вычисл. матем. и матем. физ., 1971, том 11, но- мер 1, 36–43

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. Александров, Регуляризованные вычисли- тельные процессы Ньютона–Канторовича, Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., 1971, том 11, но- мер 1, 36–43

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 07:27:48

Ж У Р Н А Л

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ и МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И Том 11 Я н в а р ь 1971 Ф е в р а л ь № 1

УДК 518:517.948 Р Е Г У Л Я Р И З О В А Н Н Ы Е В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н Ы Е ПРОЦЕССЫ

НЬЮТОНА — КАНТОРОВИЧА

Л. АЛЕКСАНДРОВ (София, Болгария)

Д л я р е ш е н и я у р а в н е н и я f{x) = 0 п р и м е н я е т с я и т е р а ц и о н н ы й про­

цесс '

Xn+i = Хп — ( / ' f a n ) + Ып)-Ч(Хп),

где соп — л и н е й н ы е операторы.

Методом Ньютона — Канторовича [⁴] можно построить решение опе­

раторного уравнения (1) / ( * ) = е

без предположения обратимости операторов f(x) в начальной точке х0

или в некоторой сфере вокруг нее [2~4] .

В настоящей работе предлагается общий подход к построению про­

цессов Ньютона — Канторовича указанного класса. Вводится понятие ре- гуляризованных вычислительных процессов, которые, помимо своего более общего характера, имеют преимущество перед рассматриваемыми в [2~4] процессами в конструктивности и удобстве реализации на ЭВМ.

В настоящей работе внимание уделяется в основном вопросу сходимо­

сти регуляризованных процессов.

§ 1. Регуляризованные вычислительные процессы

1. Пусть £ —полное линейное L-суперметрическое пространство ( [⁵] , стр. 263), / — нелинейный оператор, отображающий выпуклое подмноже­

ство X £ S в пространстве S (Y = f(X) е S).

Пусть существуют первая и вторая производные Фреше оператора /.

Вводим (пока формально) следующий вычислительный процесс типа Ньютона — Канторовича:

R[f\ х0; о )п] : я0, хп+ь = хп— {f(Xn) + c on) " 7( ^ n ) , ж „ е1 , n = О,1, 2 , . . . ,

х^де линейные операторы озп действуют из X в Y.

О п р е д е л е н и е . Если операторы соп, « = 0 , 1 , 2 , . . . , процесса R та­

ковы, что операторы f(xn) + (оп, п = 0 , 1 , 2 , . . . , регулярные, то последо­

вательность R называется регуляризованным вычислительным процессом Ньютона — Канторовича для приближенного решения уравнения ( 1 ) .

\

Регуляризо ванные вычислительные процессы 3 7

2. Сделаем некоторые утверждения о существовании регуляризованных процессов. На основе обобщения в псевдометрических пространствах из­

вестной теоремы о геометрической прогрессии ( [⁵] , стр. 96) и определения регуляризованных процессов получаем следующую теорему*

Т е о р е м а 1. Пусть в линейном L-суперметрическом пространстве S операторы o)n, п = О,1, 2 , . . . , процесса R таковы, что

\\Е - Г{*п) - ©^п|| < g < 1, л = 0 , 1 , 2 , . . . .

Тогда процесс R является регуляризованным вычислительным процессом и для него верны соотношения

со

(/' (яП) + <о^п) ^{_ 1}и = ^ (^Е ~~ f (^х«) ~~ <°^п) *^й» и^Х, 2 = 0

II ( / ' ( * „ ) + * > „ ) " 4 1 ^ 7 - ^ — ,

4

В ряде применений регуляризованных процессов может быть исполь­

зована следующая

Т е о р е м а 2. Пусть для гильбертова пространства S существует выпуклый функционал <р(х), определенный на X, для которого

(2) gradqp(a?) =f(x)

(grad 'ф — градиент Фреше функционала ф), и пусть con, п — 0 , 1 , 2 , . . . , — положительно определенные операторы (стр. 173, [']) процесса R, не за­

висящие от точек хп в их достаточно малых окрестностях. Тогда процесс R является регуляризованным вычислительным, процессом.

