Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. В. Днепров, А. Т. Пономарев, О. В. Рысев, С. А. Се- мушин, Исследование процессов нагружения и деформи- рования парашютов, Матем. моделирование, 1993, том 5, номер 3, 97–109
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 22:38:26
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
том 5 номер 3 год 1993
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НАГРУЖЕНИЯ И
ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ
<£> И.В. Днепров, AT. Пономарев, О.В. Рысев, С.А Семушин НИИ парашютостроения
Институт математического моделирования РАН, Москва
Предлагается методика расчета обтекания парашютов потоком невязкого сжимаемого газа на до- и сверхзвуковых скоростях движения. Приведены тестовые расчеты обтекания дисков, полусферичес
ких оболочек. Решена задача обтекания тонкой несущей поверхности типа однооболочкового парашю
та-крыла и осуществлено сравнение полученных результатов с другими источниками.
SIMULATION OF PARACHUTE LOADING AND DEFORMATION J.V. Dneprov, AT. Ponomarev, O.V. Rysev, S.A. Semushin Parachute institute
Institute of mathematical modeling, Russian Academy of Science
The computational technique for the flow around parachute is presented. Test examples of disks and half sphere shells are given. Also the computation of single layer planing parachu
te was produced, and the results were compared with other data.
1. Введение
В последнее время в инженерную практику интенсивно внедряются мягко- оболочковые конструкции [1-5]. Среди них особое место занимают парашюты.
Это вызвано прежде всего тем, что они, в отличие от воздухопорных конст
рукций (замкнутые оболочковые объемы), представляют собой плохообтекаемые мягкие анизотропные разомкнутые оболочки , форма которых определяется рас
кройной геометрией и действующей на них аэродинамической нагрузкой. Площа
ди куполов современных парашютов колеблются от сотых и десятых долей до многих тысяч квадратных метров, причем все это с возможной естественной и конструктивной проницаемостью. Работают они в широком диапазоне скоростей:
от малых (5-10 м/с) до сверх- и гиперзвуковых, которым, как правило, со
путствуют отрывные режимы обтекания. Ряд особенностей парашюта проявляется и при его раскрытии: большие взаимные перемещения частей за очень малое время, значительные (до 30%) деформации. Иначе говоря, здесь мы имеем дело с существенно более аэроупругими объектами, чем в обычной авиационной тех
нике, с сопровождающими процесс взаимодействия нелинейностями как со сто
роны обтекающей среды, так и со стороны деформируемого тела.
Таким образом, несмотря на кажущуюся конструктивную простоту, в мате
матическом плане проблема функционирования парашютной системы в потоке,
4 Математическое моделирование, № з
98 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т.ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
включая раскрытие, в общем случае сводится к задаче нестационарной нели
нейной аэроупругости, решение которой затруднено из-за необходимости сов
местного интегрирования трех групп нелинейных уравнений из различных раз
делов механики: аэродинамики, теории мягких оболочек и баллистики. В лите
ратуре имеются лишь частные решения подобных задач, полученные при сущест
венных упрощениях [4].
Судя по сложности проблемы, очевидно, что наибольшую роль в ее разре
шении играют и будут играть математическое моделирование и вычислительный эксперимент [5], ориентированные на современные численные методы аэродина
мики и теории мягких оболочек [6].
До последнего времени для моделирования аэродинамической части задачи аэроупругости парашютов на дозвуке широкое распространение получил метод дискретных вихрей (МДВ) [7]. Для расчета парашютов на сверхзвуковых режи
мах обтекания используются метод крупных частиц на адаптивных сетках [8].
Вопросы формообразования и напряженного деформированного состояния (НДС) парашютов решаются с привлечением одномерных [6] и двумерных моделей теории мягких оболочек [10,11], ориентированных на численные методы [12,13].
В настоящей работе рассматривается трехмерное обтекание жесткого одно- оболочкового парашюта-крыла в широком диапазоне чисел Маха от 0 до 1,5.
Для расчетов предлагается алгоритмически более простой метод, который поз
воляет унифицировать решение указанных разнотипных задач [14,15], что дос
тигается применением прямоугольных, не согласованных с формой тела, разно
стных сеток. Алгоритм основан на модели идеального нетеплопроводного газа.
