матем. и матем. физ., 1968, том 8, номер 5, 988–1000

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Э. Э. Тамме, О решении нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения вто- рого порядка методом конечных разностей, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 1968, том 8, номер 5, 988–1000

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 16:29:26

Том 8

Ж У Р Н А Л

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И

Сентябрь 1968 Октябрь № 5

У Д К 518:517.9447.947 О Р Е Ш Е Н И И НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА МЕТОДОМ К О Н Е Ч Н Ы Х РАЗНОСТЕЙ

В статье рассматривается решение краевой задачи (1.1). Эта задача аппроксимируется разностной краевой задачей (1.2), представляющей собой нелинейную систему уравнений. Для решения последней предлага­

ется обобщенный метод Ньютона (3.6). Практически проверяемые условия сходимости этого метода даются теоремой 3. При исследовании сходимости метода Ньютона применяются априорные оценки для решения линейной разностной краевой задачи, данные в теореме 1.

Отметим, что все числовые величины в статье считаются действитель­

ными.

§ 1. Аппроксимация краевой задачи дифференциального уравнения разностной краевой задачей

При приближенном решении краевой задачи

разобьем отрезок [а, (3] на п равных частей точками Xi = а + ih (i = 0, 1,. . . , п; h = (Р — а) / п > 0 ) . Приближения щ к значениям Уг = у(х{) решения задачи (1.1) найдем как решения системы алгебраиче­

ских уравнений (см., например, [*])

Э. Э. ТАММЕ ( Тарту)

[k{x)y'Y = f(x, у, у') (а < х < |3),

(1.1)

к(а)у'{а) = Ф±[г/(а)], - А ( р ) / ( Р ) = " Ф 2 Ы Р ) ]

(auz)x,i = f(xi>ui>uZ.i) (*'= 1,2, r i ­ ft

ai^ux , о = 9 i Ы + у / 0*0, и⁰, и*, о), h

(1.2)

где

2h

О решении нелинейной краевой задачи

Отметим, что часто встречаются краевые задачи типа (1.1), в которых при х = а имеет место краевое условие у (а) = 0 или при х = Р — условие г/(Р) = 0. В таких случаях в разностной краевой задаче соответствующие краевые условия надо заменить условиями щ = 0 или ип = 0.

Предположим, что на отрезке [а, Р] коэффициент к (х) положителен и имеет непрерывные производные до третьего порядка. Еще предположим, что искомое решение у(х) задачи (1.1). существует и непрерывно диффе­

ренцируемо на отрезке [а, Р] и что в окрестности этого решения функция

1{х,У,у') имеет непрерывные частные производные до второго порядка.

Тогда это решение у(х) имеет на отрезке [а, р] непрерывные производные до четвертого порядка и его значения у% = у(х%) удовлетворяют соотноше­

ниям (при достаточно малом ft)

= Уи

у

;д + °(

)

ai2/x, о = Ф 1 Ы + у / ( ^ o , 2/o, У*,о) + О ( / г²) , (1.3)

ft

— апУх, n = Фз (Уп) + у / (*n, Уп, ^{У*, п) +} 0 (ft²).

В справедливости последнего утверждения можно убедиться, используя разложения в ряд по ft [*]. Отметим, что теорема 3 (в пределе ft-> 0) дает возможность установить существование решения у(х) задачи (1.1) и оп­

ределить область его расположения.

Вычитая из уравнений (1.3) соответствующие уравнения (1.2), полу­

чим разностные уравнения для ошибок:

2 г = Уi — Щ (I = 0, 1, . . . , и ) ,

хде у г — у ( х г ) — значения решения задачи (1.1) SL щ — их приближения, найденные путем решения задачи (1.2). Нетрудно этим разностным урав­

нениям придать вид

(az-)x, i = fy' (хи T|J, l%) zt + fy>' (xu , It') zi. + О (ft2) (г = 1, 2, . . . , n — 1)

^ , 0 = <Pi'(£b) 2 0 + y /y' ( « o , По, So) z0 + y / / ( s 0, Ч<У\£О') zx,o+ 0 ( f ta) , ( 1 . 4 )

ft " ft

— n - ф2' ( gn) Zn + у /у' (*n, Лп, £n) * n + у / i / ' ' ( l n r V f £ n ' ) n + О ( f t2) ,

