Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. И. Васильев, В. В. Попов, Численное решение задачи промерзания грунта, Ма- тем. моделирование, 2008, том 20, номер 7, 119–128
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и со- гласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 06:41:16
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2008 г., том 20, номер 7, стр.119-128
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОМЕРЗАНИЯ ГРУНТА
c 2008 г. В.И. Васильев, В.В. Попов Якутский государственный университет, Якутск
Предлагается вычислительный алгоритм, основанный на методе фиктивных областей, при- годный для реализации математической модели промерзания талого грунта, насыщенного водным раствором соли. Приводится сравнение полученных результатов с результатами, полученными методом ловли фронта в узел сетки и с автомодельным решением.
NUMERICAL SOLUTION OF A PROBLEM OF FREEZING GROUND
V.I. Vasiliev, V.V. Popov
Yakut State University, Yakutsk, Russia
The numerical algorithm based on the method of fictitious areas that is revelant for implementation of the mathematical modelling of the melted ground freezing saturated with salted water solution is proposed. The comparison of the obtained results with the results that have been received by the method of catch surface into the grid point and automodel solution is presented.
1. Введение
В математическом моделировании процессов кристаллизации расплавов и растворов в многокомпонентных средах есть два способа описания: классическая фронтовая задача Стефана с четкой границей раздела жидкой и твердой фаз и ее модификации; а также модель с фазовым переходом в протяженной области.
Классическая задача Стефана может быть использована только при моделировании процессов кристаллизации чистых веществ. Исследование процесса кристаллизации бинар- ных расплавов с использованием термодиффузионных моделей показало наличие опреде- ленных затруднений и противоречий при использовании фронтовой модели кристаллиза- ции бинарных расплавов: диффузионное преохлаждение перед фронтом фазового перехода;
неустойчивость решения фронтовой задачи в случае концентрационного переохлаждения.
Исследования по вопросам построения математических моделей кристаллизации металла из расплава, их численной реализации и установлению областей эффективного применения рассматриваемых моделей обобщены в монографиях Н.А. Авдонина [1], В.Т. Борисова [2]
и А.М. Мейрманова [3].
Точные решения термодиффузионной модели с четкой границей раздела твердой и жидкой фаз для полубесконечной области построены в работе П.П. Золотарева и А.А. Ро- шаля [4]. Численный метод решения термодиффузионной фронтовой модели промерзания грунта, основанный на идее метода ловли фронта в узел сетки, предложен в работе [5].
Представленные в ней численные результаты подтвердили, как правило, неадекватность фронтовой модели физической сущности изучаемого процесса. Экспериментальные и тео- ретические исследования показывают, что замерзание грунта сопровождается перераспре- делением поровой влаги и растворенных в ней солей. Последнее приводит к противоречиво- му решению задачи: при использовании фронтовой модели, как правило, появляется зона переохлаждения.
Впервые В.М. Ентовым, А.М. Максимовым и Г.Г. Цыпкиным разработана матема- тическая модель процесса промерзания влажного грунта, предполагающая существование двухфазной зоны, в которой жидкая и твердая фазы сосуществуют в состоянии термодина- мического равновесия. В [6, 7, 8] показана противоречивость рассматриваемой фронтовой
модели в широком диапазоне изменения исходных параметров. Математические модели с двухфазной зоной, описывающие различные случаи замораживания грунтов, взаимодей- ствие мерзлых грунтов с водными растворами соли, построены и иследованы в последу- ющих работах А.М. Максимова и Г.Г. Цыпкина [9, 10] и обобщены в монографии [11].
Математическая модель промерзания частично мерзлого грунта, в которой в начальный момент времени жидкая и твердая фаза сосуществуют в состоянии термодинамического равновесия, численно реализована в [12].
