Math-Net.Ru
All Russian mathematical portal
P. N. Zhevandrov, The Cauchy–Poisson problem for gravitational-capillary waves on water of variable depth, Zh.
Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 1987, Volume 27, Number 12, 1834–
1844
Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use
http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:
IP: 178.128.90.69
November 6, 2022, 06:33:33
Ж У Р Н А Л
В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И
"Том 27, 1987 № 12
У Д К 517.958:532.594
З А Д А Ч А К О Ш И — П У А С С О Н А
Д Л Я Г Р А В И Т А Ц И О Н Н О - К А П И Л Л Я Р Н Ы Х В О Л Н Н А В О Д Е П Е Р Е М Е Н Н О Й Г Л У Б И Н Ы
ЖЕВАН ДРОВ J T . i T . (Москва )
И з у ч а е т с я л и н е а р и з о в а н н а я задача Коши—Пуассона д л я гравита
ц и о н н о - к а п и л л я р н ы х волн на воде переменной глубины. Д о к а з а н а един
с т в е н н а я р а з р е ш и м о с т ь этой задачи. В случае медленного и з м е н е н и я т л у б и н ы построена асимптотика р е ш е н и я на больших временах. У к а з а н а
*связь этой асимптотики с р е ш е н и е м у р а в н е н и я «мелкой воды». Качест
в е н н о исследованы волновые к а р т и н ы , создаваемые «почти точечными»
ж с т о ч н и к а м и , н а х о д я щ и м и с я на поверхности ж и д к о с т и .
'Задача Кегли — Пуассона для гравитационно-капиллярных волн на
"поверхности незавихренной идеальной жидкости заключается в нахожде
нии потенциала скоростей Ф (х, г/, t), удовлетворяющего системе Щ Д Ф + Ф „ = 0 , 0>у>-Н(х, *),
<2) Ф „ + ( 1 - п А ) Фу= 0 , у—О,
<3) Фу+УФЧН=-Ни y=-H(x,t),
я начальным данным на плоскости г / = 0 :
(4) ф | ^0=ф 1, Ф , | , =0= ф 2 , У=0.
Здесь x=(xi, х2) — горизонтальные координаты, у — вертикальная коор
дината, плоскость у==0 совпадает с невозмущенной поверхностью жидко
сти, \х — коэффициент поверхностного натяжения, система единиц измере
н и я выбрана так, что ускорение свободного падения и плотность жид
к о с т и равны 1. Предполагается, что дно бассейна (вообще говоря, дви
ж у щ е е с я ) описывается уравнением у=—Н(х, t), где Н(х, t) — гладкая
^функция, H>Hi>0. Аналогично формулируется задача о волнах, возбуж
даемых д в и ж у щ и м с я по поверхности источником, при этом в правую часть (2) вводится функция /(#, t), моделирующая источник, а началь
н ы е данные (pl f 2 полагаются равными нулю. В силу принципа Д ю а м е л я , эта задача сводится к задаче вида (1) —(4).
В случае постоянной глубины Н(х, £ ) = c o n s t задача (1) —(4) допускает
^применение преобразования Фурье, которое позволяет получить решение т явном виде; оно изучено очень подробно (см. [ 1 ] ) . Н а с т о я щ а я работа шосвящена исследованию этой задачи при переменной глубине бассейна.
93 § 1 доказывается единственная разрешимость задачи (1) —(4) в случае весьма общих начальных данных (из Hs в О?2, s — любое число, Hs — про
странства Соболева). Доказательство этого факта близко к доказательст
ву единственной разрешимости задачи К о ш и — Пуассона для гравитаци
онных волн ( ] х = 0 ) , имеющегося в [2] при s>0 и в [3] при s < 0 .
Я с н о , что в случае переменной глубины никаких явных формул д л я решения получить, вообще говоря, невозможно. Однако если дно н е ш ь движно и описывается медленно изменяющейся функцией, т. е. H=B(hx)r где В(х) — гладкая функция, а А ^ ( 0 , 1] — малый параметр, то п о я в л я ется возможность строить асимптотику по параметру h. В § 2 при у к а занных предположениях строится асимптотика решения задачи (1) —(4)j на больших временах с помощью методов, развитых в [ 4 ] , [ 5 ] . О н а выражается через решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений — систем нестандартных характеристик [6] уравнений грави
тационно-капиллярных волн. Оказывается, что «шлейф осцилляции», воз
буждаемых движущимся источником, полностью определяется этими х а рактеристиками. Соответствующие результаты, являющиеся непосредст
венным следствием [ 5 ] , [ 7 ] , сформулированы в § 3. Отметим, что в с л у чае # = c o n s t формулы для шлейфа осцилляции были получены в [ 8 ]г а при JLI=0 и # = ° ° наши формулы дают «клин Кельвина корабельных волн» [ 1 ] . Эти результаты были анонсированы в [ 9 ] .
