Ю. В. Болотников, В. Н. Сачков, В. Е. Тараканов, Асимптотическая нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных подста- новок, Матем. сб. , 1976, том 99(141), номер 1, 121–133

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. В. Болотников, В. Н. Сачков, В. Е. Тараканов, Асимптотическая нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных подста- новок, Матем. сб. , 1976, том 99(141), номер 1, 121–133

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:33:07

УДК 519.21

Асимптотическая нормальность некоторых величин, связанных с цикловой структурой случайных подстановок

Ю. В. Болотников, В. Н. Сачков, В. Е. Тараканов (Москва)

§ 1. Введение

Мы будем изучать асимптотическое поведение величин, связанных с длинами циклов, в некоторых классах случайных подстановок. В случае, когда подстановки выбираются с одинаковой вероятностью из совокуп­

ности Sn всех подстановок степени п, вопрос об асимптотическом поведе­

нии при п-+оо некоторых случайных величин такого рода рассматривал­

ся В. Л. Гончаровым (см. [1]). В противоположность этому мы будем предполагать, что равномерное распределение задано не на всем Sn, a на некоторых его подмножествах. А именно, пусть Sn (соответственно

$п2)) —совокупность всех таких подстановок а степени п, что разложе­

ние о в произведение независимых циклов содержит лишь циклы нечет­

ной (соответственно четной) длины. Мы можем дополнительно предпо­

ложить, что на множестве всех циклов длины / > 1 для каждого / задано некоторое отношение эквивалентности, обладающее тем свойством, что все классы по этому отношению имеют одинаковую мощность р ^ 1

(примеры таких отношений нетрудно привести). Ясно, что эти отноше­

ния эквивалентности можно естественным образом продолжить до отно­

шения эквивалентности на всем множестве Sn^ (или Sn2)). Обозначим фактор-множества множеств Sn и Sn2) по этому отношению через S хр

и Sn% соответственно. В дальнейшем будем предполагать, что равно­

мерное распределение задано на Sn\9 (соответственно на S«%), к этому случаю и будут относиться полученные нами результаты.

Рассмотрим случайные величины ah (k= 1 , 2 , . . . ) , равные числу цик­

лов длины k в случайной подстановке о степени п. Пусть s = s(n) —не­

которая функция от п с натуральными значениями (s<cn). Нас интере­

сует асимптотическое распределение при п-^оо случайных величин

(S+l)/2 S/2

v^ = ^J c2k~i<i2k-i, nl2) = У) c2ka2k9 (1) заданных на S^p и S„2)p, при условии, что и s-+oo. Здесь ck (k —

= 1, 2, . . .)—некоторые действительные числа. Мы покажем, что при соответствующих ограничениях на 5 и последовательность {ск} случай­

ные величины г)*,1* и <^2) асимптотически нормальны.

<9 Математический сборник, т. 99(141), № 1

Из этих результатов, в частности, следует асимптотическая нормальность

s

gs = у* а^ —общего числа циклов с длинами не больше s в случайной под-

k=i

становке а из S^ или S „ \ Асимптотическая нормальность £s для s = п установлена в § 4.

Один из случаев подобной задачи встретился в работе [2] в связи с исследованием экстремальных точек «пространства симметрических два­

жды стохастических матриц. В работе [3] исследован случай 5=const и найдено предельное распределение (пуассоновское) величин ah (k^s).

В работе [4] доказана асимптотическая нормальность некоторых слу­

чайных величин, связанных с отображениями ограниченной высоты h специального вида (при /г = 0 это подстановки с ограничениями на длины встречающихся в них циклов).

§ 2. Производящие функции

Итак, пусть на Sn]p (i=l, 2) задано равномерное распределение.

Пусть MJi^p (ku . . . , ks) — число элементов из SnyP, у которых kt циклов длины 1, /е2 циклов длины 2 и т. д.; Mn(ku k2, . . . , кп) —число подстано­

вок из 5П, имеющих k5 циклов длины / (/= 1, 2, . . . , п).

Как известно (см., например, [5], стр. 84),

S if S Мп ^ k» • • • > kn)х ^ ... хпп = exp ly} xkM , (2)

k=A

где vi означает суммирование по всем наборам неотрицательных це­

лых чисел ku kZi ...., kn, для которых ki + 2k2 +.. . + nk^=n.