2. Математическая модель
Здесь мы рассмотрим общий случай, а именно, предположим, что при замораживании влажного грунта образуется двухфазная зона. Итак, в мерзлой зоне считается, что поровый объем занят льдом и, следовательно, закон сохранения энергии имеет вид:
Cρs
∂T
∂t = ∂
∂x
λs
∂T
∂x
, x∈(0, ξ), t∈(0, t]. (1)
В двухфазной зоне он представляется в виде уравнения теплопроводности с распре- деленным cтоком тепла:
Cρ∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
−mρwL∂ν
∂t, x∈(ξ, η), t∈(0, t]. (2)
Закон сохранения массы соли описывается уравнением диффузии:
∂cν
∂t = ∂
∂x
Dν∂c
∂x
, x∈(ξ, η), t∈(0, t]. (3)
Кроме того, в поровом объеме допускается сосуществование воды и льда в условии локального термодинамического равновесия:
T=−αc, x∈(ξ, η), t∈(0, t]. (4)
В талой зоне (в поровом объеме находится только водный раствор соли) закон сохра- нения энергии имеет вид
Cρl
∂T
∂t = ∂
∂x
λl
∂T
∂x
, x∈(η, l), t∈(0, t]. (5)
Перераспределение соли в талом грунте описывается уравнением диффузии соли в воде, занимающей поровый объем:
∂c
∂t = ∂
∂x
D∂c
∂x
, x∈(η, l), t∈(0, t]. (6)
Коэффициенты объемной теплоемкости и теплопроводности в уравнениях (1), (2) и (5), соответственно мерзлого грунта, двухфазной зоны и талого грунта, согласно правилу смеси вычисляются по следующим формулам:
Cρs= (1−m)Cρc+mCρi, λs= (1−m)λc+mλi,
Cρ= (1−m)Cρc+mCρi(1−ν) +mCρwν, λ= (1−m)λc+mλi(1−ν) +mλwν, Cρl= (1−m)Cρc+mCρw, λl= (1−m)λc+mλw.
В начальный момент времени заданы начальные распределения температуры ком- плекса: пористая среда – вода – соль, концентрации соли в поровой влаге и начальная влажность, равнаяνe:
T(x,0) =Te, c(x,0) =ce, ν(x,0) =νe, x∈[0, l]. (7)
Численное решение задачи промерзания талого грунта 121 На левой границе поддерживается температура
T(0, t) =Tc, t∈(0, t]. (8)
На границе раздела мерзлой и двухфазной зон выполняются условия сопряжения:
λ∂T
∂x
=mρwLν∗dξ
dt, x=ξ(t), t∈(0, t] (9)
– баланс тепла (обобщенное условие Стефана);
T−=T+=T∗=−αc∗, x=ξ(t), t∈(0, t] (10)
– условие непрерывности температуры;
−D∂c
∂x =c∗
dξ
dt, x=ξ(t), t∈(0, t] (11)
– баланс массы соли.
На границе раздела талой и двухфазной зон выполняются условия идеального кон- такта:
∂T
∂x
= 0, x=η(t), t∈(0, t], (12)
[T] = 0, x=η(t), t∈(0, t], (13)
∂c
∂x
= 0, x=η(t), t∈(0, t], (14)
[c] = 0, x=η(t), t∈(0, t], (15)
а также условие, означающее отсутствие льда:
ν=νe, x=η(t), t∈(0, t]. (16)
Правая граница считается достаточно удаленной, и поэтому на ней во все время расчетов сохраняются начальные значения температуры и концентрации соли:
T(l, t) =Te, c(l, t) =ce, x=l, t∈(0, t]. (17)
Таким образом, завершена постановка математической модели. Она является замкну- той, так как все необходимые для однозначной разрешимости граничные и начальные усло- вия заданы.
3. Метод фиктивных областей и сглаживание коэффициентов
В двухфазной зоне, исключая из закона сохранения энергии (2) слагаемое, содер- жащее производную функции влажности по времени, с помощью уравнения диффузии (3) получаем следующее соотношение:
Cρ−mρwLν T
∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
−mρwL1 T
∂
∂x
Dν∂T
∂x
, (18)
x∈(ξ, η), t∈(0, t].
Чтобы сделать возможным построение однородной разностной схемы сквозного сче- та, с помощью метода фиктивных областей [13] объединим все три зоны (мерзлый грунт,
двухфазная зона, талый грунт) таким образом, чтобы в мерзлом грунте влажность была постоянна и равнаν∗. Тогда закон сохранения энергии записывается в следующим виде:
Cρ∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
, x∈(0, l), t∈(0, t]. (19)
Здесь коэффициенты уравнения (19) определяются по следующим формулам:
Cρ=
Cρ−mρwLν
TKν, ν < νe, Cρl, ν =νe,
λ=
λ−mρwLD
TνKν, ν < νe, λl, ν=νe,
Kν =
1, T <−αce−ε, 0, T ≥ −αce−ε,
а уравнение диффузии соли вследствие введения фиктивной области приводится к виду
∂cν
∂t = ∂
∂x
Dν∂c
∂x
, x∈(0, l), t∈(0, t]. (20)
Здесь
D=
D, ν > ν∗, 1
εD, ν≤ν∗,
гдеεD – достаточно малое действительное число.
