Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. И. Благодатских, Задача управляемости для линейных систем, Тр. МИАН СССР, 1977, том 143, 57–67
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 01:50:04
Труды Математического института АН СССР 1977, том 143
В. И. БЛАГОДАТСКИХ
З А Д А Ч А УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Постановка задачи
Пусть Еп — евклидово 71-мерноэ пространство переменной x — (xv ..., хп) с нормой || х || = 1 / 2 #!» а &(Еп)—метрическое пространство всех непустых компактных подмножеств пространства Еп с хаусдорфовой метрикой
h(F, G) = min {d: F'<=Sd(G), G'(zSd(F)},
где Sd(M) означает*замкнутую d-окрестность множества M в пространства Еп. Модулем множества Fcz&(En) назовем число | F \ = h ( { 0 } , F). Многозначным отображением F (t) назовем произвольное отображение F :E1-^Q(En). Будем говорить, что многозначное отображение F (t) измеримо, если для любого замкнутого множества MdEn множество {t : Mf{F(t)=^=0) измеримо по Лебегу.
Рассмотрим управляемый объект (или систему), поведение которого опи
сывается линейным дифференциальным уравнением
х = Ах-\-и, (1) где А — заданная квадратная матрица размерности п\п, х — вектор состоя
ния объекта, а и — вектор управления. Пусть U (t) — такое измеримое много
значное отображение U lE1-^ Q (Еп), что \U (t)\^k(t) и k(t) — суммируемая на отрезке / = р0, £J функция. Обозначим через к число k=\k(s)ds.
to
Здесь и далее все интегралы понимаются в смысле Лебега. Допустимым управлением u(t) на отрезке времени / будем называть произвольную из
меримую по Лебегу однозначную ветвь из многозначного отображения U (t), т. е. такую измеримую функцию и (t), что для всех t £ / выполнено усло
вие u(t)£U(t).
Множество МсЕп называется выпуклым, если для любых чисел а, ß ^ O , a-f-ß = l , и любых х, х' £ M вектор пх-f-$x' также принадлежит множе
ству М. Пусть заданы два выпуклых множества М0, M1^Q(En). Система называется управляемой на отрезке времени I из множества М0 в мно
жество Mv если существует такое допустимое управление u(t), что соответ
ствующее решение x(t) уравнения (1) удовлетворяет условиям x\(tQ) £ M0,
Цель этой работы — изучение задачи управляемости для уравнения (1), т. е. получение ответа на вопрос, является система управляемой или нет.
Ниже будет дан также алгоритм численного решения этой задачи. k
§ 2. Вспомогательные результаты
Результаты этого параграфа являются вспомогательными по отношению к нашей задаче управляемости. Но эти результаты имеют в то же время большое самостоятельное значение.
В пространстве 2 (Еп) рассмотрим две операции: операцию алгебраиче
ской суммы двух множеств и операцию умножения множества на число.
Суммой F = F1-\-F2 двух множеств Fv F2 назовем множество
F = {f = f1 + U:f1eFvU,£Fi}. (2)
Произведением F — \FX множества F± на число X назовем множество F = { / = X /1: /1ç F1} .
С учетом этих операций d-окрестность множества M £ 2 (Еп) может быть записана в виде
Si(M) = M + dS1(0), (3)
где S± (0) — единичный шар в пространстве Еп. Заметим, что множество 2 (Еп) с введенными операциями сложения и умножения на число не является линейным пространством.
Для множества F £ 2 (Еп) рассмотрим функцию с (F, • ) : Еп-+ Е1. Эту функ
цию назовем опорной функцией множества F и определим соотношением
c(F, ф) = т а х ( / , ф). (4) Здесь (/, ф) означает скалярное произведение векторов / и ф. Опорные функ
ции широко применяются в задачах оптимального управления. Их свойства достаточно хорошо изучены, часть из них можно найти в книге [1]. Напри
мер, для единичного шара опорная функция имеет вид
c(SA0), ф) = IIП- (5) Рассмотрим некоторые свойства опорных функций.