§ 1. Теоремы существования и единственности
Проведем, следуя [ 1 0 ] , редукцию задачи (1) —(4) к задаче К о ш и дляг уравнения на поверхности жидкости. Рассмотрим задачу для функции состоящую из (1) и условий
(1.1) ( d O i / 0 7 i ) |r= O , Ф1|у в 0= Ф ^ Яв, s^R.
Здесь п — внутренняя нормаль к поверхности Г — {z/=—Н(х, t)}. Обозна
чим Q = { 0 > ? / > — Н ( х , t), x<^R2}, Q£={0>y>—е, x^R2} и предположим, что Н(х, t) =Но при | # | > а , а — некоторое число.
О п р е д е л е н и е 1. Решением задачи ( 1 ) , (1.1) назовем функцию*
Ф ^ И У ( Й \ Й8) для всех е > 0 , удовлетворяющую ( 1 ) , (1.1) в смысле стан
дартного интегрального тождества и такую, что Ц Ф ^ — с — ф | | ^ 0 прж с - ^ 0 .
Т е о р е м а 1. Решение задачи (1), (1.1) существует и единственно- При этом существует функция ^Hs~x такая, что (|ф1 у|у = =_с—i|)||s-i->0 при с->0, U^lle-i^constllq)!!..
Д о к а з а т е л ь с т в о (см. [3]) вытекает из того факта, что Ф4 с т о ч ностью до сколь угодно гладких функций представима в виде
(1.2) Ф ^ Д ф ,
где R=R(x, D, г/), D=—id/dx — псевдодифференциальный оператор с с и м волом R(x, |, y)=ch[\l\(y+H)]/ch(\l\H). Непосредственной подстанов
кой функции (1.2) в (1), (1.1) можно убедиться в том, что она у д о в л е т воряет указанной задаче с точностью до сколь угодно гладких функций,, имеющих по х компактный носитель. Поэтому первое утверждение тео
ремы следует из общей теории эллиптических граничных задач [ И ] . .
Второе утверждение вытекает из формулы Oiv\y^\'P\tii(\D\H)(p^Ha^ Таким образом, определен линейный ограниченный оператор
и уравнение (2) вместе с (4) дает задачу К о ш и
(1.3) ф „ + ( 1 - и . Д ) £ ф = 1 ; , ф| ,==0= ф 1 , ф / | * = о - ф2, ^ : ' 1835^
<т;це ®2y|y=oi Фг — решение задачи >
Д Ф2+ Ф2 у у= 0 в = - # < [ ! + ( V # )2] " ' \ Ф2|у =, о ^ О . дп г
Ж силу непрерывной зависимости символа R(x, г/) от г/ и £ и теоремы 3.2
;из [ 2 ] , оператор L и функция г; являются непрерывными функциями t.
О п р е д е л е н и е 2. Решением задачи (1.3), где q ) i ^ #s, ф2 е# « -з/3, назовем функцию ф ^ С2( [ 0 , Г ] , #в- з ) П С Ч [ 0 , Г ] , П С ( [ 0 , Г ] , Я . ) , удовлетворяющую (1.3) при [О, Г ] в сильном смысле.
Т е о р е м а 2. Решение задачи (1.3) существует и единственно. При этом
M . ^ C ( M | . + u < p , | | ' . - % + sup И 0 1 1 . - * ) , .
*е[о,Т]
.аде С зависит от Т.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Нетрудно видеть, что
Ш ( | | | Я ) - Ш ( | ё | Я . ) = 8 Ь [ | 1 | ( Я - Я , ) ] У [ с Ь ( | Ц Я . ) с Ь ( | | | Я ) ] . . П о э т о м у оператор (1—p,A)L имеет вид
( 1 - [ х Д ) Ь = £ о + Ж , Z 50= ( l + M J D2) | D | t h ( | Z ) | ^ o ) ,
«где У¥ — сглаживающий оператор, т. е. ||/M\p||e + f t<const[M|e для любого к.