где т]^г-, п / *= (г/^г-, и») (г = 0; 1, . . . , п),Ъи & е (у'(х^г), u£^ti) (ь = 1, 2, . . . . . . , та — 1), £о, £</ е Е (у'(я<>), и*, о), £п, £п' ^ ( у ' ( * п ) , ^x,n), -|о ^ (г/о, ко) и £гг ^ (г/п, й п ) (предполагается существование непрерывных производных -ф/^о) и t$z(Zn), соответственно, в промежутках z® е (г/⁰, Но) и Zr? е

(z/n, ггп)). Отметим, что краевым условиям г/(а) = 0 и г/(р) = 0 задачи (1.1) соответствуют краевые условия Zo — 0 й 27 г — 0 задачи (1.4).

В следующем параграфе докажем теорему 1, дающую априорные оцен­

ки для решения линейной разностной краевой задачи типа (1.4). Если за­

дача (1.4) удовлетворяет условиям этой теоремы, то ошибки z% — у% — щ

= 0 ( 7, 2 ) = 0, 1 та).

9 9 0 ' Э. Э. Тамме

§ 2. Априорные оценки для решения линейной разностной краевой задачи Рассмотрим линейную разностную краевую задачу

— (az-)^x, i + btzo i + dtZi = и^г (i= 1,2, . . . ,w — 1),.

— — yb

)^,

-|-do^o== v

,

«n

+ у b

)

+

d

)

и введем обозначения

_ v

v

/г² /г

4 * ^{= a}* + X^й* ' * ^ ^a * ⁺ T ^

~~

~^ v

* •

^'

1 1

A = ^ — у ^b

l i^di — tfi

2

<?2 = Ц т + т - , Д0 = - 2 m i n (/),,.()) A ,

г = 1 ^Л* Д 1 г = 1

Имеет место

Т е о р е м а 1. Пусть

А ^{ ^ к > 0 ( г = 1 , 2 , . . . , и - 1 ) , шах ( Д^ь Д²) > 0 и < ? й < 4 , где

Q = Qo, R = i?0, Ai ^ — > 0, Д1 1 2 ^ — > 0;

(? = 2Q^U R = # ⁰ + — - Д1 1 ^{1 э} • если Д² > 0, Д1 < — ; (2.2) (? = 2(?², i? = Л⁰ + — — Д1 1 ², если Д1 > 0, Д² < . .Тогда задача (2.1) имеет единственное решение Zi и верны априорные оценки

п

• -^{| Z f| <} 4 - O f l ^ ' (* = 0 , 1 , . . . , л ) , . (2.3)

^ ^{j = o}

S l ^ l ' A ^ ^ ^ ^ - S И * ) ' . (2.4)

З а м е ч а н и е . Теорема 1 остается в силе, если в задаче (2.1) первое к р а е в о е условие з а м е н и т ь условием z⁰ = 0 и считать z/⁰ = 1 / Ai = 0, Ai > l / ^ и л и если второе краевое условие з а м е н и т ь условием Z „ = 0 H считать yn = 1 / А2 = 0 А2 >

> 1 / < ? 2 .

О решении нелинейной краевой задачи 991

При доказательстве теоремы используем так называемый метод энер­

гетических неравенств, применяемый при п о л у ч е н и и априорных оценок для решения краевых задач, например, в [²] . В [³] приведены аналогичные априорные оценки для задачи (2.1) при bi = 0 и di ^ 0 (тогда i?o = 0 ) .

Ниже будем пользоваться обозначениями

7 1 - 1 П

(ц, ю) = 2 UiWih, [и, w] = 2 ЩЩК

2 = 1 2=0

п n—i (U,W]=

2

fa,

2

2 = 1 2=0

и равенством [³]

(м^х, ^ ) = — (w, г^] — Uiw⁰ + и^пц^п. (2.5) Образуем скалярное произведение

(v, z) = — ((az-)^x, г) + (62^ , z) + (dz, 2), (2.6) где Zi — решение задачи (2.1).

