Сер. матем., 1988, том 52, выпуск 1, 139–163

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. Р. Яфаев, Квазиклассическая асимптотика сечения рассеяния для уравнения Шредингера, Изв. АН СССР.

Сер. матем., 1988, том 52, выпуск 1, 139–163

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглаше- нием

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 18:11:34

СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 52, № 1, 1988

УДК 539.101

ЯФАЕВ Д. Р.

КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА СЕЧЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

§ 1. Введение

Сечение рассеяния — одна из основных квантовомеханических на<

блюдаемых. Величина полного сечения, грубо говоря, показывает, на*

сколько рассеяние на потенциале отличается от движения соответствую­

щей свободной частицы.

Пусть и (со; k, gq) —полное сечение рассеяния (точное определение сем. в § 3) для уравнения Шредингер'а

—A^ + gq(x)^ = k2^ (1.1)

с потенциалом gq{x), x<=Rw, m ^ 2 , при направлении падения coeSm _ 1

и значении k>0 волнового числа (k2— энергия) рассеиваемых частиц.

Массы частиц мы считаем равными 1/2, постоянную Планка — равной 1.

Величина о конечна, если

q(x) = 0(\x\-a), |*|-мх>, (1.2) где 2а>т +1. Известные результаты о поведении о(со; k, gq) при &-^оо,

g-+oo подробно обсуждались в обзорной статье [1] (см. также введе­

ние к [2]). В частности, отмечалось, что при условии (1.2) и некоторых предположениях о локальном поведении q(x) асимптотика о (со; k, gq) в области k^k0>0, N:=g(2k)~i-^0 описывается теорией возмущений

(борновскюе приближение). Напротив, случай N-^оо теории возмуще­

ний не поддается. В этом случае характер асимптотики сечения рассея­

ния качественно зависит от поведения потенциала q(x) при \х\—^оо.

Мы будем рассматривать функции q(x) со степенной асимптотикой

?(х) = |^Г^аф(х) + о(|хр^а), x = x\x\-¹^S^m~\

ф£ЕС($т-*), |*|->оо. (1.3) В работе [3] быда высказана гипотеза, что для таких потенциалов

асимптотика а (со; k, gq) при N-^oo определяется лишь асимптотикой q(x) при |х|->оо, причем ее можно найти следующим образом. Обозна­

чим через Ли ортогональное дополнение в Rm к вектору со, и пусть Scom_2— единичная сфера в Лш. Для cp<EEScom-2 положим

я

Й(со, ф) = rcD(cocose + 9sine)sina-"29(i0. (1.4)

о

Пусть также х = %(а) = (т—1) (а—I)-1, Г(-) —гамма-функция,

^0)(со;Ф) = я [ ( т — l)r(x)sIn(nx/2)]-1 J | Й (со, ср) fdep. (1.5)

m-2

" 139

Гипотеза работы [3] состоит в том, что при k^k0>0, N-^oo

o(a;kygq)~J{a0)(to;(S))Ny\ (1.6)

Аналогичная асимптотика приведена в [3] и для амплитуды рассея­

ния вперед.

Соотношение (1.6) было получено в [3], исходя из найденной там асимптотики по номеру собственных чисел матрицы рассеяния (при фиксированных k и g). Вывод (1.6) основывался в [3] на аналогии со сферически-симметричным случаем q(x)=q(\x\), который обсуждался ранее в книге [4]. В точном смысле доказательство (1.6) требует со­

вместной асимптотики собственных чисел матрицы рассеяния по номе­

ру и параметрам k, g. В сферически-симметричном случае такая асимп­

тотика описывается формулой квазиклассического характера [4]. Ее точное доказательство получено в [5]. Это позволило оправдать соот­

ношение (1.6) в области A/Woo, g³-^ak^2{a-²⁾-+oo (при т = 3 ) . Таким обра­

зом, условия справедливости (1.6) зависят от скорости убывания q(x) на бесконечности и тем шире, чем меньше число а в (1.3). Для неотри­

цательных функций q условия справедливости (1.6) еще расширяются и принимают вид JV-^oo, gka~2->-oo. Эта область выполнения (1.6) ука­

зывалась в книге [4], где, однако, как и в [3], условие на знак q не было подмечено. Тем не менее в рассматриваемом вопросе условие q^O связано с существом дела — без него асимптотика (1.6) во всей области А/-^оо, gka~2-^oo заведомо не выполняется. Именно, как пока­

зано при т=3 в [6], для функции q с нетривиальной отрицательной частью при любом k>0 найдется такая последовательность gl=gl(k)->- ->оо, что с(&, gi)^cgi/z. Это противоречит (1.6) при g-^oo, k = k0i если х > 5 . Такой «аномальный» рост c(k, gi(k)) при l-^oo является резо­

нансным эффектом и связан с наличием в поле gtq квазисТационарнрго состояния с энергией, близкой к k2.

Без условия сферической симметрии соотношение (1.6) для потен­

циалов q с асимптотикой (1.3) точно обосновано в [2] в области iV~-^oo, g^4okz- Число ^о предполагается в [2] малым, но для q, удовлетворяю­

щих условию типа отталкивания, может быть произвольным. Отметим, что случай g=yk2-^oo отвечает так называемому квазиклассическому предельному переходу, когда постоянная Планка стремится к нулю, а остальные параметры задачи фиксированы. В более широкой области N^N0>0, k^k0>0 известны [7, 8] оценки сверху для сечения рассея­

ния, усредненного по малому интервалу k. Именно в [7, 8] показано, что при условии (1.2) усредненное сечение рассеяния не превосходит CN". В соответствии с гипотезой (1.6) эта оценка является точной по порядку. Для финитных q с носителем в шаре радиуса г ^ г0> 0 усред­

ненное сечение рассеяния оценено в [7, 8] через Сгт~\ В контексте абстрактной теории рассеяния оценки такого типа были установлены ранее в [9].