Д о к а з а т е л ь с т в о ^ В достаточно малых окрестностях точек х^п рас­

сматриваем функционалы

<PI(FFN) = Ф ( # П ) + Чг((йпХп,Хп)

(через (,) — обозначено скалярное произведение в S). ^] Так как операторы оо^п положительно определенные, "то функционалы ((йпхп, хп) строго выпуклые. Используя предположение о выпуклости ц>(хп)9

заключаем, что и функционалы q)i(xn) строго выпуклые. Из (2) следует, что в достаточно малых окрестностях точек хп

,(3) grad ф! (хп) = f(xn) + юпхп, п i = 0 , 1 , 2 , . . . .

Очевидно^ операторы f(xⁿ) + со^п процесса R можно рассматривать как гессианы функционалов (pi(x^b) в достаточно малых окрестностях точек х^п. Из строгой выпуклости функционалов <pi(x„) и равенства (3) вытекает (стр. 155, [6] ) , что операторы f(xn) + о)п, п = 0, 1, 2 , . . . , положительно определены в X и, следовательно, обратимы. Теперь доказываемая теорема следует из определения регуляризованных процессов.

\

§ 2. Сходимость регуляризованных процессов / Пусть р(и, и), щ v е S — расстояние в суперметрическом пространст­

ве S и \\и\\ =р(и, 0 ) .

V

38 Л. Александров

Введем обозначения

Р » = И/(*»)Н, Ъп=

|| ( f

+ с о

) -

| | .

Рассмотрим условия:

A) вторая производная Фреше f'(x) ограничена в X:

7.11/" (*) | | < М, М =

c o n s t ,

GE

Б ) для начальной точки х0, начального оператора со0 регуляризованно- го процесса R и заданной константы i V e [0, оо) выполнены неравенства

(начальные условия)

(Б1) 0 < Ф0 ^ 1 -

Р

Р

(Б2) р + ^Ф° , ^V* . ^ 1, 1 —ФО (у —&О)ЬО (БЗ) ' llcooll ^TV&OPO,

где у > Ь⁰, у — заданное действительное число,

(Б4) v = (М + N)y^z, р = vjpo, ФО = (2М + ,V) Y&OPE;

B) для операторов соп процесса R выполняются неравенства

( 8 1 ) ||©»|| ^ Nbⁿpⁿ, п I = 1 , 2 , . . . , ⁽ (82) ||©„ - е>„+1|| < llcoJI, п = О,1, 2 , . . . ;

YPPO

Р

Верно следующее основное утверждение о сходимости регуляризован- ных процессов.

Т е о р е м а 3. Пусть для решения операторного уравнения (1) е пол­

ном линейном L-суперметрическом пространстве S используется регуляри- зованный вычислительный процесс R, и пусть выполнены условия А) — Г ) . Тогда процесс R сходится и

~ l i m

е

Точка х<ь является решением уравнения (1) в области X. Справедлива оценка

Р ( * , , * » ) < , » = 1, 2 , . . .

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Так как (/'(ж„) + o jN)- IE = 0, то

f(xn,Xn+i) =p((f(Xn) + 0 9 » ) - ' / ( « „ ) , (f(Xn) + Ю п)_1в ) S=C

< + 0 3 п) - ' 1 1 р ( / Ы , в )

т. е. в силе неравенство

(4) р ( * « = 0 , 1 , 2 , . . . . Г) W = { x / ^P ( x ^l , x ) ^ - ^ ^r ^ X .

Регуляризо ванные вычислительные процессы 39

С Д Р УГ 0 И стороны, справедливо равенство ( 5 ) (f(xn) +Mn)&n + f(xn) = 0 ,

где бп = xn+i — хп = — (f(xn) + <оп) ~ 7 ( ^ п ) .

Из неравенства ( Б З ) и условия ( В 1 ) следуют неравенства p(©»(F(*») + ( оп) - 7 Ы , е ) ^

^ N\\ (f(xn) + (On)-T\\f(xn) ||2 ^ Nbn*9n\

Используя ( 5 ) , можно написать ^ р ( —c on6 n , 0 ) ^Nbⁿ²pⁿ²,

откуда и из определяющего свойства суперметрических пространств ( P L С ТР - 3 9 ) получаем

( 6 ) р ( 0 , con6n) ^ Nbⁿ*p^P2, п = 0 , 1 , 2 , . . . . Из неравенства ( 5 ) следует

Pn+i = i p ( / ( # * + i ) , 0 ) f = p(f(xⁿ+i),f{xⁿ) + (F(«N) + o ) n ) Sⁿ) <

< p ( / ( * » + I ) >/(*») + jf(s»)6») + p ( 6 , co»6n).