Поиск стационарного решения осуществляется установлением, что позволяет обнаруживать и нестационарные режимы течения. Вариант используемого алго
ритма [14] допускает перемещение точек поверхности тела по сетке, позволяя тем самым проводить полное однопроходное решение задачи аэроупругости.
Возможности алгоритма иллюстрируются на примере решения задачи статической аэроупругости однооболочкового парашюта-крыла итерационным путем.
2. Модель аэродинамики и ее расчетный дискретный аналог
Течение сжимаемого невязкого газа в переменных Эйлера описывается системой уравнений:
-£ + div(pw) = 0 , dt
-ту- + Div(pww) + grad р = О,
— + div(pwe) + div(pw) = 0. (1) Здесь р - плотность газа, р - давление, w = {wm} , /п={1,2}- вектор'
скорости, е , е - удельные внутренняя и полная энергии: e = e + 0,5w2. Газ считается идеальным (у - показатель адиабаты): р = (у~1)ре> но при необхо
димости может быть использовано и другое уравнение состояния. В двумерных задачах используется цилиндрическая система координат, в трехмерных - де
картова.
ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ 99
Рис Л Построение расчетной схемы: I - контрольный объем для газовой динамики, II - мембранный, III - ленточный конечные элементы
4*
100 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т. ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
Для построения разностной схемы прямоугольная область, в которой по
мещено исследуемое тело, покрывается неподвижной ортогональной, обычно неравномерной сеткой. При этом образуются как прямоугольные (целые) ячей
ки, так и частичные, с отсеченными границей тела кусками (рис.1). Основные переменные приписываются к центрам ячеек. Значения целых индексов обозна
чают центр ячейки, а границам ячеек присваивают полуцелые индексы. Вектор
ная форма индексации i={im> обеспечивает краткость записи разностных выра
жений. Для каждой из ячеек хранится следующая геометрическая информация:
занятый газом объем ячейки Vh площади граней, открытые для протока газа Sm = Smm
i m+ l / 2 '
Для удобства записи введем операторы:
Оба оператора изменяют центрирование значений сеточной функции с целого индекса на полуцелый и наоборот. Индексы текущей точки далее в выражениях опускаются.
Переход на следующий временной слой осуществляется в соответствии с методом суммарной аппроксимации в два этапа. На первом этапе для каждого из газов учитывается действие давления. На втором этапе моделируется влия
ние переноса. В случае подвижных границ добавляется и третий этап. Номер этапа указывается в левом верхнем индексе. Алгоритм расчета эквивалентен, описанному в [15], поэтому здесь он приводится без вывода. Метод расчета вдали от границ является модификацией методики FLIC [18].
Для сквозного счета застойных зон вводится искусственная вязкость. Она определяется по аналогии со второй физической [15], что позволяет ее в отличие от [18] просто прибавлять к газодинамическому давлению. Для значе
ний после первого этапа в итоге получаем:
l l / " = wm
\ет = е _
Т pV
X
7v
pfim Sm дт p,
2<5m Sm /um wm,
m
Для второго этапа, используя наветренные разности, имеем для полного вектора газодинамических переменных <р = { p,pw,pe }
г^ = ip _ I 2dmSm fim lwm ( fim V - 0,5 sign(//m Vя) <5m Vm) .
* m
Найденные интегро-интерполяционным методом выражения обеспечивают однородный счет по всей области. Это достигается использованием в разност
ных выражениях фиктивных значений параметров для ячеек, лежащих в теле.
Подобные величины используются чисто формально, так как они умножаются на равную нулю площадь.
Метод имеет первый порядок аппроксимации по времени и по пространст
ву. Для обеспечения устойчивости решения необходимо выполнение условия Куранта. Во избежание крайнего ужесточения этого условия малые ячейки в каждой из сред (объемом меньше 0,2-0,3 целой) присоединяются к соседней.
На границах области со сверхзвуковым вдувом непосредственно задава
лись все параметры потока, при вытекании сверхзвукового потока - условие
ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ 101
сноса. Наиболее сложными являются граничные условия для дозвукового пото
ка. При достаточно удаленных от тела границах поток можно считать квазиод
номерным, что сильно упрощает уравнения. Получающиеся одномерные уравнения записываются в характеристической форме. Для их разрешения необходимо за
дание дополнительных параметров: двух для вдува и одного для вытекания.
