Х. Б. Аллахвердиев, Ю. Д. Плетнер, Фундаментальное решение двумерно- го оператора гравитационно-гироскопических волн и некоторые начально- краевые задачи, Докл. РАН, 1993, том 330, номер 5, 562–564

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Х. Б. Аллахвердиев, Ю. Д. Плетнер, Фундаментальное решение двумерно- го оператора гравитационно-гироскопических волн и некоторые начально- краевые задачи, Докл. РАН, 1993, том 330, номер 5, 562–564

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

2 ноября 2022 г., 23:06:01

(2)

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 1993, том 330, № 5

1°. З а д а ч и д ина мик и с т р а т и ф и ц и р о в а н н ы х ж и д к о с т е й п р е д с т а в л я ю т н е т о л ь к о практичес

кий, н о и т е о р е т и ч е с к и й и н т е р е с , так как приво

дят к н е к л а с с и ч е с к и м д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м урав

нениям с о с т а в н о г о типа. В [1] установлен ф а к т существования м а т е м а т и ч е с к о й аналогии м е ж д у к л а с с о м уравнений с о с т а в н о г о типа, о б о б щ а ю  щих уравнения динамики с т р а т и ф и ц и р о в а н н ы х ж и д к о с т е й , и классическими эллиптическими уравнениями в т о р о г о порядка. Э т а аналогия п о з  волила п о л у ч и т ь п р о с т ы е явные представления ф у н д а м е н т а л ь н ы х р е ш е н и й р а с с м а т р и в а е м ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х о п е р а т о р о в с п о м о щ ь ю х о  р о ш о и з у ч е н н ы х ф у н д а м е н т а л ь н ы х р е ш е н и й "со

о т в е т с т в у ю щ и х " э л л и п т и ч е с к и х о п е р а т о р о в . П р и э т о м свойства п о с т р о е н н ы х ф у н д а м е н т а л ь н ы х р е ш е н и й о к а з а л и с ь в о м н о г о м аналогичными свойствам ф у н д а м е н т а л ь н ы х р е ш е н и й " с о о т в е т  с т в у ю щ и х " э л л и п т и ч е с к и х о п е р а т о р о в .

Н а с т о я щ а я р а б о т а п о с в я щ е н а и з у ч е н и ю на

ч а л ь н о - к р а е в ы х задач для д в у м е р н о г о уравнения г р а в и т а ц и о н н о - г и р о с к о п и ч е с к и х волн, описыва

ю щ е г о д в у м е р н ы е н е с т а ц и о н а р н ы е внутренние волны в с т р а т и ф и ц и р о в а н н о й в р а щ а ю щ е й с я ж и д к о с т и . Н а н а ш взгляд, т а к о е и с с л е д о в а н и е является х о р о ш и м п р и м е р о м п р и л о ж е н и я полу

ч е н н ы х в [1] о б щ и х р е з у л ь т а т о в к к о н к р е т н о й за

даче, п р е д с т а в л я ю щ е й з н а ч и т е л ь н ы й и н т е р е с с ф и з и ч е с к о й т о ч к и зрения.

2°. Д в у м е р н о е у р а в н е н и е гравитационно-ги

р о с к о п и ч е с к и х волн в б е з р а з м е р н ы х п е р е м е н н ы х и м е е т вид [2]

£и = D] (A²U-U)^/+D^2XU +

+ Z²(D2Xiu-u) = 0, (1)

где Д² - о п е р а т о р Лапласа п о п е р е м е н н ы м х^и х², величина е е с т ь о т н о ш е н и е ч а с т о т ы вращения ж и д к о с т и к ч а с т о т е В я й с я л я - Б р е н т а [ 2 ] .

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

И з р е з у л ь т а т о в [1] в ы т е к а е т , ч т о ф у н к ц и я

О + ï' o o

% (x, r) = — V f /'К

⁰

( \х\ (р

²

+ b\x)f

²

х

471 ' " а - , - (2)

-, - 1 / 2 , - 1 / 2 , , - 1 / 2

х ( р + 1 ) (Р+П d

^P,a>0,

где к | = {х\ + х

²²

)

^ш

, Ь(х) = (г

²

х\ + х

²²

)

^ш

\х\-\

K⁰(z) - м о д и ф и ц и р о в а н н а я ф у н к ц и я Б е с с е л я п о  рядка н о л ь , является ф у н д а м е н т а л ь н ы м р е ш е н и  е м о п е р а т о р а £ß (1). Функция (2) при \х\ Ф 0, t > О является а н а л и т и ч е с к о й ф у н к ц и е й п е р е м е н н ы х х, t и у д о в л е т в о р я е т начальным условиям

"ё(дг,0)

^{= 0,}

%,(х,0) = ~К

⁰

(\х\).

