Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Н. Варченко, Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов, Функц.
анализ и его прил., 1976, том 10, выпуск 3, 13–
38
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 07:14:33
т. 10, вып. 3, 1976, 13—38.
МНОГОГРАННИКИ НЬЮТОНА И ОЦЕНКИ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ
А. И. В а р ч е н к о
Целью настоящей работы является вычисление главного члена асимп
тотики осциллирующего интеграла в окрестности вырожденной критиче
ской точки фазы через диаграмму Ньютона разложения фазы в ряд Тей
лора в окрестности этой критической точки. Основной результат работы состоит в том, что этот главный член определяется точкой пересечения диаграммы Ньютона с диагональю координатного октанта (при некоторых условиях, сформулированных ниже). При этих условиях арифметические прогрессии, которым принадлежат показатели всех членов асимптотиче
ского разложения, зависят лишь от диаграммы Ньютона функции фазы.
В работе указан вид этих прогрессий в терминах диаграммы Ньютона.
Полученные формулы подтверждают гипотезу В. И. Арнольда, что все разумные дискретные инварианты аналитической функции просто выра
жаются через диаграмму Ньютона для почти всех функций с данной диа
граммой Ньютона (см. [11], [13]). В работе вычислены показатели главных членов асимптотического разложения для всех функций — фаз, раскласси
фицированных в [16] (в двух случаях наши теоремы дают неравенство для показателя главного члена). Приводится пример, опровергающий гипотезу о полунепрерывности показателя главного члена асимптотиче
ского разложения.
§ 0. Введение
0.1. Д и а г р а м м а Н ь ю т о н а . Пусть N С К С1 К^ — мно
жества всех неотрицательных целых чисел, всех неотрицательных веще
ственных чисел, всех вещественных чисел соответственно. Пусть ^ЙГ (Ц N'^•
О п р е д е л е н и е . Многогранником Ньютона множества К назы
вается выпуклая оболочка в К+ множества У (^ + К+).
пек
О п р е д е л е н и е . Диаграммой Ньютона множества К называется объединение всех компактных граней многогранника Ньютона множест
ва К.
Многогранник Ньютона обозначается через Г+ {К), диаграмма Нью
тона — через Г {К).
Пусть / = / (1п^^'> ^п ^ С. Положим зирр / = {п ^ ^^ \ а^ ^ 0}.
О п р е д е л е н и е . Многогранником Ньютона ряда / (соответствен
но диаграммой Ньютона) называется многогранник Ньютона (соответ
ственно диаграмма Ньютона) множества зирр /.
]Многогранник Ньютона ряда / (соответственно диаграмма Ньютона) обозначается через Г+ (/) (соответственно через Г (/)).
О п р е д е л е н и е . Главной частью ряда / называется многочлен
^ й .
г = пёгчп
Для любой замкнутой грани у С1 Г (/) обозначим через /у многочлен
I:
а^х"".О п р е д е л е н и е . Главная часть ряда / называется невырожденнощ если для любой замкнутой грани уаТ {!) многочлены ^ 1 - ^ , • • м ^?с -^
не обращаются одновременно в нуль в {х^ 'К^ \ х-,^ , , . х^ф 0), Из леммы Сарда легко следует, что множество вырожденных главных частей является полуалгебраическим подмногообразием в многообразии всех главных частей, отвечающих данной диаграмме Ньютона.
0.2. О с ц и л л и р у ю щ и е и н т е г р а л ы . Пусть С (К'^) — мно
жество бесконечно дифференцируемых функций на К^ с компактными носителями. Пусть / : К'^ -^ К — бесконечно дифференцируемая функция.
О п р е д е л е н и е . Осциллирующим интегралом с фазой / назы
вается интеграл
/ ( т , ф ) = >^ е^''^^^\{х)Лх, где т — вещественный параметр, а ф ^ С (К^).
Всюду в дальнейшем предполагается, что / — аналитическая функция в начале координат.
Если носитель функции ф сосредоточен в достаточно малой окрестно
сти нуля, то осциллирующий интеграл имеет асимптотическое разложение при т - ^ + оо:
I (т, ф) ^ ^-/(0) ^ ^ а р , , (Ф) х^ (1п тГ, (0.3)
р п=0
где р пробегает конечное число арифметических прогрессий, не зависящих от ф, составленных из отрицательных рациональных чисел (см., напри
мер, [1]).
О п р е д е л е н и е , Показателем осцилляции в нуле функции / называется число р (/), максимальное среди чисел р, обладающих свойст
вом: для любой окрестности нуля в К^ найдется ф е С (К^) с носителем в этой окрестности такая, что в асимптотическом разложении (0.3) для / (т, ф) найдется п с ар,^ (ф) Ф 0.
Всюду в дальнейшем предполагается, что / (0) = О, й1\ ^ = 0.
0.4. Ф о р м у л и р о в к а о с н о в н о г о р е з у л ь т а т а . За
фиксируем систему координат в К'^ и обозначим через / ряд Тейлора функ
ции / в нуле в этой системе координат. Обозначим через 1^ параметр пере
сечения прямой х-^ ~ . , . ~ х^ = I, ^ ^ К , с границей многогранника Ньютона Г^ (/). Это число мы будем называть расстоянием до много
гранника Ньютона от начала координат.
Т е о р е м а . Пусть главная часть ряда / невырождена. Тогда 1. Существует способ {описанный в п, 2.17) вычислять по многогран
нику Ньютона подмножества в ^^ конечное число арифметических про
грессий, составленных из отрицательных рациональных чисел. Эти ариф
метические прогрессии, вычисленные по многограннику Ньютона Г^ (/), обладают свойством: если носитель ф ^ С (К^) достаточно мал и в асимп
тотическом разложении (0.3) для интеграла I (т, ф) не равен нулю коэффи-
циент ар^^ (ф)» шо р — член одной из вычисленных арифметических про
грессий.
2. Если расстояние до многогранника Ньютона не больше 1, то по
казатель осцилляции в нуле р (/) не больше — (^о)~^-
3. Если расстояние до многогранника Ньютона строго больше 1, то показатель осцилляции в нуле Р (/) равен —(^о)"^-
4. Если расстояние до многогранника Ньютона строго больше 1 и точка (^0, , . ,, 1^) лежит на пересечении I {к — \)-мерных граней много
гранника Ньютона Г^ (/), то для любой неотрицательной ф ^ С (К^) с ф (0) 7^ О и носителем, лежащим в достаточно малой окрестности нуля в К^, в разложении (0.3) интеграла I (т, ф) аз(/)~_1(ф) =7^ О, где Т = т 1 п (/, к), Кроме того, для любой ф ^ С (К^) с носителем, лежащим в достаточно малой окрестностей нуля, в разложении (0.3) для интеграла I {^^ ф) %ф,т^п (ф) = 0 ^-^^ ^ е N.