Д а л е е , в силу условий, наложенных на функцию Н(х, £), функция v^Ht при каждом t для любого I. Следовательно, задача (1.3) эквивалентна .интегральному уравнению типа Вольтерра
(1.4) ф = 5 ( 1 ; - М ф Ж с о 8 ( * ^
где
tSep (*) = J { L0-, / 2 sin[ (*-т) V2} ф (т) dx.
о
Уравнение (1.4) решается методом последовательных приближений в силу очевидного неравенства
t
Р Л Г ф Ц . < const J НфН'. ( * - Т ) d x . о
Отсюда ж е вытекает и указанная оценка. Теорема доказана.
Д л я обоснования приведенной в § 2 асимптотики полезна оценка ре
шения задачи (1.3) в случае, когда Н{х, t) не зависит от t (ср. [ 2 ] ) . Сде
лаем в (1.3) замену ф = Л и , где Л = ( 1 — и Л ), / 2. Тогда, домножая (1.3) на Л "1, получаем
(1:5) <ин+АЬАи=А-^=ш, u\t=0=ui, ut\t=o=u2, щ=А~1(рз.
!По доказанному в [ 2 ] , L — положительный самосопряженный оператор
?в
Ь
2 с областью определенияHi.
Поэтому операторK=ALA
также положителен и самосопряжен (область его определения Н3). Следовательно,
^решение задачи (1.5) имеет вид t
и = J {K-'h sin[ (t-r)K'''}w(T)dx+[cos(tK''') ]щ+[К-'!> sin(tK4') ]u2.
0
Отсюда и из неравенств
которые доказываются непосредственным повторением рассуждений дока
зательства леммы 5.1 работы [ 2 ] , получаем, что при s>3/z справедливо
неравенство ; !
(1.6)
\\tt\U
< COnstti2 SUP j | ^ ( T ) 1 | . ^ + l | t t i | p . + * | | t t 2 | [ . - % ] r te=[0,i] -где константа у ж е не зависит от tl Учитывая определение функции и, получаем из (1.6)
(17) IMIs^constU
2sup Ц^(
Т)Пи-^+ПфЛи-Ь^Пф^П—/,], s>%.
т е[ 0 , * ]
§ 2. Асимптотика решения; на^ больших временах t
П у с т ь глубина меняется медленно и не зависит от t:H(x,t)=B(hx).
Полагаем, что диаметр носителя функции B(hx)—H0 есть величина ~h-\
так что B(x)—HQ^C0,xi. В этом случае для оператора L имеются явные формулы, позволяющие вычислить его символ в виде асимптотического ряда по степеням/г (см. [ 1 2 ] ) . Обозначим
Ro==ch{{y+B(x)]\l\}/oh[B(x)\l\l ,; ,7
i?i = V ^ f n [ВМУ\Ы)МВ\l\)-ych(y|||)ch(5|^|)], c h3( £ | £ | )
Rm, т>2,— решения краевых задач
Л » у у - |2Д » ^ - 2 ^ -B(x)<y<0, .
для обыкновенных по переменной у дифференциальных уравнений. Обо
значим, далее, Ln(x, Z)=Rny(x, Ъ,у)\у=0, п=0, 1 , . . . . В [ 3 ] , [9] доказана оценка ,
т
\b--Y\hnLn(hx,D) [1 ^ const h\
где / С г - > о о при т-^оо^
i=l,
2. Отсюда и из (1.7) вытекает, что для построения асимптотики решения задачи (1.3) достаточно построить формальное асимптотическое решение этой задачи, в которой оператор L заменен на
N
2 hnLn с достаточно большим N (под формальным асимптотическим ре- шением понимается функция, удовлетворяющая уравнению с точностью до достаточно гладких и малых по параметру h ф у н к ц и й ) . Учитывая это обстоятельство, в дальнейшем не будем заботиться об обосновании полу
чаемых асимптотик.