И с п о л ь з у я р е з у л ь т а т ы р а б о т ы [ 3 , 4 ] , где изуча

лись о п е р а т о р н ы е аналоги цилиндрических ф у н к  ций, м о ж н о п о к а з а т ь , ч т о

%(x,t) = %

⁰

(x,t) + %

^l

(x,t),

где %⁰(х, 0 - п о с т р о е н н о е в [2] ф у н д а м е н т а л ь н о е р е ш е н и е о п е р а т о р а г р а в и т а ц и о н н о - г и р о с к о п и  ческих волн п р и б л и ж е н и я Б у с с и н е с к а

£

⁰

и = D

²

A

²

u + D

^2x

u + e

²

D

^2X2

u, (3)

а для %i(x, t) справедливы о ц е н к и

\D

^k

,lf

^x

p

^4x

%

0 | < А(г)1пЫ

\х\

²

'"-\

(4)

к = 0, 1 , 2 ; q,p = 0, [,2;p + q<2;0<\x\<R,R>0;

Ait) - непрерывная н е о т р и ц а т е л ь н а я функция.

И з у ч е н и е п о в е д е н и я ф у н к ц и и %(х, t) при

|х| —» + о о проводится так ж е , как с о о т в е т с т в у ю  щ е е исследование ф у н д а м е н т а л ь н о г о р е ш е н и я д в у м е р н о г о уравнения н е с т а ц и о н а р н ы х и о н н о - звуковых волн [4]. П р и |х| > ô > 0 справедливы о ц е н к и

\D

^k

lf

^x

p

^4x

%{x, О; < С(Ъ)е

^а

'к

²

{

| л У 2 ) ,

к =

0, 1, 2;

р, q =

0, 1, 2;

р + q <

2; С ( 8 ) ,

с

⁰

>

0;

K²(z) - м о д и ф и ц и р о в а н н а я ф у н к ц и я Б е с с е л я в т о  р о г о порядка.

562

^

⁼ ⁼ ⁼ ⁼ ⁼ ^z ⁼ ⁼

^ ^

⁼

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ _

Ф И З И К А

УДК 517.958532S

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО ОПЕРАТОРА ГРАВИТАЦИОННО-ГИРОСКОПИЧЕСКИХ ВОЛН

И НЕКОТОРЫЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ

© 1993 г. X. Б. Аллахвердиев, Ю. Д. Плетнер Представлено академиком А.Н. Тихоновым 17.12.92 г.

Поступило 17.12.92 г.

(3)

ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО О П Е Р А Т О Р А 563 где %{х, 0 о п р е д е л е н а (2), / - единичный о п е р а т о р ,

а с и м в о л о м 5(e)* о б о з н а ч е н о п е р а т о р , д е й с т в у ю  щий п о п е р е м е н н о й / с о г л а с н о ф о р м у л е

**5(e) ф(0 = 5(е/)ф(0- (8)**

В (8) и д а л е е знак * о б о з н а ч а е т вольтеррову

свертку п о п е р е м е н н о й /, функция 5(е0 о п р е д е л е  на ф о р м у л о й

E l

Так ж е , как в [2, 4], введем классы функций М™'^к, М*^а . Пусть функция w(x, t) о п р е д е л е н а в о б ласти

R

² х

[0,

~ ) и

и(х,

r) G

C

^w

[[0,

^{° о ) ;}

CC">(R

²

)].

Б у -

ni k

д е м говорить, ч т о и(х, t) е М^а' , если при л ю б о м t > 0 справедлива оценка

p'Mpluix, î)\ < С(1)е°

^ы

при |д-| —» + ° ° , г д е / <

к, р + q < m; i, j = 1,2;

C(/) - непрерывная неотрицательная функция, зависящая о т ф у н к ц и и и(х, t).

П у с т ь v(x) e C^{( , n )}(R²). Б у д е м говорить, ч т о v{x) e М™, если при | х | —> + ° ° и м е е т м е с т о оценка

\1УхрЧХ1У(х)\ < СеЫ , р + q < m, i, j = 1, 2;

С зависит о т ф у н к ц и и v(x).

3°. П р и м е н и м п о л у ч е н н ы е р е з у л ь т а т ы для п о  строения р е ш е н и я задачи К о ш и .