С в о й с т в о 1. Опорная функция c(F, ф) положительно однородна по ф, т. е. для любого числа ) ^ 0 и любого вектора ty£En выполняется условие
c(F, Хф) = Х с ( ^ , ф).
Доказательство этого свойства следует непосредственно из определения опорной функции (4).
С в о й с т в о 2. Для любых векторов фх, ф2£2£'г опорная функция с (F, ф) удовлетворяет условию
c(F, фх + Ф а К с ^ , <Ы + с(*\ф2).
Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения опорной функции (4) и свойств максимума.
С в о й с т в о 3. Для любых множеств F±, F2£Q(En) и любого вектора à£En выполняется условие
c(F1 + F2,y = c(F1,V + c(F2,V.
58
Доказательство этого свойства следует непосредственно из соотношений (2) и (4).
С учетом свойств 1 и 3 опорная функция от шара радиуса г с центром в точке а имеет вид (см. соотношения (3) и (5))
с (Sr (a), ф) = с (а + rS, (0), ф) = (а, ф) + г|| ф ||. (6) Выпуклую оболочку conv F множества F определим как минимальное
выпуклое множество, содержащее множество F.
С в о й с т в о 4. Если множества Fv F2£Q(En) удовлетворяют условию FidFc,, то для любого вектора ty£En выполняется соотношение
с(^,ф)<с(^,ф). (7) Далее, если соотношение (7) выполняется для любого вектора <b£En, то
множества Fv F2 удовлетворяют условию c o n v i e convF2.
Доказательство этого свойства имеется в книге [1].
С л е д с т в и е . Если f^F, то для любого вектора ty£En выполняется соотношение
(/, t ) < c ( F , ф). (8) Далее, если соотношение (8) выполняется для любого вектора tyÇ<En, то
f ç conv F.
С в о й с т в о 5. Пусть А — матрица размерности п X m, F £ Q (Еп) и с (F, ф) — опорная функция множества F. Тогда опорная функция образа множества F при линейном преобразовании А, т. е. множества
AF = {g£Em; g = Af, f£F}, (9)
имеет вид
c(AF, <ï) = c(F, Л » .
Это свойство непосредственно следует из определения опорной функ
ции (4).
С л е д с т в и е . Для любого действительного числа X и любого вектора ty£En выполняется соотношение
c(\F,
ty
=c(F,
Ц).С в о й с т в о 6. Если множества Fv F2Ç*Q(En) имеют непустое пересе
чение, то для любого вектора ty£En выполняется соотношение
c(Flt ф) + с ( ^2 ) - ф ) > 0 . (10) Далее, если соотношение [(10) выполняется для любого вектора ty(*En, то
множества Fv F2 удовлетворяют условию conv F± f) conv F2 =^= 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F1f]F2y^0 и f^F1f{F2. Тогда f£Fv f£F2
и по условию (2)
o = / - / = / + (-/)6^i + (-^)-
Отсюда по следствиям свойств 4 и 5 и свойству 3 мы получаем для любого вектора ф, что
0 = (0, ф)<с(f^-l-(—Я,), Ф) = с(^1, Ф ) + с ( — ^ , ф) = с(/?1, ф) + с(^2, - ф ) .
Таким образом, первая часть свойства 6 доказана. Вторая часть доказывается аналогично.
С в о й с т в о 7. Опорная функция с (F, ф) для множества F£Q(En) удо
влетворяет условию
\c(F, ty-c(F, Ф ' Ж ^ Н Ф - ' Л (11) для любых векторов ф, ф' £ En.
Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению модуля \F\ мы имеем F С S\w\ (0).
Отсюда по свойству 4 и соотношению (6) следует
c(F, « < e № „ ( 0 ) , ф) = | ^ | . | * | | (12) для любого вектора ф£2?". По свойству 2 запишем
c(F, ф ) = с ( * \ ф - ф ' + ф ' К ^ < J > - f ) + c(F, ф).