Гипотезу о том, что главный член асимптотики определяется расстоя
нием до многогранника Ньютона, автор узнал от В. И. Арнольда.
З а м е ч а н и я . В § 5 приведен пример функции / пяти переменных, для которой главная часть ряда / невырождена, Ь^ <^\ ж показатель ос
цилляции р (/) строго меньше — (^о)^^*
Главную часть ряда / не всегда можно считать невырожденной.
В п. 2.18 доказывается теорема, утверждающая, что в случае 1^о ^ 1 и главная часть ряда / не обязательно невырождена показатель осцилля
ции Р (/) не меньше —(^^о)"^- Случай не обязательно невырожденной глав
ной части удается детально разобрать для функций двух переменных.
0.5. П р и с п о с о б л е н н ы е с и с т е м ы к о о р д и н а т . Пусть /: К^ - ^ К — такая же, как и выше, у == {у-^, - - -, У]^) — локальная аналитическая система координат в нуле в К'^, /у — ряд Тейлора функ
ции / в нуле в координатах у, ^у — расстояние от начала координат до многогранника Ньютона Г^ (/у). Положим I (/) == зир ^^ по всем локаль-
у
ным аналитическим системам координат в нуле. Число Ь (/) мы будем на
зывать высотой функции / .
О п р е д е л е н и е . Локальная аналитическая система координат в нуле у называется приспособленной к /, если ^у =^ ^ (/)•
0.6. Т е о р е м а . Пусть /: К^ - > К — функция, аналитическая в нуле, / (0) = О, й/ I о =" О» ^^/ |о вырожден и росток в нуле множества
{а: е К^ I / (д:) = 0} не имеет кратных компонент. Тогда 1. Существуют приспособленные к / системы координат.
2. Показатель осцилляции Р (/) функции / равен —(^ (/))~^-
3. Для любой неотрицательной ф е С (К^) с Ц) (0) Ф О и носителем, лежащим в достаточно малой окрестности нуля, в разложении (0.3) ин
теграла I (т, ф) т а х {/? | а?г | ар^ п (ф) =7^ 0} равен показателю осцилля
ции функции /.
4. Если существует приспособленная к / система координат у, для которой точка {1у, Ьу) {в стандартной системе координат, в которой строится многогранник Ньютона) лежит на пересечении двух ребер много
гранника Ньютона Г^ (/^), то для всех ф из /г. 3 теоремы а^(^)^ 1 (ф) Ф 0.
Если такая система координат отсутствует, то для всех ф е С (К^) с носителем, лежащим в достаточно малой окрестности нуля, а^{^)^ ^ (ф) = 0.
З а м е ч а н и я . За счет некоторого усложнения доказательства предположение об отсутствии кратных компонент у ростка множества
{ ^ е К^ I / {х) = 0} можно отбросить. С другой стороны, случай, когда такие компоненты присутствуют, имеет коразмерность бесконечность.
В § 5 приведен пример функции /: К^ - ^ К, для которой показатель осцил
ляции строго больше, чем — {^ (/))~^. В п. 3.15 описан алгоритм нахож
дения приспособленныд систем координат для /: К^ —> К.
Следующие два предложения могут служить для опознания приспо
собленных систем координат.
Пусть /: К^ - ^ К — такая же, как в теореме 0.6, у — локальная аналитическая система координат в нуле, у — одно из замкнутых компакт
ных ребер многогранника Ньютона Г^ (/у). Прямая, на которой лежит у, может быть задана уравнением % {у)х1 + «2 {у)хо = ш (у)^ где а^, «2- ^ — натуральные числа и %, ^2 взаимно просты.
0.7. П р е д л о ж е н и е , у — приспособленная к / система коорди
нат, если выполнено одно из следующих условий:
1. Точка ((у, Ьу) лежит на пересечении двух ребер многогранника Ньютона Г^ {1у).
2. Точка {1у, 1у) лежит на одном замкнутом компактном ребре у многогранника Ньютона Г^ (/у), и оба числа а^ {у) и а<2, {у) больше 1.
Пусть теперь точка {1у, 1у) лежит на одном замкнутом компактном ребре 7 многогранника Ньютона Г^ (7,^) и % (7) = 1. Пусть /^ = \ а^^у'^.
пеN2
Обозначим через /у,-^ многочлен \ а^у^^ По условию многочлен /^^^
может быть представлен в виде у'^^'^^ Р^ {у^уТ^^^)^ где Р^ — многочлен степени 5 одной переменной, ^ ^ т (у).
0.8. П р е д л о ж е н и е . Если у многочлена Р^ нет вещественного корня кратности, большей чем т {у) (1 + а2 (у))"^, У^О у — приспособлен
ная к / система координат.
0.9. П о с т о я н с т в о п о к а з а т е л е й о с ц и л л я ц и и д л я ф у н к ц и й д в у х п е р е м е н н ы х в д о л ь с т р а т а
[X = С0П81.
П р е д л о ж е н и е . Пусть /1 : К^ —> К — семейство функций, бес
конечно дифференцируемо зависящих от параметра I ^ [0,1], аналитиче
ских в нуле в К^ при каждом ^. Предположим, что число Милнора
^^, = с^^тсС«x1,л^,»/(-^,-2^)
функции /^ в нуле не изменяется при изменении I, Тогда показатель ос
цилляции функции / не изменяется при изменении I.
Это утверждение в качестве гипотезы для функций с произвольным числом переменных сформулировано в [3].
0.10. О б о б щ е н н ы е ф у н к ц и и /^. Пусть /: К^ -> К -— функ
ция, аналитическая в нуле, /(0) = О, й/|о = 0. Положим
при / {х) > О, - / ( г с ) при / ( а : ) < 0 . Пусть ф е С (К'^). Рассмотрим интегралы
1Л'^^ Ф) = \ {1^{х)У^{х)Лх, / _ ( т , ф) = 5 ( / - И ) ' Ф Н ^ ^ >
где т е С, Ке т > 0. /+, /_ — аналитические функции параметра т.
