Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ю. В. Болотин, Обобщенный метод наименьших квадратов в задаче оценивания по угловым измерениям, Автомат. и телемех. , 1997, выпуск 2, 65–74
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
5 ноября 2022 г., 21:51:56
Автоматика и телемеханика, N9. 2, 1997
Стохастические системы
УДК 517.977 '
© 1997 г. Ю . В. БОЛОТИН, канд. физ.-мат. наук (Московский государственный университет им. М . В. Ломоносова)
ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПО УГЛОВЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ1
Рассматривается пространственная задача оценивания траекторий движу
щегося объекта по угловым измерениям. Получены необходимые и достаточ
ные условия наблюдаемости. Показано, ч т о в ненаблюдаемом или плохо на
блюдаемом случаях в условиях помех задача оценивания может быть сведена к методу обобщенных расширенных наименьших квадратов большой размерно
сти. Предлагается редуцированный алгоритм меньшей размерности. Приведе
ны результаты численного моделирования.
1. Введение
Оценивание по угловым измерениям - одна из наиболее важных нелинейных за
дач навигации [1, 2]. Она была поставлена в 40-е годы с применением к преследова
нию морских объектов. Требовалось разработать алгоритмы определения координат ж, у движущегося объекта на основании измерений f3(t) = arctang (x(t)/y(t)). На
чиная с 60-х, разнообразные задачи оценивания по угловым измерениям возникли в связи со спутниковой навигацией.
Один из первых подходов к решению задачи разработан Стансфилдом [1], где введено понятие псевдоизмерений и задача сведена к методу наименьших квадратов.
Однако, за счет нелинейности, при низком отношении сигнал / шум оценка оказыва
ется сильно смещенной [3, 4]. Позднее было предложено использовать расширенный фильтр Калмана [2], основанный на рекурсивной линеаризации уравнений в точке, соответствующей текущей оценке. Разнообразные версии фильтра различаются вы
бором динамической модели и координат, в которых проводится линеаризация [5].
Все алгоритмы расширенного фильтра Калмана требуют начального приближения и, являясь по существу ньютоновскими итерациями метода максимума правдоподо
бия, не работают в плохо наблюдаемых случаях.
Целью данной работы является применение к проблеме новых методов декомпо
зиции матриц, таких как сингулярное разложение с ограничениями [6]. Сначала путем обобщения [7, 8] получены необходимые и достаточные условия наблюдаемо
сти и введено понятие ненаблюдаемого подпространства траектории. Затем показа
но, что нелинейные уравнения угловых измерений могут быть сведены к линейной задаче с аддитивными и мультипликативными погрешностями высокой размерно
сти типа задачи расширенных наименьших квадратов с ограничениями (ОРНК) [9]
и что ненаблюдаемой траектории соответствует вырожденный случай ОРНК. В ненаблюдаемом случае предлагается модификация ОРНК, в которой оценивается не единственная траектория, а все ненаблюдаемое подпространство. Проводится редукция размерности, и задача решается с использованием численно устойчивого алгоритма РНК.
1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант N ° 95-01-00218.
3 Автоматика и телемеханика, N5. 2 65
Используются следующие обозначения. Символ I обозначает единичную матри
цу, символ 0 - почленное Адамарово произведение матриц. Верхний индекс Т обо
значает транспонирование. Евклидова норма вектора обозначается || • ||, норма Фро- бениуса матрицы обозначается || • Движение в трехмерном пространстве описы
вается в фиксированной декартовой системе координат. Вектор координат обозна
чается г = (а?, у, г ) , векторное произведение - символом х . Наблюдения проводятся в дискретные моменты времени z = l , 2 , . . . , J V , q обозначает оператор сдвига времени qr(t) = r(t — 1). Последовательности r(t) длины п, начиная с t = s, обозначаются R(s). Аргумент t = 1 иногда опускается.