Цель настоящей работы состоит в доказательстве того, что соот­

ношение (1.6) справедливо во всей области А^-оо, gka~2-^oo, если его левая часть усредняется (интегрируется) по малому интервалу k. Как уже отмечалось, без усреднения формула (1.6), вообще говорящие вы­

полняется. Одновременно с (1.6) в той же области изменения парамет­

ров k и g мы устанавливаем аналогичную асимптотику амплитуды рас­

сеяния вперед. (Точную формулировку этих результатов см. в теоре-

ме I.) Подчеркнем, что условия А/->оо, gka~2-+oo справедливости усред­

ненного соотношения (1.6) не зависят от размерности пространства, но условия конечности сечения ( 2 а > / п + 1 ) и амплитуды рассеяния вперед (а>т) от т, разумеется, зависят. Соотношения Nr+oo, gka~2-*oo вы­

полнены во всей области k^k0, N-^oo и, в частности, допускают квази­

классический предельный переход g=^k2-^oo ,и предел по большой кон­

станте связи g-^oot k—kQ. He исключается и случай k-^О, причем область параметров (k, g), в которой выполнено (1.6), тем шире, чем меньше а. При т ^ З , когда а > 2 , всегда требуется, чтобы g->oo. Одна­

ко при т=2 и а е ( 3 / 2 , 2] условия Af->oo, gka-2-^oo справедливы и при g=g0 (и даже при g-*0), &->0. Таким образом, при т=2 и а е ( 3 / 2 , 2]

соотношение (1.6) дает низкоэнергетическую асимптотику амплитуды рассеяния. Это находится в согласии с результатами [10], где в ра­

диальном случае было показано, что для потенциалов, убывающих на бесконечности медленнее чем |#|~2, низкоэнергетическое рассеяние является квазиклассическим.

Отметим еще статью [11], посвященную изучению низкоэнергетиче­

ского рассеяния (при g=gQ) на сферически-симметричных потенциалах при т=3 и а е ( 1 , 2), когда полное сечение бесконечно. Асимптотика амплитуды рассеяния на ненулевой угол, вычисленная для таких потен­

циалов в [11], также оказалась квазиклассической.

По построению настоящая работа следует схеме статьи [2], но от­

личается от нее в аналитическом отношении. Для доказательства усред­

ненного соотношения (1.6) мы рассматриваем порознь различные облас­

ти конфигурационного пространства Rm. Выясняется, что асимптотика сечения определяется областью, где \х\ имеет порядок Nv, v=(a—1)~\

В этой области потенциал q(x) можно заменить его асимптотикой

|х|~^аф(х) и свести задачу масштабным преобразованием к «критиче­

скому» случаю JV = const. Рассмотрение случая N = const представляет самостоятельную задачу, которая была решена в [2] с помощью так на­

зываемого приближения эйконала. Доказательство того, что область ] х |N~v^oo не дает вклада в асимптотику, сравнительно несложно и мо­

жет быть получено по теории возмущений. Напротив, оценка вклада об­

ласти \x\N-v-+0 является центральным местом работы. В [2] эта об­

ласть рассматривалась на основе подходящей оценки для резольвенты оператора Шредингера Н. В общем случае N-^oo, gka~2-^oo — такая оценка заведомо отсутствует. Именно при рассмотрении шара | # | ^ г^о(АЛ') и возникает необходимость в усреднении асимптотики. Для по­

тенциала с носителем в шаре радиуса г усредненное сечение рассеяния не превосходит Сгт~1. Поэтому естественно ожидать, что и разность усредненных сечений рассеяния на потенциалах gq и gq^u различающих­

ся лишь в шаре | х | ^ о ( А ^ ) , также не превосходит o(Afv(m_1)) =o(NK).

Наше доказательство этого результата близко по идеологии к рассмот­

рениям работ [7, 8], но требует изменения «невозмущенной» задачи.

По техническим причинам вклад области \x\N-v>-^oo также удобно учесть в терминах усреднения. Подчеркнем, что на всех этапах ампли­

туда рассеяния вперед рассматривается параллельно с сечением рас­

сеяния.

Асимптотика амплитуды рассеяния в направлении, отличном от на­

правления падения (не вперед), исследовалась в квазиклассическом пределе g=yk2-+oo в работах [12—14J. Рассмотрения этих работ осно-

141

ваны на построении волнового поля во всем Rm (а не только в области

\x\~N^v) и существенно опираются на метод канонического оператора Маслова [15]. По сравнению с [ 12—14] при изучении амплитуды рас­

сеяния вперед (и сечения рассеяния) для потенциалов с асимптотикой (1.3) оказалось достаточно более элементарных соображений. Отметим,, что исследование этих величин для финитных потенциалов также тре­

бует в [13] применения канонического оператора.

