Ю. М. Широков, Единый формализм для квантовой и классической теорий рассеяния, ТМФ , 1979, том 38, но- мер 3, 313–320

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. М. Широков, Единый формализм для квантовой и классической теорий рассеяния, ТМФ , 1979, том 38, но- мер 3, 313–320

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 16:33:13

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ Ш МАТЕМАТИЧЕСКАЯ

• Ф И З И К А Том 38, № 3 март, 1979

ЕДИНЫЙ ФОРМАЛИЗМ ДЛЯ КВАНТОВОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЙ РАССЕЯНИЯ

Ю. М. Широков

Нерелятивистская теория рассеяния сформулирована на языке толь­

ко таких физических и математических понятий, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике. Получено интеграль­

ное уравнение, итерации которого дают квантовые поправки к класси­

ческому рассеянию.,

1. В стандартных формулировках классической и квантовой теории рас­

сеяния используются совершенно различные понятия, «не выдерживаю­

щие» перехода от одной теории к другой. В классической теории нет ана­

лога ^-матрицы и амплитуды рассеяния, а в квантовой нет прицельного параметра. Это затрудняет развитие последовательных полуклассических методов. В работах [1—4] для квантовой и классической теорий был раз­

вит единый формализм, названный объединенной квантово-классической алгеброй. В этом формализме использовались только такие физические и математические понятия, которые имеют смысл в обеих механиках. По­

кажем, что на этом пути естественно формулируется теория, которую мож­

но назвать гамильтоновой теорией рассеяния. В ней также используются только такие понятия, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике. Поэтому теория пригодна для обеих механик.

Для простоты ограничимся упругим потенциальным рассеянием нере­

лятивистских бесспиновых частиц. Рассмотрим вейлевское квантование, выделенное тем, что в нем свободное (нерелятивистское) движение про­

исходит одинаково в квантовом и в классическом случаях.

Обозначения, вводимые без пояснений, те же, что и в [2].

2. Следуя [2], будем описывать наблюдаемые с-числовыми функциями координат и импульсов -4(р, q), состояния — линейными функционалами Р О?» Я) • Соответствующие топологические векторные пространства и их то­

пологии описаны в [2,3]. Специфическими математическими объектами объединенной алгебры являются квантовые и классические операции ум­

ножения наблюдаемых. В объединенной алгебре имеются 4 операции ум­

ножения наблюдаемых: классическое обычное умножение я0, классическое пуассоново умножение о0 и соответственно квантовое обычное умножение ПА И квантовое пуассоново умножение оп. Определения этих операций даны в [2]. Там же показано, что операции умножения являются единственны­

ми объектами, изменяющимися при переходах от одной теории к другой.

Гамильтонова теория рассеяния будет сформулирована в терминах пары

313

(я, а) соответственно обычного и пуассонового умножения наблюдаемых;.

Эта теория будет классической при (я, а) = (я0, а0) и квантовой при (я, о) = (Пй, Gft).

Ниже все утверждения и выкладки относятся сразу к обеим механи­

кам, за исключением мест, где оговорено, о какой именно механике идет речь.

3. Исходным объектом теории является оператор эволюции Ш($) (1) <U(t)=exV(tGH),

действующий на наблюдаемые влево

(2) ^ ( p , q , 0 ) ^ ( 0 = 4 ( p , q , 0 .

Сопряженный (в смысле теории топологических векторных пространств) оператор °U(t) действует на состояния вправо

———j»

(3) ^'(Op(p,q-,b)=p(p,q,0'. " V

Для ядер операторов Ш{Ь), °U(t) по определению будет <р, q | ^ ( * ) | p V q'>=<p, q | ^ ( £ ) |p', q'>. Согласно [2] ядро °U{t) в классической теории предетавимо в виде

(4) -..

<Р,Ч|«4Я(*)'|РГ, ^ ^ { Р - Р С Р ' ,

V , *)}«

a

{q-Q(p', q

7

, *)},'

где Р(р', q', t), Q(p/, q', 0 —классические траектории с начальными ус­

ловиями Р(р', .q', 0)-=р', Q(p', q7, 0)=qV а:в квантовой —в виде

(5) • <Р; ч1^ш(0 1Р% «

^х>

—Тг^г" J ^"^^"^ «^Р ( - 4 - ^

^k

' - ^"«

^к

)

^х

X<p+7

2

k|040 |рЧ-к'><р'-7

2

к'|СИ(*) lp-V

2

k>,

где <р|?7(£) |р'> —матричный элемент обычного квантового оператора эво­

люции U(t), действующего на векторы состояния в ^-представлении.

Из (4), (5) видно, что ядро <р, q | ^ ( i ) |p/, q'> действительно и что (6) <M-*(t)=<U (-$=<№&).

Верхний индекс Г означает транспонирование.

Оператор °U{i), как и всякий оператор однопараметрической группы Ли, удовлетворяет свойству гамильтоновоети по отношению к обоим ум­

ножениям [ 1]: для любой пары наблюдаемых Д, В будет

(7) ABHW(t)=AW(t)BW(t)n,ABoW(t)=AW(t)B^t)c.

Обозначим через °UQ{t) оператор эволюции для свободного движения.

Матричный элемент <р, q\°UQ{t) ]р', q'> этого оператора одинаков в клас­

сической и квантовой теориях (8) < p , q №0( ^

поскольку одинаковы соответствующие уравнения движения [2].

314

4, Введем теперь асимптотические состояния р.;п, pout, определяемые в шредингеровской картине соотношениями

(9) pin = Hm ^ « r ' W ^ W p W ,

<10) Pout = Km <U^ (t)<U(t)p(0).