Следуя А.Н. Тихонову и А.А. Самарскому, с помощью дельта-функции Дирака объ- единив уравнение (19) с условием Стефана (9), получаем результирующее уравнение, учи- тывающее теплоту фазового перехода как сосредоточенную теплоемкость, и освобождаемся от необходимости явного определения границы фазового перехода [14]:
Cρf∂T
∂t = ∂
∂x
λ∂T
∂x
, x∈(0, l), t∈(0, t]. (21)
Здесь коэффициент эффективной объемной теплоемкости определяется по следующей фор- муле:
Cρf =Cρ+mρwLδ(T−T∗), гдеδ(T−T∗)– дельта-функция Дирака.
Условие локального термодинамического равновесия раствора соли и льда справед- ливо только там, где ν < νe, T <−αce−ε=T∗:
T=−αc, t∈(0, t]. (22)
Замыкаем полученную систему уравнений начальными условиями:
T(x,0) =Te, c(x,0) =ce, ν(x,0) =νe, x∈[0, l] (23) и граничными условиями на левой и правой границах:
T(0, t) =Tc, c(0, t) =−T(0, t)/α, t∈(0, t], (24)
T(l, t) =Te, c(l, t) =ce, t∈(0, t]. (25)
Численное решение задачи промерзания талого грунта 123 4. Разностная схема
Для численного решения поставленной задачи (20)–(25)δ-функцию Дирака заменяем дельтаобразной по методике, впервые предложенной в работе Самарского-Моисеенко [15]:
Cρf =
Cρ(T), T ≤T∗−∆, Cρ1+Cρ2
2 +C2−C1
2∆ (T−T∗) +mρwLν∗
∆
1−|T−T∗|
∆
, |T−T∗|<∆, Cρ(T), T ≥T∗+ ∆,
eλ=
λ(T), T ≤T∗−∆, λ1+λ2
2 +λ2−λ1
2∆ (T−T∗), λ(T), T ≥T∗+ ∆, Здесь использованы обозначения
Cρ1=Cρ(T∗−∆), Cρ2=Cρ(T∗+ ∆), λ1=λ(T∗−∆), λ2=λ(T∗+ ∆).
Уравнению (21) во внутренних узлах пространственно-временной сетки поставим в соответствие его чисто неявный дискретный аналог:
CρfiTi−
∨
Ti
τn
~i=eλi+1/2
Ti+1−Ti
hi+1
−λei−1/2
Ti−Ti−1
hi
, i= 1, N−1, t∈ωτ. (26) Уравнение диффузии аппроксимируем следующей системой неявных разностных уравнений:
ciνi−∨νi
∨ci
τn
~i=Diνi
ci+1−ci
hi+1
−Di−1νi−1
ci−ci−1
hi
, i= 1, N−1, t∈ωτ. (27) Условие локального термодинамического равновесия в двухфазной и мерзлой зонах аппроксимируем естественным образом:
Ti=−αci, еслиνi< νeи Ti<−αce−ε=T∗, гдеi= 0, N , t∈ωτ. (28) На каждом временном слое из системы уравнений (27) будем определять распреде- ление влажности.
Начальное и граничные условия тоже заменим их сеточными аналогами:
Ti0=Te, c0i =ce, i= 0, N , (29)
T0=Tc, t∈ωτ, (30)
c0=−Tc/α, t∈ωτ, (31)
TN =Te, t∈ωτ, (32)
cN =ce, t∈ωτ. (33)
Отметим, что для выполнения расчетов требуется задать конкретные значения вели- чинам εD, ν∗, ∆, связанным с предлагаемым методом численной реализации математиче- ской модели изучаемого процесса.
5. Вычислительная реализация
На каждом временном слое имеем систему нелинейных трехточечных алгебраиче- ских уравнений (26), (27) с дополнительными условиями (28), (30)–(33). Таким образом, переход с предыдущего временного слоя на следующий, в частности, может быть осуществ- лен с помощью метода простых итераций. На каждой итерации вычисления организуем в следующем порядке:
1. Линеаризованную систему трехточечных уравнений (26), (30), (32) решаем с помо- щью алгоритма модифицированной прогонки, т.о. определяемTi, i= 1, N−1.
2. В тех узлах, гдеTi ≥ −αce−εиз дискретного аналога уравнения диффузии (27) с соответствующими граничными условиями (31), (33) находим распределение концентрации ci, i= 0, N .
3. Во всех узлах сетки, гдеTi < −αce−ε вычисляем значения концентрации: ci =
−Ti/α, i= 1, N.
4. Используя найденные значения концентрации, вычисляем распределение водона- сыщенности из системы уравнений (27):
νi= ν∨i
∨ci
τn
hi−Di−1νi−1
ci−ci−1
hi
! , cihi
τn
−Di
ci+1−ci
hi+1
, i= 1, N.