Рассмотрение усредненнного по k сечения рассеяния позволяет не делать никаких локальных предположений о возмущении. Именно, мы считаем, что функция q(x) ограничена лишь при достаточно боль­

ших \х\. Локальное возмущение произвольно и даже не обязано сводиться к умножению на функцию. Допускаются, например, любые сингулярности q(x) и возмущения оператора HQ = —A дифференциальны­

ми операторами произвольного порядка, но с финитными коэффициента­

ми. Допускается также гамильтониан Я, порожденный дифференциаль­

ным выражением —A-\-gq(x) и какими-либо самосопряженными гра­

ничными условиями во внешности некоторого шара; внутри этого шара Н — произвольный самосопряженный оператор. При таких широ­

ких условиях стационарная постановка задачи рассеяния отсутствует.

Нестационарными средствами, однако, и в этой обстановке удается оп­

ределить амплитуду и сечение рассеяния, а для соответствующих усред­

ненных величин получить эффективные оценки сверху.

Наш подход позволяет изучить и высокоэнергетическое рассеяние для сильно сингулярных потенциалов, когда борновское приближение не применимо. Оказывается, что в этом случае поведение сечения рас­

сеяния также описывается формулой вида (1.6). Именно в предполо­

жении

д(х) = \х\-&Е(х) + о(\хГ\ S G C ( S n |x|-»0, (1.7) где 2 ( 3 > т + 1 , мы устанавливаем, что при А^О, g№~2-+oo в усреднен­

ном смысле справедливо соотношение

о (со; £, gq) ~ df К а) № , х = х ф) = (т - 1) (Р - 1)'\ (1.8) По сравнению с регулярным случаем, когда согласно формулам борнов- ского приближения a~o0N2- при А/-Я),- для потенциалов вида (1.7) се­

чение рассеяния убывает медленнее (в (1.8) обязательно х < 2 ) , и его асимптотика определяется только особенностью q(x) при | я | - ^ 0 . Для потенциалов q(x) = \х\~аФ(х) усредненная асимптотика (1.6) (или

(1.8), что в этом случае то же самое) выполняется во всей области gka~2-^oo. Предположения N^oo или N-+-0 требуются соответственно лишь для выделения асимптотики q(x) при |х|->оо или при |х|->0. От­

метим, что при q(x) =q(\x\) и т = 3 для потенциала с положительной сингулярностью ( В > 0 в (1.7)) асимптотика (1.8) установлена в [5] в поточечном смысле (без усреднения по k).

Опишем коротко структуру работы. Основной результат (теорема 1) формулируется в §2. Точные определения (при отсутствии локальных ус­

ловий на q(x)) амплитуды и сечения рассеяния приведены в § 3. Здесь же на полуабстрактном уровне заготовлены оценки сверху для их усреднений. С помощью этих результатов в § 4 получены конкретные

оценки сверху для усредненных амплитуды и сечения рассеяния. Сведе­

ния о «модельной» задаче Af=const составляют § 5. На основе результа-

тов §§ 4 и 5 в § 6 завершается доказательство основной теоремы. Нако­

нец, сингулярные потенциалы рассмотрены в § 7.

Через Сие всюду обозначаем различные положительные постоян­

ные, точное значение которых безразлично. Интеграл без указания пре­

делов означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Символами || • II и (•, •) обозначаем норму и скалярное произведение в различных функциональных пространствах; при возмож­

ности недоразумения зависимость от пространства обозначается индек­

сом внизу. Если не оговорено особо, сходимость операторов понимается, в смысле сходимости по норме.

§ 2. Основная теорема

Напомним прежде всего определения обсуждавшихся во введении:

объектов. Константу связи g в обозначения пока вводить не будем. Амп­

литуду и сечение рассеяния мы определим через матрицу рассеяния для.

оператора Шредингера Я. Пусть Я0 =—А — самосопряженный оператор^

с областью определения <2>(Я0) в гильбертовом пространстве Ж =

= L2(Rm). Будем считать, что для некоторого числа г(0) функция v(x) ограничена при \х\^г{0). При | х | ^ г( 0 ) мы не делаем о v(x) никаких, предположений. По определению Я — произвольный самосопряженный- в Ж оператор такой, что

Hf = ^-Af+v(x)f, (2.1), если f<=£D{HQ) и f(x)=0 при | х | ^ г( 0 ). Пусть £(6; Я) —спектральный

проектор оператора Я, отвечающий интервалу (или борелевскому мно­

жеству) 8, Р{Н)—проектор на абсолютно непрерывное подпростран­

ство оператора Я, Ж*С(Н) = Р(Н)ЖУ U(t, Я) - e x p (—ЯЯ). Мы часто по­

лагаем U(t) =U(t, Я ) , U0(t)=U(t,H0) и т. п.