Из этого неравенства по соотношению (12) получаем
c(F, ф ) - с ( * \ ф ' ) < с ( ^ ф - ф ' ) < 1 * > 1 Ф - Ф ' 1 1 -
Меняя местами вектора ф и ф;, мы получаем аналогичное неравенство c(F, y) — c(F, ф ) < IFI • IIФ — Ф7 II-
Из этих двух неравенств следует соотношение ( И ) .
Определим теперь интеграл от многозначного отображения F :El ->Q. (En).
Интегралом на отрезке времени I = [tQJ tx] от многозначного отображения F (t) назовем множество
\F(t)dt = i\f(t)dt:f(t)eF(t)\. (13)
'о к
1'
Л е м м а 1. Пусть многозначное отображение F : Е1 -> 2 (Еп) измеримо и существует такая суммируемая на отрезке [t0, £х] функция k (t), что
\F(t) I ^k(t). Тогда интеграл \ F(t)dt является непустым выпуклым ком-
to
пактным подмножеством из пространства Еп.
Доказательство этой леммы имеется, например, в книге [2].
Л е м м а 2. Если многозначное отображение F (t) удовлетворяет требо
ваниям леммы 1, то
cl[F(t)dt, ф = \c(F(t), ф)А
^ о / to
для любого вектора ф С £ " .
Доказательство этой леммы следует из свойств измеримых функций и определения интеграла (13).
Множеством достижимости X (tx; t0, М0) для управляемого объекта (1) на отрезке времени I — [tQ, £J из начального множества М0 назовем мно
жество всех точек из пространства Еп, в которые можно перейти по реше
ниям уравнения (1) из начального состояния x(t0)^M0 в момент времени tx
при всевозможных допустимых управляемых u(t). Решение х(t) уравнения (1), соответствующее допустимому управлению и (t), может быть записано в виде
х (t) = eV-*JAx (t0) + j e^~sï и (s) ds.
to
60
Отсюда, учитывая соотношения (2), (9) [к (13), можно записать множество достижимости в виде
Х(гг; t0, М0) = е1'г-иАМ0+ [ e^-^AU (s) ds.
Из леммы 1 следует, что множество достижимости X(tx; t0, M0) является непустым выпуклым компактным подмножеством из пространства Еп. Далее, по свойствам 3, 5 и лемме 2 опорная функция от множества достижимости имеет вид
с (X (tv t0, М0), ф) = с (М0, еС-'оМ'ф) +\c(U(s), e C ' t - O ' » ds. (14)
§ 3 . Управляемость Пусть ф (t, ф) — решение сопряженной системы
ф = — Л*ф (15) с начальным условием ф(£0, ф) = ф. Тогда определим функцию <р:Еп-+Е1
соотношением
ср(ф)=с(М0, ф(*0, ф ) ) + jc( t / ( s ) , ф(*, ф))Л + с(ЛГ1э —ф(*1. ф)). (16) Т е о р е м а 1. Система (1) является управляемой на отрезке времени I=z[t0, tx] из множества М0 в множество Мх тогда и только тогда, когда
? « > ) > О (17) для любого вектора ф из единичной сферы 5 = (ф : ||ф||:= 1} в простран
стве Еп.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что система является управляемой тогда и только тогда, когда
X(t±; t0, Мо)Г)М1=£0.
По свойству 6 и условию (14) это эквивалентно выполнению условия
с(М0, в('1-'оМ*ф)+ \c(U(s), eV^A*ty)ds + c(Mv — ф ) > 0 (18)
' о
для любого вектора ф £ / ?я. Положим
ty(t) = eVt-^A4.
Ясно, что эта функция ф(£) является решением сопряженной системы (15) и удовлетворяет условиям
Ш = в<'--'о)*ф, ф(^) = ф.
