
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑 )
.
Здесь вектор-функция правых частей исходной системы (1)–(3) имеет вид:
𝐹=𝐹(𝑥, 𝑡) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ω 0 0 0 0
0 Ω 0 0 0
0 0 Ω 0 0
0 −𝑔⋅𝐸 0 Ω 0
0 0 0 𝑑∗⋅ [ 𝑥1
𝑥2
𝑥3 ]
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⋅𝑥+
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣ 0 0 0 𝑔⋅𝑛
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦ ,
где 0 – нулевая матрица размера3×3,𝐸 – единичная матрица размера 3×3.
Введем вектор𝑝=[
𝑝T𝑥1 𝑝T𝑥2 𝑝T𝑥3 𝑝T𝑥4 𝑝T𝑥5]T
, сопряженный вектору𝑥.
Обозначив
˙
𝜑𝑅ℎ =−𝜀11⋅𝜐𝑥+𝜀12⋅𝜐𝑦+𝜀13⋅𝜐𝑧
𝑅З+ℎ ,
𝜆˙𝑅ℎ =−𝜀31⋅𝜐𝑥+𝜀32⋅𝜐𝑦+𝜀33⋅𝜐𝑧
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑 , 𝜆˙𝑅𝜑 = ˙𝜆𝜑⋅(𝑅З+ℎ) = ∂𝐹15
∂𝜑 ⋅(𝑅З+ℎ) =𝑥T3 ⋅𝑥4⋅∂cos−1𝜑
∂𝜑 =
= 𝑥T3 ⋅𝑥4⋅ sin𝜑
cos2𝜑 = (𝜀31⋅𝜐𝑥+𝜀32⋅𝜐𝑦+𝜀33⋅𝜐𝑧)⋅sin𝜑
cos2𝜑 ,
запишем уравнения для сопряженных переменных [4, 5]:
˙ 𝑝=−
(∂𝐻
∂𝑥 )T
=− (∂𝐹
∂𝑥 )T
⋅𝑝= (4)
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
𝜔𝑧⋅𝑝𝜀12 −𝜔𝑦⋅𝑝𝜀13− 𝑝𝜑⋅𝜐𝑥
𝑅З+ℎ
−𝜔𝑧⋅𝑝𝜀11 +𝜔𝑥⋅𝑝𝜀13− 𝑝𝜑⋅𝜐𝑦
𝑅З+ℎ 𝜔𝑦⋅𝑝𝜀11 −𝜔𝑥⋅𝑝𝜀12 − 𝑝𝜑⋅𝜐𝑧
𝑅З+ℎ 𝜔𝑧⋅𝑝𝜀22 −𝜔𝑦⋅𝑝𝜀23−𝑝ℎ⋅𝜐𝑥+𝑔⋅𝑝𝜐𝑥
−𝜔𝑧⋅𝑝𝜀21 +𝜔𝑥⋅𝑝𝜀23 −𝑝ℎ⋅𝜐𝑦+𝑔⋅𝑝𝜐𝑦
𝜔𝑦⋅𝑝𝜀21 −𝜔𝑥⋅𝑝𝜀22 −𝑝ℎ⋅𝜐𝑧+𝑔⋅𝑝𝜐𝑧
𝜔𝑧⋅𝑝𝜀32 −𝜔𝑦⋅𝑝𝜀33 − 𝑝𝜆⋅𝜐𝑥
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑
−𝜔𝑧⋅𝑝𝜀31 +𝜔𝑥⋅𝑝𝜀33 − 𝑝𝜆⋅𝜐𝑦
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑 𝜔𝑦⋅𝑝𝜀31 −𝜔𝑥⋅𝑝𝜀32− 𝑝𝜆⋅𝜐𝑧
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑 𝜔𝑧⋅𝑝𝜐𝑦 −𝜔𝑦⋅𝑝𝜐𝑧 −𝜀11⋅𝑝𝜑
𝑅З+ℎ− 𝜀31⋅𝑝𝜆
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑−𝜀21⋅𝑝ℎ
−𝜔𝑧⋅𝑝𝜐𝑥+𝜔𝑥⋅𝑝𝜐𝑧−𝜀12⋅𝑝𝜑
𝑅З+ℎ− 𝜀32⋅𝑝𝜆
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑−𝜀22⋅𝑝ℎ
𝜔𝑦⋅𝑝𝜐𝑥−𝜔𝑥⋅𝑝𝜐𝑦−𝜀13⋅𝑝𝜑
𝑅З+ℎ− 𝜀33⋅𝑝𝜆
(𝑅З+ℎ)⋅cos𝜑−𝜀23⋅𝑝ℎ
− 1
𝑅З+ℎ⋅
⎡
⎢
⎣
𝑝𝜆⋅𝜆˙𝑅𝜑 𝑝𝜑⋅𝜑˙𝑅ℎ +𝑝𝜆⋅𝜆˙𝑅ℎ
0
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦ .
Управление определяется из условий ∂𝐻
∂𝑢𝑖
= 0в виде:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣ 𝑛𝑥
𝑛𝑦
𝑛𝑧
𝜔𝑥
𝜔𝑦
𝜔𝑧
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−𝑘21⋅𝑝𝜐𝑥⋅𝑔
−𝑘22⋅𝑝𝜐𝑦⋅𝑔
−𝑘23⋅𝑝𝜐𝑧⋅𝑔
−𝑘24⋅𝐿1
−𝑘25⋅𝐿2
−𝑘26⋅𝐿3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦ .
4. Решение краевой задачи
В соответствии с условиями трансверсальности функцию невязок𝑍, неявно зави- сящую от вектора параметров𝑝0=𝑝(𝑡0), можно задать при фиксированном правом конце (жесткие ограничения на элементы вектора состояния в момент 𝑡𝑓) в виде
вектора:
𝑍(𝑝0) =[
𝜀11(𝑡𝑓)−𝜀11𝑓 𝜀12(𝑡𝑓)−𝜀12𝑓 𝜀13(𝑡𝑓)−𝜀13𝑓
𝜀21(𝑡𝑓)−𝜀21𝑓 𝜀22(𝑡𝑓)−𝜀22𝑓 𝜀23(𝑡𝑓)−𝜀23𝑓
𝜀31(𝑡𝑓)−𝜀31𝑓 𝜀32(𝑡𝑓)−𝜀32𝑓 𝜀33(𝑡𝑓)−𝜀33𝑓
𝜐𝑥(𝑡𝑓)−𝜐𝑥𝑓 𝜐𝑦(𝑡𝑓)−𝜐𝑦𝑓 𝜐𝑧(𝑡𝑓)−𝜐𝑧𝑓
𝜑(𝑡𝑓)−𝜑𝑓 ℎ(𝑡𝑓)−ℎ𝑓 𝜆(𝑡𝑓)−𝜆𝑓]T ,
где подстрочным индексом𝑓 отмечены заданные значения компонент вектора со- стояния на правом конце траектории.
Краевая задача решалась методом Ньютона. Для свободного конечного време- ни𝑡𝑓 в метод Ньютона была включена функция автоматического выбора конечного времени выполнения задачи для обеспечения условия𝐻(𝑥, 𝑝, 𝑡𝑓) = 0.