По формуле Тейлора и используя ( 6 ) , находим ( 7 ) p^{n + 1} ^(M + N)

6

V ,

С помощью полной индукции доказываются следующие утверждения:

а) рп < р о Р2*- 1 < р0;

б) ф„ < ф⁰ < 1 , где ф^п = ( 2 Ж + N)ybⁿpⁿ; в ) Ь п ^ у - (у-Ь0)рп-^у;

г) Xn+i е X.

(Дальнейшее доказательство теоремы с необходимыми изменениями проводится по схеме из [⁵] , стр. 3 0 2 , при к = 2.)

2 . Для тг = 0 утверждения а) — г ) верны в силу условий А) — Г ) . Пусть они верны для некоторого п; тогда они верны и для п + 1 .

а. В силу г) приближение х^п+1^Х. Из соотношений ( 7 ) , ( 4 ) , а) и ( Б 4 ) следует

pn + 1 < (М + N) fcn2pn2 < (М + N) Y V = v pn 2 <

^ v(POP^{2 N}~¹)² = Р р о Р^{2 П + 1}-² = POP²'*¹-¹.

Поскольку р < 1 , имеем р2™*1-1 < 1 . Таким образом, (8) Рп+1 < р о Р2^1-1 < РО.

б. Пусть g(xn) = Е— (f(xn) + aj-^fixn+i) + (On+i). Для нормы оператора g(xⁿ) с помощью формулы Тейлора, учитывая неравенства

40 Л. Александров

(В2), ( Б З ) , (В1) и (4), получаем (область Xвыпуклая) f

\}g(&n) II < bⁿ\\f(xⁿ) + (On — f(Xn+i) — 0) n 4 i i l ^

^ bn\\f (Xn) — f'(Zn+l) II + bⁿ\\(dn — <0„+i|| <

<g 2bⁿMp(x ) + Nybⁿpⁿ 2Mybn,pⁿ + N\bⁿpⁿ =

= (2M + N)yb4>ⁿ.

Таким образом,

\\g(xⁿ) II ^ (2Af + Л⁷)^Y6 « p . = q>, < 1,

oo

и, следовательно, ряд V¹ {g{xⁿ)Yy ^{С Х}° Д^{И Т С Я} Д^{л я в сех} У ^Х. Отсюда за- 1=0

ключаем ( [⁵] , стр. 96), чтсГ оператор Е — g{xⁿ) имеет обратной и что

\\(Е g(xn))"i\\ ^ 1 / (1 — <pw). В результате имеем

J9) Ья + 1 = || (Е - g (хп)) -1 (/' (хп) + ©„) -¹ II ^ Ъп 1

1 — ф п

Из соотношений (7), (Б4) и (9) получаем

Ф„+ 1 = (2М + ЮуЬ^п+фп⁺1 ^ (2ЛГ + iV)Y , &" v pn 2 = А Ф п v pn

1 — ф п 1 — ф п

откуда с учетом а ) , б) и того факта, что Р ^ 1 — Ф0, имеем Фп фп

фп+1 ^ V p⁰ = ~ Р ^ ф п .

1 — Ф^П 1 — ф п

в. Согласно б),

1 — Ф п > 0 , 1 — Ф О > 0 , ф п ( ф 0 — ф п ) ^ = 0 и

1 1 — ФО ^< i — ФО + < Р п ( Ф⁰- - ф п ) _

1 — фп (1 — ф п ) ( 1 — ФО) ^ (1 — ф п ) ( 1 — ФО)

_ ⁱ j фп _ (2M + J V ) y b n p n

1 — ФО 1 — ФО Таким образом, из (9) следует, что

(2M + N)ybⁿpⁿ 'п+1

П\ 1 — ФО /

Используя неравенство Ъи ^ у из условия в ) , неравенство р„ ^ РО'Р2™""1

из условия а) и вводя обозначение

(Ю) q = . (2M + i V)YP» _ Ф- 1 1 — ФО 1 ~ ФО ЬО ' получаем

b n⁺i ^ 6 n ( l + Y #^{2 n}"¹)

Регуляризо ванные вычислительные процессы 41*

П

p( * i , * п+ 2) ^ YPo( Р + Р ^ ( Р²)^г) =

_ ^ о

- ( Р

)

^

= YPoP < ^ 1 ^{- Р2} 1 ^{— р2}

Это означает, что #^п+г ^ И⁷, откуда следует х^п+2 ^ X. Таким образом*

условия а ) , б), в ) , г) выполнены для всех п = 1, 2, 3 , . . . . 3. На основе (12) получаем

n+m n-f-m

(13) р (a:ⁿ, ar„^{+ m +}i) < 2 Р < YPo 2 P²'^{- 1} = YPoP²"^{- 1} X X

771 771 _ 71

2

2=0 2=0

< YPoP²""¹

1 - p«"

1 - p«"

При n оо знаменатель остается ограниченным, а числитель P²™~*

стремится к нулю.