2. Постановка задачи
Пусть движение наблюдаемого объекта и наблюдателя в трехмерном простран
стве rv(t) = (a^(z), 2V( * ) ) , r0(t) — (x0(t), y0(r), z0(t)), описывается уравнени
ями авторегрессии a(q)r0{t) =z'u(t)} a(q)rv(t) = О, где a(g) - полином порядка n со скалярными коэффициентами
(1) a(q) = а0 + aiq H h anqn
относительно оператора сдвига времени g, а u(t) - известное управление наблюда
теля. В частном случае a(g) = (1 — q)n модель (1) описывает наиболее часто ис
пользуемую полиномиальную модель. Одинаковые уравнения авторегрессии (1) для объекта и наблюдателя имитируют здесь основную причину возможной ненаблюда
емости. В случае разных авторегрессий траектория в общем случае наблюдаема.
Разность r(t) = rv(t) — r0(t) будем называть относительным положением объекта, а прямую, содержащую r(t) - линией визирования. Угловыми измерениями называ
ются измерения единичного вектора e(t) = KOIkWII"1- Без ограничения общности можно считать, что при неидеальных датчиках угловые измерения представляют собой единичный вектор
(2) *(t) = e(t)-v(t),
где v(t) - некоторый малый вектор ошибки измерений, лежащий на единичной сфере с центром в точке е(£), и приближенно ортогональный e(t). Умножая векторно (2) на г(£), получим так называемые уравнения псевдоизмерений
(3) e(t)xr(t) = (a(t) + v(t))xr(t) = 0, * = 1,
В отличие о т угловых измерений (2), задаваемых точкой на единичной сфере и нелинейных по г, псевдоизмерения (3) линейны по г, не различают векторы г и
—г, т.е. определяют линию визирования, но не направление на ней, и задаются точкой двумерного проективного пространства. В этом смысле переход о т (2) к (3) уменьшает информативность измерений вдвое.
Пусть траектория наблюдателя известна точно и пусть линия визирования (3) измеряется в дискретные моменты времени t = 1,..., N, где N ^ п. Три задачи имеют практический интерес: оценка траектории объекта при 0 < t < N] прогноз траектории назад при t < 1; прогноз траектории вперед при t > N.
3. Анализ наблюдаемости
Пусть траектория наблюдателя фиксирована. Тогда траектория объекта опре
деляется последовательностью первых п относительных координат R = R(l) =
= ( г ( 1 ) , . . . , г(п)). Множество траекторий объекта можно отождествить с Зп-мер
ным пространством начальных условий R. Пусть F} Я , G - соответствующая ав
торегрессии (1) переходная матрица о т R(t) к R(t + 1), матрица при управлении и
матрица при измерении соответственно. Относительное движение объекта описы
вается формулами
(4) r(t) = GR(t), R(t + 1 ) = FR(t) - Hu{t).
Определение 1. Оператор псевдонаблюдаемости Ф ставит в соответ
ствие вектору начальных условий R последовательность
(5) Ф( г) Д = e(t) х G F ^ i i , t = l,...,N.
Сингулярные числа ф{ оператора ^называются мерами наблюдаемости.
Оператор (5) может быть представлен в виде матрицы Ф со строками, нумеро
ванными t. В отличие о т матрицы наблюдаемости в линейной теории оценивания, Ф неявно зависит от данных измерений a(t). С использованием оператора Ф урав
нения (3) могут быть записаны в виде
t
(6) 4f(t)R + e(t)xru(t) = 0, ru(t) =
Gj2
Ft'
S<
s)-
8 = 1
Определение 2. Линейное подпространство QR пространства траекторий объекта, состоящее из траекторий, порождающих тот же оператор псевдона
блюдаемости, что и заданная траектория с начальным условием R, называется ненаблюдаемым подпространством траектории. Элемент ненаблюдаемого под
пространства, отличный от заданной траектории, называется псевдорешением.