Положим

[п,р (-^i* • • • > Xs) '==z /j M/I,P (^i> • • • » &s) %i . . . Xs >

(3)

w n

гS,P\X\I • • • > -^s» 2 ) — уi fntp (Xl9 . . . , Xs) - , I = I , Z.

/2=0 n\

Чтобы получить F(s]l (xu ..., x89 z), надо в (2) положить x2m=0 для всех т, a x2m+i заменить на x2m+Jp при 1 < 2 т + 1 ^ 5 и на 1/р при 2 т + 1 > 5 . Для нахождения F{s%] (хи . . . , х8, z) следует в (2) положить х2т+1 = 0 для

всех т, а х^2т заменить на х^2т/р при 0 < 2 m ^ s и на 1/р при 2m>s. В ре­

зультате имеем:

Fs]l (xv . . . , xs, z) = exp \xxz + — S ^ " Y + — S 7 '

l ^ £=--3 P &=s+i >

Fi% (xv ..., xs, z) = exp i v x, i - + - у - U ,

F%"(*, • • •, хЯ9 г) = ( ± ± 1 ) ехр р ^ - г + 1 ^ (xk - 1 ) - U , (4)

ь * ( ъ *А

где ^9 соответственно SJ обозначает суммирование по всем нечетным (соответственно четным) значениям k в отрезке [а, &]. Используя очевидные соотношения

У, — = - l n l ± ± , 51, — = — — In (1 — z2), запишем:

а + 2у / 2 Р ^ f pjrx —1. ^ , 1 * » , _ п 2*

k~3

i \ / 1 \ ! / 2 Р ( / Is* * ~/г ^

F£(*I. ..., ^

) = (тг?)

PJ7S ^ - ^ т } -

Перейдем теперь к интересующим нас 'величинам \х$ и х\¥\ определен*

ным в (1). Обозначим производящие функции этих величин символами gn],P (*), i = 1 , 2. Ясно, что

М(1)

где /W„l) == /Л,Р(1, 1, ..•> 1)—число элементов в S^p, i = 1 , 2. И з опреде­

ления функций fs'p^i, . . . , xStz) (см. (3)) следует, что £л,р(я) равняется отношению коэффициентов при zn в разложении по степеням z функций

G{s% (x, z) = Fill (xc\ . . . , x\z) и Gs(,lp(l,2). Таким образом, нам придется исследовать асимптотическое при п—> ос поведение коэффициентов в разло­

жении по степеням z следующих производящих функций (мы учитываем (4) и (5)):

i/2P ( p ^ i - 1 1 » * ек 2fe

< а^"-(стГ«р{7|"«'' ^, -"т)- < ⁷ >

о5»

1,

= ( 1 ± 1 р ^

, (8)

^ • ^ ( j z V ) •

§ 3. Асимптотическая нормальность величин K\S

Пусть

р / J k p f^ k p

h2 - г2 4- 1 ^*iL-±\i*ii 'j-£=l-r2

p f-1 Л 9 и k 9

Т е о р е м а 1. Если при п-^оо выполнены условия:

1) 5->оо, причем s^Cn1-", где С — константа, а > 0 , 2) # - > о о ,

3) ck/bs->0 при s-+oo равномерно no k, то распределение случайной величины

^s) = (^)-as)lbs

стремится к нормальному распределению с параметрами (О, 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим характеристическую функцию величины 051}: А{п (0 = Me s . Ее нетрудно найти, зная производя дую фуякцию g(n?p(x):

Так как функция g(n!p(x) равна отношению коэффициентов при гп в разло­

жении функций G(s*l(x,z) и 0^р(1,г), то мы и займемся изучением этих коэффициентов при х = е Д Обозначим их Ап и Вп. Покажем, что при п -> оо

2V (1)

Л„~-^Ц-, (Ю)

Г (6) п1-6

Р (z)

где б = 1/2р, Г(х) —гамма-функция, ф5 (г) = е s ,

P

)

££!Lzi

^2*(/

-l)4 =

^ ( ^ -

) 4 + — * * * • (»)

Р Р , k р (*-> k р

Для этого запишем Ап по формуле Коши:

2я

2ш J \1—2 / 2«+i

За контур интегрирования у возьмем окружность переменного радиуса Rn>l с разрезами ino действительной оси от 1 до Rn и от —Rn до — 1 . Так же, как в работе [6], стр. 28—30, представим Ап в виде суммы трех интегралов:

An = Ii+It + I» (12)

где

уп + 1

1 у

- 1

Я J \y-l) уП+1 -Rⁿ

'--£ I (В)

Интегралы /4 и /2 получаются в результате сложения интегралов по верх­

нему и нижнему берегам правого и левого разрезов соответственно.