Конкретный их выбор зависит от задачи.
На твердых границах уже при выводе расчетных схем использовалось усло
вие непротекания. При подвижных границах в это условие, и соответственно в разностные выражения, войдет скорость перемещения границы.
3. Упругая модель и ее расчетная конечноэлементная схема
Купол парашюта представляет собой незамкнутую мягкую оболочку, карка- сированную гибкими лентами. Дополнительно отметим еще ряд специфических особенностей мягких систем при взаимодействии с потоком: одновременное существование двух- и одноосных напряженных зон и ненапряженных вовсе;
анизотропия свойств; многообразие способов задания физических соотношений для ткани, лент, строп, подкрепляющего каркаса. Различают раскройную, на
чальную и конечную формы парашюта.
Задача о НДС парашюта решается в два этапа. На первом этапе по задан
ной нагрузке и раскройной форме с помощью одномерной модели формируется начальный облик парашюта [6]. Одномерная модель требует небольших затрат машинного времени и позволяет с достаточной точностью находить первона
чальную квазиустановившуюся форму парашюта в потоке, а по ней определять главные вектор и момент аэродинамических сил и их зависимость от основных конструктивных параметров.
Детальный анализ НДС парашюта на втором этапе проводится на основе двумерной упругой модели с использованием дискретного конечно-элементного аналога.
Для описания формы и НДС парашюта воспользуемся соотношениями нелиней
ной теории упругости в приращениях [17]. Пусть элемент поверхности при нагружении перемещается из начального положения G0 в некоторое пространст
венное положение G1, близкое равновесному G2.
Обозначим через и} , е}у , а}у и и] , г\} , о\} (i,j=1,3) соответст
венно перемещения, деформации и напряжения в элементе поверхности G1 и G2, а приращения величин и] , е) j , o)j при переходе из состояния G1 в G2 - через ut , etj , a/ y , где е/у., а/у. - приращения тензоров соответственно деформаций и напряжений.
Связь между приращениями тензоров напряжений и деформаций осуществля
ется при помощи тензора состояния C}jrs, относящегося к состоянию G1:
°ij = Ci;rs ers-
НДС элемента поверхности под нагрузкой определяется уравнениями равно
весия мягкой оболочки как трехмерного тела в форме приращений. Для их составления используются тензоры конечных деформаций Грина-Лагранжа и напряжений Пиолы-Кирхгофа.
Будем считать, что форма мягкой оболочки и ее НДС в промежуточном
102 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т. ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
состоянии G1 известны. Требуется определить форму и НДС оболочки после приложения внешних нагрузок АР2 (перепада давления). Приравнивая вариации работ внутренних и внешних сил, действующих на оболочку в состоянии G2, и относя все характеристики процесса деформирования к начальном} положению G0, будем иметь [17]
Ш c)jrs ers <&<> + ШаЬ*Ч,, dV° = (2)
к
2- Ш °\i *и м°>
V0
где ers и т}} j - соответственно линейная и нелинейная части приращения тензора деформаций; R2 - работа внешних сил:
R2 = J J Ар? дщ ф4° ,
где дщ - вариация текущего значения компоненты перемещений uf; Ар? - компонеты вектора поверхностных сил; V0 и Л° - объем и поверхность оболоч
ки в положении G0.
В выражении (2) независимыми являются соответственно линейная ers и нелинейная rj^ части приращения тензора деформаций. Оно представляет собой линеаризованное по приращениям уравнение равновесия в перемещениях, сфор
мулированное относительно начального положения G0.
Дискретный упругий аналог мягкой системы строится, используя набор соответственно криволинейных изопараметрических восьмиузловых мембраных (для ткани купола) и трехузловых ленточных конечных элементов (для лент каркаса и строп) с квадратичным законом аппроксимации перемещений и формы элемента (рис.1) [12,13]. Для описания поверхности купола вводится гло
бальная xl( i = l , 3 ) декартова система координат, связанная с КЭ. Поля пере
мещений и) и координат поверхности х] КЭ представляются в форме интерполя
ционного многочлена в терминах локальной криволинейной системы координат (а1, а2) [12].