З а д а ч а К о ш и . Н а й т и ф у н к ц и ю и(х, t) G 2 2

G Л/⁰' , а < 1/2, у д о в л е т в о р я ю щ у ю при x G R², t > 0 в к л а с с и ч е с к о м с м ы с л е у р а в н е н и ю

£и

= Д х , 0 (5)

и начальным условиям

и(х, 0) = н

⁰

(х), и,(х, 0) = и

^]

(х). (6)

Т е о р е м а 1. Если щ(х), и,(х) G М^у,Дх, I) G

G My

⁰

и с < у< 1/2, mo существует единственное классическое решение задачи Коши (5), (6), при-

2 2

надлежащее классу М

⁰

' , которое дается форму

лой

и(х, /) = J J % (x - у, t - x)fiy, x)dydx +

0 R2

+ J<ê (x - y, t)L⁰

[

^Ul

(y)] dy + JD,% **(x - y, t) x**

R² R²

xL

⁰

[u

⁰

(y)]dy,

где L

⁰

u = A

²

u - u, %{x, t) определена (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы проводится п о известной с х е м е [5] (см. т а к ж е [4]) с у ч е т о м р е  зультатов п. 2°.

4°. О б р а т и м с я к и з у ч е н и ю н а ч а л ь н о - к р а е в ы х з а д а ч для уравнения (1). Д л я э т о г о нам п о т р е б у  ется ввести в р а с с м о т р е н и е д и н а м и ч е с к и е п о т е н  циалы.

Рассмотрим ф у н к ц и ю v(x, / ) , о п р е д е л е н н у ю равенством

v ( x , r ) =

**(/-е5(е)) (/-5(1))**

« ( г , г),

(7)

5(е0 = - J/ , ( T ) T^xdx, t>0.

о

Учитывая р е з у л ь т а т ы п. 2° и р а б о т [2, 6], при

ходим к выводу, ч т о

(9.)

где v0( x , 0 - сингулярное р е ш е н и е уравнения (3), п о с т р о е н н о е в [6], а для v,(x, t) и м е ю т м е с т о о ц е н  ки

(4).

Пусть Q с R2- ограниченная о б л а с т ь с грани

цей Г G А( 1 А ). Р а с с м о т р и м п о т е н ц и а л ы

A[v](x,t) = ±jv(y,

^t

)£--K

⁰

(\x-y\)dr

^y

,

В [ v ] (x, t) = j Jv(y, x) X^v(x -y,t- X)dT^ydX, о г

где v(x, i) о п р е д е л е н а (7), a M^v - с л е д у ю щ и й граничный о п е р а т о р :

. г . . _ 2

du . .du

2 ,

.du

TvW

~ d~n

^y

^

^П>

dy^^^ ' Эу^'

n^y - внешняя н о р м а л ь к кривой Г в т о ч к е у G Г,

е,

- о р т оси

Oy

^v

Как и в [2], б у д е м говорить, ч т о v(x, t) G G

С™ [[0,

со); С ( Г ) ] . еСЛИ V(X,

0

G

C<

²

>[[0,

со); С ( Г ) ] и v(x, 0) = v,(x, 0) = 0. С у ч е т о м р е з у л ь т а т о в п. 2°

м о ж н о убедиться, ч т о при v(y, / ) G C Q^{2 )} [[0, °°);

С(Г)] функция

- A [ v ] ( x , r ) + ß [ v ] ( x , 0 (10) при x е Г , t > 0 у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю (1), а

т а к ж е о д н о р о д н ы м начальным условиям (6). И з (9) в ы т е к а е т ф о р м у л а

В [ v ] (x, t) = 2^ j j v ( y , 1)Я

^ху

v

⁰

( x - у, t - x)dY

^y

dx +

о г

I

+ JJv(y, х)Я

^ч v , ( x

-y,t- x)dT

^y

dx =

о г

= ß

⁰

[ v ] ( x , 0 + £ , [ v ] ( x , 0 .

П о т е н ц и а л ß⁰[ v ] ( x , 0 д е т а л ь н о и з у ч е н в [2, 6]. С у ч е т о м сказанного в ы ш е о т н о с и т е л ь н о функции Д О К Л А Д Ы А К А Д Е М И И Н А У К том 330 № 5 1993

(4)

564 АЛЛАХВЕРД v,(jt, t) в (9) у б е ж д а е м с я , ч т о потенциал Bi[v](x, t)

н е п р е р ы в е н п о x e R² при t > 0. Таким о б р а з о м , из р е з у л ь т а т о в [2, 6 ] в ы т е к а е т

Т е о р е м а 2. При v(y, 0 G С ^^{2 )} [[0, ~ ) ; С ( Г ) ] , Г G справедлива формула

В^± [v] (x, t) = ± 1 [ ( / - e S ( e ) * ) ( / - S ( 1 ) * ) -

-I]v(x,t) + B[v](x,t). ( И ) Правая часть (11) п р и н а д л е ж и т С^{0 2 )} [[0, °°);

С(Г)]- И н д е к с ы "+" и " - " о б о з н а ч а ю т п р е д е л ь н ы е значения в т о ч к е x G Г при стремлении к ней п о н о р м а л и изнутри и извне о б л а с т и Q. с о о т в е т  ственно, В [ v ] (JC, t) - п р я м о е з н а ч е н и е потенциала B[v](x, t) на Г.