Далее, так как матрица e(*i-*o)A* невырождена, то соотношение (18) эквива
лентно выполнению условия (17) для любого вектора ф(£0). В силу положи
тельной однородности опорных функций (свойство 1) это эквивалентно выпол
нению условия (17) для любого вектора ф £ 5 . Теорема 1 доказана.
Теорема 1 позволяет находить отрезок времени, на котором система управляема. Проиллюстрируем это на примере.
П р и м е р . Пусть уравнение (1) имеет вид
(19)
Л-* *Еоу
Яа = —#!-}-В, | ^ | < 1 , а множества М0 и Мх заданы условиями
М0 = {х = (х1, х2):х1 = — 5, | д ?2| < 1 } , Ж1 = {0}.
Опорные функции множеств М0, Мх и U имеют вид с(М0, Ф) = - 5 ф1 + |ф2|,
c(Mv ф) = 0, с(С/, ф) = |<Ы.
а произвольное решение ф (£) сопряженной системы (15) с начальным усло
вием ф (£0) Ç 5 имеет вид
фх (£) = sin (t -f- а), ф2 (£) = cos (£ - j - а).
Соотношение (17) перепишется в виде
—5 sin (t0 + а) + I c o s (*o + а) 1 + \ I c o s (s~\-u)\ds^ 0.
Ясно, что если t1 — 10 ^ Зтс, то полученное соотношение выполняется для любого а. По теореме 1, если отрезок I = [t0, tx] удовлетворяет условию h — ^о^Зтс, то система (19) будет управляемой на этом отрезке.
Пусть х0, ух — два неотрицательных числа и у = (у0, у^. Назовем си
стему (1) ^-управляемой на отрезке времени I из М0 в Mv если она управ
ляема на этом отрезке из Slo(M0) в S^^M^).
Т е о р е м а 2. Система (1) является ^-управляемой на отрезке [tQ, tx] из М0 в М1 тогда и только тогда, когда
?T(<W = ?(<W + To + Till<K'i. Ш>0 (20) для всех векторов ф £ S.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 1, свойства 3 и условия (6).
Теорема 2 позволяет находить отрезок времени, на котором система у-управляема. Так, система (19) в рассмотренном выше примере является у-управляемой на отрезке / = [£0, t j , если числа у0, уг удовлетворяют соот
ношению
• * i - * o 1
To + T i > 5 ^ 2
IT-j-
§ 4. Численное решение задачи управляемости
В теореме 1 получены необходимые и достаточные условия управляемости.
Этими условиями удобно пользоваться для решения задачи управляемости, если можно выписать в явном виде решение сопряженной системы (15) и опорные функции множеств Л/0, Мг и U (t), как это было сделано в приве
денном выше примере. Если это сделать не удается, то можно применять ЭВМ для численного решения задачи управляемости, т. е. для проверки соотношения (17). На ЭВМ мы можем вычислить функцию ср(ф) лишь для конечного числа векторов ф £ S.
62
Пусть S — некоторая 8-сеть из единичной сферы S. Пусть, далее, ср (ф) — вычисленное приближенное значение функции <р(ф). Положим
# = т т с р ( ф ) . (21) Предположим, что для любого вектора ф £ S найдется такой вектор ф Ç £\
что вычисленное значение и отличается от значения и = min ср (ф) не более чем на е, т. е.
\й — и | < е . (22) В следующем параграфе будет получено соотношение для погрешности е.
Т е о р е м а 3. 1) Если ü^s, то система (1) является управляемой на отрезке времени I — [t0, £J из множества М0 в множество Mv
2) Если — в ^ й < ^ £ , то вопрос об управляемости остается открытым.
3) Если и<^—е, то система (1) не являетса управляемой на отрезке I из М0 в Мг.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 1 и условий (21) и (22).