Ввиду отсутствия изгибной жесткости мягкая оболочка рассматривается как безмоментная, находящаяся в условиях плоского напряженного состояния при действии нормальных Nlx , N22 и касательных N12 усилий, приходящихся на единицу длины сечения. Подставляя аппроксимационные зависимости для и]
в (2) и переходя от интегрирования по объему к интегрированию по поверх
ности оболочки (dV°=h dS°, где h — толщина оболочки), получим матричное уравнение для нахождения вектора приращения узловых перемещений ит =
[щ(к)]т в виде:
(К'0 + Ка) а = R2 - F' , (3)
где
П Р О Ц Е С С Ы Н А Г Р У Ж Е Н И Я И Д Е Ф О Р М И Р О В А Н И Я П А Р А Ш Ю Т О В 103
1 1
ко = J ! во С1 во d e t J da Чех2,
- l - l l l
ка = J J BL N BL d e t J da 4 a2,
- l - l l l
Я2 = J J Ар; Q det J d a 4 a2,
l - l l l
F1 = J J B J ЛГ, det J d a 4 a2.
- l - l
Здесь В0, £L - соответственно линейная и нелинейная части матрицы связи приращений деформаций и перемещений; С1 - матрица упругих характе
ристик материала; N, N> - тензор и вектор мембранных усилий; Q - матрица функций формы; J - матрица, определяющая связь между местными декартовой (х1>х2) и криволинейными координатами (ai»a2).
Матричное уравнение движения дискретного аналога элемента мягкой обо
лочки на базе МКЭ получается добавлением к (3) сил инерции и заменой инде
ксов 1 и 2 соответственно на t и t + At:
Mt+At u + (/Cg + Ц ) = Rt+^t - Fr (4)
где М - матрица масс КЭ.
Для замыкания задачи уравнения (3) дополняются физической связью между усилиями и деформациями, которые могут быть самыми разнообразными, включая простейший способ физической связи - закон Гука, а также неравенствами, ограничивающими знаки усилий соответственно в полотнище #/ у, лентах карка
са NL и стропах Nc: Ыг 1 + N22 ^ 0; NtlN22- Nj2 * 0; NL * 0 ; Nc * 0.
В случае пренебрежения жесткостью ткани на сдвиг (#12=0) усилия в ней по произвольным направлениям линий параметризации могут быть найдены через растягивающие усилия N0 и Ny соответственно в нитях основы и утка.
Алгоритм решения упругой части задачи строится на методе Ньютона- Рафсона. Учет основного свойства мягкой оболочки - невосприятия сжимающих усилий — реализуется в алгоритме поэлементным анализом мембранных усилий в КЭ. При отрицательном значении одного из главных усилий в КЭ они обнуляют
ся с последующей перестройкой тензора мембранных усилий. В случае отрица
тельных обоих главных усилий задается нулевой тензор мембранных усилий.
Такой подход позволяет определять зоны складкообразования и смятия поверх
ности мягкой оболочки с учетом эволюции их в процессе нагружения.
4. Модель аэроупругости парашюта
Решение комплексной задачи о взаимодействии парашюта с потоком газа в полном объеме сводится к последовательному интегрированию дискретных ана
логов (1), (3) или (1), (4) и синтезу данных от различных ее частей - аэродинамической и упругой на каждом временном шаге. Процесс строится сле
дующим образом. На начальном этапе по раскройной форме парашюта и заданной
104 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т. ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
аэродинамической нагрузке, используя модели формообразования [6], формиру
ется начальная форма парашюта, которая затем уточняется итерационным пу
тем. Данный этап завершается определением начальной конфигурации парашюта R{, узловых перемещений uf, усилий в ткани Щ^ в стропах Nfc и лентах #£, обобщенных аэродинамических Я{ и внутренних Е\ узловых сил для t=0. Затем начинается внутренний итерационный процесс. В нем для момента времени t + At из совместного решения уравнений (1), (4) с соответствующими физическими соотношениями ищется переход формы парашюта из состояния R{ в состояние Rl*^*, при этом вычисляются нормальные скорости перемещения узловых точек поверхности купола Vfn. По R{ и Vfn из (1) находим аэродинамическую нагрузку Ар г, а по ней обобщенные узловые силы Rt*^*. При несоответствии аэроди
намического Д£а и упругого Aty шагов по времени (обычно Ata »Aty ) инте
грирование уравнений (4) на интервале до t + Ata осуществляется в предполо
жении, что Ар внутри этого временного отрезка меняется по линейному зако
ну. Новая форма парашюта для t + Ata временного слоя ищется также итерацион
ным способом:
дГ+Дг(т) = дГ+Дг(т) - Д Г J^+Af(m)_ flf+Af(m-l) T /5)
где т - номер итерации; Д'+А'(0) = flr; Л - коэффициент релаксации,- подби
рается численный экспериментом.