Система канонических уравнений (1)–(4) интегрирована методом Эйлера с ша- гомΔ𝑡= 0,02с. Расчет проводился при𝑘1=𝑘2=𝑘3= 0,01,𝑘4=𝑘5=𝑘6= 0,00001, при следующих начальных условиях для компонент вектора 𝑝(𝑡0): 𝑝𝜀11(𝑡0) = 10;
𝑝𝜀12(𝑡0) =−2000;𝑝𝜀13(𝑡0) = 0,3;𝑝𝜀21(𝑡0) = 40;𝑝𝜀22(𝑡0) = 5;𝑝𝜀23(𝑡0) = 600;𝑝𝜀31(𝑡0) =
= 0,007;𝑝𝜀32(𝑡0) =−8000;𝑝𝜀33(𝑡0) = 90;𝑝𝜐𝑥(𝑡0) = 300;𝑝𝜐𝑦(𝑡0) =−400;𝑝𝜐𝑧(𝑡0) = 800;
𝑝𝜑(𝑡0) = 30;𝑝ℎ(𝑡0) =−31;𝑝𝜆(𝑡0) =−30– и при приращениях для сопряженных пере- менных:Δ𝑝∣𝜑= 0,51;Δ𝑝∣ℎ= 0,92;Δ𝑝∣𝜆= 0,51;Δ𝑝∣𝜀11 = Δ𝑝∣𝜀12 = 0,5;Δ𝑝∣𝜀13 = 0,005;
Δ𝑝∣𝜀21 = Δ𝑝∣𝜀22 = Δ𝑝∣𝜀23 = 0,5; Δ𝑝∣𝜀31 = 0,005;Δ𝑝∣𝜀32 = Δ𝑝∣𝜀33 = 0,5; Δ𝑝∣𝜐𝑥 = 0,5;
Δ𝑝∣𝜐𝑦 = 0,7; Δ𝑝∣𝜐𝑧 = 0,1 – в процедуре численного определения частных производ- ных от вектора невязок в методе Ньютона. Эти начальные условия для компонент вектора𝑝(𝑡0)были выбраны из соображений близости к нулю производных вектора состояния в процессе управляемого движения на небольшом интервале времени [10].
ПриращенияΔ𝑝для сопряженных переменных выбирались так, чтобы, с одной сто- роны, при их сложении с начальными условиями 𝑝(𝑡0) результирующее значение приводило через оптимальное управление к ощутимому приращению вектора со- стояния и, с другой стороны, не позволяло системе терять устойчивость.
Итерационная процедура метода Ньютона выполнялась с точностью ∥𝑍(𝑝0)∥ ≤
≤10. При заданных начальных условиях за одну итерацию были получены опти- мальные начальные значения сопряженных переменных𝑝𝜀11(𝑡0)ОПТ=−243021261,84;
𝑝𝜀12(𝑡0)ОПТ = 12490566,03; 𝑝𝜀13(𝑡0)ОПТ = −638686,5; 𝑝𝜀21(𝑡0)ОПТ = 12925851,06;
𝑝𝜀22(𝑡0)ОПТ = 203763918340,67;𝑝𝜀23(𝑡0)ОПТ=−1486698,03;𝑝𝜀31(𝑡0)ОПТ= 142219,23;
𝑝𝜀32(𝑡0)ОПТ = −1902503,05; 𝑝𝜀33(𝑡0)ОПТ = 9361527774,27; 𝑝𝜐𝑥(𝑡0)ОПТ = 919,34;
𝑝𝜐𝑦(𝑡0)ОПТ= 1595,54;𝑝𝜐𝑧(𝑡0)ОПТ= 2626,83;𝑝𝜑(𝑡0)ОПТ= 1708603015,75;𝑝ℎ(𝑡0)ОПТ=
= 763,15;𝑝𝜆(𝑡0)ОПТ= 4882458263,39. Столь большие оптимальные значения объяс- няются близостью к нулю определителя матрицы частных производных от вектора невязок по переменным 𝑝𝑖 (𝑖 = 1, 15). Это обусловлено существенным различием значений координат ЛА, скоростей и углов (на несколько порядков).