Пользуясь формулой (2.5) и краевыми условиями задачи (2.1), сделаем преобразование

—{(az-)^xi z) = (az-, z⁵] + a ^ , ⁰ z⁰ — fln^f n * n =*= (<*, ( ^ - )2] +

+ у M * , о *0 + (Si + у do) V — ViZo + . | " | М ^ ⁿ* n + (*2 + I d) V — V^{n 2}Zⁿ-

При помощи соотношений

1 h 1 /г

г Z* = у (^{z 2})x, i + У г)²' * ^Z« ^ У (²* ) * > ' ^— У (^Z* >

и равенства (2.5) преобразуем еще второй член в правой части (2.6):

1 1 /г² 1

(bzo, ^Z)=^Y(b, z-^xz) + ^T(6, z^xz) = ^T( 6 - , ( ^ ] - ^y (6^xo, z²) +

1 1 1 1 + -^b^Q ( z^{0 2} — 2 z⁰Z i ) — M o² — - j - fcⁿ ( z^{n 2} — 2zⁿzⁿ_x) + ftn-l^n² •

Подставляя эти выражения в формулу (2.6), получаем

(v,z) = (a + £ + i - 6 , . , * * ) + [ бг

+, А d ⁰ _ *.

[

б² + у + ( Ь^п + bⁿ-i)Un — Уо^оА~ vⁿzⁿh или, учитывая введение в начале параграфа, обозначения

[и, z] = ' ( А , (z-)2] + (D, z²) + A i V + Лг^п²- Введем еще в последнее равенство параметры Z)⁰ и Dⁿ:

[v,z] = ( A , (z-f] + (А^х - hD⁰) z^{Q 2} + (Д^а - hDⁿ) Zr? + [Я, *²] • Предположим при этом, что D^Q и Z)ⁿ выбраны так, чтобы

Д , ' = Д⁴ - А/?о > 0 и Д²* = Д² - ЛД^П > О, и пусть

T(z) = (A,(z-y] + A¹*z^Q^ + Aⁱ'zⁿ\

"992 Э. Э. Тамме

Тогда найденное равенство примет вид

lv,z] = T{z) + [D,z*]. (2.7) Оценим теперь max | zi | при помощи T(z). Из соотношений

г п Z\ = z⁰+ ^ z - . h , z^t = zⁿ—

2

следует

• 2 К К Ы ' + | г „ | + .|A (i = 0,l,...fn).

Применяя неравенство Коши следующим образом:

У Ai У А^{2 j=1} У 4 *

\ \ П h VI п

и полагая^ .

п

лолучаем искомую оценку

^ А 5 At* ' Д2*

П р и Di < О

Следовательно,

7 » (1 = 0 , 1 , . . . . , 1 г ) . (2.8)

D . ^{Z i} 2 ^ ^D Q ^T { z ) .

4

[А *²] = 2 #<*<²A ^-R*^jT(z),

г = 0

где

п

Д* = - 2 m i n ( A , 0 ) A .

2=0

Таким образом, из (2.7) получаем оценку

MS* ( l — i ^ ) r ( z ) . (2.9)

Предположим, что < 4. Тогда

я из (2.8) следует оценка

И I < 7 ^ 7 Г 2 I ^ Iй (* = 0 , 1 , . ; . , п ) . (2.10)

О решении нелинейной краевой задачи .993

В силу предположения теоремы Ai ^ к > 0 получаем

21»«.«I

^ < ^ 2 -

* 1i'r ^ < ^ т (») <

1^ ( 21 щ 1 А

т. е.

п—1

г=0 i= 0

(2.11) В полученных оценках величины

=

зависят от параметров Z)⁰ и Z)ⁿ. Эти параметры надо выбрать так, чтобы были выполнены предположения

A^t* = A^t _ hD⁰ > О, '-A²* = А² - hDⁿ > О, Q*R* < 4, сделанные в ходе доказательства.

Оценки (2.3) и (2.4) получим из (2.10) и (2.11), если определим D⁰ и Dⁿ следующим образом.

Если Д1 ^ 1 / (>i > 0 и Д 2 ^ 1 / (?2 > 0, то возьмем А> = Dⁿ = 0 и получим

Q* ⁼ Q ^{0 =} Q , R*=R⁰ = R.