Процесс приближений ведется путем взаимного уточнения аэродинамической нагрузки и формы парашюта для t + Ata временного слоя при замороженных пара
метрах на t временном слое до выполнения условия
| £f+Af(m)_ flj+Af<m-l> j < 6QJ
где £0 - наперед заданная малая величина.
Описанный выше процесс повторяется на следующем временном слое и т.д.
Апробирование расчетных схем отделыых частей задачи - обтекания и НДС проводилось на решении ряда тестовых задач [16,20].
5. Обтекание однооболочкового планирующего парашюта
Пусть однооболочковый наполненный парашют-крыло (ОПК) площадью 36 м^
обтекается без скольжения и крена потоком идеального газа. В качестве ха
рактерных параметров выберем корневую хорду (линейный размер парашюта вдоль зеркальной плоскости симметрии) и площадь купола в раскрое (см. рис.
1,2). Будем считать ткань непроницаемой, а ее упругие характеристики под
чиняющимися закону Гука. Определим аэродинамическую нагрузку и НДС такого парашюта при установившемся режиме обтекания. Сначала остановимся на осо
бенностях обтекания. Принципиальное отличие данного расчета обтекания от всех предыдущих заключается в том, что задача не является осесимметричной, и следовательно, решать ее надо в трехмерной постановке. Из-за наличия плоскости симметрии в ОПК можно рассматривать лишь половину купола. На
чальная форма парашюта формировалась при заданном перепаде на основе одно
мерной модели [6]. Парашют помещался в поток под углом атаки 60 .
ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ 105
Рис.2 Поле скорости у однооболочкового парашюта-крыла при М=0,5
Область покрывалась прямоугольной сеткой. Наиболее ^ л к а я ^ у тела сетка постепенно увеличивает свои шаги «дали от него. При э т о м о т н о т т п минимального шага к максимальному составляет по хх. 1.16 , по х2. , х3: 1:30. Граничные условия ставились аналогично предыдущим расчетам до-
3Ч а ° с " е т ^ Т р уг ая схема парашка представлялась исходя из 41 мембран
Грац^нГ£^^^
" ^ о Г а т и м с Г Г а ^ Г и Т Г Л ь Г ^ с л е н н ы х данных, представленных „а
„ и с 2 ? н Т р и с 2-5 помещены картины обтекания однооболочкового планирую- рис.2-5. На РИ С 2 Э п о ^щ •* м = 1 2 здесь изображена не вся расчетная щего « ^ ^ " ^ ^ ^ „ з Г т е ! Позади оболоч'ки хорошо видна вихре-
£ * £ . Д а Т н ь ' р и Ы х а ^ Г р и з у к . распределение безразмерного перепада д^влеГ;I'вдоль поперечных сечений купола, полученные по методу МДВ [20],
106 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т.ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
Рис.3 Линии уровня давления у однооболочкового парашюта-крыла при М = 0,5
из эксперимента и из расчета по ЭОЛу. Расчеты ЭОЛ проводились при М=0.5, М=0.8 и М=12 . На передней кромке данные МДВ крайне плохо согласуются с экспериментом (вплоть до того, что перепад давления имеет обратный знак).
Если смотреть в среднем, то значение перепада, полученное по методу ЭОЛ при М=0.5 , хорошо совпадает с экспериментальным, характер зависимости p(z) также близок к экспериментальному, но если смотреть локально, то рас
четная кривая не очень точно отражает экспериментальную кривую. При увели
чении числа Маха до М=1.2 расчетная кривая постепенно удаляется от экспе
риментальных значений, поскольку при подобных скоростях сжимаемость стано
вится существенной и даже обезразмеренные параметры начинают зависеть от числа Маха. В центральной части парашюта наилучшее приближение получается при расчете ЭОЛ при М=0.8 . Н а передней и задней кромках наилучшее прибли
жение получаем при М=0.5.