Теорема 3 позволяет численно решать задачу управляемости, за исключе
нием случая, когда — г ^ и < ^ е . Поэтому, естественно, нужно стремиться сделать погрешность е достаточно малой. Но положить s = 0 принципиально невозможно, из-за погрешностей вычислений, поэтому там, где нельзя решить задачу управляемости, мы будем решать задачу -^-управляемости и стре
миться выбрать числа у0 и YI достаточно малыми, чтобы задача у-управляе- мости в каком-то смысле была близка к задаче управляемости. Ясно, что задача ^-управляемости при у0 = ^ = 0 эквивалентна задаче управляемости.
Пусть снова S — некоторая 8-сеть из единичной сферы S. Пусть, далее, ср (ф)—вычисленное приближенно значение функции ср (ф). Положим
кт = т т ф7( ф ) . (23)
Предположим, что для любого вектора ф £ S найдется "такой вектор ф Ç S, что вычисленное значение и отличается от и = mincp (ф) не более чем на s , т. е.
I ^ - B T K V (24) В следующем параграфе будет получено соотношение между погрешно
стями е и е.
Т е о р е м а 4. 1) Если и^^е то система (1) является -(-управляемой на отрезке времени I = [t0, t j из множества М0 в множество Мг.
2) Если —£ Y^ & <^ev mo вопРос о ^-управляемости остается открытым.
3) Если и <^—е то система (1) не является -(-управляемой на отрезке I из М0 в Мг.
Доказательство непосредственно следует из теоремы 2 и условий (23) и (24).
§ 5. Оценка погрешности вычислений
Пусть е0, ех — погрешности в вычислении опорных функций с (Af0, ф) и с (Мг, ф) соответственно. Далее, пусть е2 (t) — погрешность в вычислении решения ф (£, ф) сопряженной системы (15). Предположим, что функция е2 (t)
непрерывна на отрезке / . Пусть е3 (t) — погрешность в вычислении опорной функции с (U (t), ф). Предположим, что функция е3 (t) суммируема на отрезке / , и положим s3 = \ е3 (s) ds. Пусть е4 — погрешность интегрирования, а е5 — по- грешность нахождения минимума функции.
Т е о р е м а 5. Если параметры е0, sv e2(t), s3, e4, е5 и 8 удовлетворяют соотношению
e0 + £l +e3 +e4 + e5 + l ^ l lS2 ( ^ l ) + SA : ( 5 ) 8 2 ( 5 ) d 5 +
'о
+ [|М0| + (|М1| + А)в!М11С^о)]8<е, (25) то погрешность при вычислении значения в = т'т<р(ф) будет не больше
Фея чем е.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Приближенные значения всэх величин будем обо
значать таким же значком, но с волной вверху. Оценим все величины, вхо
дящие в выражение <р (ф), по формуле (16).
Так как опорная функция с(Л/0, ф) вычисляется с погрешностью е0, то
\ЦМ0, ®-с(М0, ф ) « в0. (26)
Далее, по свойству 7 мы имеем
\с(М0, У)-с(М0, < Ж < | # о Н Ф ' - < И ' (27) для любых векторов ф;, ty£En.
Аналогичным образом мы получаем, что для опорной функции с (Mv ф) соотношения
\с(М1г ®-с(М1г ф ) | < е1, (28)
\c(Mv У)-с(М1г т<\^х\-^'~П (29)
выполняются для любых векторов ф;, ф £ £"*.