Если Д² > 0 и Ai < 1 / Qi, то возьмем Ш⁰ = Д i — 1 / Qu hDⁿ = О и получим Q* = 2Q\ = Q, R* = R⁰ + 17<?i — Ai = Д. Если A^t > 0 и А2 < 1 / <?2, то возьмем hD⁰ = 0, hDⁿ = Д² — 1 / (?² и получим Q* = 2Q² =

= ф я * = i?⁰ -f 1 / @² — А ² = R. Если же Ai < 0 и Д² < 0, то нельзя выбрать О⁰жО^п так, чтобы Ai* > О, Д²* > 0 и-Q*R* < 4.

Отметим, что такие Z>⁰ и Dⁿ дают минимальное положительное значение коэффициенту Q* / (4 — (>*/Г) в (2.10). Отметим еще, что при Д⁴> 0 и Д2 Z> 0 можно брать D^Q = Dⁿ = 0, что дает Q* — Qo и i?* = i?o-

Теорема 1 доказана. Однозначная разрешимость системы (2.1) следует из того, что, на основании доказанного, все ее решения должны удовлетво­

рять оценке (2.3).

Выведем еще оценку для max | z^x, г: | • Из соотношений

i

г-1

Wi = w^± + 2 ">^{х >} j А, (2.12)

j = i

Wi = wⁿ — 2 и>х, (2.13)

следует

n - l

2 | ^ i | ^ | ^ i | + | ^ n | + 2 |и>*. ( г = l , 2 , . . . , n ) .

994 Э. Э. Тамме

Возьмем в этом неравенстве w\ = а\ъх, % и воспользуемся соотношениями (2.1), (2.3) и (2.4):

+ | 6 i + y d o

+

71

4

J^'+^.SKI*

fli $ 2 xo > 0 (г = 1, 2 , . . . , n),

|Ь,-| K| (/ = 0 , 1 , . . . , ? * ) , то получим оценку

n -

2l^l

(* =

J=0

где

N 2x0 I 4 - <?Д ' { A f ( p - a ) H - | 6 i | + | 6 2 | i + l | . (2.15) Отметим, что из (2.13) можно вполне аналогично получить оценку (2.14) с постоянной

<?Д

<?<Р-> • <? . ^ ( „ - „ ж ь ц - н } ,

12.16) остающуюся в силе и тогда, когда в задаче (2.1) первое краевое условие будет заменено условием z0 = 0. Если же вместо формулы (2.13) исхо­

дить из (2.12), то получится аналогичная оценка, в которой в (2.16) вместо

!'6г| стоит | 6 i | и которая верна также в случае, когда в (2.1) вместо второ­

го краевого условия имеем условие zn = 0. Конечно, при z0 = 0 надо счи­

тать v0 = 1 / Ai = 0, Ai > 1 / Qh а при zn = 0 — считать vn — 1 / А 2 = О, А²> l/Q².

§ 3. Решение разностной краевой задачи

Для решения нелинейной системы (1.2) можно пользоваться методом простой итерации (см., например, [4] ) , но более быстро сходится метод Ньютона. В случае, когда в задаче (1.1) функция f(x, г/, у') не зависит от у' и краевые условия имеют вид у (a) = vi, у($) . = условия сходи­

мости метода Ньютона для решения разностной краевой задачи (1.2) даны в [⁵] . Сходимость некоторых вариантов метода Ньютона для решения крае­

вых задач дифференциальных уравнений исследована в [⁶~⁹] . Ниже вы­

водим условия сходимости обобщенного метода Ньютона для решения раз­

ностной краевой задачи (1.2). При этом пользуемся следующей общей теоремой сходимости этого метода.