Рис.5а иллюстрирует эпюры распределения усилий на куполе однооболоч
кового парашюта вдоль основы (справа) и утка (слева) ткани. Отсюда видно, что наиболее нагруженной по основе и по утку является зона поверхности, расположенная ближе к носку, вдоль ленты, проходящей в плоскости зеркаль
ной симметрии парашюта. Для этого случая нагружения (М=0,5) на поверхности
ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ 107
025 0.5 0.75 f z/?3
0,25 05 0.7S
т*/4
Рис.4 Распределение безразмерного перепада давления вдоль поперечных сечений купола.
— расчеты ЭОЛ, - расчеты МДВ, А - эксперимент
108 И.В.ДНЕПРОВ, А.Т. ПОНОМАРЕВ, О.В. РЫСЕВ, С.А.СЕМУШИН
Рис.5 Эпюры распределения усилий на куполе: а) в ткани вдоль основы и утка, б) в продольно-поперечном каркасе
купола имеются области сморщивания ткани (одно из главных усилий равно 0) и смятия (оба главных усилия равны 0).
На рис.5б нанесены эпюры распределения усилий в лентах подкрепляющего каркаса купола (1),(3) и стропах (3). Как видим наиболее нагруженными являются поперечные ленты центральной части купола, а менее - ленты про
дольного каркаса. Здесь же показаны уровни усилий в боковых и центральных стропах.
ПРОЦЕССЫ НАГРУЖЕНИЯ И ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ 109 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Магула В.Э. Судовые эластичные конструкции.-Ленинград: Судостроение, 1978, 264 с.
2. Отто Ф., Тростель Р. Пневматические конструкции.- М.: Стройиздат, 1967, 320 с.
3. Ермолов В.В. Воздухоопорные здания.— М.: Стройиздат, 1980, 304с.
4. Рахматулин Х.А. Теория осесимметричного парашюта. / / Научные труды Института механики МГУ, 1975, №35, с.3-35.
5. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент " Вестник АН СССР, 1979, №5, с.38-49.
6. Белоцерковский СМ., Huuim М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельта
планов на ЭВМ.- М.: Машиностроение, 1987, 240 с.
7. Белоцерковский СМ., Нииип М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жид
костью.- М.:Наука, 1978, 352с.
8. Мосеев Ю.В., Шухова Т.В. Аэроупругость крестообразного парашюта в невозмущенном сверхзвуковом потоке. / / Колебания упругих конструкций с жидкостью. VI симпозиум.- Новосибирск, СибНИА, 1990, с.142-146.
9. Алексеев С.А. Основы общей теории мягких оболочек. //Расчет пространственных конфигураций.
М.: Стройиздат, 1966, Вып.Н, с.31-52.
10. Carmodi J.T. Establishment of the wake behind a disk. / / Trans. ASME, ser.D, 1964, v.86, № 4, p. 869-880.
11. Ридель B.B., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек.- М.: Наука, 1990.
12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир, 1975, 541 с.
13. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.- М.: Мир, 1976, 463 с.
14. Герасимов Б.П., Семушин С.А. Расчет на неподвижной эйлеровой сетке обтеканий тел изменяющейся формы / / Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, №1, с.1214-1221
15. Герасимов Б.Л. Карагичев А.Б., Семушин С.А., Скороваров КВ. Пакет AEOL-2 для расчета двумер
ных задач газовой динамики.- М.: ИПМ АН СССР, 1986, Препринт № 28.
16. Романов М.В. , Семушин С.А. Расчет обтекания оболочек на прямоугольной сетке. - М.: ИПМ АН СССР, 1989, Препринт №52.
17. Васидзу К Вариационные методы в теории упругости и пластичности.- М.: Мир, 1987, 542 с.
18. Gentry R.A., Martin RE., Daly B.J. An eurlerain differencing method for unsteady compres
sible flow problem / / J. сотр. phys., 1966, v. 1, p. 87.
19. Irvine H.M. Analytical solutions for pretensioned cable nets / / J. Enging Mech. Div.ASCE, 1976, v.162, p. 43-57.
20. Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко А.В., Рысев О.В. К определению напряженно- деформированного состояния мягкой несущей системы / / Изв. АН СССР МТТ, 1991, № 2, с.140-148
Поступила в редакцию 20.11.91.
