Р. В. Бризицкий, А. С. Савенкова, Обратные экстремальные задачи для уравне- ний Максвелла, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010, том 50, номер 6, 1038–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Р. В. Бризицкий, А. С. Савенкова, Обратные экстремальные задачи для уравне- ний Максвелла, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2010, том 50, номер 6, 1038–

1046

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:02:43

1038

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

© 2010 г. Р. В. Бризицкий, А. С. Савенкова

(690041 Владивосток, ул. Радио, 7, ИПМ ДВО РАН) e%mail: mlnwizard@mail.ru; asya%savenkova@yandex.ru

Поступила в редакцию 24.04.2009 г.

Исследуется задача восстановления функции импеданса, мультипликативно входящей в гра ничные условия для уравнений Максвелла. Обратная задача сведена к экстремальной. Дока зана разрешимость поставленной экстремальной задачи, выведена система оптимальности, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения.

Библ. 20.

Ключевые слова: уравнения Максвелла, обратная задача о восстановлении импеданса, задача оптимального управления, единственность, устойчивость.

1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

За последние десятилетия достигнут значительный успех в математическом исследовании об ратных задач рассеивания электромагнитных волн, примерами которых являются задачи опре деления формы непроницаемого рассеивающего препятствия или коэффициента преломления проницаемого препятствия по некоторым характеристикам электромагнитного поля (см. [1]–[4]).

Важным результатом исследования, как подчеркивается в [2], является доказательство теорем единственности решения обратных задач, в рамках которых характеристики препятствия опре деляются единственным образом.

В данной работе, в отличие от развиваемых в [1]–[4] методов решения указанных задач, об ратная задача сводится к экстремальной. Функция импеданса, мультипликативно входящая в граничное условие, восстанавливается исходя из условий минимума определенного функциона ла качества. Доказана разрешимость поставленной экстремальной задачи, выведена система оп тимальности, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения. Близкие по проблематике статьи задачи мультипликативного управления и обратные задачи для стационарных моделей акустики, переноса тепла и масс рассмотрены в [9]–[16].

В ограниченной области Ω ⊂⺢³ с границей Γ рассматривается краевая задача

в Ω, (1.1)

на Γ. (1.2)

Здесь E – вектор напряженности электрического поля, n – единичный вектор внешней нормали, k > 0 – волновое число, α > 0 – поверхностный импеданс. Ниже на задачу (1.1), (1.2) при задан ных функциях α и h будем ссылаться как на задачу 1.

Будем использовать функциональные пространства Соболева H^s(D), s ∈⺢^{, и Lr(D), 1} ≤ r ≤∞, где D – область Ω или ее граница Γ. Соответствующие пространства векторфункций будем обо значать через H^s(D) и L^r(D). Положим (Γ) = {α ∈ L^∞(Γ) : α ≥ 0}. Скалярные произведения и нормы в пространствах H^s(Ω) и H^s(Γ) и их векторных аналогах будем обозначать, соответственно, через (·, ·)_s, (·, ·)_s,Γ и ||·||s, ||·||s,Γ (при s = 0 индекс s будем опускать). Отношение двойственности для

rotrotE–k²E = 0 n×rotE+iα(n×E)×n = h

L₊^∞

УДК 519.626

1)Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (код НШ2810.2008.1), интеграционного гранта СО РАН+ДВО РАН+УрО РАН (проект № 116), РФФИ“Дальний Восток” (код проекта 090198518р_восток_а) и грантов ДВО РАН (09IIIB01018, 09IICO01002).

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1039 пары пространств X и X* будем обозначать через 〈·, ·〉X*×X, или просто 〈·, ·〉 там, где это не приведет к путанице.

Пусть ⁽Ω) – пространство бесконечно дифференцируемых финитных в Ω функций, ^'(Ω) – двойственное к нему. Положим (Ω) = пополнение ⁽Ω) в H¹(Ω), (Ω) = (Ω)³.

Пусть выполняется условие

(i) Ω – ограниченная область в пространстве ⺢³ с границей Γ ∈ C^{1, 1}.

Введем пространства H(rot, Ω) = {u : u ∈ L²(Ω), rotu ∈ L²(Ω)}, H(div, Ω) = {u : u ∈ L²(Ω), divu ∈

∈L²(Ω)} и (Γ) = {u : u ∈ H^s(Γ), u · n = 0 на Γ}.