Пусть дано уравнение

P(V)=0, (3.1) где нелинейный оператор Р действует из одного пространства Банаха

О решении нелинейной краевой задачи 995

в другое. Пусть известно начальное приближение Уо искомого решения F*

этого уравнения. Новые приближения F i , \ \ i - • этого решения вычислим при помощи формулы

Fm + 1 = vm - TJmP(Vm) (т = О,1, ..>.), (3.2)

где Г,- = [P'(Vj) ]~¹ и О¹ ^ / т < т, /^т ^ /^{m +}i . Таким образом, при /^т = т получаем обычный метод Ньютона, а при f^m4 = 0 — модифицированный метод Ньютона. Ириеет место следующая (см. |6'1 0] , ср. 1 2] )

Т е о р е м а 2. Пусть оператор Р имеет непрерывные производные до второго порядка в области \\V—Foil ^ s*, существует Го = [ Pr( F o ) ]- 1

и qoq2 ^ V2, причем

1 | Г о Р ( 7⁰) 1 1 < д о , ' . ,

\\ToP"(V)\\^q2: при У01 К Л где s* — наименьший положительный корень уравнения

q(s) = g0 — s + l/2q2S2 = О, т. е.

s* = — (1 — У (1 — 2д⁰дг)) < 2д⁰. (3.3)

qi

Тогда уравнение (3.1) имеет в области \\V — F o l i o s * единственное решение V* и процесс (3.2) сходится со скоростью

\W-Vm\\ ^s* - s m (771 = 0, 1 , . . . ) , где s⁰ = 0 и

'™='"-^ = >~+

°~?V!

*

(i»-0,i,...).

Выберем начальное приближение Uo = (щ0, и±°,..,, ип°) для искомого решения системы (1.2). Затем перейдем в этой системе от неизвестных щ к новым неизвестным Ui, связанным с щ следующим образом:

v^t = — (<ш-)^х, ⁱ + b^tu^ . + (i = 1, 2, . . /, л — 1),

too =— (&i ~ у ^ их, о + ^ ! + у J0 j w0, (3.5)

у ^nj ^ ,ⁿ+ ^ 2 + y dⁿ^Uⁿ, hvn =

где

а , = Л ^ | — y j , bi = / i , ' " 1 ° , dⁱ = f^y'(x^u u^t\w\), di - ф / (м⁰°), 62 = ф²' (и^по), г/;⁰° = 4 , о, wⁿ° = и |^{в я},

= (г = 1, 2 , . / . , и - 1 ) .

Формулы (3.5) запишем более кратко в виде V = BU, где U =

= (щ, щ, ..., ип) и V •= (v0, vt, . . . , vn) — векторы, а В — матрица.

996 Э. Э. Тамме

Предположим, что коэффициенты формулы (3.5) удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда существует обратная матрица G = Б- 1 и U = GV.

Теперь и запишем систему (1.2) в виду уравнения (3.1), где P(V) = (Po(V), Pl(V),...,Pn(V)), Pi{V)=~(au-)x,-i + f{xiJuuwi) (i = 1, 2, . . ., n— 1),

h

hpo (V) = — axuXt о + <Pi (uQ) + у / (*o, Щ, w0), h

hPn(v) = anu-f n + ф2 (un). + у/ ( *n, wn, wn),

a £/" = GF, w^t = u^i при г = 1, 2, . . ., га— 1, w⁰ = и^{Х } 0} и ю^п = и -ⁿ. . Если функции / (ж, г/, г/'), ф±(г/) и фг(г/) непрерывно дифференцируемы,.

то

P'(V)AV=.(p0'(V)AV, pi(V)AV, pn'(V)AV) выразится в виде (см., например, [1 1])

p'i(V)AV = — (aAu^x)^X4i + f^y'{x^u u^h т^г)Ащ +

+ f\y(xuU^uwⁱ)Aulⁱ (г = 1, 2,-. . .., тг — 1 ) , йр⁰' (V) AV = — aiAw^x, ⁰ + ф / (и⁰) Ац> +

h h

+ у fy (*0, И0, М 70) А^ О + у / ' г / ' ( Я о , " И о , И 70) A^X } 0,

лР п ' (У) AF - «пАи- ^п + фа' (ия) А ип+

/г /г

+ у V (*n> ип, wn) Аип + — / V (жя, ия, м?я) A w -п, где АС/ = (Ди0,

A»i, . . .,

Обозначим

AVm=Vm+1~Vm = -YJmP\Vm), AUm = GAVm, Um = (u0m, и™, . . ., unm) — GVm,

rn . л c\ A m TII> m lib

. При I = 1, 2, . . ., 72— 1, W0 - WX j 0 И Wn = Тогда формулу (3.2) можно записать в виде