При условии

\v(x)\^C\x\-«, |*|>r<°>, X2.2>

где а > 1 , для пары Я0, Я существуют (см. § 3) сильные пределы

W± (Я, H0) = s— lim U(t)*U0(t). (2.3), Коль скоро пределы (2.3) существуют, волновые операторы W± =

= W±(H, Я0) изометричны и обладают сплетающим свойством Е(б) W± =

= W±E0{8). Отсюда, в частности, следует, что их области значений

&l(W±) содержатся в Ж*с. Однако при отсутствии предположений о v(x) в шаре | х| < г( 0 ) полнота W±, т. е. равенство &(Ш±)=Ж*С\ может терять­

ся. Поэтому и оператор рассеяния 9>= W+*W- не превосходит по норме 1, коммутирует с Я0, но может быть не унитарным. Содержательные при­

меры такого типа (примеры Пирсона) приведены в книге [16]. Для оп­

ределения матрицы рассеяния рассмотрим спектральное представление оператора Я0. Пусть Ж = Ь2(К+; '9t; 2kdk)—пространство вектор-функ­

ций, принимающих значения в 9i = L2(Sm_1) и квадратично интегрируе­

мых по мере 2kdk на R+= ( 0 , oo). Унитарное отображение F0 простран­

ства Ж на Ж зададим равенством

(F0/) (k\ со) = 2~Чт/2~1 (2я)"т/2 j <rik«»'*>f (x) dx, (2.4) Тогда FQHQFQ* СВОДИТСЯ В Ж к умножению на k2. Поскольку ЗР коммути­

рует с Я0, оператор F^F^ действует в Ж как умножение на оператор-

на

функцию S(k): 3t->9l, называемую матрицей рассеяния. Ясно, что J|S(&)||^1 для почти всех (п. в.) feeR+.

Как выясняется в § 3, при условии 2 а > т + 1 оператор S(k)—/ при­

надлежит для п. в. k^R+ классу Гильберта — Шмидта и, следовательно, является интегральным. Запишем его ядро в виде £&т-1(2я)-?7г+1а(ф,со; к).

Функция а(ф, со; k) называется амплитудой рассеяния в направлении ф при направлении со падающей плоской волны (или* в других терминах, потока квантовых частиц) и значении k волнового числа (k2 — энергия рассеиваемых частиц). В терминах амплитуды полное сечение рассея­

ния для направления падения со вводится равенством

а (со; k) = (2nTm+1kmrml J | а (Ф> со; k) |2 Лр. (2.5) Тем самым амплитуда рассеяния определена для п. в. & > 0 и п. в.

(ф, ( o ) ^ Sm - 1X $m~ \ a сечение рассеяния определено и конечно при п. в, fe>0 и п. в. ©GSm_1. При необходимости зависимость различных величин от потенциала отражается ниже в обозначениях; например, а(<р, со; k) =

= а(ц), со; k, v). Напротив, в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям, обозначение зависимости от некоторых параметров, например ф, со или k, часто опускается.

Для регулярного случая, когда функция v(x) ограничена при \x\^L

^ г( 0 ), стационарная постановка задачи рассеяния описана, например,

в [2J, где, в частности, приведены явные выражения для а и а через резольвенту оператора Н. В регулярном случае сечение а (со; k) непре­

рывно по co^Sm_1 и й > 0 , если 2а;>>,т+1, a амплитуда а(ф, со; k) непре­

рывна по ф, co^Sm _ 1 и &>0, если юО>т. Усредненные величины оказы­

ваются непрерывными по со и ф и без локальных предположений.

Приведем теперь точное определение усреднения. Для любой функ­

ции f(k), локально интегрируемой по R+, положим

r)(p)=<jf(P)p4P)dp, (2.6)

где нам удобно считать, что p<=C02(R+). Определение (2.6). распростра­

няется и на (интегрируемые по Бохнеру) оператор-функции f(k). Для того чтобы связывать функцию /(av) со средним значением / в окрест­

ности' какой-либо точки fe>0, положим, рм(р) =1~'%{(р—k)/l)9 где

. 5 G C0 2( R ) , supp£cz[ — 1 , 1] и f £2( p ) d p = l . Считая функцию £ фиксиро­

ванной, обозначим

/<av)(*,0 = / r ( * , 0 - /( a v )( P w ) . (2-7)

Ясно, что если £— характеристическая функция интервала (—1/2, 1/2), то /Vav) (k, I)—среднее значение / на интервале (k—1/2, Й+//2).. Нам, однако, приходится считать £ функцией класса С2. Для корректности определения (2.7) нужно, конечно, предполагать, что /<&.. Впрочем, ве­

личину (2.7) естественно называть усредненным значением функции f в точке k лишь при более сильном условии l = o(k). Мы допускаем зави­

симость параметра усреднения / от k и g. При этом чем меньше /, тем ре­

зультат о сходимости усредненных величин становится сильнее (см.

ниже лемму 1). В частности, обычная сходимость обеспечивает усред­

ненную для сколь угодно быстрого стремления / к нулю.

Теперь мы можем сформулировать основной результат работы. Как и в § 1, полагаем v=(a~I)-1, х = {га— 1) (а—1)~\ N = g(2k)-\ a функ-

цию Q определим равенством (1.4). Наряду с (1.5), нам понадобится обозначение

Х(со, Ф) = i(т— 1)"ХГ (1 — х) х

х j | Q (оз, ф) |к ехр [2~гшк sgn Q (со, <р)] dq>. (2.8)

5 CD

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполнено условие (1.3). Тогда при N->oo9

gka~2->-oo и условиях lNv-*oo, 1 = 0 (k) на параметр усреднения имеют

место соотношения , N~"afv) (со, со; k, gq, I) - * X (со, Ф), а > т , (2.9)

АГ*сг£ау) (со; /г, gqf, 0 ~> Л£0) (со, Ф), 2а > т + 1. (2.10) Предельные переходы (2.9), (2.10) равномерны по функциям £, для

которых supp^cz [—1, 1] и С2-нормы равномерно ограничены.