Будем искать асимптотику решения задачи (1,3) на больших временах, t~h~\ В силу принципа Дюамеля, можно считать, что в (1.3) будет ф2= 0 . Сделаем замену переменных t'=ht, x'=hx. Тогда получим, опуская штрихи,
(2.1) ^ + ^ ( ^ А Д Л ) х = 0 ,
-
x | ^ o - X i v . Ы * = о = 0 . Здесь %1=((1(Н-{х), %(х^)=(р(к"1х, ЬгЧ), ' '• > N • . ••• •• v- ; К ^ { х , щ Ь ) ^ ^ ^ ^ ( ^ ^ Z( 0> - ( l + | A ©2) L o ( a : , ^ ) , ^
1837
X( 1 )= ( l + | i ©a) L i ( « , © ) - 2 i | i o V £ r o ( a ;ro ) , -
KU)==(l+\i(u2)L3(x, ©)—2i|x©VZrj-i0r, ©)—jxAZy-2(:c, со), 7 > 2 , 0 ) = ^ ,
и переменная £ меняется у ж е в конечных пределах, £е= [О, Г ] . У р а в н е н и е (2.1) «учитывает все члены дисперсии» — оператор KN является нелокаль
ным (псевдодифференциальным) оператором. В первом приближении о н дает оператор вида — A2V ( 5 V ) и уравнение (2.1) переходит в линеаризо
ванное уравнение мелкой воды. И з доказываемой ниже теоремы 4 выте
кает, что замена уравнения (2.1) на уравнение мелкой воды приводит к изменению решения на малые по h поправки в том случае, когда ф у н к ция %i является гладкой равномерно по h.
Следует отметить, что построение асимптотики решения задачи (2.1) при произвольной функции %t не представляется возможным, поскольку скорость распространения гравитационно-капиллярных волн стремится к бесконечности для волн малой длины. В то ж е время столь короткие волны быстро затухают из-за всегда имеющейся в природе вязкости жидкости. Далее, все наблюдаемые возмущения; сосредоточены в ограни
ченных областях плоскости К2. Поэтому представляется физически оправ
данным следующее
П р е д п о л о ж е н и е : %i(x)=0(h°°) при |ж|>г,- %i(l)=0(h°°) при 1 1 | > p f r \ %i(x)^L2 равномерно по ( О , 1 ] .
Здесь Xi(£) — преобразование Фурье функции %4, г и р —некоторые не зависящие от h постоянные, О (h°°)— гладкая функция порядка hN для всех натуральных N. Примером функции, удовлетворяющей этому пред
положению, служит «почти б-функция»
6h(x-x°) = ( 2 я ) -2й -4 J е(| ео |)ехр[*© (х-х°)Л-1]/*©,
где е ( т ) е С0 о о( К1) , е ( т ) = 0 при т > р , е ( т ) = 1 при т<р—е, 0 < е < р . В этом случае число г может быть взято любым: бЛ= 0 ( й ° ° ) всюду, кроме произ
вольной окрестности точки я0. Заметим, что 1г~~18н(х—х0)->-8(х—х°) в H-i-b Y > 0 , при h-+0.
Д р у г и м примером функции, удовлетворяющей данному предположе
нию, является быстро осциллирующая экспонента вида (2.2) ф0( я ) е х р ДОоОЮЛ-1], Фо^С<Л S0^C°°.
Приведенные примеры показывают, что наши предположения отнюдь не делают тривиальной задачу о построении асимптотики решения (2.1).
Х о р о ш о известно, что решение (2.1), где %i задается формулой (2.2), в которой VS0¥*0, может быть построено с помощью метода В К Б до появ
ления фокальных точек или каустик, а в более общем случае — после их появления, с помощью канонического оператора Маслова. Однако у ж е построение асимптотики решения с начальным условием в виде почти 6-функции 8h(x—х°) приводит к рассмотрению фаз более общего вида.
Совершенно аналогичная ситуация наблюдается в задачах о распростра
нении волн в кристаллических решетках [5], [7] и н а . поверхности жидкости при | х = 0 (см. [9]). Оказывается, что предложенный в [5] метод решения задач такого рода применим и для задачи (2.1). О н основан на построении параметрикса и на использовании эталонного уравнения для решения такой зкдачй с гладкой равномерно по А правой частью. В нашем
1838
с л у ч а е эталонным уравнением является упоминавшееся линеаризованное уравнение мелкой воды. Напомним определение параметрикса [ 5 ] , [7].
О п р е д е л е н и е 3. Параметриксом задачи (2.1) называется последо
вательность псевдодифференциальных операторов TN(x, D, t, h), N=?
= 0 , 1 , . . . , такая, что
< const h2, TN\t=0=P(x, hD), (dTNldt)\t=Q=0,
где
n-*oo
приN-+°°
% P(x, с о ) е = С0~ ( К2Х Е2) , P(xr c o ) = l при J s | < re | © | < p , P(x,ю)=0при | o ) | > p + l .Конструкцию параметрикса' приведем при достаточно малых t. Н а произвольные времена эта конструкция обобщается стандартным образом
с помощью канонического оператора из [4],, [ 5 ] . Следуя [ 5 ] , [7], будем искать символ оператора TN в виде : • .