Основную роль будет играть гильбертово пространство

с нормой

В [5] доказано, что при выполнении условия (i) пространства V и V₁ = {v ∈ H(rot, Ω) ∩ H(div, Ω) : : u · n ∈ L²(Γ)} совпадают и V, V₁⊂ H^1/2(Ω). Таким образом, если v ∈ V, то v|_Γ∈ L²(Γ) и v|_Γ = v_T + v_N, где v_T = (n × v) × n ∈ L²(Γ) и v_N = (v · n) × n ∈ L²(Γ).

Справедлива формула Грина

(1.3) Пусть в дополнение к (i) выполняются условия

(ii) , .

Пусть E ∈ C²(Ω) ∩ C¹( ). Умножим уравнение (1.1) на функцию , U ∈ V. После интегриро вания по частям с применением (1.3) приходим к слабой формулировке задачи 1:

(1.4) Функцию E ∈ V, удовлетворяющую уравнению (1.4) назовем слабым решением задачи 1.

Обоснуем корректность данного определения. Выбирая в (1.4) функцию U ∈⁽Ω)³, прихо дим к соотношению

(1.5) Поскольку E ∈ V, то rotrotE ∈ V ⊂ L²(Ω) и уравнение (1.1) выполняется почти всюду. Более того, divE = 0 п.в. в Ω. Умножим (1.5) на , U ∈ H¹(Ω), проинтегрируем по Ω и, применив (1.3), вы чтем из (1.4) при U ∈ H¹(Ω). Получим

,

или n × rot E + iα(n × E) × n = h в H^–1/2(Γ). Но поскольку E_T, h ∈ (Γ), то n × rot E ∈ (Γ) и

п.в. на Γ. (1.6)

Лемма 1. Задача 1 может иметь не более одного слабого решения.

Доказательство. Пусть E₁ и E₂ – решения задачи (1.4). Тогда функция E = E₁ – E₂ удовлетворя ет соотношению

(1.7) Полагая здесь U = E, получаем

(1.8)

H₀¹ H₀¹ H₀¹

H_T^s

V = {u∈H(rot,Ω)∩H(div,Ω) : u×n∈L_T²( )Γ }

u _V² = u ²+ rotu ²+ u×n _Γ².

u,rotv

( ) = (rotu v, )+(u×n,v_T)_Γ ∀u,v∈V.

h∈L_T²( )Γ α∈L₊^∞( )Γ

Ω U

rotE,rotU

( )–k²(E U, )+i(αE_T,U_T)_Γ = –(h U, _T)_Γ ∀U∈V.

rotrotE–k²E = 0 в '_{( )Ω} ³. U

n×rotE+iα(n×E)×n–h U˜ , T

〈 〉_H^–1/2_{( )Γ ×H}^1/2_{( )Γ} = 0 ∀U˜ ∈H^1/2( )Γ

L_T² L_T² n×rotE+iα(n×E)×n = h

rotE,rotU

( )–k²(E U, )+i(αE_T,U_T)_Γ = 0 ∀U∈V.

rotE ²–k² E ²+i(α, E_T²)_Γ = 0.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

Поскольку k – вещественная (положительная) константа, а α – положительная функция, то из (1.8) вытекает, что E_T = 0 на Γ. В таком случае из (1.6) получаем, что n × rot E = 0 на Γ. Тогда из теоремы о единственности продолжения (см. [7], [8]) следует, что E = 0 в Ω.

Для доказательства разрешимости краевых задач в [2], [3] применялось разложение Гельм гольца

Следуя [2], [3], решение (1.4) будем искать в виде E = E₀ + ∇p, где E₀∈ V₀, p ∈ (Ω). Полагая U =∇ξ, ξ ∈ S, в (1.4), и учитывая, что rot(∇p) = 0 в Ω и ∇p × n = 0 на Γ, приходим к соотношению

п.в. в Ω, из которого вытекает, что E ∈ V₀.

Отметим, что поскольку divE = 0 в Ω и divv = 0 ∀v ∈ V₀ (см. [17]), а также, что если div∇p =

=Δp = 0 в Ω, где p ∈ (Ω), то p = 0 в Ω. Следовательно, E ∈ V₀.

Введем билинейную форму b : V × V ⺓, действующую по формуле b(u, v) = (rotu, rotv) + + (u, v) + i(αu_T, v_T)_T и запишем левую часть (1.4) в виде

Справедлива следующая

Лемма 2 (см. [3]). При выполнении условий (i) существуют такие положительные константы δ, γ0 и γ1, зависящие от Ω, что справедливы соотношения

(1.9) (1.10) Из (1.9) и компактности вложения V₀ в L²(Ω) вытекает, что оператор, соответствующий били нейной форме a(E, U), фредгольмов. Тогда, в силу леммы 1, решение задачи 1 существует и спра ведлива оценка

(1.11) Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. При выполнении условий (i), (ii) существует единственное решение задачи 1 и справед%

лива оценка (1.11).

2. ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Разобьем множество данных задачи 1 на две группы: группу фиксированных данных, куда внесем функцию h, и группу управлений, куда внесем функцию α, предполагая, что она может изменяться в некотором множестве K.

Введем оператор F : V × K V* по формуле

Тогда (1.4) можно записать в виде

(2.1) Предположим, что выполняются следующие условия:

(j) K ⊂ H^1/2(Γ) ∩ (Γ) – непустое выпуклое замкнутое множество.

Пусть : V × K ⺢ – некоторый слабо полунепрерывный снизу функционал качества.

Сформулируем следующую задачу условной минимизации:

(2.2)

V = V₀⊕∇H₀¹( )Ω , V₀ = {u∈V : (u,∇ξ) =0 ∀ξ∈H₀¹( )Ω }. H₀¹

∇p,∇ξ

( ) = 0 ∀ξ∈H₀¹( )Ω ⇔∇p = 0

H₀¹

a E U( , ) = b E U( , )–(1+k²)(E U, ).

a u v( , ) γ≤ 0 u _V v _V ∀u,v∈V, b u u( , ) δ≥ u _V² ∀v∈V₀. h U, _T

( )_Γ≤γ1 h _Γ U _V ∀h∈L²( )Γ , U∈V.

E _V≤M_E≡C h _Γ.

F E( ,α),U

〈 〉 = (rotE,rotU)–k²(E U, )+i(αE_T,U_T)_Γ+(h U, _T)_Γ ∀U∈V.

F E( ,α) = 0.

L₊^∞ J˜

J E( ,α) (μ0/2)J˜ E( ) (μ1/2) α 1/2,Γ

+ 2

= inf, F E( ,α) = 0, (E,α)∈V×K.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1041 Здесь μ0 и μ1 – неотрицательные параметры. Введем множество Z_ad = {(E, α) ∈ V × K : F(E, α) = 0, J(E,α) < ∞} допустимых пар для задачи (2.2).

В качестве будем рассматривать функционал

(2.3) где функция E_d∈ L²(Q) моделирует измеренное в некоторой подобласти Q ⊂ Ω распределение на пряженности электрического поля. Предположим в дополнение к (j), что выполняются условия (jj) μ0 > 0, μ1≥ 0 и K – ограниченное множество (по норме + ) либо μ0 > 0, μ1 > 0 и множество K ограничено по норме L^∞(Γ), функционал ограничен снизу.

Теорема 2. Пусть : V ⺢ – слабо полунепрерывный снизу функционал и выполняются условия (i), (ii), (j) и (jj), причем множество Z_ad не пусто. Тогда существует по крайней мере одно решение задачи (2.2).

Доказательство. Пусть (E_m, αm) – минимизирующая последовательность, для которой

Отсюда и из условий теоремы для функционала J из (2.2) вытекает оценка Из теоремы 1 следует, что существует такая константа c₂, не зависящая от m, что

Тогда существуют слабые пределы E* ∈ V и α* ∈ H^1/2(Γ) ∩ (Γ) некоторых подпоследователь ностей последовательностей {E_m} и {αm}. Соответствующие подпоследовательности будем обо значать также через {E_m} и {αm}. Таким образом,

E_m E* ∈ V слабо в V, (2.4)

αm α* ∈ H^1/2(Γ) слабо в H^1/2(Γ) и сильно в L³(Γ). (2.5) Покажем, что F(E*, α*) = 0, т.е. что

(2.6) Учтем, что E_m и αm удовлетворяют соотношениям

(2.7) Перейдем в (2.7) к пределу при m ∞. Все линейные слагаемые в (2.7) переходят в соответствую щие слагаемые в (2.6). Что касается i(αm(E_m)_T, U_T)_Γ, то справедливо неравенство

Поскольку α*U_T∈ L²(Γ), то в силу (2.4) получаем, что |((E_m)_T – ), α*U_T)_Γ| 0 при m ∞. Вы берем вместо U функцию S ∈ C¹( ). Тогда в силу (2.5) имеем

0 при m ∞. (2.8)

Поскольку C¹( ) потно в V (см. [6]), то совершенный выше предельный переход справедлив и для любой функции U ∈ V.

Так как функционал J слабо полунепрерывен снизу на V × K, то с учетом (2.4), (2.5) получаем

Теорема доказана.