П у с т ь Q c R ² - ограниченная о б л а с т ь с грани

цей Г е А^{( |}' Ч

З а д а ч а D \ Н а й т и ф у н к ц и ю и(х, / ) , у д о в л е т  в о р я ю щ у ю в классическом с м ы с л е при / > 0 в Q у р а в н е н и ю (1), начальным условиям и(х, 0) =

= и,(х, 0 ) = 0 и граничному у с л о в и ю i\(x, t) = (p(x, t), x G Г, / > 0.

К а к и в [ 2 ] , н а з о в е м ф у н к ц и ю и(х, i) регулярной на б е с к о н е ч н о с т и , если при | л | —> +<*> справедливы о ц е н к и

\D\u\ < C(t)\x\~\ \D^kD^xii\ < C(t)\x\~², где C(t), C(t) - н е п р е р ы в н ы е н е о т р и ц а т е л ь н ы е функции; к = 0, 1, 2; / = 1, 2 .

О т м е т и м , ч т о введенные функции A[v](x, 0.

B[v](x, t) являются регулярными на б е с к о н е ч н о с  ти.

З а д а ч а D". Н а й т и ф у н к ц и ю и(х, t), о п р е д е  л е н н у ю при x G Q~ = R²\ ß , / > 0, р е г у л я р н у ю на б е с к о н е ч н о с т и , у д о в л е т в о р я ю щ у ю при t > 0 в классическом смысле уравнению (1) в От, о д н о р о д  ным начальным условиям и граничному у с л о в и ю

и_(х,

0

= Ф(*, t),xe r,t> 0.

Б у д е м искать р е ш е н и я задач D¹ в виде (10). С у ч е т о м т е о р е м ы 2 и известных свойств потенциа

ла A[v](x, t) п р и х о д и м к с л е д у ю щ и м интеграль

ным уравнениям:

±¹- ( / - £ 5 ( е ) * ) ( / - S ( l ) * ) V(JC, t)-Ä [ v ] (x, t) +

+ B[v](x,t) = ф(дг,г), * е Г , / > 0 , (^{] 2})

i B , ПЛЕТНЕР

где Ä [ v ] (х, 0, В [ v ] {х, 0 - п р я м ы е значения с о о т в е т с т в у ю щ и х потенциалов на Г. З н а к и "+" и " - "

в (12) о т в е ч а ю т задачам D⁺ и D " с о о т в е т с т в е н н о . Уравнения вида ( 12) о б с у ж д а л и с ь в р а б о т а х [2, б ] . П о в т о р я я рассуждения э т и х р а б о т для уравнений (12), м о ж н о д о к а з а т ь их р а з р е ш и м о с т ь в прос

транстве С«$²⁾ [[0, оо); С ( Г ) ] , V T > 0.

Таким о б р а з о м , справедлива

Т е о р е м а 3 . Если <р(х, t) e С™ [0, °°; С(Г)].

то задачи D⁺ и D" разрешимы в классическом смысле.

Д л я уравнения (1) с т а н д а р т н ы м о б р а з о м [2]

выводится э н е р г е т и ч е с к о е т о ж д е с т в о

^ { i l

^V

" r l l ^

⁽

n ,

⁺

||",

^l

||^

⁾

+

^{E 2}

||

^M

,

²

!lï

^{2 (}

n)

⁺

i

+ KHÎU>

^} =\\u,N^lxudT^xdt. (13) о г

С п о м о щ ь ю (13) л е г к о д о к а з ы в а е т с я

Т е о р е м а 4 . Если решения задач D * принад

лежат классу функций, допускающих примене

ние энергетического тождества (13), то в этом классе они являются единственными.

В з а к л ю ч е н и е а в т о р ы в ы р а ж а ю т б л а г о д а р  ность п р о ф . А . Г . С в е ш н и к о в у за внимание к р а б о  те и е е п о д д е р ж к у .

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Плетнер Ю.Д. II Д А Н . 1991. № 6. Т. 321.

С. 1155 - 1157.

2. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи тео

рии нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 342 с.

3. Плетнер Ю.Д. II ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. № 5.

С. 742 - 757.

4. Плетнер ЮД. II ЖВМ и МФ. 1992. Т. 32. № 6.

С. 890 - 903.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической фи

зики. М.: Наука, 1988.512 с.

6. Плетнер ЮД., Шевцов П.В. О сингулярном реше

нии одного уравнения составного типа. Деп.

ВИНИТИ, 1984. № 2544 - 84.

Д О К Л А Д Ы А К А Д Е М И И Н А У К том 330 № 5 1993