Г ^ ( х , | , ^ , Л ) = а е х р
[ilHSiXifctoi, ©<>)],
N
я = ^ , 0 , ffl
4, а>о) ft (J 6 - | )
•где e0= l , ^ ( т ) = Ц т ) при ; > 1 , £ e C ° ° ( R ) , £ = = ! при | т | > е , £ = 0 при | т | <
< е / 2 , е — произвольное положительное число, C 0 i = | / | | | , ( о0= | ( о | , © = / г | .
Символ оператора [h2d2/dt2+KN(x, hD, h)] TN(x, D, t, h) имеет вид
<2.3) h2{-\l\2St2a+(2iStat+iStta)\l\+att+
Здесь использовано равенство й = с о0/ | | | . Применим к выражению (2.3) формулу коммутации Щ " 1 — псевдодифференциального оператора с экспо- нент©й,[5]:
<UO~2KN(^co-^-j|y-^,-~~) ( a e x p Щ | £ ) ) =
= е х р ( ^ | | | 5 ) { с о о ^0 )а - ^ 9а ^ 9 со iV
где QN+I(%, £, h) — символ сглаживающего оператора, \\QN+I(X, D, t,
^ ) l| b2- > H ^ . i^ c o n s t , (^ — дифференциальные операторы порядка / с гладкими коэффициентами, у функций #( 0 ), J £( 1 ) опущеньт аргументы х, o)+o)0V*S.
В соответствии с определением 3 следует добиться, чтобы выражение в фигурных скобках из (2.3) было символом сглаживающего оператора.
С этой целью, приравняв к кулю йоэффициенты' в (2.3) при одинаковых степенях /==2,1, 0 , . . . , — i V , получим
(2.4) ' ^ " " ^2 = С 00-2^( 0 )( ^ , CD+CDoVS), ' " " " { J fi) ^ }\) . .
(2.5) П а ^ / „ / = 0 , 1 , . . . , /V, ; (1839
где
д дК{0) д 1 / д2К{0) d2S \
(2.6) П - 2 Й , — + iSH-mu->^-l— > i - S p ^ V ^ T t + « г1^ » . дсо 9ж 2 v
а
соd#
2'
Уравнение (2.4) после извлечения корня разбивается на два уравне
ния Гамильтона — Якоби, являющихся уравнениями нестандартных х а рактеристик уравнений гравитационно-капиллярных волн:
(2.7) У > , со0, c o t ) = 0 .
Здесь Ш^х, р, со0, со i) ==fc {to0~11 со |f f 1*р;й!>ь1 С с о4) ^] th [coo|cot+ +pfB(x) ] }, / 2. К а ж д о е из уравнений (2*5) также разбивается на два у р а в нения, отвечающих функциям £+ и Шз определения 3 следуют началь
ные данные для функций S*, а*:
5*11-0=0, a^\t=0=Pix,ti)/2, ^ ± | *= о= 0 ,
Д л я нахождения решений уравнений Гамильтона — Я к о б и необходимо рассмотреть гамильтоновы системы, отвечающие гамильтонианам Ж±\
(2.8) р^-Ж*, x\t=9=a^R2, р | * - о = 0 , с о0< р + 1 . Решения уравнений (2.7) находятся по известным ф о р м у л а м через функ
ции х±(а, t, co0,coi), p±{a,t, со0, соi). Используя формулу Лиувилля (см., на
пример, [ 4 ] ) , нетрудно убедиться, что операторы П из (2.6), отвечающие функциям S±, имеют вид
где• g*—14-p,(Doa(coi+^±)2, /~=detij<2x:i/'<9al,|, хн(а(х, t)l, &„, ti>i)^x, d/dt' — производные вдоль траекторий систем (2:8). Т а к и м образом, уравне
ния (2.5) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения на траекториях систем (2.8):
(tY
hjL
aA?i\'
h=lL,
/ = 01 N
\ J*l dt* 1 \g*> 2 i 5 . * ' 7 U'1' - ' "y V-
Эти уравнения легко интегрируются, если / ^ c o n s t ^ O . Поскольку /± == 1 при Z = 0 , то при достаточно малых временах (например, из отрезка [0, 6 ] , б достаточно мал б) ^уйазан-нсуешеравено^во1" выполнено. Непосредственным дифференцированием легко убедиться в том, что оператор TN(x, D, t, ft), символ которого задан формулой
'Л* -
(2/9) ^(«;%*^)-££,'lt|-44eip(Mll'^),
удовлетворяет указанным в определении 3 начальным данным. Далее, из теоремы 1 в [13] вытекает, что псевдодифференциальный оператор с символом
r^^^lH"^
e x p ( i | | | « S '±) удовлетворяет равномерно по*€Е[0, б ] , Л е ( 0 , 1 ] оценке
||.r( I )||L,H.H/<const.