Согласно теоремам И. Н. Бернштейна, С. И. Гельфанда [4] и М. Атья [5], если носитель функции ф сосредоточен в достаточно малой окрестности нуля, то /+ и /_ могут быть аналитически продолжены на С как мероморф-
Г /(^) п р и / ( ^ ) > 0 , ГО
^^(•^)-1о при/(.)<о, /-(^)=1--
ные функции параметра т и их полюсы принадлежат конечному числу арифметических прогрессий, не зависящих от ф и составленных из отри
цательных рациональных чисел.
Т е о р е м а . Пусть ряд Тейлора / функции / имеет невырожденную главную часть. Тогда арифметические прогрессии чисел, среди которых лежат полюсы 1+ (т, ф), /_ (т, ф), могут быть вычислены по многограннику Ньютона Г^ (/) способом, описанным в п, 2Л7,
0.11. П р и м е р ы . В. И. Арнольд поставил следующие вопросы.
Пусть /: К^ -> К — гладкая функция, /'г К^ X К^ «-> К — ее де
формация (т. е, Р — гладкая функция и /^ (-, 0) = /), р — показатель осцилляции в нуле функции /.
В о п р о с 1. Допускает ли для любого 8 ^ 0 осциллирующий интеграл с функцией Р {-, К) оценку
5 ^^^^(*' ^) ф {Х, 'к)ах\^С (ф, 8) Т^+^
для любой гладкой ф с носителем в достаточно малой окрестности начала координат в К^ X К^?
В о п р о с 2. Полунепрерывен ли показатель осцилляции в том смысле, что показатель осцилляции функции Р (х, Х^) в точке х^ не пре
восходит (3 для всех (:Го, К^), лежащих в достаточно малой окрестности начала координат в К^ X К'?
Пусть Д: К^ —^ К, /з: К^ -> К — аналитические функции в начале координат. Пусть /^: С^ —^ С, /2: С^-> С — «комплексификации» функ
ций Д, /з, т. е. /|^ — аналитическая функция, имеющая в нуле такой же ряд Тейлора, как и /г. Пусть существует аналитическая замена координат в С^ у = § (х), которая сохраняет начало координат и для которой
В о п р о с 3. Равны ли показатели осцилляции в нуле функций Д
и /2?
Заметим, что если замена у = § {х) задается функциями, коэффициен
ты рядов Тейлора которых вещественны, то ответ на вопрос 3, конечно^
положительный.
Вопросы 1, 2 сформулированы в [3], [16], вопрос 3 — в [3]. На все три вопроса пример, приведенный в § 5, дает отрицательный ответ.
0.12. Расположение материала следующее. Целью параграфа 1 является доказательство предложения 1.4, в котором собрана вся анали
тическая часть работы. В § 2 доказываются теоремы 0.4, 0.10. В § 3 дока
зываются все результаты, касающиеся функций двух переменных.
В § 4 приводятся результаты применения наших теорем для вычислений показателей осцилляции функций, расклассифицированных в [16]. Часть приводимых в § 4 ответов была сформулирована в [3]. В § 5 приводятся примеры, дающие отрицательные ответы на вопросы 1—3 п. 0.11.
В заключение автор пользуется случаем принести свою благодарность В. И. Арнольду за постановку задач и В. Н. Карпушкину и А. Г. Хован
скому за многочисленные полезные обсуждения.
§ 1. Разрешение особенностей и осциллирующий интеграл
Целью этого параграфа является доказательство предложения 1.4.
Пусть /: К^ -> К — функция, аналитическая в начале координат, / (0) = О, (^/ I о == О- Пусть У — неособое вещественное аналитическое /с-мерное многообразие и л;: У - > К^ —такое собственное аналитическое
отображение, что в каждой точке у множества 8 = п ^ (0) суп],ествуют локальные координаты г/х, . . ., У]^, в которых
1оп{у„ . . .,у^) = ±у1^. . .У1\ (1.1)
(1.2) Якобиан / ^ отображения я имеет вид
^п(Уг,^^^^Ук)=^уТ'•^^у7^^п{У1, '" >, Ук), где л (О, . . . , 0 ) 7 ^ 0 . (1.3) В некоторой окрестности нуля в К^ л; — аналитический изо
морфизм вне собственного аналитического подмножества в К'^.
Обозначим через {{п, т)}у множество пар {п1, т<^) с «^ ^ О и {п1, т^) Ф (1, 0), встречающихся в таких записях для у^ 8, Положим Р г = П11п {— {т + 1)/п I {п, т) ^ {{п, т)}у}. (Если множество {{п, т))у пусто, то полагаем |3у = —оо.) Множество {{п, т))у будем называть набором кратностей разрешения (У, я ) . Число |3у будем называть весом разрешения (У, я).
Пусть ф ^ С (К^), / (т, ф), / + (т, ф) — функции, определенные во введении.
П р е д л . о ж е н и е 1.4. 1. Если носитель ф сосредоточен в доста
точно малой окрестности нуля, то 1^ (т, ф), /_ (т, ф) аналитически про
должаются на С как мероморфные функции от х, и их полюсы лежат среди членов арифметических прогрессий, одна из которых — целые отрицатель
ные числа, а остальные параметризуются элементами набора кратностей {{п, т)}у разрешения {У, я). Паре {п, т) ^ {{п, т)}у отвечает арифме
тическая прогрессия —{т + ^)1п, — {т + 2)1 п, . . .
2. Предположим, что для любой точки у ^ 8 и любой локальной си
стемы координат у^, , , ,, у^ с центром в у, удовлетворяющей (1.1) и (1.2), среди пар {п1, т^) {I = \, , . ., к) в разложениях (1.1) и (1.2) не найдется двух пар, равных (1,0). Предположим также, что вес Ру разрешения {V, я) не больше — 1 . Пусть 1, . . ., / — все натуральные числа, строго меньшие числа —|3у. Тогда, если носитель ф сосредоточен в достаточно малой окрестности нуля, 1+ (т, ф), /_ (т, ф) имеют в точках т = — 1 , . . .