P'(VJm)AVm = -P(Vm), • Fm+i = Fm + AVm

или, более подробно,

- (aAu™)^x,, + К- (х^и ul^m, wl^m) Au™^ti + /„' w>) Auf =

= K k i - / f e K b W ™ ) (»' = 1, 2 , . . ., n — 1 ) ,

( m = 0 , 1 , . . . )

АиГ⁰

ft • •

X

(3.6>

AiC=

= щ^щ + Д «^{г т о} (i = 0, 1, . . ., п; m 0, 1, . . . ) •

О решении нелинейной краевой задачи 99Т

Таким образом, мы получим для решения системы (1.2) итерационный процесс, при котором, исходя из начального приближения U⁰ искомого ре­

шения, новые приближения

U^m+i = U^m + AU^m (772=0, 1, . . . )

получаются вычислением AU^m = (Ащ^т, Ащ^т, ...., Аи^пт) как решения линейной системы (3.6). При этом 0 ^ /^т ^ т, j ^m ^ ]^m+i- Наиболее быст­

рую сходимость дает метод Ньютона, т. е. случай j ^m = т, но тогда на каждом шаге надо вычислять новые коэффициенты fy'fa, щ^т, Wi^m)^r. fy (xi, щ^т, ш Л ) , ф 1^/( и о^{7 й}) и (p²'(u^nm). Простейшие правила для вычислений получаются при j ^m =- 0, так как тогда матрица системы (3.6) не зависит от ттг, но такой процесс часто сходится довольно медленно. В практике мож­

но успешно применять и промежуточные процессы, при которых новые матрицы системы (3.6) вычисляются через несколько шагов.

Ясно, что при практическом решении системы (1.2) надо пользоваться только формулами (3.6). Для вывода этих формул замена неизвестных

(3.5) не нужна (см., например, [⁵' ⁹] ) . Но нами выбран именно такой под­

ход с целью получить по возможности более точные условия сходимости для итерационного процесса (3.6) из теоремы 2.

Рассмотрим оператор Р, действующий из пространства векторов V в это же пространство, причем норма в этом пространстве пусть определяется:

равенством

п

ИП1 =

2

и найдем оценки q⁰ и q², необходимые для применения теоремы 2.

Нетрудно видеть, что P'(Vo)AV = -AV, т. е. P'(Vo) = Е, где Е — еди­

ничная матрица. Следовательно, существует Г⁰ = [P'(V⁰)]^-1 = Е и q&

надо найти так, чтобы

п—1

IТ⁰Р (V⁰) || = IР (V⁰) I = S I Ю * . I - / (WW) I h + • ' (3.7)

г=1

h

+ I fliWx, о — ф1 (u>o°i) — ^Y f ^uo°y ^{W0°) | +}

+

о h

anUx, п + ф2 (Un°) + Y f (Хт U n , wn°) <q«.

Предположим, что функции f(x, ?/, г/'), ф⁴(г/) и (р²(у) дважды непре­

рывно дифференцируемы в рассматриваемой области. Тогда

P"(V)AViAV² = (po"(V)AViAV², pr." (V)AViAV², pⁿ"(V)AV^{AV²), где

р" (V) АУ^гАУ² = fly (х^и и^и w^{) Аи+Ащ² + f^WJ> (х^и и^и w^t) (AufAivf + +• Aw^Auf²) + fl^/y, (x^h щ, w^t) Aw?Aw? [i = 1, 2 , . . ., n — 1),

h

hp⁰" (V) AV¹AV² = ФГ (u⁰) Au<?Au<? + у [fyy (я⁰, Щ, w⁰) Ащ¹Ащ² + + f^vv> (x⁰, fc⁰, Wo) {Au?Aw^{? + Awt^Au²^ + Г^у>^у> (х^ъ щ, w⁰) Aw⁰¹Aw⁰²];

998, Э. Э. Тамме

h

hpⁿ" (V) A Vi Д V² = ф 2^{х /}( и^п) A ^ n¹ Aw^{n 2} + - ^ L V ( sⁿ, wⁿ, wⁿ)Auⁿi Д ц^п* + + f^yy(xⁿ, uⁿ, wⁿ) ( Д ^ п¹ А w^{n 2} + А н;

• + / y V ( ^ T i , W n , Wn) А ^ п1 Д И 7П 2] .