Утверждение 1. Траектория объекта ненаблюдаема, если и только если столбцы Ф линейно зависимы. Размерность OR совпадает с числом нулевых мер наблюдаемости.
• Если столбцы зависимы, существует такое начальное состояние R', что Ф Л ' =
= 0. Тогда из (6) следует Ф ( £ ) ( Д + R') + e(t) х ru(t) = 0. Траектории с начальными состояниями Д , R + R! порождают одинаковые наборы псевдоизмерений. Обратно, пусть существуют две траектории с одинаковыми операторами наблюдаемости Ф , но с разными начальными состояниями R, R + R'. Тогда Ф Д ' = 0, т.е. столбцы Ф линейно зависимы. •
Утверждение 2. Столбцы Ф линейно зависимы, если и только если суще
ствуют такие скалярная функция времени s(t) и начальное состояние R', что выполнено тождество
(7) r(t) = s(t)GFt-1R') t = l,...,N.
• Столбцы Ф в (5) линейно зависимы, если и только если для некоторого Зп-вектора R' и для всех t выполнено e(t) х G F * "1^ ' = 0. С другой стороны, e(t) х
xr(t) = 0. Приведенные уравнения совместны, если и только если r(t), GFt'~^R' коллинеарны. •
Т е о р е м а 1. Траектория объекта ненаблюдаема, если и только если его от
носительные координаты могут быть записаны в виде
(8) r(t) = s(t)GFi-1(SQOy1R,
где s {i) - произвольная скалярная последовательность, S = (s ( 1 ) , . . . , s (n)) - ее на
чальная серия, а О - матрица наблюдаемости: О1 — (G • • •GFn~1)T. Размерность ненаблюдаемого подпространства удовлетворяет неравенству 0$С dimQR ^ п.
• Пусть выполнены условия последнего утверждения. Тогда равенства (7) вы
полнены для t = 1 , . . . , п. Их можно переписать как векторные соотношения R —
з* 67
= (S®0)Rf. Псевдообращая последнее соотношение и подставляя R' в (7), получим требуемое. •
Следствие 1. Пусть управление наблюдателя отсутствует. Тогда для траекторий объекта с произвольными начальными условиями R ненаблюдаемое подпространство QR содержит множество геометрически подобных траекторий с начальными условиями R' = sR, где s - произвольный скаляр, так что dimfl ^ 1.
Если линия визирования в процессе движения не меняет направления в про
странстве, т.е. существует такой вектор S = (s(l),... ,s(n)), что R= S © r ( l ); то ненаблюдаемое подпространство QR n-мерно и параметризуется произвольны
ми п-векторами S.
Если полином a(q) имеет т кратных корней, то для различных R размерность QR может быть любой в интервале 1 ^ dimfin ^ га. •
4. Оценивание траекторий
Уравнения динамики (4) и псевдоизмерений (3) могут быть записаны в рекур
рентной форме пространства состояний
(9) R{t + 1 ) = FR(t) - Hu(t), 0 = (a{t) + v(t)) x (GR(t)), t = l,...,N.
Естественный подход к оцениванию траекторий (9) - метод максимума правдопо
добия (ММП) в предположении, что v(t) - некоррелированные во времени нормально распределенные случайные процессы с нулевым средним и некоторым среднеквадра
тичным отклонением а, т.е. что ошибки измерений имеют плотность распределения
(10) p W = ff(2ff)-3^2exp^-i^->(*)||2^max.
Отметим, что в исходной постановке (2) вектор погрешностей v(t) ортогонален e(t) и потому имеет коррелированные компоненты, в то время как в (10) его ком
поненты не коррелированы. Однако в рамках ММП обе постановки эквивалентны, поскольку при максимизации (10) ортогональность v(t), e(t) получается автоматиче
ски, как следствие экстремальных свойств векторного произведения в (9). Близкие вопросы обсуждаются в [4].