2 in я

п

Положим Rⁿ = 1 + е^Л, где е„ = . Произведем в /^х замену перемен­

ной: у = 1 + —. Тогда

я/г1"6 J

Представим <ps(l+ —•) в следующем виде:

Ф.(1+ -) = Ф*(1) + <Ps (1+ 9) - = Ф5(1)[1+ г„],

\ п ] п

здесь

Г/i — , 0 < в < — < вл.

Ф5(1) /г /г

Оценим rn, учитывая, что, в силу условий теоремы, при x=e*f/bs (l + e „ )s~ l , | х " | ~ 1, | * < * - 1

причем Xs->0, когда s-voo. Получим:

< &s, fe = l, 2, . . . , s, (13)

I гя | < ел

- 2 (*'* -1) (1 + 9)*"

+ — ^

k=i

e x p { | Ps( l + 6 ) | + | Ps( l ) | } <

< еп Vh (1+ Snfs + 1] exp{tXs(1+ 8n)slns + asI n s + 2 } .

~ /e„Xss exp {2/^s In s} = tsnlss s = o [ - ^ - ) , a > 0.

\/z°/2 /

Таким образом,

/^

-^2V(1) f u^-da~ ~

( 1 )

nn

или

V

• > * , ф5 (1) Г (6) n1"6

(14)

В /2 произведем замену переменной у = — 1 — - . Тогда п

с, « у "• (-'-7)

• И (--if

пгп

лл1 + б - I I . и I / »\я+1

Точно так же, как при оценке 1и можно показать, что Ф . ( - 1 - - ) = Ф . ( - 1 ) [ 1 + * ( 1 ) ] .

Поэтому /² = О [ — J . Но легко видеть, что | ф⁵ (—1) | < | Ф^§ (1) \s²* (Xs определена в (13)), следовательно,

>.-№)•

Наконец, оценим 13:

| / 3 | < ( ^ f ^ - )

( l + 8 „ r | 9

( l + 8 „ ) | < 3 / l - \

( H . - e „ r

~

e + l sV 6.±

e V поэтому

/з = о(ф8(1)М1-с). (16)

Из (12) и (14) —(16) следует (10).

Итак,

А. ? Ц - ехр (1 ? ; 1 <Л* -1) + ^ 1

*''М .

Совершенно аналогично доказывается, что

в „ ~ — - — г

-

Г (б) га1"6

Таким образом, интересующая нас характеристическая функция А„ (t) при п-+оо имеет вид

„ехр{-itf + 1 3 * 1 ( Л " * - 1 ) + fczi ( Л ^ _ ! ) ) .

Преобразуем выражение, стоящее в фигурных скобках:

а. 1 Д* 1 £ (Uck\m 1 p - i ~ / itcx ™ 1

р -» к '-> v ь J ; mi p ^J I Ь ) т !

- а

* I

v'

i

~*

*

?*

*

J n ^-1 Wi л Ь 2п -О «,«.2 P £ i fe&S 2p

- 1 * * , *

0 — 1 ^ ? /2

P 2b? 2

где

=

± ^ * ± ^ (!Ш±\

±

р=±у (i!£L\

±

1 k=i т = з m! p ^ I bs ml

Покажем, что в предположениях теоремы T(s)-+0. Действительно,

<

ь J

о *

'2t3

л * * л

+

т. е. |Г(5)|->0 при /г->оо (величина А,8, определенная в (13), стремится к нулю при 5->оо).

Итак, Л^ (0 -+ е~'2/2 при п-уоо.

Теорема доказана.

Перейдем к изучению асимптотического поведения случайных величин щ[2\ заданных на S]^p (они определены в (1)).

Пусть

US ~ n О * 'р '--J & S " " n ^ р ^ Л

Т е о р е м а 2. Если при п-^оо

1) 5-^оо, причем 5 ^ С п1 _ а (С — константа, а > 0 ) , 2) е2-*оо,

3) cJe8-+0 при s-+oo равномерно no k, то распределение случайной величины

e<

= ( r f - 4 ) / e

асимптотически нормально с параметрами (О, 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Характеристическая функция величины 0$

равна

Д л я нахождения функции gi2)p (e s) нам нужно выяснить асимптотичес­

кое поведение коэффициентов при zⁿ в разложении по степеням z функций Gs%(x, z) при х = е ^s и Gsfр (1, г) (эти функции определены в (7) и (9)).

