Е. В. Барафанов, Е. И. Филатов, Одна задача оп- тимизации формы тел в свободно-молекулярном потоке, Тр. сем. по краев. задачам, 1976, вы- пуск 13, 63–69

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Е. В. Барафанов, Е. И. Филатов, Одна задача оп- тимизации формы тел в свободно-молекулярном потоке, Тр. сем. по краев. задачам, 1976, вы- пуск 13, 63–69

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 00:58:06

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

Вып. 13 Труды семинара по краевым задачам 1976

Е. В. БАРАФАНОВА, Е. И. ФИЛАТОВ

ОДНА ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ФОРМЫ ТЕЛ В СВОБОДНО МОЛЕКУЛЯРНОМ ПОТОКЕ

1. Постановка задачи

Рассмотрим тонкую осесимметричную оболочку, движу­

щуюся с большой сверхзвуковой скоростью в свободно- молекулярном потоке газа. Введем прямоугольную декар­

товую систему координат oxyz, направив ось ох по оси симметрии оболочки. Пусть образующая оболочки задается уравнением у—у(х) и функция у(х) удовлетворяет сле­

дующим условиям:

1. Функция у (х) определена в промежутке л :1< л : < 1 ; 2. У(х) — непрерывная функция, имеющая непрерывные первую и вторую производные;

3. у(х1) = А, у(1) = В, где А я В заданные числа;

4. у < 0, т. е. контур выпуклый;

5- .У^-tga^, где am — максимальный угол атаки оболочки.

Последнее неравенство представляет собой условие от­

сутствия затененных от потока участков на поверхности оболочки.

Будем считать, что скорость движения достаточно ве­

лика, так что выполняется условие:

J S s i n M E > l ,

где 5—отношение скорости полета к наиболее вероятной тепловой скорости молекул, р — местный угол атаки эле­

мента я?Е поверхности оболочки S.

Тогда аэродинамическое сопротивление оболочки и ее аэродинамический момент относительно начала координат можно записать в виде

63

R (a) = 2«f J j / (2j> C6S a + k ²^^{C 0 S}'^{a +} f²* ) dc

(1 + j»)²

1 &

М(а) = 2тс# f 3/Lx;( 2j/cosa + Т Л + (1 + Я + y (cosa H Z jldx-sina.

(1 + f)2

Здесь а —угол атаки (угол между осью х и Скоростью набегающего потока), q — скоростной напор.

Отношение М (a)//? (a) = Q назовем стабилизирующим качеством оболочки и сформулируем вариационную задачу об отыскании формы образующей оболочки, сообщающей этому функционалу максимальное значение.

Предварительно сделаем некоторые упрощения. Будем считать, что a < ат < ти. Разлагая функции Ж (а) и R(<x) в ряд Маклорена по а и принимая во внимание, что М (0) =

= /?а(0) = 0, в линейном приближении можем записать

Q = . а.

/?(0)

Причём

1

R(0) = 2щ f (2уу + 2k ^ " Y " ) dx, (1) (1 + ? )Т

i

Af^e(0) = <1щ J (2*j)y + * *^{у +} ^ + j/²)dx. (2) (1 + ЯТ

Т. к. форма тела оказывается теперь не связанной с а?

то в дальнейшем вместо Q будем рассматривать функ­

ционал

lQ=Ma(0)/R(0)

и для него сформулируем следующую вариационную за­

дачу.

В классе функций у = у (х), удовлетворяющих условиям 1—5, найти такую, которая сообщает функционалу Q мак­

симальное значение.

Следует отметить, что непосредственный учет условий 4 и 5 очень сильно усложняет решение поставленной задачи.

Поэтому в данной работе мы будем искать решения без учета этих условий, а затем выбирать из них те, для кото­

рых эти условия оказались выполненными. Как показывают расчеты, такой подход позволяет найти решения для очень большого диапазона изменения параметров задачи.

§ 2. Преобразование функционала

Как следует из работы [2], решение поставленной вариа­

ционной задачи сводится к нахождению экстремума функ­

ционала:

/*= \F(x9yfy)dx9 (3)

где

F = Fx + Щ = 2хуу + у2 + ху + у2у х + (1 + У2) 2

+ X (2уу + 2k —2£ ) (4) (1 + у2) 2

X = - Q . (5) Ограничимся нахождением оптимальных контуров, близких

к прямой у = у0 (х), соединяющей граничные точки:

yo(x)=y1 + tgHx-xl), tg6=3>0 = * ~ * ,

I — х^

т. е. будем считать величины &у/у = (у —Уо)/У и &у=у—у0

малыми по сравнению с единицей.