Записанная в виде (2), задача сводится к нелинейному оцениванию с аддитив
ным шумом, причем в наблюдаемом случае выполнены достаточные условия состо
ятельности и эффективности ММП при <т —• 0 [9, 12]. Если траектория объекта ненаблюдаема, то функция правдоподобия имеет вырожденный максимум. Степень вырождения совпадает с размерностью ненаблюдаемого подпространства QR.
В плохо наблюдаемом случае, когда наименьшие меры наблюдаемости малы, свойства решений ММП зависят о т интенсивности шума а. При малых а функция правдоподобия имеет единственный максимум вблизи истинной траектории. При увеличении а происходит бифуркация, и максимум смещается в сторону псевдо
решения. Чем хуже наблюдаемость, тем быстрее скачок о т истинного решения к псевдорешению. Отсюда видно, что применение для решения задачи ММП прямых численных методов оптимизации градиентного или ньютоновского типа, таких как фильтр Калмана, вызывает определенные трудности.
. Записанная в форме (9) задача линейна по переменным состояния. Поэтому к ней целесообразно применять линейно-алгебраические методы типа ОРНК, для которых проблемы сходимости не возникают [9].
Ниже приводится общая постановка задачи ОРНК [9]. Пусть А, В, С, D - неко
торые М х m, М х k, М х I, р х ( т + &)-матрицы. Требуется найти £ х р-матрицу
возмущений Д с минимальной нормой Фробениуса | | A | |F и га х fc-матрицу решений X, удовлетворяющие системе ограничений
(11) АХ + Б + CAD ^ Xj ^ = 0 .
Задача ОРНК называется невырожденной, если ее решение Х,А существует и единственно. Для вырожденной задачи размерность пространства решений X назы
вается степенью вырождения. Если матрица С максимального ранга по строкам, а последние к столбцов D независимы, по крайней мере, одно решение существует. В случае, когда С имеет максимальный ранг по строкам, a D - по столбцам, проблема сводится к обычным расширенным наименьшим квадратам (РНК) [9]. Если первые га столбцов D нулевые, задача сводится к обычным наименьшим квадратам (НК).
Утверждение 3. Задача ММП (9), (10) эквивалентна задаче ОРНК в пере
менных X = (Д(1),... •, R(N))> возмущениях А = ( А ( 1 ) , . . . , A(N)) и системе огра
ничений
(12) R(t + l) = FR(t)-Hu(t), 0 = a(t)xGR(t) + A(t)GR(t).
Задача ОРНК всегда имеет, по крайней мере, одно решение. Если траектория наблюдаема, то при а —> 0 ОРНК дает ее состоятельные и эффективные оценки.
Если траектория объекта ненаблюдаема, то задача ММП имеет вырожденный максимум, а задача ОРНК (12) вырождена. Степень вырождения совпадает с размерностью ненаблюдаемого подпространства QR.
• Уравнения (12) отличаются о т уравнений (9) заменой векторов v(t) на 3 х 3- матрицы A(t). Легко видеть, что максимизация p(v) и минимизация | | A | |F дают одно и то же решение X = ( Д ( 1 ) , . . . , R(N)). •
В ненаблюдаемом случае поставим задачу оценивания всего ненаблюдаемого под
пространства Q.
Определение 3. Модифицированная задача ММП степени d состоит в опре
делении подпространства Q размерности d в пространстве траекторий Д ( 1 ) , . . . , R(N), на котором максимизируется плотность вероятности (10) при ограничениях (9). Модифицированная задача ОРНК степени d состоит в опреде
лении возмущения А минимальной нормы, для которого уравнения (12) имеют d + 1 линейно независимых решений.
При d = 0 модифицированная задача совпадает со стандартной.