Теорема 1 допускает некоторые усиления и модификации. Так, при рассмотрении сечения за счет его неотрицательности можно перейти к усреднению по интервалам. Именно справедливо

З а м е ч а н и е 1. В условиях теоремы 1 соотношение (2.10) сохраня­

ет силу, когда £ — характеристическая функция промежутка (—1/2, 1/2).

В теореме 1 речь идет об обычной сходимости усредненных величин.

В то же время справедливо аналогичное утверждение о сходимости в среднем не усредненных величин. Сформулируем такой вариант тео­

ремы 1. . З а м е ч а н и е 2. В условиях теоремы 1 имеют место соотношения

Г1 J [fe/(2p)p а (со, о); р, gq) - Ла (со, Ф)] £2 {{р - k)/l) dp -> 0, (2.11) П j | (g/(2p)T"e (со; /7, gq) - J® (со, Ф) | Z? ((p - k)/l) dp - * 0. (2.12) Кроме того, условие l = o(k) здесь можно заменить предположением l^8k, ' б < 1 , а в (2.12) считать £ характеристической функцией интер­

вала (—1/2, 1/2).

Подчеркнем, что в (2.12) интегрируется абсолютная величина. Такое усиление по сравнению с (2.11). возможно опять за счет неотрицатель­

ности сечений рассеяния.

Теорема 1 допускает стремление параметра усреднения / к нулю (в случае k-^0 ограничение /~>0, разумеется, необходимо), хотя и более медленное, чем N~v. При этом справедливость (2.9), (2.10) для всех функций £<=C02(R) обеспечивает их выполнение для большего значе­

ния lu U^U параметра усреднения (см. ниже лемму 1). Это сообра­

жение понадобится нам и при доказательстве теоремы 1.

Существенным упрощением доказательства теоремы 1 получаются оценки сверху для амплитуды и сечения рассеяния.

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнено условие (1.2). Тогда в области N^c, gka~2^c при условиях Wv^c, l^.\8k, б < 1 , на параметр усреднения I справедливы оценки

1 4а У )( ф , о ) ; й , ^ , / ) | < С ^ , а > т , (2.13)

^а у )К * , С Т , 0 < С Л Г , - 2 а > т + 1 . (2.14)

Оценки (2.13), (2.14) равномерны по функциям £, для которых supp£cz

<=:[•—1, 1] и С2-нормы равномерно ограничены. Кроме того, в (2.14) до­

пускается, что t, — характеристическая функция интервала (—1/2, 1/2).

Ю Серия математическая, № 1 145

Подчеркнем, что оценка (2.13) справедлива при всех ф, © E S "1"1.

В то же время асимптотика амплитуды рассеяния находится в теореме 1 лишь для совпадающих аргументов ф = со. Оценка (2.14) близка к основ­

ному результату статьи [8]. По сравнению с [8] в теореме 2 рассматри­

вается несколько более широкая область параметров (k, g): именно,»

в ней не исключается случай &->0. Кроме того, в отличие от [8] в тео­

реме 2 допускается, что /->0.

Наши рассмотрения предварим установлением связи между усредне­

ниями по интервалам разной длины. Покажем, что в классе функций

£ e C0 2( R ) , supp£c:[—1, 1] (но, возможно, не для индивидуальной £) величина /Vav)(&, I) при / ^ 1 оценивается через /Vav)(&> 1). Обозначим через <§, ffczCo2(R), класс функций у], С2-нормы которых ограничены единицей и таких, что suppr] погружается в некоторый интервал Л, дли­

ны 2.

ЛЕММА 1. Пусть /г;>!1, / > 1 , k>l Тогда

\ft\Kl)\^C sup \f"»m.- (2.15)

Не ограничивая общности, считаем число / целым. Рассмотрим на ин­

тервале (—/, /) разбиение единицы, получаемое из сдвигов на постоян­

ное число (например, 1) фиксированной функции 6^Co°°(R). Именно,, подберем 0 так, чтобы

^ 62(р —s) = l (2.16)

s=-l

при — / < р < / . В качестве 9(р) можно взять четную относительно р функцию такую, что в(р) = 1 при р е [ — 1 / 3 , 1/3,], 6 ( р ) = 0 при | р | > 2 / 3 и 02(р)+е2(р—1) = 1 при р е [ 1 / 3 , 2 / 3 ] (т. е. ва(р)—1/2 нечетна отно­

сительно точки р=1/2 при р ^ [ 1 / 3 , 2/3]). Согласно (2.16)

? ( ( р_ m = 2 Z? ( ( р - k)ll)В2 {p-k-s),

s=-l

а потому в соответствии с (2.6), (2.7)

/ Г > ( М = П 2 /

(%.^s), (2.17)

где

•т|*л.(р) = в ( р - Л - s ) S ( ( p - * ) / / ) . (2.18) Ясно, что за счет первого сомножителя в (2.18) suppr|M)S содержится в

промежутке длины 4 / 3 < 2 , а в силу условия / ^ 1 нормы в С2 функции T|ftii,8 ограничены равномерно по &, / и s. Из (2.17) вытекает, что

|/f

(M)|<C sup l/

Ws)|.

Правая часть здесь оценивается через правую часть в (2.15).