. . ., — / полюсы кратности не выше 1. Если а^ {соответственно, а^) — вычет / + (тг, ф) {соответственно вычет 1_ (г, ф)) в точке х = — /, где ]' = ! , , , , , 7, то а/ = {—^у-^а^, На множестве Ке тГ > РУ функции 1+ ('^» ф)^ I- ('^? ф) других полюсов не имеют,
3. Пусть ру > — 1. Положим ] = т а х {/ | существуют у ^ 8 и локальная система координат Уг, - - -•> У]с в точке у, обладающая свой
ствами (1.1), (1.2), такие, что в (1.1) и (1.2) / чисел среди {т^ + 1)/^1, {т^ + ^)1п2, . . ., {т^ + \)1щ равны — Р У } . Тогда, если ф имеет носитель, сосредоточенный в достаточно малой окрестности нуля, ф (0) =7^ О и ф неотрицательна, то
а) функции /+ (т, ф), /_ {х, ф) имеют при г = Ру полюс порядка не выше / ;
б) сумма коэффициентов, стоящих при 1/(т — Ру)^ в разложении Лорана функций /+ (г, ф) и /_ (т, ф), в точке т = ру отлична от нуля,
4. Если выполнены предположения п.2 предложения и носитель ф сосредоточен в достаточно малой окрестности нуля, то в разложении {0.3) интеграла / (т, ф) р пробегает множество чисел, принадлежащих ариф
метическим прогрессиям, описанным в пЛ предложения, из которого вы
брошены все целые числа, строго большие, чем Ру.
5. Если РУ ^ —1 и носитель ф сосредоточен в достаточно малой окре
стности нуля, то
а) в разложении (0.3) интеграла I {х, ф) р пробегает арифметические прогрессии, описанные в пЛ предложения;
б) показатель осцилляции в нуле р (/) функции / равен весу ру разре- шения (У, л);
в) если ф (0) =7^ О и ф неотрицательна, то в разложении (0.3) интеграла I (т, ф) а^.. т_^ =7^ О, где / определено в п. 3 предложения.
Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству предложе
ния 1.4.
Легко видеть, что существуют следующие объекты:
(1.5) 17 — окрестность нуля в К'^;
(1.6) V — окрестность множества ^^ в V;
(1.7) {фа: У - > К } — конечное число бесконечно дифференцируемых финитных функций на У;
обладающие свойствами:
(1.8) / аналитична в С/ и не имеет на II критических значений, отлич
ных от нуля;
(1.9) 7 С 1 я - 1 ( ^ ) ;
(1.10) функции {фа} н е о т р и ц а т е л ь н ы й ^ ф а У = ••-^
а
(1.11) для любой фа существуют такое открытое множество И^, со
держащее носитель фа, и такие локальные координаты на И^, что на ]V выполняются (1.1) и (1.2).
Зафиксируем эти объекты. Далее в этом параграфе предположение о том, что носитель ф достаточно мал, будет означать, что носитель ф лежит в 17. На протяжении этого параграфа будем предполагать, что но
ситель ф достаточно мал.
Д о к а з а т е л ь с т в о п. 1 п р е д л о ж е н и я 1.4. При Ке т > О имеем
Г4:(Т, ф ) = 5 / 1 ф Й Ж =•• | ( / о я ) + ( ф о я ) | Л | Й ? / - ^ ^ ( / о я ) + ( ф о з х ) ф а | Л | (1у,
п^ У а у (1.12) где (1у — элемент объема в У, / ^ — якобиан перехода от (1х к Лу. Дока
жем, что в последней сумме каждое из слагаемых аналитически продол
жается на С как мероморфная функция от т с полюсами, лежащими сре
ди членов арифметических прогрессий, указанных в п. 1.
Действительно, согласно (1.11) для любого а в некоторой системе ко
ординат имеем
5
у
(/ ° Л)± (Ф ° ^) фа I /тх I ЛУ
= ) ФУТ ... У?У± (Ф о Я) фа I 7.УГ ... 2//С ' I ЛУг... Й2/,, (1.13)
\^
где б равняется 1 или — 1 .
Последний интеграл есть конечная сумма интегралов вида к
5 ( П {Уг)т'''^') (Ф ° Л) фа I /:, I Й2/1 ... Лу^,,
где б (г) равняется + или — в зависимости от I, Доказываемое утверж
дение теперь с очевидностью следует из формулируемой ниже леммы 1.14.
Л е м м а 1.14. Пусть "ф (гл , . . ., ^/г> Ц) — финит^ная бесконечно диф
ференцируемая функция на К , являющаяся мероморфной функцией па
раметра |ы ^ С^ Тогда функция к
/ ( Т 1 , . . . , Т;,, }Х) = ^ {]1{Уг)цг))'^{Уъ ''',Ун1\^)(^У1'-(1Ук^
К /с г=1
где б {1) равняется + или — в зависимости от г, аналитически продолжа
ется на все значения т^, . . . , Х]^,\х как мероморфная функция, причем ее полюсы, отличные от полюсов, имеющихся уже в функции яр, могут лежать только на гиперплоскостях вида т^- -(- 5 = О, где 8 — натуральные числа.
Лемма 1.14 доказывается так же, как лемма 2 в [4].
Д о к а з а т е л ь с т в о п. 2 п р е д л о ж е н и я 1.4. Согласно (1.12) достаточно доказать п. 2 для интеграла левой части (1.13) с произ
вольным а. Согласно условиям в правой части (1.13) найдется не более одного индекса 1, для которого П1 — 1, т1 = 0. Если такого 1 нет, то из условий п. 2 и леммы 1.14 следует, что этот интеграл как для Д, так и для /_ не имеет полюсов на множестве Ке т > ^г^.
Пусть теперь такой индекс есть. Пусть для определенности ^1 = 1, т-^ = 0. Итак, докажем п. 2 для интегралов
$ фУгУТ'- У?)± (Ф ° ^) Фа I 1ПУТ ... Уи^ \ ЛУг... Лу,, где б равняется 1 и — 1 .
Для этого достаточно доказать п. 2 для интегралов вида
^ {У1)± {У.)щГ... {Ук)11кГ' (Ф о я) Фа I / . IЙ2/Х... йу^, (1.15) где б (г) — это + или —.
Пусть / — натуральное число, строго меньшее, чем — Ру. Тогда из
оо
явных формул регуляризации интеграла ]^ ^'^'ф {х) Ах (см. [6]) легко сле-
0
дует, что
(1.16) Интеграл (1.15) как для (г/х)^, так и для {у^! в точке х = — I имеет полюс не выше первого порядка.