Используя оценки (2.3) и (2.4),'

A ® ^{Q R} IIAFftH ( i . = 0 , l , . . . , » ; А = 1,2),

S l A u ^ l % ^ ^ ( - ^ r ^ l | A F f t l 1 ) 2 (A = 1 , 2 ) , 2=0 ^

и обозначение

_ v Г 1 при i = 1, 2 , . . . , n — 1,

V / 2 при i = 0, ra, получаем, что

l i r o P ^ ^ A F i A ^ I I =2 ^ / Ч ^ А ^ А У з ^ ^ д . Ц А ^ Ц ||AF²||,

2=1

как только

n

<? 2 «I hv" (

u Щ Щ) <Pi" (ио) I + <? I <!»"(««) i + (3.3)

(4-0Д)

+ —2еН/Гь'(*ь^Ч^0 |, • , . „ x , ^ « 2 , ²^ ) H max | / ^ г Л ^ , »?, и?²-) |

\ X . f l ч / X

2=0

т. е. постоянная #2, удовлетворяющая последнему неравенству, является оценкой ||ГоР"(У)|| ^ ?2.

При использовании теоремы 2 неравенство (3.8) должно выполняться для всех У из области || V — Уо11 ^ ^s*. На основании теоремы 1 координаты соответствующих векторов U = GV удовлетворяют неравенствам

I»'—и*

1^

0

I

I

^ — f , ^ ^— ^ .

: 1 *'^г '^{г 1} ^ х I 4 — ОД /

г=о ^ Из, последнего неравенства следует, что

п О / 25* \²

3«1"-"«

1

*«:т •

2=0 У

Таким образом, из теорем 1 и 2 получаем следующий результат.

Хз.ю>

О решении нелинейной краевой задачи 999

Т е о р е м а 3. Пусть:

1) известно такое начальное приближение U,⁰ = ггД тл^п0) решения системы (1.2), что величины bi = ]у'{х\, и?, itfi0), —

— fy{^xi, ufl, ^wi°), 'Si = <pi'(wd°) w S2 =.<p2'(^n°) удовлетворяют условиям теоремы 1;

2) функции <pi(#o) ф 2 ( ^ п ) имеют непрерывные производные до вто­

рого порядка для щ и ип, удовлетворяющих условию (3.9), и функция f(Xi, щ, Wi) имеет непрерывные частные производные по щ и Wi до вто­

рого порядка для Xi е [а, >$] и для щ и w^, удовлетворяющих условиям (3.9) и (3.10), где (?, R и s* определены формулами (2.2) и (3.3);

3) д⁰? 2 ^ V2,

где до определено неравенством (3.7), а q² —неравенством (3.8) now всея и wii удовлетворяющих условиям (3.9) и (3.10).

Тогда система (1.2) имеет решение С/* = (и⁰*, • • •» ю^п*), к которо­

му приближения иш — (щт, щт, . . . , &n m) (яг = 1, 2, . . . ) , вычисляемые при помощи форму л (3.6), приближаются со скоростью

К - В *

| < - £ - ^ д ( * * - * т ) ( 1 = 0 , 1 , . . . , » ) ,

Ш^х — U^x г\г h ^ ——• ,

2=0 . Х

где so = 0 i£ sm (m = 1, 2 , . . . ) вычисляются формулой (3.4).

З а м е ч а н и я . 1. Теорема 3 п р и м е н и м а т а к ж е и тогда, когда в задаче (1.2) вместо первого краевого у с л о в и я и м е е м условие щ = О (или вместо второго к р а е ­ вого у с л о в и я — условие ип = 0).- В таком случае надо только вместо соответствую­

щ е г о у с л о в и я в системе (3.6) в з я т ь Au^0m = и^0т = 0 (т = 0, 1,...) (или Д и^{п т} =

= и^{п т} = 0 ) , считать ф / ^ в о ) = 0, 1 / Д⁴ = 0, A i > 1 /<?i (или < р²" ( в п ) = 0, 1 / А² =

= 0, А² > 1 /' Q2) и в ф о р м у л и р о в к е теоремы 3 о п у с т и т ь условия, с в я з а н н ы е с ф у н к ­ ц и е й ф ! (ио) ( И Л И ф²( в^п) ) . . .