На рис. 1,а для данного варианта представлены проекции оптимальной траек- тории и зависимости𝑛𝑥(𝑥𝑔),𝑛𝑦(𝑥𝑔),𝑛𝑧(𝑥𝑔). Графики функций 𝑦𝑔(𝑥𝑔) и𝑧𝑔(𝑥𝑔)при заданных начальных условиях практически совпадают. На рис. 1,б представлены углы 𝛼(𝑥𝑔), 𝛽(𝑥𝑔) и зависимости 𝜔𝑥(𝑥𝑔), 𝜔𝑦(𝑥𝑔), 𝜔𝑧(𝑥𝑔). На рис. 1,в представлен пространственный вид оптимальной траектории.
В случае задания начальных и конечных условий𝑥0и𝑥𝑓, несколько отличных от рассмотренных в разделе 2, а также при повышении точности (уменьшении значения величины невязки∥𝑍(𝑝0)∥)возможно увеличение числа итераций метода Ньютона (например, при∥𝑍(𝑝0)∥ ≤1потребовалось 2 итерации). При существенном отличии новых условий𝑥0и𝑥𝑓 от рассмотренных следует произвести коррекцию начальных
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 nx, ny, nz,
yg, zg, Ï
1
5 2
4
3
400 800 1200 1600 2000 xg, Ï
8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 ωx, ωy,
ωz
10–5 ‡‰/Ò α, β, „‡‰
1 2
5 4
3
400 800 1200 1600 2000 xg, Ï 8
6 4 2 0 –2 –4 –6 –8
200 1600 2000
xg zg
800 1200 400
200
0 yg
‡ ·
‚
Рис. 1. Оптимальная траектория маневра ЛА.а– Проекции траекто- рии и перегрузок:1 –𝑦𝑔(𝑥𝑔), 2 –𝑧𝑔(𝑥𝑔),3 – 𝑛𝑥(𝑥𝑔),4 – 𝑛𝑦(𝑥𝑔), 5 – 𝑛𝑧(𝑥𝑔);б – углы и угловые скорости:1 –𝛼(𝑥𝑔),2 –𝛽(𝑥𝑔),3 –𝜔𝑥(𝑥𝑔), 4–𝜔𝑦(𝑥𝑔),5–𝜔𝑧(𝑥𝑔));в– пространственный вид траектории.
значений вектора 𝑝(𝑡0) и/или приращений Δ𝑝 для получения успешного решения методом Ньютона.
В некоторых случаях решение, полученное за одну итерацию, имеет невысокую точность по одной или нескольким компонентам конечного вектора состояния при допустимом значении величины невязки ∥𝑍(𝑝0)∥ (например, это значение опреде- ляется только отклонением от заданного конечного состояния по одной из осей на максимально допустимую величину). Чтобы повысить точность, следует запустить еще одну итерацию метода Ньютона. Потеря точности объясняется тем, что при обращении матрицы Якоби итоговая матрица может приблизиться к сингулярной.
На рис. 2 приведено семейство оптимальных траекторий для наглядности сходи- мости метода. Все траектории получены за одну итерацию. Различия приведенных 𝑆-образных траекторий заключаются в том, что изменялись координаты на правом конце (в момент времени 𝑡𝑓) при прочих равных условиях из раздела 2 (рис. 2,а) и начальные высоты (рис. 2,б). Таким образом демонстрируется возможность не только снижения, но и маневра с помощью данного типа траекторий.
Все графики, представленные на рис. 1 и рис. 2,а и 2,б, получены с использо- ванием одних заранее выбранных значений𝑝(𝑡0)и Δ𝑝𝑖. Основной трудностью при моделировании является определение этих начальных условий для решения крае- вой задачи. Поэтому для их нахождения целесообразно обратиться к рассмотрению аналогичной задачи оптимального управления для более простой модели с целью выработки рекомендаций по обеспечению сходимости соответствующих итерацион- ных процедур.
Рассмотрим оптимизацию динамики ЛА как материальной точки в пространстве.