§ 3. Вспомогательные сведения об амплитуде и сечении рассеяния В этом параграфе мы приведем нестационарные определения усред­

ненных амплитуды и сечения рассеяния и найдем условия их конечнос­

ти. Эти условия проверяются в следующем параграфе. Наши построе­

ния мотивированы работами [7, 8], где рассматривалось усредненное

сечение рассеяния. Наряду с обычными амплитудой и сечением рассея­

ния на потенциале v, нам понадобятся понятия относительных амплиту­

ды а(со, ю'; k, v, Vi) и сечения cr(co; k, v, t;A), когда рассеяние на потен­

циале v сравнивается с рассеянием на потенциале vim Будем считать, что

К(*ЖС(1 + И Г \ (3.1)

а функция v(x) удовлетворяет оценке (2.2), так что

\v(x)—v1(x)\^C\x\-\ | * | > г( 0 ). (3.2) В шаре | х | ^ г( 0 ) мы не делаем относительно v(x) никаких предположе­

ний.

Приведем необходимые нам сведения из стационарной теории рас­

сеяния для оператора Hl = H0-\-vi с ограниченным потенциалом v±. Пусть R(k, 8, vi) = (H0 + vi—k2—is)-1—резольвента оператора Я4; Хт — оператор умножения на ( | х | + 1)~т- Хорошо известно, что при а4> 1 , 2 7 > 1 оператор-функция X1R{k, г, v^X^ имеет предел при s->0, и этот предел непрерывен по &>0. Допуская некоторую вольность в обозна­

чениях, полагаем R(k, vi)-=R(k9 + 0 , и4). Разумеется, оператор R(k, vt) корректно определен в Ж лишь после умножения на Хь 2у>.1, с обеих сторон. При 2 а1> т + 1 для любых #>>!0, co^Sm _ 1 равенствами

ар (о), k, vx) = яр0 (со, k) + Э (со, k, vx), Э (со, k, Vl) = — R (k, v±) vx% (©, k\

•фо(х, со, k) = exp (f£<i(o, x)) (3.3) определим волновую функцию гр, отвечающую направлению со падающей

плоской волны ар0(со, &)• Ясно, что Хт0(со, &, и4)&3^ при 2 у > 1 и Хт9(со, &, у^ непрерывно зависит от ©GSm_1 и &>0. Волновая функция ip(i>i) удовлетворяет уравнению Шредингера (1.1) с потенциалом vt. Положим для краткости Rl = R(vi), ipi=ip(i>i) и т. п. Положительный спектр оператора Hi абсолютно непрерывен, так что P1 = Ei(R+). В тер­

минах яр± устанавливается каноническое унитарное отображение Fx

пространства Ж1 = Р1Ж на модельное пространство Ж, при котором опе­

ратор FiHiF* сводится к умножению на k2. При /eC0°°(Rm) оператор Fx

определяется равенством (ср. с (2.4))

(FJ) (k\ со) =2~Y2km/2-1 (2nTm/2 J ipi(x, со, kjf (x) dx. (3.4) По непрерывности Ft продолжается до ограниченного отображения Ж

на Ж, причем Fi изометрично на Ж^ и F±f = 0 при \^ЖОЖ^ Ниже Ft

рассматриваем только на Ж±. Далее, пусть F1(+ ) — интегральный опера­

тор с ядром, комплексно сопряженным к (3.4). Через 771(+) и F^: =Ft

выражаются волновые операторы для пары Я0, Н^

W±(H1,H0) = F{±)y0. (3.5)

Пусть / — умножение на вещественную функцию y]eC°°(Rm), рав­

ную 1 при достаточно больших | х | . При а - > 1 , aij;>il существуют волно­

вые операторы

W± (Я, Н±\ J) = s - lim U (tf JUX (t) Ръ (3.6)

t->±GO

причем W±(H9 Я*; / ) = :W± от / не зависят, изометричны на Р±Ж и обла*

дают сплетающим свойством E(fi)W± = W±Ei{6). Поясним это утверж­

дение. При а^>1 и / = / существуют и полны волновые операторы W±{HU Я0). Пусть ц(х)=0 при J x | ^ r( 0 ). В силу признака Кука при

10* 147

а > ' 1 существует W±(Hy Я0; / ) . Теперь существование предела (3.6) сле­

дует из теоремы умножения волновых операторов. Предел (3.6) от / не зависит, так как

s— lim KU1(t)P1 = Of

если К — умножение на ограниченную функцию, стремящуюся к нулк>

при |#|->оо. В рассматриваемой нами обстановке существование пре­

дела (3.6) является следствием проводимых ниже оценок (см. лемму 4 ) . Из перечисленных свойств волновых операторов вытекает, что опера­

тор рассеяния 9)\ = W^W- коммутирует с Н1 и ||5^|[^1. Поэтому опера­

тор F£PF? действует в Ж как умножение на оператор-функцию S(k):

$1->% которую мы и называем матрицей рассеяния для пары Ни Н. Опе­

ратор 3(k) определен для п. в. & > 0 и ||5(&).||^1. Положим S(k)—/=*

В регулярном случае, когда функция v(x) ограничена при \х\ ^г{0\.