(1.17) Вычет интеграла (1.15) для (г/^)^ в точке т = —/ равен -(Т^туг \ (2/2)ад'"^-. {Ук)ьТ"'^^ [(Ф о я) Фа 17„ |] с1у,... Ау,.
У1=0
(1.18) Вычет интеграла (1.15) для (у^)! в точке т = — / равен
1/1=0
Это доказывает п. 2 предложения 1.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о п. 3 п р е д л о ж е н и я 1.4. Рассмотрим интеграл (1.13) с произвольным а. Если число индексов 1 в правой части (1.13), для которых — (т.^ + 1) / ^^ = РУ, меньше, чем число / из п. 3, то, как легко видеть, интеграл (1.13) для этого а имеет в точке т = ру полюс порядка, строго меньшего, чем /. Пусть теперь а таково, что число индексов г, для которых — (^^ + 1)М^ = РУ, равно /. Пусть для опре
деленности эти индексы — 1 , . . . , /. Интеграл (1.13) есть конечная сум
ма интегралов вида
(2/1)5аГ' - {Ун^Г' (Ф ° я) ф. 17.1Й2/1... ау,. (1.19)
5
Согласно формулам регуляризации интеграла ^ Х^У\) (Х) АХ имеем
(1.20) Интеграл (1.19) имеет в точке т = Ру полюс порядка не выше /.
М.21) Коэффициент при 1/(т — |3у)^" в разложении Лорана интеграла (1.19) равен
Это доказывает п. 3 предложения 1.4.
Для доказательства пп. 4, 5 нам понадобится следующая теорема И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро. Пусть со — (?с — 1)-мерная диффе
ренциальная форма, удовлетворяющая соотношению
й/ Д (О = йа:1 Д . . . Д ах^,. (1.22) Форма со, удовлетворяющая такому соотношению, существует в окрест
ности тех точек, в которых (1/ ф 0. Условием (1.22) инвариантно опреде
лено ограничение формы со на неособую часть произвольной линии уровня функции / .
Положим ЛГ(/, ф, с ) = \ ф-со.
Т е о р е м а (см. [6], стр. 407). Если функция 1+ (т, ф) имеет полюсы в точках —т^, —х^, . . ., —т^, . . . (т^ < Тз < . . . т^ < . . .) и т1 — кратность полюса в — т^, то имеет место асимптотическое разложение
. К{/,ц>,с)^^^а1^тс'г^{1псГ-^ при с^ + 0, (1.23)
1=1 т = 1
коэффициент а1^^п равен коэффициенту при 1/(т + ^хУ^ в разложении Лорана для /+ (т, ф) при х == — т^, умноженному на (—1)'^~^/{т — 1)!
Д о к а з а т е л ь с т в о п. 4 п р е д л о ж е н и я 1,4. Мы имеем
оо оо о
/ (т, ф) = 5 е^'К (/, ф, с)ас = ^ е"<=^^: (/, Ф, С)(1С+ \ е^-^К (/, ф, с) йс. (1.24)
— с » О — о о
Пусть
Ки,^^,с)^^^а1тС^г\ЫсГ-^ при с ^ + 0, (1.25)
1=1 т=1 оо '^1
К(/,ц>,с)^'^^^аТ,гп{--сУ^~\1п{--с)Г-^ при с^>-0 (1.26)
1=1 7П=1
— асимптотические разложения для К.
Воспользуемся следующими известными формулами. Пусть 9 е
= С (К^) и 9 ^ 1 в окрестности нуля. Тогда при т -> + оо имеют место следующие асимптотические разложения:
оо
^ е ь с ^ а ( 1 п с ) я е ( с ) а с ^ ^ У^^.+/^^ (где а г ? ( - /тг) = - - | - ) , (1-27)
^ е^^о^_^с^^^\п{-.с))Ч{с)йс^^ П ^ ± 1 1 (где аг^(гт) =. ^) . (1.28)
Согласно [7] разложения (1.25) и (1.26) можно почленно дифферен
цировать по с сколько угодно раз. Теперь асимптотическое разложение интеграла / (т, ф) при т -> + оо получается почленным применением формул (1.27), (1.28) к разложениям (1.25), (1.26). Так как по условию для / = 1, . . ., 7 имеемт; = 1, т/г^ = 1,а^д = (—1)^-1а7,1> т^--+1 =--рУг асимптотические члены от К при с -> + О и от ^ при с -> — О сокраща
ются при мономах т~^ Это доказывает п. 4 предложения 1.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о п. 5 п р е д л о ж е н и я 1.4. В силу п. 3 предложения 1.4 и теоремы Гельфанда и Шапиро т^^ —Рг; ш^ = / , а^-.
а?! имеют одинаковый знак и й^-.+й^Г--=7^0. С другой стороны, главный член
/ 1 \ ^
асимптотического разложения (1.27) (соответственно (1.28)) есть (1_^ ^^^
(соответственно (1_ ^^Ц] , гдей+ = Г (а + 1) е-1 ^°'"^^\ П р и 0 < а < 1 Кесг+ =
= Кес?- Ф 0. Коэффициент а. -. в разложении (0.3) равен а^-с?+ -{- а'-Я- и в силу Кеб;?+ = Кей-=/= О не равен нулю. Остальные утверждения п. 5 очевидны.
§ 2. Доказательство теорем 0.4 и 0.10
В этом параграфе мы докажем теоремы 0.4 и 0.10. По фиксирован
ному многограннику Ньютона Г мы построим многообразие У (Г) и его проекцию я : У(Г)->К^, которые будут удовлетворять условиям (1.1) — (1.3) для почти всех функций / с данным многогранником Ньютона.
Мы вычислим по многограннику Ньютона набор кратностей {{п, т)}у(^г) разрегцения {У (Г), л) и тем самым сформулируем утверждения предло
жения 1.4 в терминах геометрических характеристик многогранника Ньютона. Фактически это и будет доказательством теорем 0.4 и 0.10.
Построение многообразия У (Г) будет проходить следующим образом.
Для фиксированной диаграммы Ньютона мы определяем разбиение на выпуклые конусы положительного октанта в пространстве, сопряженном к К^. Затем мы измельчаем это разбиение. Пользуясь теорией, развитой в [8], по этому новому разбиению строим /с-мерное неособое комплексное многообразие X (Г) и его проекцию на С^. Вещественная часть многооб
разия X (Г) и ограничение на нее проекции и будут искомыми У (Г) и л.