Т а к и м образом, оператор TN с символом (2.9) является параметриксом, а функция TN%{ удовлетворяет начальным данным в (2.1) и уравнению с:
точностью до функции {JI2K(X, • •£), где x = ( d 7 d £2^ ^2^ ^
мерно по t, h. Следовательно, для построения асимптотики необходимо р е шить задачу вида
(2.10) h2wtt+KNw=h2K, w\t==0=wt \ t=0=0.
Разложение символа ^ в ряд Тейлора по со показывает, что на гладких функциях и^Нт, где т достаточно велико, оператор KN имеет вид
(2.11} :KNu=-h2V Ф ( 4
3=1
Здесь 3?j — дифференциальные операторы порядка 2 + / , j^n—iT
| |t27 nu | |m_n_2< c o n s t | | ^ | |m. Поэтому решение задачи (2.10) можно искать в виде регулярного ряда по степеням параметра %: w=w0+hWi+ . . . . П о д ставляя это разложение в (2.10), приравнивая коэффициенты при одина
ковых степенях h к нулю и пользуясь (2.11), цолучаем цепочку задач для определения функций Wji
(2.12) u ;0„ - V ( S V w o ) = > < ,
(2.13) w}tt-V(B4wI)=-Yi2>m+tWi-m-i, / = 1 , 2 , . . . ,
m = 0
Wj\t=o = Wjt\t==0=0, / = 0 , 1, . . . , / 2 - 1 . '
Выбирая N достаточно большим и решая необходимое число задач (2.13), получаем функцию %=7V%i—w0—Invo^—..., удовлетворяющую (2.1) с лю
бой наперед заданной степенью точности как по параметру й, так и п о гладкости. Т е м самым доказана
Т е о р е м а 3. Решение задачи (2.1) при ^ [ 0 , б ] имеет вид К=ТнЪ-Юо+0{1г),
где w0 — решение уравнения (2:12), удовлетворяющее нулевым начальным данным, w0^HN-i равномерно по t, A, ||0(ft)||^-4^const h.
З а м е ч а н и е . После обращения в нуль якобианов т. е. после появления фокальных точек, решение получается либо последовательным применением опера
тора TN н а интервалах [0, б ] , [б, 2 6 ] , . . . , либо с помощью канонического оператора В. П. Маслова.
Связь между задачей (2.1) и «предельным» волновым уравнением уста
навливает
Т е о р е м а 4. Пусть при каждом фиксированном Ш[0, Т] в 3)'{R2) существует слабый предел u ( 0 = w l i m % ( £ ) при h-+Q решения задачи (2.1).
Пусть функция и принадлежит классу С2( [ 0 , Г ] , Я в -2) П С ( [ 0 , Т], Hs) при некотором S^R. Тогда эта функция является решением задачи
(2.14) в „ - V ( № ) = 0 , и | i==Q — wlim %i {*), Щ | ,= 0= 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о заключается в непосредственной проверке (ср.
[14, с 5 ] ) . Домножим уравнение (2.1) на функцию yezC0°°(R2) и проин
тегрируем по х. Получим h2{%tt, ф) + (Ж^х? ф )= =0 - В силу известных 1841
свойств псевдодифференциальных операторов, (KN(x2, hD{, h)%, ф) =
= (%, KN-(x\ —hi)2, h)cp) (использованы обозначения из [ 5 ] ) . Н о на глад
ких функциях в силу (2.11) имеем KN{x\ —hD2,h)q)=—h2V(BV(p)+0(h3).
Д е л я на h2 и переходя к пределу при ft->0, получаем (ии, у) —(и, V ( 5 У ф ) ) = 0 , что и требовалось доказать.