Т е о р е м а 2. Если размерность ненаблюдаемого подпространства Q равна d, то решение модифицированной задачи ММП степени d, или задачи ОРНК сте
пени d, при а —> 0 дает состоятельные и эффективные оценки ненаблюдаемого подпространства Q. •
Рассмотрим асимптотический случай оценивания, когда при фиксированной точ
ности измерений а и на фиксированном отрезке непрерывного времени частота из
мерений и их количество N стремятся к бесконечности. Тогда существует предел (13) lim ЛГ-1ФТФ = Ф0 0,
N—*oo
причем в случае dim Q = d последние d собственных чисел Ф о о равны нулю, а пре
дыдущее отлично о т нуля.
Утверждение 4. Оценки наблюдаемого подпространства Q при N —> со асимптотически состоятельны.
• В случае d = 0 утверждение доказано в [9] для общей задачи (11) в предпо
ложении^ существования положительно определенного предела при М —* оо предела матрицы М"гАТА, которое, очевидно, выполнено в случае (13). Общий резуль
тат доказывается аналогично, с использованием асимптотической состоятельности оценки сингулярных векторов [6]. •
69
5. Редуцированная задача оценивания
Приведенная выше задача ОРНК содержит 3Nn х ЗЛГп-матрицы, обычно очень высокой размерности. Алгоритм [9] для (12) решает задачу, но требует больших вычислительных затрат. В данном параграфе предлагается методика понижения размерности.
Пусть требуется определить параметры траектории объекта в некоторый фик
сированный момент времени s, и пусть для определенности $ = 1. Запишем ограни
чения (12) в виде уравнений относительно переменных R (14) a(t) х (GFT~1R + ru(t)) + A ( t ) ( G Ft"1 R + ru( t ) ) - 0.
Уравнения (14) относительно Д, А не являются задачей ОРНК, поскольку они включают умножение матриц возмущений A(t) справа на функции времени GFT~1R) ru(£), а в задаче ОРНК допускается только умножение слева.
Утверждение 5. Пусть Е - некоторая фиксированная матрица. Тогда наименьший множитель f, такой что для всех векторов R множество {AER : : ||A||i? ^ 1 } содержится в множестве {/AAR '• \\AA\\F ^ 1 } ; совпадает с наиболь
шим сингулярным числом Е . •
Используя сформулированное утверждение, заменим члены A ( i ) G Ft _ 1f i , A(t)ru{t) на члены / ( 1) Д д ( £ ) Я , ||ru(z)||AB(£), где / ( £ ) - наибольшее сингулярное число G Ft _ 1, АА(Ь)) АБ ( 0 ~ произвольные 3 х Зп-матрица и 3-вектор возмущений, соответственно.
Определение 4. Редуцированной задачей (РРНК) называется система 3N уравнений относительно Зп-вектора R и SNхЗп+l-матрицы возмущений (АААВ) с ограничениями
(15) о(*) x{GFi-1R + ru{t)) + f(t)AA(t)R + \\ru(t)\\AB(t) = 0.
Утверждение 6. Решение редуцированной задачи РРНК (15) степени d —
— сИтПя дает состоятельные при а —» 0 и асимптотически состоятельные при N —• оо оценки ненаблюдаемого подпространства Q. Решение удовлетворяет неравенству || ( Д ^ Д # ) \ \F ^ ||Д||/г-, где А - оптимальное возмущение исходной за
дачи (14*).
• Первое утверждение - прямое следствие теоремы 2. Второе вытекает из утвер
ждения 5. •
Полагая X = R, A(t) = f(t)-*a(t)x G F * "1, B(t) = f(t)'la(t) x ru(t), D{t) =
— /СО^И^МИ и опуская t для обозначения матриц, состоящих из блоков t • =
= 1,..., N, ограничения задачи (15) можно привести к ограничениям стандартной задачи РНК [И]
(16) Л Х + Я + ААХ + DAB = 0.
Когда управление наблюдателя отсутствует, множитель D в последнем члене равен нулю, т.е. в задаче присутствуют только мультипликативные возмущения.
Однако в реальных расчетах множитель D следует брать положительным, чтобы учесть неизбежные ошибки моделирования. Тогда, проводя масштабирование, без ограничения общности можно считать D = /.