Процедура построения по многограннику Ньютона Г многообразия X (Г), изложенная ниже, является локальной модификацией метода, принадлежащего А. Г. Хованскому, сопоставления произвольному цело
численному компактному выпуклому многограннику в К'^ компактного комплексного неособого торического многообразия.
Р а з б и е н и е п о л о ж и т е л ь н о г о о к т а н т а н а в ы п у к л ы е к о н у с ы . Пусть 75Г СИ N^. Будем предполагать у К сле
дующее свойство. Любой ряд / е С^х^, . . ., Х]^у, для которого много
гранник Ньютона Г^ (/) совпадает с многогранником Ньютона Г^ (К), принадлежит квадрату максимального идеала в С^^х^ , . • -, ^ц}-
Мы определим по многограннику Г^ (К) разбиение на выпуклые конусы положительного октанта в пространстве К'^*, сопряжен
ном к К^.
Пусть х^ ,, . ., Х]^ — стандартные координаты в К^, а^ , . . ., % — сопряженные координаты в К'^*. Для а е К'^* с а^ > О, г = 1 , . . ., /с^
положим
т (а) = т а х {т\ {а, х) '^ т Ух ^Т^ (^)}-
Заметим, что т (а) > 0. Векторы а, а' е К^* с Й^^ > О, а^'^ О, I = I,.. . . . ., /с, назовем эквивалентными, если {х ^ Г^ {К) | (а, х) = т (а)} =
= {х ^Т^ (К) \ {а\ х) = т {а')}. Легко видеть, что
(2.1) Любой класс эквивалентности является выпуклым конусом с вершиной в О и задается конечным числом линейных уравнений и строгих линейных неравенств с рациональными коэффициентами.
Замыкания классов эквивалентности задают разбиение 2 ^ положитель
ного конуса {а е Е^* | а^ > О, 1 = 1 , , , ., к} на выпуклые замкнутые конусы, обладающие свойствами (2.2), (2.3).
(2.2) Если а^ — грань конуса а ^ Ер, то а^ е 2о.
(2.3) Для любых а^, а^ ^ ^о ^1 Ш о^2 — грань как а^, так и 02.
В теореме 1.1. на стр. 32 книги [8] явно описан алгоритм, позволяю
щий по 2о построить такое разбиение Е конуса {а е К'^* | а^ > 0} на конечное число выпуклых замкнутых конусов с вершиной в О, что
(2.4) Любой конус из 2 лежит в одном из конусов из 2 д.
(2.5) Каждый конус из 2 задается конечным числом линейных ра
венств и линейных неравенств с рациональными коэффициентами.
(2.6) Если 01 — грань конуса с е 2 , то 01 ^ 2 .
(2.7) Для любых а^, Од е 2 01 П ^2 — грань как конуса 0^, так и конуса 02-
(2.8) Скелет *) любого конуса из 2 можно дополнить до базиса це
лочисленной решетки в К'^*
Построим и зафиксируем 2 с такими свойствами.
М н о г о о о б р а з и е X (Г). Пусть 0 ^ 2 , сИт а = к, а^ (о) , , , . . . ., а^ (о) — скелет конуса 0, упорядоченный раз и навсегда. С каждым таким 0 свяжем экземпляр С^, который обозначим через С^ (а). Обозначим через л (а): С^ (0) -^ С^ отображение, заданное формулами
где х^ , . . ,, Х]^ — координаты в С^, г/х, . . ., г//с — координаты в С^ (а), а[ (а), . . ., а\ (а) — координаты вектора а^ (а). Отождествим любые два экземпляра С^ (о) и С^ (о') по рациональному отображению:
л~^ (0')оя (0) : С^ (0) -)- С^ (0') (т. е. X ^ С^ (о) и:^' е С (0') склеим, если п"^ (о )оп (о) : X ^-^ х'). Полученное множество обозначим через X (Г).
Из свойств (2.5) — (2.8) разбиения 2 согласно теоремам 6, 7, 8 на стр.
24—26 книги [8] следует, что
(2.9) X (Г) — неособое Л-мерное алгебраическое комплексное мно
гообразие.
(2.10) Отображение д: X (Г) -> С^, определенное на каждом С^ (0) как я (о): С^ (о) - ^ С^, является собственным отображением на С^.
Функции перехода между локальными картами многообразия X (Г) вещественны на вещественных частях локальных карт. Поэтому корректно определена вещественная часть многообразия X (Г), которую мы будем обозначать через У (Г). Ограничение проекции л на У (Г) будем обозна
чать той же буквой я. Мы имеем
(2.11) У (Г) — неособое /с-мерное вещественное алгебраическое мно
гообразие.
(2.12) я: У (Г) ^ - К^ — собственное отображение на К'^.
Нам понадобятся следующие леммы о У (Г).
Л е м м а 2.13. Пусть / (^с^ , . . ., л:/^) — сходящийся степенной ряд с вещественными коэффициентами (/ задает аналитическую функцию в
*) Скелетом выпуклого рационального конуса а называется множество прими
тивных целых векторов в гранях о размерности 1 (см. [8]).
окрестности нуля в К'^) и Г^ (/) = Г^ {К). Пусть а ^ 2 , А\т. о = к^
Тогда
1. / о я (а) [1/1 , . . ., 1/^ = г/;^(«Н-)) . . . урЛа)) 1^ {у^^ , , ., г/;,), где Уг ^ • ' "> Ук — координаты на С^ (а), /а (О, . . ., 0) =7^ 0.
2. Якобиан отображения л (а) равен у^^ . . . г/^^ «С, г5^ .4| ==
/с
== ( / ^/(^)) — 1 ' ^ = С0П81;.
3=1
3. Множество точек в К^, <9 которых п — т^е изоморфизм, является объединением некоторых координатных плоскостей.
Утверждения 2 и 3 прямо следуют из формул для я , утверячдение 1 следует из формул для я и эквивалентности всех векторов внутри конуса а (это означает, что диаграмма Ньютона р я д а / о я (а) в координатах У1^— -^ Ук ~ точка).
Л е м м а 2.14. Пусть / (^1 , . . ., ^к) — сходящийся степенной ряд с вещественными коэффициентами, Г^ (/) =^ Г^ (К) и главная часть ряда / нееырождена. Тогда многообразие У (Г) и проекция я : У (Г) - ^ К'^
вместе с аналитической функцией, определенной рядом / , удовлетворяют условиям (1.1), (1.2), (1.3).