Разлагая функцию F в ряд по степеням этих величин и ограничиваясь членами второго порядка малости, получим:

Fsz (а00х2 + Ьтх + с00) + (Ь01х + с01)у + + (aw*2 + Ь10х + с10)у + (Ьпх + сп)уу + с02у2 +

+ (Я20*2 + #20* + ^2о) У2 = Ф (•*, У, У), (6) где

.*oi — tg в + Лр ^»

% =-j(yi-Xi tg 9)-tg в.рв + X [tg 9 + 2kq - k (2+ tg2 6) q.f\

bw -yx - Xl tg в - 1 (yx - xx tg 6) tg в-р* +

+ £ 0;j - xx tg 6) (4tg3 6 + tg 0 ) / + £ + X [tg 6 - 2Л (2 - t g2^ ) . ^ . / + k(2 + tg28) q.p\

cxo = - ЗА ( ^ - xx tg в)2?./ + X [yx - JC, tg 6 +

+£ (2 tg 6 + tg3 6) (V l_ x, tg 6) / , » - 2£ (2 tg б - tg3 6) ( у , - ^ tg 6 ) / ]

^n = l + L | t g 6 - p3

CnH * (Ух ~ x№ 9) */il + X [1 + ^ (2 tg 6 + tg3 6) p*\

cm = l + ktgS-p

«2o = - - f t g e -jp3

^20 = | (-«i tg 9 ~Уг) (4 tg2 6 + 1 ) / + X£ (2 tg б - tg3 6)/>5

c2 0= - ^ t g 6 ( ^ - x1tg6 )2/ + X ^ ( ^ ~ A :1t g 6 ) ( 2 - t g26 ) /

tg26

e l + tgs e

Теперь мы можем приближенно заменить функционал (3) квадратичным функционалом

1

Л = J Ф С*, .У, .У) <**. (7)

3. Решение с использованием гипергеометрических рядов

Уравнение Эйлера для квадратичного функционала (7) является линейным неоднородным дифференциальным урав­

нением второго порядка и имеет следующий вид

{ах2 + Ьх + с) у + (dx + e)y+fy = — (gx + т), (8) где

а = 2а20 d = 4а20 g = 2а10 — Ь01

Ь = 2620 е = 2&20 т = Ьх0 — ст. с = 2с2о / == Ьхх — 2с02

Займемся сначала решением соответствующего однород­

ного уравнения

(ах2 + Ьх + с)у + (dx + е)у + /у = 0. (9) Посредством замены переменных

У=У', x = p — {q—p)xf

(р и q — корни уравнения ах2 + Ъх + с = 0), оно сводится к гипергеометрическому уравнению Гаусса

х'{х'-\)у\ [(а + р + I)*7 - Т] у + p.a.j/ = 0. (Ю) Здесь

4 а

Общее решение уравнения (9) для нашего случая после перехода к старым переменным имеет вид:

у = С1У1 + С2у2, (11)

q — p \ q — p J

со

+ 5}С*⁺*_¹.Ср*⁺*_¹Л^й.(-^-)\ (13)

Л - 1

х = 1

• W ' +—i IV

^ J V a - 1 + х р - 1 + х х У

Общее решение неоднородного уравнения (8) находим ме­

тодом вариации постоянных. Окончательно общее решение неоднородного уравнения (8) получим в виде:

y = y i Г igX + т) у^Х + ^ С (gX + , ) y]dx + c > i + Су2 ( 1 4 )

J У\ У 2 — У 2 J У2 " У\ У2

Постоянные С* и С находятся из граничных условий 3. Для определения X служит уравнение (5). Таким образом мы получили замкнутое аналитическое решение поставленной задачи.

5* 67

4. Другой вид решения

Полученное выше решение имеет весьма громоздкий вид и не удобно для численных расчетов.

Принимая во внимание тот факт, что нас интересует только промежуток Л :1< Л : < 1 , а также то, что уравне­

ние (8) не имеет в этом промежутке корней, мы можем построить решение уравнения (8) в виде сходящегося на отрезке хх < х < 1 степенного ряда

У

2 *"**'

л - 0

Т. к. уравнение (8) линейное, то для коэффициентов ряда получим систему линейных уравнений, из которых последо­

вательно определятся все ая. Они имеют следующий вид:

eat +/ар+т . 2a2(b + е) + ах (d + / ) + g

02 = — 6с

2с ^{сц = —}

ал + 2 =

Дд+i (п + 1) (nb + е) + ап [п (п — 1) а + nd + / 1 (/г + 1) (/г + 2) с

/г ==2, 3, 4

(18)

Придавая неопределенным постоянным OQ и ах значения

a i— 1 , а0 = 0 и ах=0, а0=1, получим два независимых частных решения уравнения (8) — ух и у2. Общее решение записы­

вается в виде комбинации этих частных решений

у~Сгуг + С2у2. (19)

Постоянные Сг и С2 определяются из граничных условий 3.

5. Численные результаты

У

Ш\

й06

озг а$б Рис. 3.

По формулам предыду­

щего параграфа было по­

считано несколько примеров.

Коэффициент k брался рав­

ным 0.1, что приблизительно соответствует 5 = 1 0 и коэф­

фициенту термической ак­

комодации молекул аД£ = 0.9.

X находились из уравне­

ния [5] методом итераций, в качестве начальных бра­

лись значения для соответ­

ствующих конусов. Полу­

ченные результаты пред-

ставлены на рис. 1. Цифрами 1, 2, 3 обозначены кон­

туры, соответствующие граничным условиям r1 = =0.9 j>2 = 0.1 ^ = 0 . 9 j /2 = 0.1

J C2= 1 tg6 = 0.5 *2« 1 tgS —0.3

^ = 0.9 y2 = 0.\

x2 = l tg 6 = 0.1 .

Все полученные решения удовлетворяют условиям 4 и 5.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа. 1967.

2. Б у н и м о в и ч А. И., Д у б и н с к и й А. В. Вариационный метод для обобщенного класса функционалов и его применение к задачам аэро­

механики. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 1, 103—111.

3. G£M и р Н о В В. И. Курс высшей математики.

4. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Доложено на семинаре 28 января 1975 г.