Предлагаемый ниже алгоритм решения модифицированной задачи РНК (16) ос
нован на алгоритме решения стандартной задачи РНК из [11].
1. Если число М строк (А В) много больше числа столбцов га + 1, провести фД-разложение (А В) = Q P , где Q - ортогональная, а Р - верхнетреугольная ма
трица. Найти сингулярное разложение Р = USVT.
2. Выбрав некоторый критерий вырожденности р > 0, разделить сингулярные числа в 5 на две группы:
(17) S i ^ . . . £ Sr£ p > Sr+i £ . . . £ Sra+i .
3. Определить размерность ненаблюдаемого подпространства как d = га — г.
Выделить правый блок в V размером (1 + га) х (d + 1), и, путем умножения справа на ортогональную матрицу, преобразовать его к виду
ш
- f Wl W d Wd^1 \\ 0 . . . О cd + 1 J '
где cd+i - скаляр, a W{ - векторы длины га. Если Q + I < £, где £ - заданный порог точности, увеличить р и вернуться на шаг 2.
4. Определить d + 1 векторов ненаблюдаемого подпространства П как (18) Xd+i = c^Wd+u Xd = Xd+i + c ^ w d , . . . , X i = Xd +i + c ^ t D i . '
В случае г < га проблема РНК является вырожденной степени d—m — r. Отме
тим, что стандартный алгоритм из [11] определяет только решение (16) минималь
ной нормы, т.е. Xd+i в (18).
В применении к оцениванию по угловым измерениям указанное множество ре
шений (18) аппроксимирует ненаблюдаемое подпространство Q. Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть d - степень вырождения проблемы РНК для задачи оце
нивания по угловым измерениям (16). Тогда приведенный алгоритм дает состоя
тельные оценки d-мерного ненаблюдаемого подпространства ft. •
При N ^> п основной объем вычислений ложится на шаг QiZ-разложения. Если алгоритм реализован рекурсивно по г, обновление ф ^ - Ра з л о ж е н и я требует порядка 37V х Зп операций на каждом шаге по времени.
Описанный алгоритм может быть реализован в виде следующей схемы оценива
ния траектории по данным угловых измерений. Для последовательности измерений a(t), t — 1 , . . . , TV, вычисляются сингулярные числа (17) задачи (16). Если только одно сингулярное число меньше рангового критерия р, траектория классифицирует
ся как наблюдаемая и используется невырожденный алгоритм РНК. Если два или больше сингулярных числа меньше р, траектория классифицируется как ненаблю
даемая и вычисляется ненаблюдаемое подпространство О.
Для применения данной схемы необходим априорный выбор р. Его можно про
вести из следующих соображений. Пусть d - размерность ненаблюдаемого подпро
странства, и пусть A i , . . . , Am - сингулярные числа матрицы А в (16). Известно [6], что А,- разделяют S,-, т.е. Si ^ Ai ^ . . . ^ Sm ^ Am ^ Sm+ i - С другой сто
роны, в предположении некоррелированности шумов имеет место асимптотическая при N —> оо формула А,- ~ ф{ + cr, где ф{ - меры наблюдаемости, причем ф{ = О при г > га — d, а фт-а неограниченно возрастает с ростом N. Следовательно, Sm-d ^> о- ^ Sm-d+i ^ . . . ^ 5m+ i , так что при большой частоте измерений в качестве р можно взять любое число, большее а.
На практике величина р должна быть несколько завышена, чтобы скомпенсиро
вать ошибки моделирования, т.е. несогласованность реальных уравнений движения объекта с его авторегрессионной моделью (1).
6. Результаты моделирования
Расчеты проводились для следующей модельной задачи. Траектория наблюдате
ля представляет собой круговую орбиту высотой 500 км. Движение объекта задается полиномом пятой степени по t с ускорением около 10д. Начальная высота и скорость объекта относительно земли равны нулю. Наблюдения проводятся в моменты вре
мени t = 1 , . . . , 5 0 сек. Шум измерений имитируется равномерно распределенной случайной величиной со стандартным отклонением а = 10~5.