Нетрудно видеть, что все условия теоремы 4 выполнены, например, если X i= =^ ~i6 / i ( ^ — х ° ) . Задача К о ш и для волнового уравнения (2.14) играет роль, аналогичную роли вырожденной задачи в теории погранслойных асимптотик [ 1 5 ] . К а к и в том случае, когда в процессе перехода к пределу при стремлении малого параметра к нулю теряется информация о погра
ничном слое, в задаче (2.1) при переходе к слабому пределу теряется ин
ф о р м а ц и я об осцилляциях, т. е. об эффектах, связанных с дисперсией.
В заключение этого параграфа поясним нестандартность характеристи
ческого уравнения (2.7). П р и со->0 оно переходит в уравнение St±B42(x)\(Oi+VS\=0,
являющееся характеристическим в обычном смысле для предельного вол
нового уравнения (2.14). П р и | с о п о л у ч а е м | с о ± + V * S |3= 0 ; это —стан
дартное характеристическое уравнение для (2.1) при ft=l. Наконец, при
«больших VS и о)о=1 получаем уравнение
(2.15) St±{(l+ii(VS)2)\VS\MB(x)\VS\]yh=0.
Именно к такому уравнению приводит поиск решения задачи (2.1) по ме
тоду В К Б . Заметим, что поскольку в (2.15) гамильтонианы являются не
гладкими и совпадающими при WS=0 функциями, невозможно применять метод В К Б при таких фазах. Уравнение ж е (2.7) этим недостатком не об
ладает.
§ 3. Ш л е й ф осцилляции в задачах с «точечными», источниками
Я в н ы й вид асимптотики решения задачи (2.1), даваемый теоремой 3, позволяет описать множество точек плоскости, на котором решение явля
е т с я осциллирующей функцией (ее носитель осцилляции). Это исследова
ние проводится методом стационарной фазы. Напомним соответствующее О п р е д е л е н и е 4. Множеством регулярности семейства функций
<и(х, ft), принадлежащего Ь2 равномерно по fte(0, 1 ] , называется множест
в о точек х, обладающих не зависящими от ft окрестностями U такими, что
«du/dXi^L2(U), i = l , 2, равномерно по ft. Дополнение к множеству регуляр^
ности в К2 называется носителем осцилляции семейства.
Непосредственно из результатов [ 7 ] вытекают следующие утверж
д е н и я .
Т е о р е м а 5. Носитель осцилляции решения задачи (2.1), в которой
%i=8h(x—x°), в момент времени t принадлежит множеству Х={х=х±(а, t, coo, o)i), | а — я ° | < е } ,
.где г — произвольное положительное число, х±(а, t, G )0, c ot) — решение си
стемы (2.8), с о ^ К2 — параметр, | с о | < р + 1 , со0==|со|, CD^CD/OV Рассмотрим задачу о д в и ж у щ е м с я «почти точечном» источнике:
<3.1) h2%tt+KNx=h28h(x-r(t)), Х'Ь-о.=х*1«-о=0.
Ш2
Здесь вектор-функция r(t) описывает траекторию источника. Решение этой задачи легко получить из теоремы 3 с помощью принципа Дюамеля.
Т е о р е м а 6. Носитель осцилляции решения задачи (3.1) в момент времени t принадлеоюит множеству
(3.2) Х^={х=х±(а1 * - т , (Оо, 0)0, | а - г ( т ) | < е , т ^ [ 0 , t]}.
Здесь параметр с о ^ К2, | ( о | < р + 1 , при каждом х удовлетворяет условию*
(3.3) Ж±{а, О, (Оо, ( о1) = с о ^ г ( т ) / ^ т .
В случае i 9 = c o n s t и r=(V0t, 0) формулы (3.2) и (3.3) переходят в форь мулы работы [ 8 ] , а при Z ? = ° ° , р , = 0 дают известный клин Кельвина кора
бельных волн. Примеры расчета носителя осцилляции по формулам (3.2), (3.3) в случае и.=0 приведены в [ 9 ] , [16] и не представляют затрудне
ний даже для малых Э В М . Разрешимость условия (3.3) для каких-либо о>
является критерием наличия черенковского излучения движущегося источ
ника. Е с л и скорость источника dr/dt удовлетворяет неравенству
< F "H4 + (w +4 ")"T' я '=т я -
то (3.3) не может быть выполнено ни при каких (о и носитель осцилляции стягивается в точку x=r(t). Это явление имеет простое физическое объяс
нение: фазовая скорость гравитационно-капиллярных волн отделена от нуля и при постоянной глубине Я = Я4 минимальная ее величина равна в>
точности 7к р. В соответствии с общей теорией черенковского излучения., источник, движущийся со скоростью, меньшей фазовой скорости волн в.