и в силу в)

(11) bⁿ⁺ⁱ ^ ( Y - ( Y - B O ) P²" -¹) ( l + Y ^^{2 N}-¹) = Y - ( Y - B O ) P²" - ^ где

Р = 1 + Y«P^{2 n}"^{4 У} \ > 1 '

Если подставить значение g из (10), то с учетом (Б2) получим р ^ 1 ^ ^ р ^ р²" .

(Y — ^&О)(1 — ФО)Ь⁰

Отсюда и м е е м p f i^{2 7 1}-¹ ^ р2""1"1-1, и соотношение (11) принимает вид

Второй член этого неравенства больше нуля, следовательно, bn+i < у .

г. В неравенстве . \

П+1

Р (X^U Х^{п + 2}) ^ ^ Р X^t + i) , ^/

оценим каждьш член суммы с помощью (4):

(12) р(ХцХг+1) ^ Ьгрг ^ Y P o P2* "1.

Следовательно,

П+1

р (х^и х^п+2) ^ YPO ^ Р^{2 г}"⁴.

Г=1

Поскольку <р < 1, имеем р^{? г} ^ р² ^ р < I для i = 1 , 2 , . . . , п + 1 и, сле­

довательно,

Л. Александров

Все х^п е W. Для любых яг = 1, 2, 3 , . . / . расстояние р(х^п, ^{#n+ m+ i )} стре­

мится к нулю при гг-^оо. Таким образом, процесс R сходится к элемен­

ту х^т который в силу полноты сферы W также принадлежит W. Далее, вместе с [J²""¹ к нулю (на основе а ) ) стремится и ,р^п, а последовательность f(xⁿ) при п-+оо в силу непрерывности оператора / стремится к /(#©).

Таким образом, ^{i p}( / ( # t o ) , 6) = 0 , т. е. х^а является решением уравнения (1)

^ области X. Приближение ^{Хп+т +} 1 П р и 771 >• ОО СТрвМИТСЯ К Х& И НЯ OCHO-

ве (13), при фиксированном п приводит к утверждаемой в теореме оценке погрешности. *

§ 3. Следствие теоремы 3 о сходимости

1. При ©„ = 6, w = 0 , 1 , 2 , . . . , и N = 0 вычислительный процесс R об­

ращается в обыкновенный метод Ньютона — Канторовича и в предполо­

жении, что оператор f(x⁰) обратим, теорема 3 обеспечивает его сходи­

мость.

Начальные условия ( Б 1 ) , (Б2) и (БЗ) теоремы 3 связывают точку х⁰, оператор со⁰ и константу N неявным образом и существование ненулевых соо и N, для которых эти соотношения выполняются и имеют место регу- ляризованные вычислительные процессы, неочевидно.

Следующее следствие теоремы 3, помимо того, что оно имеет важное самостоятельное значение, можно использовать для доказательства суще­

ствования ненулевых со⁰ и iV, удовлетворяющих начальным условиям.

Т е о р е м а 4. Пусть для рфштия уравнения (1) в банаховом простран­

стве S используется процесс R, и пусть выполнены условия А) — Г ) , где вместо соотношений (БЗ) и (В1) выполняются следующие:

(БЗ') i | c o o l l2 + T o l l ( O o l l <tfVp⁰,

<В1') Цю«|| < V.IY(т^{а а} + 4iVpⁿ) - т^п] ,

где %n = \\f(xⁿ)\\. Тогда справедливы утверждения теоремы 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (БЗ') следует цепочка неравенств

(14) ^||(Doll Wf(Xo) + < 0 o l | t < llcOoll (Wf(Xo) II + II(DoII) ^ N^9o ^ ^{iVco P}o,

где c⁰ ^ 1 — число обусловленности ( [⁵] , стр. 105). Д л я n = Q, 1, 2 , . . . обозначаем cⁿ = \\(f(xⁿ) +d)ⁿ)-ⁱ\\ \\f(xⁿ) + © J | .