В качестве критерия оптимальности выберем функционал Лагранжа из раздела 2, где𝑘−2=diag(𝑘1−2𝑘2−2𝑘3−2), 𝑢=𝑛= (𝑛𝑥𝑛𝑦 𝑛𝑧)T.
zg
xg yg
1000 0 –1000 –2000 –3000 –4000 4000 5000
2000 3000 0 1000
1000 2000
·
‡
500 250 0
400 800
1200 1600 20000 500 1000 zg xg
yg
Рис. 2. Семейство оптимальных траекторий.а – Вариация конечных значений высот и дальностей;б – вариация начального значения вы- соты.
Система уравнений, описывающая движение ЛА как материальной точки в про- странстве, имеет вид [7]:
˙
𝜐=𝑔⋅(𝑛𝑥−sin𝜃), 𝜃˙= 𝑔
𝜐 ⋅(𝑛𝑦−cos𝜃), 𝜑˙ =−𝑔 𝜐⋅ 𝑛𝑧
cos𝜃,
˙
𝑥𝑔=𝜐⋅cos𝜃⋅cos𝜑, 𝑦˙𝑔=𝜐⋅sin𝜃, 𝑧˙𝑔 =−𝜐⋅cos𝜃⋅sin𝜑,
где компоненты вектора состояния𝑥= (𝜐 𝜃 𝜑 𝑥𝑔 𝑦𝑔 𝑧𝑔)T:𝜐– скорость ЛА,𝜃– угол наклона траектории,𝜑– угол поворота траектории,𝑥𝑔,𝑦𝑔 и𝑧𝑔 – продольная даль- ность, высота и боковое отклонение ЛА соответственно, 𝑛𝑥, 𝑛𝑦, 𝑛𝑧 – компоненты вектора перегрузки в скоростной системе координат.
Задача состоит в приведении ЛА из начального состояния𝑥(𝑡0) =𝑥0:𝜃0=𝜑0= 0, 𝑥𝑔0 = 0, 𝑦𝑔0 = 200 м, 𝑧𝑔0 = 200 м, 𝜐0 = 300 м/с в конечное 𝑥𝑓: 𝜃𝑓 = 0, 𝜑𝑓 = 0, 𝑥𝑔𝑓 = 2000м,𝑦𝑔𝑓 = 0,0,𝑧𝑔𝑓 = 0,0,𝜐𝑓 = 300м/с.
Следуя принципу максимума, составим гамильтониан и уравнения для сопря- женных переменных 𝑝˙𝑖 с последующим решением сопряженной системы методом Ньютона при 𝑘1 =𝑘2 = 𝑘3 = 0,1. Управления определим в виде𝑛𝑥 =−𝑝𝜐⋅𝑔⋅𝑘2, 𝑛𝑦=−𝑝𝜃⋅𝑔
𝜐⋅𝑘2,𝑛𝑧=𝑝𝜑⋅ 𝑔
𝜐⋅cos𝜃⋅𝑘2. Вектор невязок будет включать в себя шесть составляющих [10]:
𝑍𝑗(𝑝0) =[
𝜃(𝑡𝑓)−𝜃𝑓 𝜑(𝑡𝑓)−𝜑𝑓 𝑥𝑔(𝑡𝑓)−𝑥𝑔𝑓 𝑦𝑔(𝑡𝑓)−𝑦𝑔𝑓 𝑧𝑔(𝑡𝑓)−𝑧𝑔𝑓 𝜐(𝑡𝑓)−𝜐𝑓]T ,
где𝑝0=𝑝(𝑡0), 𝑝= [𝑝𝜐𝑝𝜃 𝑝𝜑 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧]T.
Задача решается при начальных условиях: 𝑝𝜃(𝑡0) = 1, 𝑝𝜑(𝑡0) = 1, 𝑝𝑥(𝑡0) = 1, 𝑝𝑦(𝑡0) = 1, 𝑝𝑧(𝑡0) = 1, 𝑝𝜐(𝑡0) = 1 – и приращениях для сопряженных переменных:
1
0
óËÒÎÓ ËÚ‡ˆËÈ
14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
pϕ(t0)
Рис. 3. Сходимость метода Ньютона при варьировании значения переменной𝑝𝜑(𝑡0).