Лемма 2.14 легко следует из условий невырол^денности, собственности отображения я , леммы 2.13 и следующей леммы 2.15.
Л е м м а 2.15. Пусть а е 2 , сИш а = к, I а {1, . . ., к}, Тх =
== {у ^С^ (о) \ Уг = О Уг ^ I, г/х , . . ., г/?е — вещественны}. Тогда 1. Следующие условия а) и б) эквивалентны:
а) для любого сходящегося степенного ряда / {х-^ , . . ., Х}^) с веществен
ными коэффициентами и с Т^ (/) = Г^ {К) функция /ъд, зависящая от Уг, I ^ / , определенная на Тх и равная на Тх функции /а п. 1 леммы 1.13, есть многочлен;
б) я (а) [Тх] = 0.
2. Если главная часть ряда / невырождена и я (а) [Г/] = О, то мно
жество {у ^ Тх\ и (у) ~ 0} (функция /о определена в п. 1 леммы 2.13) неособо, т. е. градиент ограничения функции /о на Тх отличен от нуля в точках этого множества.
Доказательство следует из определения проекции я (а).
2.16. Н а б о р к р а т н о с т е й {{п, т)}у(^г) р а з р е ш е н и я ( Г (Г), я ) . (Определение набора {{п, т)}^ см. перед предложением 1.4.) Опишем пары, входящие в {{п, т)}^(Г)-
Пары в {{п, т)}у^г) параметризуются одномерными конусами из 2 со следующим свойством: если а е 2 , с11т о = 1, а^ (а)— единственный вектор, составляющий скелет конуса о, то а) т (а^ (а)) > О, б) если
к
т {а^ (о)) = 1, то V а]{а)ф1, где а1 (а),. . ., а1 (а) — координатывек- тора а^ (а).
Такому конусу о соответствует в {{п, т)}чг(Г) пара 1т {а^{а))у к
( \ а}(а) — 1 ^ ) (см. лемму 2.13).
7 = 1
Число — (т -\~ I) / п, соответствующее этой паре и участвующее в определении веса |Зу(Г) разрешения (У (Г), я) (см. его определение перед.
к
предложением 1.4), равно ( — \ а]{о)\ т{а^(о)) и имеет следующий геометрический смысл. Пусть ^^ — параметр точки пересечения прямой;
X. = - Х}^ = I, ^ е К, с гиперплоскостью (а} (а), х) = т {а^ (а)),
1г
тогда ( - ^ а) (а)) I т {о> (б)) = - {1^Г\
; = 1
2.17. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м 0.4 и 0.10. Пусть Т^Г = з и р р / . Построим по К многообразие У (Г) и его отображение зх: У (Г) -> К^.
Если главная часть ряда / невырождена, то согласно лемме 2.14 отобра
жение я: У (Г) - ^ К'^ вместе с / удовлетворяет условиям предложе
ния 1.4.
Из предложения 1.4 и п. 2.16 вытекает следующий
Способ вычисления арифметических прогрессий, удовлетворяющих заключениям теоремы 0.10 и п. 1 теоремы 0.4. По Г^ {К) определим разбиение 2^ со свойствами (2.1) — (2.3). С помощью алгоритма, описан
ного в теореме 11 на стр. 32 работы [8], построим разбиение 2 со свойст
вами (2.4) — (2.8). Теперь одна из искомых прогрессий — это отрицатель
ные целые числа, а остальные искомые прогрессии параметризуются одно
мерными конусами из 2 со следующим свойством: если а е 2 , (11т а = 1,
^^ (а) — единственный вектор, составляющий скелет конуса а, то
Л:
а) т {а^ (а)) > О, б) если т {а^ (а)) = 1, то \ а} (о) Ф1, где а^ (а) , . . . . . . . а^ (о) — координаты вектора а^ (а).
Такому конусу о соответствует арифметическая прогрессия { - ^ а ) { в ) ) 1т («1 (а)), ( _ 1 _ ^ а } ( о ) ) / /п (а^(а)), ...
В случае, когда / имеет комплексно изолированную особенность в нуле, т. е. когда
а1тсС«а;1, ...,ж,»^ (•^^, . . . , ^ ) < о о ,
имеется более конструктивный способ вычисления арифметических про
грессий, удовлетворяющих заключению п. 1 теоремы 0.4. (Заметим, что случай, когда особенность не изолирована, имеет коразмерность бесконеч
ность.) Согласно теореме Мальгранжа [1], если в разложении (0.3) интег
рала / (т, ф) коэффициент ар^ п (ф) Ф О, то е^"^^^ — корень характеристи
ческого многочлена монодромии в {к — 1)-мерных гомологиях слоя мил- норовского расслоения, ассоциированного с / (определения см. там же).
Способ вычисления этого многочлена по многограннику Ньютона (более конструктивный, чем предложенный выше способ описания арифметиче
ских прогрессий) будет приведен в нашей следующей статье.
Д о к а ж е м п. 2 т е о р е м ы 0.4. Пусть ^^ — расстояние от нача
ла координат до многогранника Ньютона Г^(/). По условию ^ о ^ 1 * Разберем два случая.
1 с л у ч а й . Пусть ряд I {х^^ , . . ,, х^) делится на одну из пере
менных :Г1 , . . ., х^^. Это означает, что ^^ ^ 1, т. е. ^^ = 1. В этом случае утверждение п. 2 теоремы следует из описания в п. 2.16 набора кратностей {{п, т)}у(Г), геометрического смысла чисел — (^ + 1)/п для пар {п, т) (см. там же) и предложения 1.4 (в этом случае вес (Зт^^^г) разрешения (У (Г), я) не больше —1).
2 с л у ч а й . Ряд } {х^, . . ., Х]^) не делится ни на одну из перемен
ных ^1 , . . ., о:/^. В этом случае из п. 2 леммы 2.15 следует выполнение условия п. 2 предложения 1.4 относительно отсутствия точки у и локаль
ной системы координат у^ ,. . ., 1/;^. Из п. 2.16 следует, что число — (^о)~^
равно числу РУ(Г) ИЗ предложения 1.4. Теперь п. 2 теоремы 0.4 следует из п. 4 предложения 1.4.