J˜

J₁( )E = E–E_{d Q}²,

· L^∞( )Γ · _1/2,Γ J˜

J˜

J E( _m,αm)

mlim→∞ J E( _m,αm)

E_m,αm

( inf)∈Z_ad ≡J*.

=

αm 1/2,Γ≤c₁.

E_{m V}≤c₂.

L₊^∞

rotE* rotU,

( )–k²(E*,U)+i(α*E_T*,U_T)_Γ = –(h U, _T)_Γ ∀U∈V.

rotE_m,rotU

( )–k²(E_m,U)+i(αm( )E_m T,U_T)_Γ = –(h U, _T)_Γ ∀U∈V.

αm( )E_m T,U_T

( )_Γ–(α*E_T*,U_T)_Γ ≤ (( )E_m T–E_T*,α*U_T)_Γ + (αm–α*)( )E_m T,U_T)_Γ . E_T*

Ω αm–α*

( )( )E_m T,S_T)_Γ αm–α*

L³( )Γ ( )E_m T Γ S_T

C¹( )Ω

≤ Ω

J* J E( _m,αm)

mlim→∞ lim

m→∞J E( _m,αm)≥J E*( ,α*)≥J*.

= =

5

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

Проведем декомплексификацию (см. [18]) гильбертова комплексного пространства V к гиль бертову вещественному пространству пар из W × W, т.е.

Здесь W = {u ∈ H(rot, Ω) ∩ H(div, Ω) : u × n ∈ (Γ)} – пространство вещественных функций.

Функции E, U и h из (1.4) запишем в виде

(2.9) Выделяя в (1.4) вещественную и мнимую части, получаем слабую формулировку задачи 1 в тер минах вещественнозначных функций, которая заключается в нахождении пары (E₁, E₂) ∈ W× W из соотношений

Положим

(2.10)

Производная Фреше = ( , ) от оператора F в точке ( , ) есть линей ный непрерывный оператор, ставящий в соответствие каждому элементу P ∈ W пару (f, g) ∈

∈W* × W* по формулам

(2.11) В дополнение к (2.9) положим f₀ = f₁ + if₂, g₀ = g₁ + ig₂, ⌿ = P₁ + iP₂. Из (2.11) вытекают равенства

сложив которые, приходим к тождеству

(2.12) эквивалентному (2.11). Рассуждая, как при доказательстве теоремы 1, показываем, что оператор, ставящий в соответствие каждому элементу ⌿∈ V элемент l ∈ V* по формуле (2.12), фредголь мов. Следовательно, фредгольмов и оператор , действующий по формулам (2.11).

Следуя теории гладковыпуклых экстремальных задач (см. [19]), введем элемент η = η1 + iη2∈ V, на который ниже будем ссылаться как на сопряженное состояние, и лагранжиан ^{: V} × K ×

×⺢⁺ ⺢ по формуле

(2.13) v₁,v₂

( )∈W×W⇔v₁+iv₂∈V.

L_T²

E = E₁+iE₂, U = U₁+iU₂, h = h₁+ih₂.

rotE₁,rotU₁

( )–k²(E₁,U₁)–(α( )E₂ T,( )U₁ T)_Γ = –(h₁,( )U₁ T)_Γ ∀U₁∈W, rotE₂,rotU₂

( )–k²(E₂,U₂)+(α( )E₁ T,( )U₂ T)_Γ = –(h₂,( )U₂ T)_Γ ∀U₂∈W.

F₁(E,α),U₁

〈 〉 = (rotE₁,rotU₁)–k²(E₁,U₁)–(α( )E₂ T,( )U₁ T)_Γ+(h₁,( )U₁ T)_Γ, F₂(E,α),U₂

〈 〉 = (rotE₂,rotU₂)–k²(E₂,U₂)+(α( )E₁ T,( )U₂ T)_Γ+(h₂,( )U₂ T)_Γ, F E( ,α),U

〈 〉 = 〈F₁(E,α),U₁〉+ 〈F₂(E,α),U₂〉 ∀U₁,U₂∈W.