Δ𝑝∣𝜃 = 0,0002, Δ𝑝∣𝜑 = 0,002, Δ𝑝∣𝑥 = 0,0001, Δ𝑝∣𝑦 = 0,0002, Δ𝑝∣𝑧 = 0,002, Δ𝑝∣𝜐 =
= 0,0001, используемых в процедуре численного определения частных производных от вектора невязок в методе Ньютона. Итерационная процедура выполнялась с точ- ностью∥𝑍(𝑝0)∥ ≤10. За одну итерацию получены оптимальные значения началь- ных значений сопряженных переменных𝑝𝜃(𝑡0)ОПТ= 5726,39,𝑝𝜑(𝑡0)ОПТ=−8542,54, 𝑝𝑥(𝑡0)ОПТ = −0,31, 𝑝𝑦(𝑡0)ОПТ = 9,04, 𝑝𝑧(𝑡0)ОПТ = 8,65, 𝑝𝜐(𝑡0)ОПТ = −1,65. При точности∥𝑍(𝑝0)∥ ≤ 1 сходимость итерационной процедуры обеспечивается за две итерации.
Сравнение результатов моделирования со случаем рассмотрения ЛА как твердого тела показало, что характер траекторий и графики перегрузок для этих случаев ана- логичны. Трудоемкость вычислений оптимальной траектории в обоих случаях так- же составляет малое число итераций. Проведенные исследования динамики модели ЛА как материальной точки показали, что задание компонент вектора𝑝(𝑡0)следует производить из условия, что их значения приводят (через оптимальное управление) к несущественному изменению траектории полета на небольшом интервале времени (порядка двух секунд). Что касается приращений Δ𝑝𝑖, то их задание существенно определяется не только характером траектории управляемого движения (от сум- марного значения 𝑝(𝑡0) + Δ𝑝), но и близостью определителя якобиана к нулевому значению. При этом выбор конкретных значений𝑝𝑖(𝑡0)и Δ𝑝𝑖 следует производить последовательно при фиксированных𝑝𝑗(𝑡0),𝑗= 1,6;𝑗∕=𝑖.
Для модели ЛА как твердого тела диапазоны для сопряженных переменных за- труднительно устанавливать численным моделированием. В этом случае значения компонент𝑝(𝑡0)иΔ𝑝𝑖, обеспечивающих сходимость, существенно отличаются. Ком- понента𝑝𝑗(𝑡0) при фиксированных значениях остальных 𝑝𝑖(𝑡0) (𝑗 ∕=𝑖)в процессе моделирования определялась из условия малости отклонения траектории полета на интервале Δ𝑡 ≈2 с. Выбор приращений Δ𝑝𝑖 производился аналогично случаю рассмотрения модели ЛА как материальной точки. Это обеспечило локальную схо- димость метода.
Например, на рис. 3 представлен график, иллюстрирующий локальную сходи- мость за одну итерацию при определенных значениях𝑝𝜑(𝑡0)(в статье представле- ны результаты расчетов при 𝑝𝜑(𝑡0) = 30) с точностью ∥𝑍(𝑝0)∥ ≤ 10. Зачерненные столбики характеризуют начальные значения𝑝𝜑(𝑡0), при которых метод Ньютона сходится за одну итерацию. Если для данного решения выполнить еще одну итера- цию, можно увеличить точность приведения системы в конечное положение. Свет- лые столбики характеризуют значения𝑝𝜑(𝑡0), при которых число итераций больше
1
0
óËÒÎÓ ËÚ‡ˆËÈ
–10000 4000
pε
32(t0)
–8000 –6000 –4000 –2000 0 2000
Рис. 4. Сходимость метода Ньютона при варьировании значения переменной𝑝𝜀32(𝑡0).
одной или наблюдается расходимость. Рисунок 3 демонстрирует достаточно широ- кий выбор вариантов численных значений 𝑝𝜑(𝑡0), обеспечивающих сходимость за одну итерацию.