Здесь проверяем имеют ли физический смысл найденные значения влажности для всех значений индексаi от 1 до N: если получилось так, что νi > νe, то полагаем νi =νe; если же νi< ν∗, то присваиваем νi=ν∗.
5. Если условие сходимости итерационного процесса выполняется, то переходим к следующему временному слою, иначе возвращаемся к шагу 1.
6. Результаты расчетов
Проведены многочисленные сравнения распределений температуры, концентрации примеси и влажности, полученных предложенным методом сквозного счета с автомодель- ным решением и с результатами, полученными методом ловли фронта в узел сетки. Здесь приведем некоторые из них. На рис.1-2 приведены результаты расчетов, проведенных при следующих значениях исходных термодинамических и геометрических параметров изучае- мого процесса замораживания влажного грунта, насыщенного рассолом заданной началь- ный концентрации:
m= 0.35; Cρw= 1.802106 Дж/(кг·К); Cρi= 4.19106 Дж/(кг·К);
Cρc= 1.84106 Дж/(кг·К); λw= 0,58Дж/(кг·К); λl= 2.23Дж/(кг·К);
λc= 2.09Дж/(кг·К); L= 3.34105 Дж/кг; D= 1.4510−9; ce= 0,01;
Tc=−2.0oC; Te= 10.0oC; νe= 1.0; α= 66.7K.
Исходные данные задачи таковы, что реализуется именно математическая модель с объемным фазовым переходом, то есть имеется протяженная область, в которой вода и лед в промораживаемом грунте сосуществуют одновременно в условиях термодинамического равновесия. На рис.1 приведено сравнение графиков (безразмерные величины) распределе- ний температурыT, концентрации примесиC, влажностиνс представленными в работе [11]
соответствующими графиками автомодельного решения, полученными А.М. Максимовым.
Из приведенных графиков видно, что соответствующие графики распределения темпера- туры, полученные обоими методами, практически совпадают. Распределения влажности и концентрации соли, полученные предлагаемым методом, лежат чуть выше соответствую- щих графиков автомодельного решения, полученных методом ловли фронта в узел сетки, и получились сглаженные сильный и слабые разрывы.
Численное решение задачи промерзания талого грунта 125
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5ξ
-0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
T c ν
ν c
T Monography
Present method
Рис. 1.Промерзание грунта. Сравнение с автомодельным решением.
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-20 -15 -10 -5 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
T c ν
T
ν
c
Present method MCSGP
Рис. 2. Промерзание частично мерзлого грунта. Сравнение с решением, полученным методом ловли фронта в узел сетки.
На рис.2 приведен один из вариантов численного решения задачи промерзания ча- стично мерзлого грунта с начальной влажностьюνe= 0.5, в котором вода и лед сосуществу- ют в состоянии термодинамического равновесия (сплошная линия). Сравнение проведено с решением, полученным методом ловли фронта в узел сетки (штриховая линия) [11] в момент времениt = 162 сутки. Из приведенных графиков отчетливо видно, что соответствующие графики распределения концентрации соли, полученные обоими методами, практически совпадают. Распределения влажности и температуры, полученные предлагаемым методом, лежат чуть левее соответствующих графиков, полученных методом ловли фронта в узел сетки.
Результаты, представленные на рис.3, получены при тех же значениях исходных дан- ных, что и на предыдущих рисунках, за исключением следующих данных (рассмотрен слу- чай замораживания толщи морской воды) m = 1; Tc = −1.0oC. Таким образом, в этом
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1 -0.5 0 0.5 1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014
T c
c
T
Tα
Present model Termodiffuzion model
c
Рис. 3.Промерзание толщи рассола. Фронтовый режим.
x
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
T c ν
c
ν
T
Stefan problem Present method
Рис. 4.Промерзание при концентрации, близкой к нулю.
случае рассматривается математическая модель замораживания толщи морской воды. Как показано в [11], здесь реализуется фронтовая модель. И поэтому на рисунке приведено срав- нение численного решения (сплошные линии) с решением, полученным с помощью метода ловли фронта в узел сетки (штриховые линии). Результаты счета показали хорошее совпаде- ние соответствующих графиков, а также универсальность предлагаемого вычислительного алгоритма. Он одинаково хорошо численно реализует и фронтовую модель, и модель с протяженной областью фазовых переходов.