можно доказать (см., например, [2J), что при 2сх1;>/?г+1, 2y>m-{-l оператор A(k) принадлежит классу Гильберта — Шмидта ®г и непреры­

вен по # > 0 в норме ||-||2 этого класса. Для регулярных v(x) амплитуда рассеяния а(со,о/;&) корректно определяется для п. в. (со, c o O ^ S ^ ^ X

X Sm - 1 как ядро оператора A (k). Более того, при y~>m относительная

амплитуда а (со, со'; k) непрерывна по со, o/eS™-1, .&,>;0. При отсутствии локальных предположений о v(x) стационарное определение А (к) на­

талкивается на затруднения. Тем не менее нестационарными средства­

ми можно показать (см. ниже лемму 4), что при'2а4>-/п+5, 2у>1пг-{-1

J||2(^)||22p2(^^m"1^<oo, PGC^{2 0}(R⁺). (3.7) Отсюда следует, что A(k)^&2 при п. в. & > 0 . Поэтому A{k) — интег­

ральный оператор с ядром #(•, •; ^)^L2(Sm~1XSm~1) при п. в. #>()..

Как и в регулярном случае, ядро а (со, со7; k) называем амплитудой рас­

сеяния. Теперь а (со, со'; k) определена при п. в. i > 0 и п. в. (со, с о ' ) е

^Sm~1XSm _ 1. Тем самым при п. в. & > 0 и п. в. co^Sm _ 1 корректно опре­

деляется и сечение рассеяния

а (со; k) = (2nTm+1km-1 J | а (q>, со; k) |2Ар. (3.8) Таким образом, в отличие от регулярного случая в общей ситуации амп­

литуду рассеяния удается определить лишь при п. в. k>'0 и при боль­

ших предположениях о «невозмущенном» операторе Ни Заметим, что при доказательстве теоремы 1 рассматриваются лишь финитные функ­

ции v±. Впрочем, проводимые в этом параграфе построения остаются со­

держательными и при vi = Q.

Вместо самой амплитуды a(k) в работе изучается ее усреднение

a( a v )(p). Чтобы получить представление для a(av)(p) рассмотрим полу*

торалинейную форму оператора 9*—/ на элементах fu f2 вида fj=F*fjr

где

Ji(k\ ©) = 2"%-(2n)m/2A5"m/ap(A)z/((D). (3.9) По определению 9*

0 - Л / ь /2Ь = 2ш\[ р2 (k) (A (k) гъ г^ dk = 2ш (Л(ау) (р) гъ z2)m. (ЗЛО) Преобразуем левую часть (3.10), исходя из соотношения (3/6). Пусть

148

входящая в определение / функция ц(х) равна нулю при | # | ^ / *( 0 ). Тог­

да согласно (2.1) на £){Н^) =2D(H⁰) определен оператор

T = HJ—Ш, = — 2VTJV— ЛТ]+Т](У—v±). (3.11) При условии существования пределов (3.6) при \^&{Н^^\Р$ё спра­

ведливо представление

оо

( [

г

- ff_] /

/

) = t J (ти, (t) f

и (о /

) dt.

—•ЭО

В силу равенств W+*W+ = Pt и TF+i71(f) =f/(^)W^+ отсюда вытекает, что

оо

№-I]fbti*=-i \{Ти^)!ъ WJJ^f^dt. (3.12)

—оо

Снова пользуясь определением (3.6), представим здесь подынтеграль­

ную функцию в виде

(ти, (f) h, wjUAt) h) = (ти

(t) h, JU

(t) /

) -

oo

-i$(W1(t)LU4s)TU1(t + s)h)ds. (3.13)

0

Согласно (3.4) для элементов (3.9)

(U± (t) fi) (x) =\dk Jrfcop (k) e~imypг (х, со, k) г, (со). (3.14) Подставим (3.13) в (3.12). Тогда ([<?—I]fu /2) распадается на два сла­

гаемых. С учетом (3.14) первое из них преобразуем по равенству Пар*

севаля

оо

$(TU1(t)h,JU1(t)h)dt =

—ОО

= я Г Г ^ ^ с о ' г ^ с о О ^ Й f d * r y (А0(ЛГ1М< ^k)> Ф 1 К Щ- (ЗЛ5) Вводя обозначение

и(х, со, р, /) = f р ( k ) ^ (х, k, со)g-^d&, (3.16) запишем согласно (3.14) подынтегральную функцию в (3.13) в виде

(U(s)TU1(t)f1,TU1(t + s)f2) =

= Г J (t/ (s) 7и (со', р, 0, Ти (со, р, / + s)) г± (со') z2 (со) dco da>\ (3.17) Пусть Л'! (k) — интегральный оператор с ядром

аг (со, со'; k, J)=~(2k)~1 (ГТ^ (со', k), ^ (со, k)). (3.18) Тогда выражение (3.15) равно —2n(Al(p)z11 z2). Функция (3.18) назы­

вается борновской частью амплитуды рассеяния. Как и в регулярном случае, при 2 a i > m + l , 2y^>}m-{-l оператор At(k) принадлежит классу

Гильберта — Шмидта и непрерывен в норме @2 по &>0. Кроме того, при у>пг ядро (3.18) непрерывно по со, co'eS™-¹ и fe>0. Положим A2(k)=A(k)—Al(k). Сравнение равенств (3.12), (3.13) и (3.17) пока­

зывает, что

(A?v)(P)z1,z2) =

оо оо

= i (2л)"1 J dt\ds J J dorfo)' (17 (s) Ты (со', p, t), Ти (со, p, * + s)) zx (со') z2 (со).

149

Переставим здесь интегрирования по t, s с интегрированиями по со, со'.