Из курса обыкновенных диффэренциальных уравнений известно, что для решения ф(£, ф) системы уравнений (15) с начальным условизм ф(£0, ф) = ф имеют место оценки
• О Ф ( * , < ! > ' ) - 4» (*, t ) к g M I ('"'о) 1Ф' —ф II; (зо)
е-М11(^о)|,ф ||< | ( } )^ ^ ц ^ и ^ Ц ф Ц . (31) Здесь || Л || — норма матрицы А, определяемая условием
IM Л = max 14*||-
мк
Так как решение ф (t, t|») вычислязтся с погрепшозтью е2 (f), то
|$(*. ф ) - ф ( * , ф)|<еа(«) (32)
для любого вектора ф £ £"\
Из условий (29) и (30) для ф;, ф£2??г мы получаем
\С(М19 - ф ( * 1 . * ' ) ) - * ( ^ i > - ф ( * Ь ф))|<|Л/1|.Цф(«1, ф ' ) -
- Ф (*i, Ф) К I ^ i | ^И с'г 'о) I! f ~ ф||. (33)
64
Далее, по условиям (28), (29) и (32) имеем
| с (Mv - ф (tv ф)) - с (Mlf - t («i, t)) К I с (Mv - ф (*lf ф)) - с (M,, - ф ft, ф)) I + + 1 с (Л/^ - ф (tv ф)) - с (М,, - ф ft, ф)) | < е, + | Л/, | в2 ft). (34) По свойству 7 соотношение
\c(ü(t),f)-c(U(t), т<Н*№'-П (35) выполняется для любых векторов ф', ф£2?я. Отсюда по условию (30)
мы получаем
\c(U(t), ф(*. ф ' ) ) - с (#(*), ФС Ф))|<
< Ä (t) || ф ft ф') - ф ft ф) | < Ä (0 е«4" ('-'°> || ф' - ф ||. , (36) Так как опорная функция с (U (t), ф) вычисляется с погрешностью s3 (t), то
| с (ff(*), V-c(U(t), ф ) | < е , ( 0 . (37) Далее, по условиям (37), (35) и (32) мы имеем
\c(U(t), $ f t ф))_ с (£/(*), ф(*. <]>))! <|c(£/ft, Ф(*. ф))- -c(U(t), $ f t ф))| + |с(С/(0, ? f t ф))-с(С7 (*). <j>ft ф))|<
< ^ (0 + к ft || ф ft ф) - ф ft ф) || < s
3ft -f Ä (0 е
2ft. (38)
Так как приближенное значение интеграла + h (t) dt вычисляется с по- грешностью е4, то
I h h I
Uh(t)dt— \h(t)dt <e4. (39)
Таким образохМ, но условиям (16), (26), (34), (39)|;и (38) мы имеем I Ф (ф) - ? №) К I с (Л/», ф) - с (М0, ф) | + |с(М1; . - $ & . ф)) - c(Mv - ф ft, ф)) | +
I '. *1 I
№ с (#(*), $(*, ф))йв- jc(t/ft, ф(в, ф))Л
+
- f Uc(tf(s), f(s, ф))& — J с (С/ (s), ф>, ф))&
I л *,
+ \\c(U(s), ф( 5 , ф))<г*—JC(Ü-(*), Ф(«, ф))л
< е0 + Sl + I ^ 1 I 62 (*l) + S4 + S3 + J Ä (S) S2 (S) rfS.
Oo +
êi+l^ih(*i) +
+
<
(40) Пусть теперь минимум функции <р(ф) достигается на векторе ф*С£, т. е.
выполняется условие
ттср(ф) = ?(ф*). (41)
По определению S-сети S существует такое $*££*, что
||Г-ф*||<8.
Учитывая соотношения (41), мы получаем
<р (ф*) ^ min ср (ф) ^ min <р (ф) = <р (ф*).
Фе£ «pes
(42)
Из этого неравенства по условиям (16), (27), (33), (36) и (42) выводится оценка
| min <р (ф) - min ? (ф) | < I ? (Г) - ? (ф*) || < | с (М0, f ) - с (MQ, f ) | +
+ \с(М
г, -ф&. f))-c(M
x, -ф(^, ф*))| +
+ J I с (U (s), ф (5, if*)) - с (U (s), ф (s, f )) |'d* <
< (I M01 + I Mx I elHIKWo) -f. felMII(/»-'o)) В. (43) Так как операция взятия минимума функции проводится с погреш
ностью е5, то
min ф (ф) — min cp (ф) | (44)
Нетрудно проверить, что
I min cp (ф) —. min cp (ф) I ^ max | ф (ф) — ср (ф) |.