F_E'(Eˆ,αˆ) F_E

'1(Eˆ,αˆ) F_E

'2(Eˆ,αˆ) Eˆ αˆ

f U, ₁

〈 〉 + 〈g U, ₂〉 = (rotP,rotU₁)–k²(P U, ₁)+(αP_T,( )U₂ T)_Γ, f U, ₂

〈 〉– 〈g U, ₁〉 = (rotP,rotU₂)–k²(P U, ₂)–(αP_T,( )U₁ T)_Γ.

f₁,U₁

( )+(g₁,U₂)_Γ = (rotP₁,rotU₁)–k²(P₁,U₁)+(α( )P₁ T,( )U₂ T)_Γ, f₂,U₂

( )–(g₂,U₁)_Γ = (rotP₂,rotU₂)–k²(P₂,U₂)–(α( )P₂ T,( )U₁ T)_Γ, if₂,U₁

( )+(ig₂,U₂)_Γ = i[(rotP₂,rotU₁)–k²(P₂,U₁)+(α( )P₂ T,( )U₂ T)_Γ], –(if₁,U₂)+(ig₁,U₁)_Γ = –i[(rotP₁,rotU₂)–k²(P₁,U₂)–(α( )P₁ T,( )U₁ T)_Γ],

l U,

〈 〉 ≡(f₀,U)+i g( ₀,U)_Γ = (rot⌿,rotU)–k²(⌿,U)+i(α⌿T,U_T)_Γ,

F_E'(Eˆ,αˆ)

(^E, , ,α λ0 η) λ= 0J E( ,α)+ 〈F E( ,α) η, 〉 = λ0J E( ,α)+〈F₁(E,α) η, 1〉+ 〈F₂(E,α) η, 2〉 =

= λ0J E( ,α)+(rotE₁,rotη1)–k²(E₁,η1)–(α( )E₂ T,( )η1 T)_Γ+(h₁,( )η1 T)_Γ+ +(rotE₂,rotη2)–k²(E₂,η2)+(α( )E₁ T,( )η2 T)_Γ+(h₂,( )η2 T)_Γ.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1043 Подчеркнем, что как функционал J, так и лагранжиан являются непрерывно дифференци руемыми по Фреше функционалами от состояния E = (E₁, E₂) и управления α, причем

(2.14)

Тогда из результатов [19], [20] вытекает

Теорема 3. Пусть при выполнении условий (i), (ii), (j) и (jj), ( , ) ∈ V × K – точка локального минимума в задаче (2.2). Тогда существует ненулевой множитель Лагранжа (λ0, η) ∈⺢⁺× V такой, что выполняется уравнение Эйлера–Лагранжа

(2.15) и справедлив принцип минимума

(2.16) Уравнение Эйлера–Лагранжа (2.15) при = J₁ эквивалентно соотношениям

(2.17) Напомним, что η = η1 + iη2 и ⌿ = P₁ + iP₂. Из (2.17) получаем соотношения

складывая которые, приходим к уравнению

(2.18) эквивалентному системе (2.17). При рассмотрении “близких” к J₁ функционалов качества (квад ратов гильбертовых норм) уравнение (2.15) будем писать в виде

(2.19) Из теоремы 1 вытекает следующая

Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 3. Тогда однородное уравнение (2.19) имеет лишь тривиальное решение η = 0; любой нетривиальный множитель Лагранжа, удовлетворяющий (2.19), является регулярным, т.е. имеет вид (1, η) и решение η уравнения (2.19) при λ0 = 1 единственно.

Тогда, в силу (2.14), соотношение (2.16) эквивалентно неравенству

(2.20) Таким образом, для экстремальной задачи (2.2) выведена система оптимальности и доказана ее регулярность. Система оптимальности состоит из операторного ограничения (2.1), уравне ния (2.19), где λ0≡ 1, и принципа минимума (2.20).

J₁

( )E'₁(Eˆ,αˆ) 2 Eˆ

1–E_d1,U

( )Q, ( )J₁ E'₂(Eˆ,αˆ) 2 Eˆ

2–E_d2,U

( )Q ∀U∈W,

= =

J_α'(Eˆ,αˆ) = μ1(αˆ,α)1/2,Γ, α'(Eˆ, , ,αˆ λ0 η) α,

〈 〉 λ0μ1(α α, ˆ)1/2,Γ α Eˆ

( )2 ^T,( )η1 T

( )_Γ

– α Eˆ

( )1 ^T,( )η2 T

( )_Γ

+

= =

= λ0μ1(αˆ,α)1/2,Γ Re i αEˆ

T,ηT

( )_Γ

[ ] ∀α∈K.

+

Eˆ αˆ

λ0〈J_E'(Eˆ,αˆ),⌿〉 + 〈η,F_E'(Eˆ,αˆ)⌿〉 = 0 ∀⌿∈V

α'(Eˆ, , ,αˆ λ0 η) α α, – ˆ

〈 〉≥0 ∀α∈K.