среде, энергию не излучает. Необходимо отметить, что для глубокой водь*
7к р весьма мала (~1 к м / ч ) .
В заключение заметим, что учет дисперсии в (2.1) приводит, как и
в [5],. [ 7 ] , [ 9 ] , к появлению области, заполненной осцилляциями, в от
личие от предельного волнового уравнения (2.14).
Автор выражает благодарность С . А . Рабову, В . Г . Данилову и С . Ю . Д о б рохотову за полезные обсуждения.
dr(t) dt
Литература
1. Сретенский Л . Н. Т е о р и я волновых д в и ж е н и й ж и д к о с т и . М.: Наука, 1977.
2. Garipov R. Н. On t h e linear theory of g r a v i t y w a v e s : t h e t h e o r e m of existence a n d u n i q u e n e s s / / A r c h . Ration. Mech. a n d Analysis. 1967. V. 24. № 5. P. 352-362.
3. Жевандров П. H. Некоторые теоремы о л и н е а р и з о в а н н о й задаче К о ш и - П у а с с о на д л я бассейна с неровным д н о м . - Д е п . в ВИНИТИ, 1985, № 242-85.
4. Масло в В. П. Т е о р и я в о з м у щ е н и й и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ,.
1965.
5. Масло в В. П. Операторные методы. М.: Н а у к а , 1973.
6. Маслов В. П. Н е с т а н д а р т н ы е х а р а к т е р и с т и к и в асимптотических задачах // Успе
хи матем. н а у к . 1983. Т. 38. Вып. 6. С. 3 - 3 6 .
7. Маслов В. П., Данилов В. Г. П р и н ц и п двойственности Понтрягина для в ы ч и с л е н и я э ф ф е к т а типа Ч е р е н к о в а в к р и с т а л л а х и р а з н о с т н ы х схемах. I // Тр. МИАН СССР. М., 1984. Т. 166. С. 130-160.
8. Crapper G. D. Surface w a v e s g e n e r a t e d b y a t r a v e l l i n g p r e s s u r e p o i n t / / P r o c . R o y . Soc. (A). 1964. V. 282. № 1391. P. 547-562.
9. Доброхотов С. Ю . , Жевандров П. Н. Н е с т а н д а р т н ы е х а р а к т е р и с т и к и и оператор
ный метод Маслова в л и н е й н ы х з а д а ч а х о н е у с т а н о в и в ш и х с я волнах на воде //
Функц. а н а л и з и его п р и л о ж . 1985. Т. 19. Вып. 4. С. 4 3 - 5 4 .
10. H a d a m a r d / . Sur les ondes l i q u i d e s / / С . r. Acad. sci. 1910. T. 150. P. 6 0 9 - 6 1 1 , 7 7 2 - 774.
1843
11. Б е р е з а н с к и й Ю . М. Р а з л о ж е н и е по собственным ф у н к ц и я м с а м о с о п р я ж е н н ы х операторов. К и е в : Наук; думка, 1965.
12. Доброхотов С. Ю . Методы Маслова в л и н е а р и з о в а н н о й теории г р а в и т а ц и о н н ы х волн на поверхности ж и д к о с т и / / Д о к л . АН СССР. 1983. Т. 269. № 1. С. 7 6 - 8 0 . 13. Данилов В. Г. Оценки д л я к а н о н и ч е с к и х п с е в д о д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х операторов с
комплексной ф а з о й / / Д о к л . АН OGCP. 1979. Т. 244. № 4. G. 800-804.
14. Авдошин С. М., Белов В. В., Маслов В. П. Математические а с п е к т ы синтеза в ы ч и с л и т е л ь н ы х сред. М.: МИЭМ, 1984.
15. Васильева А . Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические р а з л о ж е н и я р е ш е н и й с и н г у л я р но в о з м у щ е н н ы х у р а в н е н и й . М.: Н а у к а , 1973.
16. Доброхотов С. Ю . , Жевандров П. Н. Операторный метод Маслова в задаче о вол
н а х на воде, в о з б у ж д а е м ы х д в и ж у щ и м с я н а д неровным дном источником // Изв.
АН СССР. Сер. Физ. атмосферы и океана. 1985. Т. 21. № 7. С. 7 4 4 - 7 5 1 .
Поступила в р е д а к ц и ю 1 6 X 1 9 8 6