71
Таблица 1
Сравнение алгоритмов
Параметр Граница Крамера-Рао А л г о р и т м Стансфилда Алгоритм Р Р Н К
К 0,000 0,4732 0,1436
к 0,000 3,8914 1,1327
Ут1 0,0004 0,0006 0,0006
VT2 0,0005 0,0006 0,0009
УтЪ 0,3072 0,6591 0,4607
Vvl 0,0095 0,0131 0,0270
0,1772 0,1627 0,3210
VvZ 1,6957 2,3872 3,2108
Url 1,000 1,1000 1,1241
1,000 1,4599 1,5469
Ur3 1,000 2,2921 2,0441
Uvl 1,000 0,6004 1,4701
Uv2 1,000 1,2591 2,1928
Uv3 1,000 2,3555 3,0156
При решении задачи оценивания используется авторегрессионная форма полино
миальной модели a(q) = (l — q)5. Круговая траектория наблюдателя не описывается полиномом и не принадлежит классу (8). Поэтому траектория объекта наблюдаема.
Однако при заданной длительности наблюдения минимальная мера наблюдаемости довольно низка - порядка 0,0003.
Пусть критерием качества будет сравнение с нижней границей Крамера-Рао TR величины ковариации ошибки оценки QR произвольного несмещенного алгоритма оценивания [12]. Для рассматриваемой задачи в предположении нормальности шу
мов граница Крамера-Рао может быть вычислена как
Для наглядности ниже рассматриваются ошибки оценивания не R, а координат г = r(N) и скоростей v = r(N) в конечный момент t = N. Пусть Qr, Qv, Br, Bv,
dr f д г \Т _ dv (dv\T
Tr~dRTR{dRj ' Tv-dRTR{dRj
- ковариационные матрицы оценивания, смещения и нижние границы Крамера-Рао для г, v, соответственно.
Определение 5. Длины br, bv векторов смещения Br, Bv назовем мерами смещенности оценки r; v. Собственные числа vf, матриц Qr, Qv назовем ме
рами среднеквадратичной ошибки оценки г, v. Собственные числа р% матриц QrYy1, Qv^v1 назовем мерами неэффективности оценки г, v.
Результаты расчетов по 30 статистическим испытаниям для алгоритмов Станс
филда и РНК приведены в табл. 1. Расстояния измеряются в километрах, скорости - в км/мин. Видно, что наблюдаемость пространственных координат сильно различ
на. Расстояния вдоль линии визирования оцениваются много хуже. Метод РНК дает оценки качества, сравнимого с границей Крамера-Рао; смещенность решения РНК много меньше смещенности решения Стансфилда. Для больших <т последнее
Таблица 2
<7 Sm-l Sm Sm+1
1,0е-5 0,00127 0,00030 4,07е-5
2,0е-5 0,00127 0,00030 8,15е-5
3,0е-5 0,00127 0,00030 0,00012
4,0е-5 0,00127 0,00030 0,00016
5,0е-5 0,00128 0,00030 0,00020
6,0е-5 0,00128 0,00030 0,00024
7,0е-5 0,00128 0,00031 0,00028
8,0е-5 0,00128 0,00032 0,00030
9,0е-5 0,00128 0,00036 0,00030
0,0001 0,00128 0,00040 0,00030
0,0005 0,00192 0,00130 0,00031
0,0010 0,00333 0,00135 0,00032
0,0020 0,00447 0,00148 0,00035
0,0030 0,00513 0,00168 0,00038
0,0040 0,00560 0,00192 0,00041
явление еще более ярко выражено. В то же время среднеквадратичная ошибка РНК несколько больше, чем у Стансфилда. Последнее - неизбежное следствие увеличения разрешающей способности.