J˜

E'₁,P

〈 〉 λ0μ0 Eˆ

1–E_d1,P

( )Q+(rotP,rotη1)–k²(P,η1)+(αˆ P_T,( )η2 T)_Γ 0 ∀P∈W,

= =

E'₂,P

〈 〉 λ0μ0 Eˆ

2–E_d2,P

( )Q+(rotP,rotη2)–k²(P,η2)–(αˆ P_T,( )η1 T)_Γ 0 ∀P∈W.

= =

λ0μ0 Eˆ

1–E_d1,P₁

( )Q+(rotP₁,rotη1)–k²(P₁,η1)+(α( )P₁ T,( )η2 T)_Γ = 0, λ0μ0 Eˆ

2–E_d2,P₂

( )Q+(rotP₂,rotη2)–k²(P₂,η2)–(α( )P₂ T,( )η1 T)_Γ = 0, i λ0μ0 Eˆ

1–E_d1,P₂

( )Q+(rotP₂,rotη1)–k²(P₂,η1)+(α( )P₂ T,( )η2 T)_Γ

[ ] = 0,

i λ0μ0 Eˆ

2–E_d2,P₁

( )Q+(rotP₁,rotη2)–k²(P₁,η2)–(α( )P₁ T,( )η1 T)_Γ

[ ]

– = 0,

rot⌿,rotη

( )–k²(⌿,η)+i(α⌿T,ηT)_Γ = –λ0μ0(⌿,Eˆ –E_d)Q ∀⌿∈V,

rot⌿,rotη

( )–k²(⌿,η)+i(α⌿T,ηT)_Γ = –λ0(⌿,J_E'(Eˆ,αˆ)) ∀⌿∈V.

μ1(αˆ,α α– ˆ)1/2,Γ Re i (α α– ˆ)Eˆ

T,ηT

( )_Γ

[ ]≥0 ∀α∈K.

+

5*

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

3. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОСТИ Положим

(3.1) Предположим, что существуют два решения (E₁, α1) и (E₂, α2) задачи (2.2). В силу теоремы 1, для E_l справедливы оценки

(3.2) Обозначим через (1, ηl), l = 1, 2, отвечающие указанным решениям нетривиальные множители Лагранжа, определяемые единственным образом. Положив

(3.3) вычтем соотношение (1.4), записанное для E₂, α2, из (1.4) для E₁, α1. Получим

(3.4) Запишем тождество (2.19) для величин ηl при E = E_l, α = αl, l = 1, 2:

(3.5) Положим α = α1 в неравенстве (2.20), записанном при = α2, и α = α2 в (2.20), записанном при = α1. Получим

Складывая эти неравенства, приходим к соотношению для разностей α и η:

(3.6) Вычтем (3.5) при l = 2 из (3.5) при l = 1. Используя (3.3) и учитывая, что

при ⌿ = E приходим к соотношению

(3.7) Положим U = η в (3.4) и вычтем (3.4) из (3.7). Будем иметь

Заметим, что

Используя (3.6), отсюда приходим к соотношению

(3.8) Сформулируем полученный результат в виде теоремы.

Теорема 5. При выполнении условий теоремы 4 для любой пары ((E_l, αl), ηl), l = 1, 2, решений си%

стемы оптимальности (2.1), (2.19), (2.20) для экстремальной задачи (2.2) справедливо соотно%

шение (3.8).

M_E⁰ M_E(h,α).

α∈K

= sup

E_{l V}≤M_E⁰, l = 1 2.,

α = α1–α2, E = E₁–E₂, η = η1–η2,

rotE,rotU

( )–k²(E U, )+i[(α1( )E₁ T,U_T)_Γ–(α2( )E₂ T,U_T)_Γ] =

= rotE( ,rotU)–k²(E U, )+i[(α( )E₁ T,U_T)_Γ+(α2E_T,U_T)_Γ] = 0 ∀U∈V.

rot⌿,rotηl

( )–k²(⌿,ηl)+i(αl⌿T,( )ηl T)_Γ = –(⌿,J_E'(E_l,αl)) ∀⌿∈V.

αˆ αˆ

μ1(α2,α)1/2,Γ+Re[i(α( )E₂ T,( )η2 T)]≥0 и –μ1(α1,α)1/2,Γ–Re[i(α( )E₁ T,( )η1 T)]≥0.

Re[i(αE_T,( )η1 T)+i(α( )E₂ T,ηT)] μ1 α 1/2,Γ

2 .