2. В некоторых с л у ч а я х п р и проверке п р е д п о л о ж е н и й теоремы 3 п о л ь з о в а т ь с я условием (3.10) неудобно. Тогда вместо этого у с л о в и я м о ж н о п р и м е н я т ь условие

\wi— w^t°\ z^Ns* (i = 0, 1 , . . . , Л ) ,

в ы т е к а ю щ е е и з неравенства (2.14), причем N определена формулой (2.15). Из (2.14) следует т а к ж е р а в н о м е р н а я оценка

\ux,i — ^u™iI < ^N(^s* — *т) (i = 0, 1, . . . , rc — 1; m = 0, 1 , . . . ) .

Отметим, что п р и определении д2 и з (3.8) можно пользоваться очевидными нера­

венствами

п

i2

г = 0

(\y*\ui\fv'v'{^xu ^ O l²^ ) < У ( Р - а ) max |/»/(ж^{Г |} w^f|

' г = 0

5 Ж В М и МФ, Ki 5

1000 Э. Э. Тамме

3. Метод Ньютона м о ж н о п р и м е н я т ь д л я р е ш е н и я к р а е в о й з а д а ч и (1.1) и п р я ­ мо (см. например, [5'8\9] ) . Соответствующий алгоритм получаем, если в ф о р м у л а х

(3.6) перейдем к пределу Л - > 0 . Из теоремы 3 следуют п р а к т и ч е с к и п р о в е р я е м ы е у с л о в и я сходимости т а к ж е д л я этого итерационного процесса.

Поступила в редакцию 25.02.1967

Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а

1. А. А. С а м а р с к и й . Однородные разностные схемы д л я н е л и н е й н ы х у р а в н е н и й параболического тнпа. Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1962, 2, № 1, 25—56.

2. В. П. И л ь и н . Оценка погрешности в методе Р и т п а д л я обыкновенных диффе­

р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . Т р . Матем. ин-та АН СССР, 1959, 53, 43—63.

3. А. А. С а м а р с к и й . Априорные оценки д л я р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й . Ж . в ы ч и с л . матем. и матем. физ., 1961, 1, № 6, 671—1000.

4. И. С. Б е р е з и н , Н. П. Ж и д к о в . Методы вычислений. Т. П. М., Ф и з м а т г и з , 1962.

5. P. Н е п г i с i. Discrete v a r i a b l e m e t h o d s in ordinari differential equations. New York — London, J o h n W i l e y a n d Sons, Inc., 1962.

6. Э. Т а м м е , P. Ю р г е н с о н . О п р и б л и ж е н н о м р е ш е н и и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в ­ н е н и й . Уч. зап. Тартуск. ун-та, 1961, 102, 301—316.

7. В. Е. Ш а м а н с к и й. Методы численного р е ш е н и я к р а е в ы х задач на ЭЦВМ. Т. П . Ки1в, Н а у к о в а думка, 1966.

8. Н. С. Б а х в а л о в. О р е ш е н и и к р а е в ы х задач д л я систем обыкновенных д и ф ф е ­ р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й . В сб. «Вычисл. методы и программирование». Вып. 5.

М., Изд-во МГУ, 1966, 9—16.

9. Б . М. Б у д а к, Н. Л . Г о л ь м а н . О п р и м е н е н и и метода Ньютона к р е ш е н и ю н е ­ л и н е й н ы х к р а е в ы х задач. В сб. «Вычисл. методы и программирование». В ы п . 6.

М., Изд-во МГУ, 1967, 17—38.

10. Э. Т а м м е . О п р и н ц и п е м а ж о р а н т д л я и т е р а ц и о н н ы х методов. Уч. зап. Т а р т у с к . ун-та, 1959, 73, 84—118.

И . Л . В. К а н т о р о в и ч , Г. П. А к и л о в . Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з в нормирован­

н ы х пространствах. М., Физматгиз, 1959.

12. В. Е. Ш а м а н с к и й . Об одной м о д и ф и к а ц и и метода Ньютона. У к р а и н с к и й ма­

тем. ж., 1967, 19, № 1, 133—138.