Рисунок 4 иллюстрирует локальную сходимость за одну итерацию при определен- ных значениях𝑝𝜀32(𝑡0)(в статье представлены результаты расчетов при𝑝𝜀32(𝑡0) =
=−8000).
Подобные графики составляются для всех компонент вектора𝑝(𝑡0).
Представленный алгоритм управления ЛА как твердым телом с минимизаци- ей затрат на управление позволяет осуществлять оптимальное маневрирование в различных условиях. При этом выработанные рекомендации по выбору параметров целевого функционала и начальных условий для решения краевой задачи методом Ньютона обеспечивают его сходимость за одну итерацию при заданной точности.
Это допускает реализацию разработанного алгоритма в темпе полета.
5. Заключение
Разработан алгоритм оптимального управления пространственным движением ЛА с минимизацией затрат на управление. Краевая задача, возникающая из прин- ципа максимума, решена методом Ньютона. Получена адаптивная процедура на- хождения параметров краевой задачи.
Разработанный алгоритм решения задачи оптимизации позволяет проводить ис- следования маневренных возможностей ЛА. Найденные с его помощью оптималь- ные траектории имеют 𝑆-образную форму как в случае использования алгоритма последовательной оптимизации со спиральным прогнозом при рассмотрении иерар- хии критериев Красовского [4], так и при рассмотрении ЛА как материальной точ- ки. Причем алгоритм последовательной оптимизации имеет существенные вычисли- тельные преимущества за счет использования аналитических выражений для ком- понент вектора состояния, представленных в [1]. Полученное решение расширяет возможности использования модели ЛА как твердого тела в задачах оптимального управления полетом. В данном случае решать задачу стабилизации ЛА на оптималь- ной траектории с использованием уравнений вращательного движения жесткого ЛА можно методом обратных задач динамики, которая здесь приводит к управлению с обратной связью, поскольку роль заданных угловых скоростей, аэродинамических углов (при отсутствии ветра𝛼 =−arctg (𝜐𝑦/𝜐𝑥), 𝛽 = −arctg (𝜐𝑧/𝜐))и перегрузок
играют компоненты вектора управления и вектора состояния в рассматриваемой модели. В результате можно найти требуемые значения углов отклонения аэроди- намических рулей и управления тягой двигателя. Реализация алгоритмов такого типа требует невысокой вычислительной производительности [2].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский А.А.Метод быстрого численного интегрирования одного класса динами- ческих систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. № 1. C. 3–14.
2. Красовский А.А. Основы алгоритмического обеспечения систем автоматического управления полетом с глубокой интеграцией // Вопросы кибернетики: Проблемы ком- плексирования кибернетических динамических систем. М.: Науч. совет АН РСФСР по комплексной проблеме “Кибернетика”. 1992. C. 6–30.
3. Кабанов С.А. Алгоритм последовательной оптимизации со спиральным прогнозом для управления спускаемым аппаратом // Изв. РАН. Техн. кибернетика. 1993. № 4.
C. 141–147.
4. Wang H.M., Kabanov S.A. Optimal control of the Return of a Flying Object on the Hi- erarchy of Criterion of Quality // 2002 FIRA Robot World Congr. Seoul, Korea, 2002.
P. 187–190.
5. Кабанов С.А.Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб.: СПбГУ, 1997.
6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.
7. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С.Динамика полета БПЛА. М.: Машиностроение, 1973.
8. Александров А.А., Кабанов С.А.Оптимизация посадки БПЛА с учетом ограничений на управление // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 2. C. 50–54.
9. Федоренко Р.П.Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.
10. Кабанов С.А., Александров А.А. Прикладные задачи оптимального управления. Уч.
пос. к практич. занятиям. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2007.
Статья представлена к публикации членом редколлегии А.П. Курдюковым.
Поступила в редакцию 14.07.2007