Тогда оператор ЛУау)(р) оказывается интегральным с ядром

ОО ОО

a f (со, со'; р, J) = г (2Я)"¹ f Л f ds (U (s) Ти (со', р, t), Ти (со, р, / + s)). (3.19)

— СО О

Отсюда вытекает оценка

ОО ОО

|аГ)(со)со';р,«/)К(2яГ1 \ \\Ти(а',р,t)\\dt J \\Tu(a,p,s)\\ds. (3.20)

—СО —ОО

Коль скоро интегралы в правой части (3.20) сходятся и ограничены по со, проведенная перестановка интегрирований оправдывается ссылкой на теорему Фубини. Таким образом, верна

ЛЕММА 2. Пусть 2а1>т-{-1, 2 у > т + 1 . Предположим, что интегра­

лы в правой части (3.20) сходятся и ограничены по co^Sm~\ а также вы- полнено условие (3.7). Тогда A{k)==Ai{k)-\-A2(k), где A^k)—ин­

тегральный оператор с ядром (3.18), а ЛУау) (р)—оператор с ядром (3.19). Для ядра (3.19) справедлива оценка (3.20).

Ниже мы покажем, что при 2<x¹>m + 5, 2 y > m + l выполнено (3.7), а интегралы в (3.20) ограничены. Поэтому в силу леммы 2 при 2 a i >

> m + 5, 2 ^ > ^ + 1 ядро a2(av)(co> со7; р,/) ограничено (и непрерывно) по со, co'^S™-1. Определение слагаемого аДсо, со7; &, /) не требует усредне­

ния по k, но сама функция (3.18) задается лишь при п. в. (со, с о ' ) ^ 8т _ 1Х

XSm _ 1. В отличие от A^k) представление (3.19) для ядра оператора

A2(k) нуждается в усреднении. Это связано с тем, что правая часть (3.19) содержит функцию U(s, H) оператора Н. Подчеркнем, что ампли­

туда а от / не зависит, хотя слагаемые аД/) В разбиении a = a,i(J)-{-a2(J) от него зависят.

Получим теперь оценку сверху для усредненного сечения рассеяния.

Рассмотрим множество ^czS™-1 такое что при соей?-интеграл С dkp* (k) km~x Г dq I а(ф, со; k) |2

конечен. Согласно (3.7) 86 — множество полной меры в §т~\ В силу не­

равенства Шварца ядро Ъ (со, со7; р) оператора

В (р) = (2я)~т+1 Г A (ky A (k) p2 (k) k^dk

определено и конечно при со, с о ' е ^ . В частности, при с о е ^ имеет смысл диагональное значение &(со,со;р), причем по. определению (3.8)

3^)(ю,р)=&(о>,а>;р). (3.21) Оценим ядро Ь (со, со'; р). Аналогично (3.10) для элементов (3.9) име­

ет место равенство

№ - Ц /i, W - П /а) * = 2я (В (р) гъ z2)m. • (3.22) Рассмотрим левую часть (3.22). По определению оператора 9*

ОО

IФ- -1) h I < II (w+ - w_) f, | < j i w, {t) f, \\dt.

— CO

Далее, согласно (3.14)

\TU1 (t) fj f=\\ {Tu (со', p, t), Ти (со, p, t)) zf (со') zTI^dcodco'

(ср. с (3.17)), а потому : \

- оо

| | ( ^ - / ) / / 1 1 < ^ ( й |2 /( с о ) 1 5 Л | | ГМ( с о) Р, 0 1 . (3.23)

—оо

Сопоставляя (3.22), (3.23), найдем, что

оо

|(В(р)21,г3)о г|<(2яГ1 sup f Ц Г а К р . О О Л К и * ^ ,

coes

и, следовательно,

sup |Ь((о,со^,;р)|<(2я)~¹ sup Г \Tu((o,p,t)\dt.

©,(o'eaJ? ( o e Sm - 1 _

Тем самым в соответствии с (3.21) верна

ЛЕММА 3. В условиях леммы 2 имеет место оценка _._

оо

vrai sup a(av> (со; р) ^ (2я)-1 sup Г || 7"гг (со,

Поясним, наконец, соотношение (3.7). Пусть оператор Q9 действует в Ж по правилу

{Qj) (k; о) = 2"% (2я)т/2Гш/2р (&) J p (£') f (&'; со) 26 W , где QP=F*QPF1. Тогда при С р2 (&) 2М& = 1

(2я)-т+2 j || Л (ft) В р2 (ft) Г й = || (У - /) Qp 11 <

< f JlT£/iWQ

||.£ttY". (3.24)

Согласно (3.4), (3.16)

№ (0 QP /) (*) = j d© J 2kdk (Tu) (x, со, p, /) p (ft) / (ft; со), где f = Fifi а потому

II Тиг (t) Qp | = j | Tu (со, р, О |f da>. (3.25) Сравнивая соотношения (3.24) и (3.25), найдем, что

j ||A(k) | р2 ( A ) k ^ d k < (2я)т-а J Л (J 1Ты (со, р, 0 f da)/ a

L°-°°

Отсюда следует, что условие (3.7) заведомо выполняется, если

оо

Г sup ||Га(со,р,ОИ<оо. (3.26) Из конечности интеграла (3.26) (или интегралов в правой части

(3.20)) вытекает существование волновых операторов (3.6). Действи­

тельно, в силу признака Кука достаточно проверить сходимость ин­

тегралов

$ № ( 0 / И (3-27)

—оо

для плотного в Ж± множества элементов /. Пусть /—• конечная линей­

ная комбинация элементов fj=F^fh где /3-(ft; со) =2-,/2(2я)те/2Х

151