≤–

α1⌿T,( )η1 T

( )_Γ–(α2⌿T,( )η2 T)_Γ = (α2⌿T,ηT)_Γ+(α⌿T,( )η1 T)_Γ,

rotE,rotη

( )–k²(E,η)+i[(α2E_T,ηT)_Γ+(αE_T,( )η1 T)_Γ] = –(E,J_E'(E₁,α1)–J_E'(E₂,α2)).

i[(αE_T,( )η1 T)_Γ–(α( )E₁ T,ηT)_Γ] = –(E,J_E'(E₁,α1)–J_E'(E₂,α2)).

αE_T,( )η1 T

( )_Γ–(α( )E₁ T,ηT)_Γ = –(α( )E₂ T,ηT)_Γ+2(αE_T,( )η1 T)_Γ+

+(α( )E₂ T,ηT)_Γ–(α( )E₁ T,ηT)_Γ = –(α( )E₂ T,ηT)_Γ–(αE_T,( )η1 T)_Γ+(αE_T,( )η1 T+( )η2 T)_Γ.

Re[i(αE_T,( )η1 T+( )η2 T)_Γ+(E,J_E'(E₁,α1)–J_E'(E₂,α2))] μ1 α 1/2,Γ

2 ≤0.

+

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

ОБРАТНЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА 1045 4. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Отметим, что вывод достаточных условий единственности решения экстремальной задачи (2.2) возможен при еще более жестких требованиях к функции α. Пусть вместо (j) выполняется

(j ') K ⊂ H²(Γ) – непустое выпуклое замкнутое множество.

С учетом (2.14) неравенство (3.8) при (E) = ||E – примет вид

(4.1) Соотношение (3.5) принимает вид

(4.2) Вычтем (1.4) при (E₂, α2) из (1.4) при (E₁, α1). Получим

(4.3) В силу теоремы 1, из (4.2), (4.3) приходим к оценкам

(4.4) (4.5) С помощью (4.4), (4.5) и (1.10) получаем неравенство

(4.6) Предположим, что выполняется условие

(4.7) Тогда из (4.1) следует, что α = 0, а из (4.5) вытекает, что и E = 0 во всей области Ω.

Сформулируем полученный результат.

Теорема 6. Пусть в дополнение к условиям (i), (ii) и (j'), μ0 > 0, μ1 > 0 выполняется (4.7). Тогда экс%

тремальная задача (2.2) при (E) = ||E – имеет единственное решение (E, α) ∈ V × K.

Покажем, что при выполнении условий типа (4.7) решение (E, α) задачи (2.2) обладает также свойством устойчивости относительно малых возмущений функции E_d в норме L²(Q). С этой це лью обозначим (единственное) решение системы оптимальности для задачи (2.2), отвечающее функции , через (E₁, α1, η1), а функции – через (E₂, α2, η2). Положим E_d = – в дополнение к (3.3). Соотношения (3.8), (4.4) и (4.6) принимают вид

(4.8) (4.9) (4.10) Предположим, что выполняется условие

(4.11) где ε = const > 0. В таком случае неравенство (4.10) примет вид

(4.12) Тогда из (4.8) вытекает, что ≤ Re(E, E_d)_Q, откуда выводим оценку

(4.13) J˜ E_d||Q

2

Re[i(αE_T,( )η1 T+( )η2 T)_Γ] μ0 E _Q² μ1 α 2,Γ 2 ≤0.

+ +

rot⌿,rotηi

( )–k²(⌿,ηi)+i(αi⌿T,( )ηi T)_Γ = –μ0(⌿,E_l–E_d)Q.

rotE,rotU

( )–k²(E U, )+i(α2E_T,U_T)_Γ = –i(αE₁,U_T)_Γ.

ηi V≤Cμ0 E_i–E_{d Q}, E _V≤CM_E⁰ α 2,Γ. αE_T,( )η1 T+( )η2 T

( )_Γ μ0γ1C²M_E⁰( E₁–E_{d Q}+ E₂–E_{d Q}) α 2,Γ 2 .

≤

2μ0γ1C²M_E⁰(M_E⁰+ E_{d Q}) μ≤ 1.

J˜ E_d||Q 2

E_d^{( )1} E_d^{( )2} E_d^{( )1} E_d^{( )2}

Re[i(αE_T,( )η1 T+( )η2 T)_Γ] μ0 E _Q² μ1 α 2,Γ

2 ≤μ0Re(E_d,E)Q,

+ +

ηi V≤Cμ0 E_i–E_d^{( )l} Q, αE_T,( )η1 T+( )η2 T

( )_Γ μ0γ1C²M_E⁰( E₁–E_d^{( )1} _Q+ E₂–E_d^{( )2} _Q) α 2,Γ 2 .