Д о к а ж е м пп. 3, 4 т е о р е м ы 0.4. Согласно п. 2.16 и условию
^0 >> 1 число р^(Г) равно — (^оГ^ и Ру(Г) > — 1. П. 3 теоремы 0.4 следует из п. 5 предложения 1.4. Для доказательства п. 4 достаточно доказать^
что число / из п. 4 теоремы 0.4 равно числу / из п. 3 предложения 1.4,^
и применить п. 5 предложения 1.4. Но равенство I = ] с очевидностью сле
дует из геометрического смысла чисел — {т -^- I) / п для (тг, т) е е {{п, т)}у(г^, приведенного в п. 2.16, и определения разбиения Е^.
2.18. Т е о р е м а . Пусть / : К^ - > К — функция, аналитическая в начале координат, й/ | о = О, /—ее ряд Тейлора, {о —расстояние от начала координат до многогранника Ньютона Г^ (/), ^о ^ 1, |3 (/) — показатель осцилляции функции / в нуле. Тогда р (/) ^ — (^о)"'^-
Д о к а з а т е л ь с т в о . По Г = : Г ^ ( / ) построим я : У-^У (Г) - > К^, как описано выше. В силу [2] существуют У, тс':У—>У (Г) такие, что пара {У, Яоя') вместе с / обладает свойствами (1.1) — (1.3). В силу ^^о > 1 ^^^
разрешения (У, поп') не меньше, чем — ^о^, и утверждение теоремы следует из п. 5 предложения 1.4.
§ 3 . Двумерный случай
В этом параграфе мы сначала докажем теорему 0.6, а затем и ос
тальные утверждения, сформулированные во введении, относительно функ
ций двух переменных. Доказательство теоремы 0.6, как и доказательство теоремы 0.4 в § 2, состоит в рассмотрении разрешения ростка в нуле нуле
вой линии уровня функции, в вычислении для этого разрешения данных,, входящих в условия предложения 1.4, и в применении предложения 1.4.
Итак, легко видеть, что теорема 0.6 следует из формулируемого и доказываемого ниже предложения 3.1, пп. 3, 5 предложения 1,4 и того очевидного факта, что для функции / двух переменных, имеющей в н у л е критическую точку с критическим значением О, ее высота ^ (/) не меньше 1, причем 1^ (/) = 1, только если / имеет в нуле невырожденный второй дифференциал.
Сформулируем предложение 3 . 1 . Пусть / — функция из теоремы 0.6,„
У — неособое вещественное 2-мерное аналитическое многообразие, п: У - ^ К^ — собственное аналитическое отображение в К^, обладаю
щее вместо с / свойствами (1.1) — (1.3). Пусть пара {У, п) — минималь
ная пара с такими свойствами, т. е. для любых {У, п'), обладающих вместе с / свойствами (1.1) — (1.3), существует собственное аналитическое отображение гр : У -> У такое, что п' = п^р.
П р е д л о ж е н и е 3.1. 1. ^у = — {I: (/))~^, где |3у — вес разреше
ния (У, п), определяемый в § 1.
2. Существует локальная аналитическая система координат у в нуле в К^, для которой — 1у^ = ^^, где 1у {определено в п. 0.5) — рас
стояние от начала координат до многогранника Ньютона.
3. а) Если суи^ествует приспособленная к / система координат у у для которой точка (1у, 1у) {в стандартной системе координат) лежит на пересечении двух ребер многогранника Ньютона Г^ (/у), то число /, опре
деленное по /, У, п в п. 3 предложения 1.4, равно 2. б) Если указанной в п. а) системы координат не существует, то ] = 1.
Предложение 3.1 будет доказано в пп. 3.7—3.14. В его доказательст
ве будет использована лемма 3.2.
Для формулировки леммы нампонадобится функция т: {а^ К'^* | а^,...
. . . , «7с ^ 0} —^ К^? определенная в § 2 по подмножеству ^ в N'^.
Пусть я^: С^ -^ (? — аналитическое отображение такое, что яко
биан / (х^, , . . ., :г/с) отображения щ равен :г^' . . . х^^ / (^1 , • • •, ^/с)»
где ^1 ,. . ., х-1^ — координаты в С^, / (О, . . ., 0) т^ 0. Пусть Яз*. С^ ->
~> С^ — отображение, заданное формулами
XI о Я2 Х^
ч
,Хи
где а\ е N, (1еЬ (а]) == + 1 -
Пусть задана функция ^ (^1 , . . ., ^/с), аналитическая в нуле в С^. По
ложим / {х-^ ,. . ., х^) = х1\ ^ ^ х^^ ^ (х^, . . ., х^), где гг^ ,. . ., щ N.
Положим а^ = («1 у. • -у «1)? ^ = (^1 5- » •? ^;?)?
К , . . ., щ).
^2/
^
Ш^ШШ х^^*т шШ%Ш
^ ^ ^ ш
\ (п,а)Х 1^с^
Рис. 1.
Пусть т^{а^) — число, определенное для вектора а^ по подмножеству
«ирр (^ (х-^ , . ..,:г/с))С1 N^ в § 2. Обозначим через ^о параметр точки пе
ресечения прямой {х ^ Я^ \ XI = ^ (т1 + 1) — П1, ^ ^ В., ь = 1 , . . .,к}
и гиперплоскости]о;еК^\^ а}а;; = т ( а Ы . Обозначим через Р (О число
— {т (1) + 1)/п (О, где т/г (г) — кратность нуля якобиана отображения щоп^ на гиперплоскости {х ^ Я!^ \ Х1 ~ 0}, п {1)— максимальная сте
пень переменной х^, делящая /оЯд.
к Л е м м а 3.2. 1. т (1) + 1 = (т, а') + V а].
У = 1
2. п (О = (?г, а^) + т (а').
3. ИО - - М-'.
4. Пусть к = 2, т^ = п^ = 0. Предположим^ что п — максималь
ная степень переменной х^, делящая § (х^, 0), конечна и п <Сщ / (т^ + 1).
Тогда а) — р {() > (т^ + 1) / /гз", б) если у — компактное ребро много
гранника Ньютона Г^ (^), лежащее на прямой а-^х^ + «2^2 = /тг, т о длина его проекции на ось х^ строго меньше значения параметра точки пересече
ния прямой х^ = !:, х^ = {т^ -\- ^-)^ — ^2? ^ ^ К , с прямой а-^х^^ + «2^2 —
= т.
Пп. 1—3 леммы 3.2 очевидны. Доказательство п. 4 следует из рис. 1.