Переменная г присутствует в них только в четных степенях, поэтому, поло­

жив г² = ^гл будем изучать поведение коэффициентов при о^т (т = п/2) в разложении по степеням v функций

• S/2

Gi%,P(x, v) = ( l _ t , ree x p U ^ ( /2 /- l )

при x=e^it/es и Gam,p(l, v) = (I—v)~\ где б=1/2р. Обозначим эти коэф­

фициенты соответственно через Ст и Dm. Точно так же, как при дока­

зательстве соотношения (10), можно показать, что при x=eit/es

r i W

Г (б) т1^6

где

•mW = e x p U ^ ( ^ - l ) | : L

lP/i

Д , ¹

Г (6) т1-

Следовательно,

^m ( es p ^ 2/ j

Легко видеть, что Л«2) (/)-> £~ *2/2 при п->ос. Теорема 2 доказана.

§ 4. Распределение числа циклов

Если £s^1} (d²⁾)—число циклов с длинами не больше s в случайной под­

становке а б Sjp (а £ 5^2)), то для s < я1""6, б > 0, из теорем 1 и 2 при /г ->• оо следует асимптотическая нормальность ^1} (d2))> причем as и fr| (ds и

<?²) являются средним и дисперсией £^sa)(d²⁾). Пусть теперь ££° (^²⁾) — общее число циклов в случайной подстановке а £ 5 ^ ( 0 6 S%). Имеет место следую­

щая

Т е о р е м а 3. При п-^оо случайные величины

с1 Ъп

(О

«f-j

""

/ :

1 = 1 . 2 . 1п п

асимптотически нормальны с параметрами (О, 1).

Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 3 основывается на использовании сле­

дующей леммы.

Л е м м а . Пустьg{n\x) и gi2) (x) — производящие функции случайных вели- чин & и d*²⁾- Тогда при п-+ оо справедливы асимптотические представления

&(х) Л*)

Vn

х-1 2

Г (х/2) (•—) [l+x(x—l)qn(x)]y n четное,

Х - 1

I я—( — | [1-М*—1)апМ1, п нечетное, I г(*/2) \ 2 / v ' ^ v

где ^п(^) = О (In In/г) равномерно для всех x£W=[l—б, 1 + 6], 6 > 0 , о(1) — величина, стремящаяся к нулю равномерно по xdW.

Если Cnl (С(п1) —число подстановок erg S£° (Sj?}) с& циклами, а С£х) (С£2)) — общее число подстановок в 5«1} (S(n2)), то

Отсюда следуют формулы

я = о &=о

1 / ч2

— (>*)/l/2,

2л я четное,

- (п —1)(2/г-1)/2, п нечетное,

2п

и выражения для производящих функций

„1 [/г/2Л / г

f + *-.M. *?><*) = . » ' ^ + « -

) / ^

C<2> /г/2

где

(т) ~т(т—-1) . . . (т — s + 1), х(х—1) . . . (x — k+l) 1 • 2 . . . . .k Представим g^Kn (x) в следующем виде:

п\

где

НУ(х) =

п четное, (х ^{+ п}-2)/2\

п/2 ) ' (х + п— 3)/2\

4 \ . п нечетное, ( л - 1 ) / 2 J

г,, (х) = 1 1"^"1 / х

/#>(*; £U \ 2

~

• | + * - г ₍₁₇₎

Аналогично

$(*) = -&)№(*)*я! ^гД^е й<²⁾(х)

Г/(дс + я—2)/2 /г/2 0,

п четное, п нечетное.

Выражая биномиальные коэффициенты через гамма-функции и приме­

няя при я->оо формулу Стерлинга, находим, что

К\\х) = \ .а)

— - — ( — У (1 + о(1)), п четное, Г(х/2) V2/ V ^ V

X

l T ^ r ( f ) ² V ° 0 > > . » нечетное,

где о(1) есть величина, стремящаяся к нулю равномерно для всех x£W.

Кроме того,

i-^A/V.,!».

Так как при четном п имеем /#} (я) = hf (х), С£} = С£°, то для g£a)(*) лемма доказана.