На рис.4 приведены результаты расчетов по предлагаемой разностной схеме (сплош- ные линии), проведенных при тех же значениях исходных данных, что и на рис.1 за ис- ключением пренебрежимо малой начальной концентрации ce = 0,0001. Для сравнения штриховыми линиями представлены результаты, полученные с помощью математической модели Стефана процесса промерзания грунта, численно реализованной разностной схемой
Численное решение задачи промерзания талого грунта 127
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5
-20 -15 -10 -5 0 5 10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
T T
c ν
α
T c ν
Рис. 5.Промерзание грунта. Вариант 1.
x
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.005 0.01 0.015 0.02
T c
T
T c
ν ν
α
Рис. 6.Промерзание грунта. Вариант 2.
сквозного счета с размазыванием функции источника по температуре А.А. Самарского и Б.Д. Моисеенко [15] (штриховые линии). Результаты счета показали хорошее совпадение графиков распределений температуры в момент времениt= 300 часов, несмотря на суще- ственное перераспределение концентрации соли. Следует отметить, что и граница раздела талой и мерзлой зон определена с достаточной точностью.
На рис.5–6 представлены варианты численного моделирования промерзания грунта при различных начальных и граничных условиях с обязательным условием существования двухфазной зоны. Этот случай более трудный для численной реализации, поскольку весь объем в начальный момент времени занят водой. На рис.5 приведены численные результа- ты, полученные предлагаемым методом в момент времени t= 300 часов при Te = 10oC, Tc = −22oC. Следует отметить, что двухфазная зона значительно шире мерзлой зоны, а распределение влажности имеет вогнутый график. На рис.6 приведены результаты счета в
момент времени t = 300 часов при Te = 1oC, Tc =−1oC. Здесь график распределения влажности получился выпуклым.
Вычислительный эксперимент показал, что наличиеδ-функции в коэффициенте объ- емной теплоемкости в результирующем уравнении теплопроводности практически не влияет на результаты расчета так, что им можно пренебречь. Подбор параметровν∗иT∗достаточ- но прост –ν∗ должен быть достаточно малым, но отличным от нуля, от задания величины T∗зависит точность результатов. Для наихудшего случая можно положитьT∗=−αce. Ес- ли задается значение меньше чем необходимо, то появится область перегрева, хотя точность может быть удовлетворительной.
Приведенные результаты расчетов говорят сами за себя, и подтверждают и эффек- тивность предложенного алгоритма при численной реализации математических моделей термодиффузионных процессов. Основное преимущество предложенного подхода заключа- ется в его универсальности – он годится как для численной реализации фронтовой модели, так и математической модели с протяженной областью фазового перехода, и в силу одно- родности допускает обобщение на многомерный случай.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Авдонин Н.А.Математическое описание процессов кристаллизации. – Рига: Зинатне, 1980.
2. Борисов В.Т.Теория двухфазной зоны металлического слитка. – М.: Металлургия, 1987.
3. Мейрманов А.М.Задача Стефана. – Новосибирск: Наука, 1986.
4. Золотарев П.П., Рошаль А.А.Точные решения некоторых задач промерзания толщи раствора // Инж.-физич. журн., 1967, т. 24, No¯3, c. 921–929.
5. Васильев В.И. Численная реализация моделей замораживания водонасыщенного грунта //
Матем. моделирование, 1995, т.7, No¯8, с. 91–104.
6. Максимов А.М., Цыпкин Г.Г.Математическая модель промерзания водонасыщенной пористой среды // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1986, т.26, No¯11, с. 1743–1747.
7. Ентов В.М., Максимов А.М. К задаче о промерзании раствора соли // Инж. физ. журн., 1986. т.51, No¯5, с. 817–821.
8. Ентов В.М., Максимов А.М., Цыпкин Г.Г.Об образовании двухфазной зоны при кристалли- зации смеси в пористой среде // Докл. АН СССР, 1986, т.288, No¯3, с. 621–624.
9. Максимов А.М., Цыпкин Г.Г.Явление "перегрева" и образования двухфазной зоны при фа- зовых переходах в мерзлых грунтах // Докл. АН СССР, 1987, т. 294, No¯5, с. 1117–1121.
10. Максимов А.М., Цыпкин Г.Г.Автомодельное решение задачи о протаивании мерзлого грунта // Изв. АН СССР. МЖГ, 1988, No¯6, c. 136–142.
11. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г.Тепломассоперенос в промерзаю- щих и протаивающих грунтах. – М.: Наука, 1996.
12. Васильев В.И., Максимов А.М., Цыпкин Г.Г.Математическая модель замерзания-таяния за- соленного мерзлого грунта // Прикладная механика и техническая физика, 1995, т.36, No¯5, c.57–66.
13. Вабищевич П.Н.Метод фиктивных областей в задачах математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1991.
14. Самарский А.А., Тихонов А.Н.Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1977.
15. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д.Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1965, т.5, No¯5, с. 816–827.
Поступила в редакцию 12.02.2007.