В табл. 2 показано изменение трех наименьших сингулярных чисел в последова
тельности (17) с увеличением а: При сг < 0,00009 наименьшее сингулярное число Sm+ i растет вместе с сг, т.е. соответствует шумовой составляющей. При сг ~ 0,00009 два наименьших сингулярных числа равны, т.е. задача РНК становится вырожден
ной. При дальнейшем росте сг наименьшее сингулярное число соответствует псев
дорешению и приближается к наименьшему сингулярному числу оператора наблю
даемости (5).
Расчеты показывают, что при росте а за 0,00009 точность оценки стандартного метода РНК быстро падает, поскольку решение притягивается к псевдорешению.
В этой области может быть определено только ненаблюдаемое подпространство Q.
Алгоритм переходит в режим определения Q, которое в силу неравенства Sm-i > SM определяется как одномерное. Для нахождения состоятельной оценки единственной траектории в этом случае необходима дополнительная информация. Такой информа
цией может быть, например, т о т факт, что в момент старта объекта с поверхности земли его скорость равна нулю.
7. Заключение
Предложенный алгоритм оценивания траектории по данным угловых измерений, основанный на методе ОРНК, применим как в наблюдаемом, так и в ненаблюдае
мом случае, когда алгоритмы типа расширенного фильтра Калмана не работают. В наблюдаемом случае он дает состоятельную оценку траектории; в ненаблюдаемом - состоятельную оценку ненаблюдаемого подпространства. Хотя редуцированный ал
горитм не использует часть информации о структуре погрешностей, заложенной в исходной постановке задачи, численные расчеты показывают, что его эффектив
ность сравнима с границей Крамера-Рао.
Задача, которая не рассматривалась в данной работе, но имеет несомненную практическую важность - рекуррентная реализация в реальном масштабе времени с требованиями по быстродействию и памяти, сравнимыми с расширенным фильтром Калмана (~ о ( п3) операций). Она требует отдельного рассмотрения.
73 Сингулярные числа
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Stansfield R. G. Statistical theory of DF fixing / / Journal of IEE. 14, Pt III A. 15. 1947.
P. 762-770.
2. Singer R. A. Estimating optimal tracking filter performance for manned maneuvering target / / IEEE Transactions on Aerospace and Electronics Systems. AES-6. 1970.
P. 473-483.
3. Aidala V. L, Nardone S. C. Biased estimation properties of the pseudolinear tracking filter / / IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems. V. AES-18. N° 4.
1982. P. 432-441.
4. Gavish M., Weiss A. J. Performance analysis of bearing - only target location algo
rithms / / I E E E Transactions on Aerospace and Electronic systems. V. 28. N£ 3. 1992.
P. 817-827.
5. Song T. L., Speyer J. L. A stochastic analysis of a modified gain extended Kalman filter with applications to estimation with bearing only measurements / / IEEE Transactions on Automatic Control. V. AC-30. N£ 10. 1985. P. 940-949.
6. De Moor В., Golub G. The restricted singular values decomposition: properties and applications / / Siam J. Matrix Anal. Appl. V. 12. N£ 3. 1991. P. 401-425.
7. Nardone S. C, Aidala V. J. Observability criteria for bearing - only target motion analysis / / IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. V. AES-17. N£ 2.
1981. P. 162-166.
8. Payne A. N. Observability problem for bearing - only tracking / / Int. J. Control. V. 49.
N£ 3. 1989. P. 761-768.
9. Van Haffel S.} Zha H. The restricted total least squares problem: formulation, algorithm and properties / / Matrix Anal. Appl. V. 12. N£ 3. 1991. P. 292-309.
10. Брайсон A., Xo Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. Пер. с англ. М.: Мир, 1972.
11. Van Haffel S., Vande Walle J. Analysis and solution of the nongeneric total least squares problem / / Matrix Anal. Appl. V. 9. N£ 3. 1991. P. 360-372.
12. Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. М.: Мир, 1975.
Поступила в редакцию 19.07.94