Для завершения доказательства леммы достаточно установить, что равномерно для всех x£W

\x(x—\)qⁿ(x), n четное, гп (х) =

(x—\)qn{x), n нечетное, где qn (х) = О (In Inn).

Разобьем область суммирования в (17) на четыре части: от 0 до [In ^г] — 1, от [In/г] до [п/А] — 1, от [п/4] до [п/2] — [\пп] — 1 и от [/г/2] — [In п] до [/г/2]—1; таким образом,

Гп (X) =* Гп1 (X) + Гп2 (X) + Гпз (X) + Гт (X).

Нам потребуются следующие легко выводимые соотношения:

/х\ _{х(х~1) ,}НхЛ)у k > 2 y

k k

где |9(x, * ) | < 1 для x£W,

+ fe—Г < i , *&№,

'I+*-! ¹

= Г ( д г + 1 ) (1+о(1)) при б-^оо, ( 1 + 0 ( 1 ) ) При &->оо.

W

Соотношения (20) и (21) выполняются равномерно по x£W.

Из (19) и (20) следует, что

' * l n /z Гщ (Х) = О

ЗХ/2

Используя (20) и (21), (получим неравенство

[л/4]-1

м . / 1 Г (л- +1) %п 1

гп2 {X) < — x-^—L у

/#>(*) (п/2Г* ^fc^

Отсюда

\ГпЛх)\<0(пх).

Аналогично получаем:

1г„

(*)|<:0(О.

Наконец, учитывая (18), запишем:

Г( т ) ("f") х(х~1^(х)^ ^ч етное,

X 1

1 Г ( т К т ) (х^~1)~г(х)' «нечетное, г^м (х) =

(18)

(19) (20) (21)

(22)

(23)

(24)

где

Поэтому

гм(х) = 1х(х-1)Чя{х)' П Ч е Т Н О е' (25У {(х — 1) qn (х), п нечетное,

где qn{x) = О (In Inn) равномерно по xdW. Из (22) — (25) следует, что , ч [х(х—l)qn(x), n четное,

Гп (X) = { / i v /

( (х — 1) qn (x), я нечетное.

Лемма доказана.

Пусть D(n (0 — производящая функция моментов случайной величины l(n\ f = l , 2 . Из леммы следует, что для любого /£ W = [—6', б'], б'>0,-

2 1 1

при \хг = — inn имеют место асимптотические представления Р ) 0+0(1))» л четное,

< W ( 0 = { (И

' —) (1+о(1)), /г нечетное,

l ^r (•?«"•)

e^Df{t)= Yn ( • ! ) ' ( l + o ( l ) ) .

Из этих равенств вытекает, что

lim D</>(/) = et4\ i=\,2,

п->оо

для всех tdW. Утверждение теоремы 3 следует теперь из теоремы Кур- тиса [7].

Дифференцированием производящей функции gn}(x) в точке х = 1 нетрудно^

найти среднее М £„) и дисперсию D £^} случайной величины £Ц\ i = 1, 2, а также убедиться, что при /г~>оо они асимптотически равны —Inn + 0(1).

(Поступила в редакцию 3/VI 1975 г.)

Литература

1. В. Л. Гончаров, Из области комбинаторики, Изв. АН СССР, серия матем., 8 (1944), 3—48.

2. В. Н. Сачков, Об экстремальных точках пространства симметричных стохастических матриц, Матем. сб., 96 (138) (1975), 447—457.

3. В. Е. Тараканов, В. П. Чистяков, О цикловой структуре случайных подстановок, Матем. сб., 96 (138) (1975), 594—600.

4. В. Н. Сачков, Отображения конечного множества с ограничениями на контуры и вы­

соту, Теория вероятностей и ее прим., XVII, № 4 (1972), 679—694.

5. Дж. Риордан, Введение в комбинаторный анализ, Москва, ИЛ, 1963.

6. М. А. Евграфов, Асимптотические оценки и целые функции, Москва, Физматгиз, 1962.

7. J. H. Curtiss, A note on the theory of moment generating functions, Ann. Math. Statist., 13, № 3 (1942), 430—433.

Технический редактор Васильева Т. И.

«Сдано в набор 16/Х-1975 г. Подписано к печати 13/XI-1975 г. Тираж 1965 экз. Зак. 4719

•Формат бумаги 70Xl08Vi8. Усл. печ. л. 1.1,9. Бум. л. 41/*. Уч.-изд. листов. 10,2.

2-я типография издательства «Наука», Москва, Шубинский пер., 10