Из (14) следует неравенство ^{| | ( o0| | ^} Nb⁰po, ^{т .} е. выполняется усло­

вие ( Б З ) .

Из условия (В1') следует неравенство (2||©^п|| + т^п)² ^ т^{п 2} + Шр^п и не­

равенства

11со^п|| \\f(xⁿ) + ©^п|| ^ Npⁿ Nc

Н а основе э т и х неравенств находим ||©ⁿ|| ^ Nb^pⁿⁱ п = 1, 2 , . . . , т. е. вы­

полняется условие (В1).

Далее для доказательства теоремы применяется теорема 3.

2. Пользуясь условием ( Б З ' ) , подставляем в выражения для $ и ф⁰ кон

/

«станту N—(11 Ро) (IICDOII²

+ T0II100II).

ф о ' = 2МуЪфь + уЬ0( 11 СОоII + Т о ) ||(DOLL

можно сделать достаточно малыми, если взять числа pi и ||со0|| достаточно

малыми. \ Применим числа р ' и ф⁰' в выражениях для начальных условий ( Б 1 )

и ( Б 2 ) :

( Б 1 ' ) 0 < ф07 ^ 1 - р ' < 1 , р⁷ < 1 ,

<Б2') P' + t ^ V t — T w T ^ 1 ' 1 — ф о (Y — ЬО)ЬО Верна

Т е о р е м а 5 . Если в банаховом пространстве S предположить выпол­

нимость начального условия (БЗ') и взять начальное приближение х⁰ достаточно близким к решению уравнения (1),а число ||со⁰|| достаточно малым, то всегда моото сделать выполнимыми начальные условия ( Б 1 ' ) и ( Б 2 ' ) при (Оо ф вихЧФО.

3. Теорема 4 удобнее для применений, чем общая теорема 3, вследствие простоты связи ( В 1 ' ) по сравнению с ( В 1 ) . Опишем общую схему возмож­

ного применения этой теоремы. /

В качестве начальных условий рассматривается ( Б 1 ' ) , ( Б 2 ' ) и ( Б З ' ) . При заданных х⁰ и о>⁰ вычисляется константа N = ( a i / р⁰) ( | | с о⁰| |² + + т⁰ IIcoo II), где a i е [ 0 , 1 ] (на основании условия ( Б З ' ) ) . Проверяются условия ( Б 1 ' ) и ( Б 2^/) . В случае выполнения условий ( Б 1 ' ) и (B2^f)

^строится регуляризованный вычислительный процесс R с операторами (Ь^п,

гдля которых выполнено условие ( В 2 ) и равенство

II © nil = у - [ У ( T n2 + 4 J V pn) - х^п] , a² е= ( 0 , 1 ] , п = 1 , 2 , . . . . Автор выражает глубокую благодарность Е. С. Левитину за интерес, проявленный к работе, и полезную дискуссию.

' Поступила в редакцию 14.11.1969 Переработанный вариант S0.04.1970

Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а

1. Л . В. К а н т о р о в и ч , Г. П. А к и л о в. Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з в нормирован­

н ы х пространствах. М., Ф и з м а т г и з , 1950.

2. A. B e n - I s r a e l . A N e w t o n — R a p h s o n m e t h o d for t h e solution of s y s t e m s of e q u a ­ tions. J. Math. Anal, a n d Appl., 19166, 15, № 2, 243—252.

3. M. A l t m a n . On t h e g e n e r a l i s a t i o n of N e w t o n s Method. Bull. Acad. Polon. Sci., 1967, 5, No. 8, 7 8 9 - 7 9 5 .

4 . Л. P а к о в щ и к. О методе Ньютона — Канторовича. Ж . вычисл. м а т е м . и м а т е м . ф и з , 1968, 8, № в, 1 2 0 9 - 1 2 1 7 .

5. Л. К о л л а т ц. Ф у н к ц и о н а л ь н ы й а н а л и з и в ы ч и с л и т е л ь н а я м а т е м а т и к а . М.,

«Мир», 1968.

6. М. А. К р а с н о с е л ь с к и й и др. П р и б л и ж е н н о е р е ш е н и е о п е р а т о р н ы х у р а в н е ­ ний. М., 1969.

Регуляризо ванные вычислительные процессы 43