≤

2μ0γ1C²M_E⁰(M_E⁰+max( E_d^{( )1} _Q, E_d^{( )2} _Q))<1–ε,

Re[i(αE_T,( )η1 T+( )η2 T)_Γ] (1–ε)μ1 α 2,Γ 2 .

<

E _Q²

E₁–E_{2 Q}≤ E_d^{( )1} –E_d^{( )2} Q.

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 50 № 6 2010

При Q = Ω оценка (4.13) имеет смысл оценки устойчивости компоненты решения ( , ) за дачи (2.2) относительно возмущений в норме L²(Ω) функции E_d∈ L²(Ω), входящей в функционал

(E) = ||E – E_d||².

Отметим, что устойчивость решения задачи (2.2) при выполнении условия (4.11) имеет место и в случае, когда Q ⊂ Ω, т.е. Q является лишь частью области Ω. Действительно, из (4.8) с учетом (4.12), (4.13) и (4.5) получаем оценки

(4.14) Оценки (4.14) означают устойчивость решения ( , ) задачи (2.2) относительно малых возму щений функции E_d в норме L²(Q).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 7. Пусть при выполнении условий (i), (ii) и (j') тройка (E_i, αi) является решением задачи (2.2) при (E) = ||E – , отвечающим заданной функции ∈ L²(Q), i = 1, 2, причем μ0 > 0, μ1 > 0 и выполняются условия (4.11). Тогда справедливы оценки устойчивости (4.14).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Caconi F., Colton D., Haddar H. The linear sampling method for anisotropic media // J. Comput. Appl. Math.

2003. V. 146. P. 285–299.

2. Caconi F., Colton D. A uniqueness theorem for an inverse electromagnetic scattering problem in inhomogeneous anisotropic media // Proc. Edinburg Math. Soc. 2003. V. 46. P. 293–314.

3. Cakoni F., Colton D., Monk P. The electromagnetic inverse scattering problem for partially coated Lipschitz do mains // Proc. Edinburg Math. Soc. 2004. V. 134. P. 661–682.

4. Cakoni F., Haddar H. Identification of partially coated anisotropic buried objects using electromagnetic Cauchy data // J. Integral Equations Appl. 2007. V. 134. № 3. P. 359–389.

5. Costabel M. A remark on the regularity of solutions of Maxwell’s equations on Lipschitz domains // Math. Meth.

Appl. Sci. 1990. V. 12. P. 365–368.

6. Costable M., Dauge M. On resultat de densite pour les equations de Maxwell regularisees dans undomain lips chitzien // C.R. acad. Sci. Paris. 1998. T. 327. P. 849–854.

7. Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. 2nd ed. Berlin: Springer, 1998.

8. Leis R. Initial boundary value problems in mathematical physics. New York: John Wiley & Sons, 1996.

9. Алексеев Г.В., Чеботарёв А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем.

физ. 1985. Т. 25. № 8. С. 1189–1199.

10. Алексеев Г.В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции //

Вестн. НГУ. Матем., механ. и информатика. 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 6–32.

11. Алексеев Г.В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепло массопереноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 1055–1076.

12. Савенкова С.А. Асимптотика оптимального управления в задаче рассеяния гармонических волн на пре пятствии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 9. С. 1635–1641.

13. Савенкова А.С. Мультипликативное управление в задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца // Си бирский журнал индустр. матем. 2007. Т. 10. № 1. С. 128–139.

14. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели массопе реноса // Прикл. механ. и техн. физ. 2008. Т. 49. № 4. С. 24–35.

15. Бризицкий Р.В., Савенкова С.А. Асимптотика решений задач мультипликативного управления для эл липтических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48. № 9. С. 1607–1618.

16. Бризицкий Р.В., Кожушная Е.Р. Единственность решения коэффициентной обратной экстремальной задачи для уравнения конвекциидиффузииреакции // Дальневост. матем. журнал. 2008. Т. 8. № 2. С. 3–11.

17. Valli A. Orthogonal decompositions of L²(Ω)³: Preprint UTM 493. Dept. Math. Univ. Toronto: Galamen, 1995.

18. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

19. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

20. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

Eˆ Eˆ αˆ J˜

α1–α2 _2,Γ μ0

μ1ε

E_d^{( )1} –E_d^{( )2} _Q, E₁–E_{2 1} CM_E⁰ μ0

μ1ε

E_d^{( )1} –E_d^{( )2} _Q.

≤ ≤

Eˆ αˆ

J˜ E_d||Q

2 E_d^{( )i}