I Фея Фе£ I Фея
Таким образом, по условиям (44), (45), (40) и (43) мы имеем оценку (45)
и — и\ min cp ($) — min cp (ф) Фе£ фей
<
+ +
min cp (ф) — min cp (ф)
min cp (ф) — min cp (ф) I -\- I min cp (cp) — min cp (ф) I ^ e& -\- e0 -f- s1 -f-
+ \M1\e2(t1) + et+\es(s)ds+[k(s)e2(s)ds +
to ^o
_|_ (| M01 - f I Mx I eMIK'i-'o) - f ЬИШ.-'о)) 8.
По предположению (25) теоремы мы имеем
\ü — и\ ^ е . Таким образом, теорема 5 доказана.
З а м е ч а н и е . Если все операции на ЭВМ производились бы без погреш
ности, то из теоремы 5 следует, что для получения погрешности s в выра
жении гг = иппср(ф) параметр разбиения В должен выбираться из условия Фея
[ | М0 J + (| Мх | - f к) éA il с '»-'о) ] S < s.
Выведем теперь соотношение для погрешностей s и е.
Т е о р е м а 6. Дополнительно к предположениям теоремы 5 пусть е6 — по грешность вычисления нормы вектора. Если параметры е0, ev е2 (£), е3, е4, s5
е6, е и 8 удовлетворяют соотношению
^ + Тг (^6 + ^2 (*i) + elHII(^-'o)S) er
то погрешность при вычислении значения и = m i n c p (ф) не превосходит е .
т ф6я т Y
Доказательство этой теоремы проводится по схеме, данной при доказа
тельстве теоремы 5.
66
§ 6. Заключение
Пусть нам известна погрешность вычислений е (для достижения такой погрешности мы должны выбирать все параметры вычислений в соответствии с теоремой 5). Предположим, что мы получили численно приближенное зна
чение и величины и = min <р (ф). Тогда езли w ^ s , то по теореме 3 система (1) 4>es
будет управляемой. Если же гг<^е, то можно гарантировать, что система является лишь у-управляемой, причем параметры (у0, ух) должны при этом удовлетворять соотношению
Я + То + УхНИ^-'о) ^ s - f s5 4 - ух (2s6 + 2s2 (t±) + еИК'Но)3).
Это утверждение является следствием теорем 4, 6 и неравенства
«ï> « -e5 + T o -s6 Ï i - S ( i x ) ï i - T i e -| M I I (^)- (46) Докажем неравенство (46). Используя соотношения (44), (20), (32), (31) и
свойства минимума, мы получаем цепочку неравенств
й( = min Тт (Ф) > — Ч + min TY ($) > — e5 + й + То — eöTi + Ti m i n II £ (*и Ф) Il >
Фб£ Фея £ G S
> Я — s5 + То — £6Ti — Ч (*i) Ti + Ti min II Ф (*i. Ф) Il >
Фб^
> й - £6 + То - VTi - £2 (*i) Ti + т2НИС'»-'о).
Тем самым неравенство (46) доказано.
Предложенный алгоритм численного решения задачи управляемости отли
чается от известных ранее (см., например, [3]) тем, что в этом алгоритме по
лучены точные оценки погрешности. Основной результат этой работы без до
казательства опубликован в [4].
Автор выражает благодарность Ф. П. Васильеву за полезные обсуждения.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М., «Мир», 1973.
2. Hermes / / . , La Salle J. P. Functional analysis and time optimal control. Acad. Press, 1969.
3. Васильев Ф. # . , Иванов Р. П. Некоторые приближенные методы решения задач быстро
действия в банаховых пространствах при наличии фазовых ограничений. —
«ДАН СССР», 1970, 195, № 3, 526—529.
4. Благодатских В. И. Численное решение задачи управляемости для линейных систем- Тезисы II Всесоюз. семинара по численным методам математического программиро
вания. Харьков, 1976, с. 77—81.