Пределы понимаются в топологии, определенной в [2, 3]. Как в классиче­

ском, так и в квантовом случаях предел дает нуль, если ;р(0) описывает финитное движение. Поэтому при наличии связанных состояний конусы [pin], [pout] не изоморфны конусу [р]

( И ) [ p i n ] < = [ p ] , [ p o u t ] c = [ p ] , [ ^1 п] ^ [ р ] , [ p o u t ] ^ [ p ] .

Следующим шагом является введение обобщенного оператора Мёлле- ра Q⁺(t)^Q(t) (оператор Q- нам не понадобится):

(12) Q+(t)= Km ^ о - Ч О ^ ( 0 ^ - Ч О % ( О ,

где предел берется в одной из топологий, согласованных с топологиями в пространствах {А}, {р}. Сопряженный (в смысле теории топологических векторных пространств) оператор Q+(t) действует из {рш} в {р}. Тем са­

мым при наличии связанных состояний он не имеет обратного. Однако су­

ществует транспонированный оператор QT(t) из {р} в {рш} такой, что (13) QT(t)Q(t)=l.

5. Основным объектом гамильтоновой теории рассеяния является опе­

ратор рассеяния 9?, связывающий пространства {pout} и {рт}. По опре­

делению

(14) pout=^pin.

Будем считать, что пространства {p0ut}, {pm} изоморфны. Тогда оператор S? не только действителен, но и ортогонален:

(15) &*=д?-\

Роль обобщенного оператора Мёллера определяется следующими из (9), (10), (12), (14) предельными соотношениями:

(16) Km Q ( 0 = 1 , Km ВД=^.

Поэтому именно для Q(t) естественно составлять и решать интегральные уравнения, описывающие процесс рассеяния.

Примем, что оператор рассеяния также удовлетворяет свойству га- мильтоновости [1]: для любой пары наблюдаемых Л, В:

(17) АВо9?=А9?В9?о, АВп9?=А2?В2>я.

В классической механике это означает, что рассеяние сводится к кано­

ническому преобразованию, в квантовой механике свойство (17) эквива­

лентно унитарности матрицы рассеяния.

Для in- и out-состояний полная энергия Н сводится к кинетической Я0„ Закон сохранения энергии при рассеянии записывается в форме

(18) Н09>=Н0.

Из общих свойств (17), (18) следуют два ограничивающих условия на форму матричного элемента <р, q 19* |р', q'> оператора 9.

Во-первых, положив в первом из соотношений (17) В=Н0 и воспользо­

вавшись (18) и произвольностью А, получим (19) Н0оУ-У(Ноо)*=0.-

Согласно формулам (67) из работы [3], получим . . 2 / % л (20) Оо=012п0, Оп = -г- sin Г-—Z?12j я0,

где в нашем случае Z)i2=diPd2p—diqd2q. Поэтому оператор Я0о как в клас­

сическом, так и в квантовом случае имеет вид (21) Н0о = ^-дчп<ь

т

так что условие (19) расписывается в форме (22) ( p ^ p ' ^ ) < P , q № ' , q ' > = 0 .

Второе условие получается аналогичным способом заменой первого из со­

отношений (17) на второе

(23) (Ноп)&-9>Щ0я)=0.

Аналогичное (23) условие можно получить и для транспонированного ум­

ножения Jtr, а тем самым и для полусуммы 72( я + ят) . Поэтому можно счи­

тать, что в (23) стоит умножение я0 для классического случая и симме­

тричное умножение п%

(24) ^ = c o s ( y £1 2) * t o = — (Un+UnT)

для квантового. Конкретный вид оператора Я0 1/2(я+ят) различен для квантового и классического случаев:

(25) Я0я0= ^ я0, #оЯд = ^ р2- — dq 2j j t0.

Поэтому различны и условия, налагаемые на матричный элемент

< P , q | ^ | p,, q,> :

(26а) ( ^ - l l ) < p

^{> q}

| ^

^K

J p ' , q ' > = 0 ,

6. Теперь у нас есть все необходимое для перехода к сечению рассея­

ния. Этот переход осуществляется так. В соответствии со стандартной

экспериментальной ситуацией выберем .ри^р', q') в виде (27) P.n(p,,q,)-6«(P-P.).

Это — ненормированное стационарное (т. е. не меняющееся во времени) состояние. Такие состояния допустимы как в классической, так и в кван­

товой теории. В этом состоянии импульс фиксирован и равен р0, прост­

ранственная плотность частиц равна единице, а поток (28) r ^ p P _p i n = P!L^Vin>

J m m

В результате рассеяния получается состояние

(29) Pout(p,q) = J^V<P,qI^IPo,q

/

>.

Конкретно определенной величиной является рассеяние при ненулевом импульсе и ненулевом угле рассеяния (см., например, [5]). Поэтому бу­

дем считать, что 1р¥=р0Ф0. Это дает возможность при фиксированных р', р разделить q и q' на продольные и поперечные составляющие:

(30) q=qnn+qj., q'= q u V + q / ,

где p = | p | n , p/ ==|p'|n/, qjLP^qxV^O. Условие (22) теперь сведется к тому, что <р, q | ^ | p ' , q'> зависит от разности д^—д/, но не зависит от сум­

мы Qn+q/. Поэтому в (29) p0ut(p, q) не зависит от #ц (31) pout.(p, q)=pout(p, q j .

Окончательная формула получается подстановкой (29) в определение сечения:

do I /* i*

(32) — , = <f q ^ W (p, q±) = f ^q^2qjL<P, ql^lpo, q'>.

d p I po-p J J

Из (26а) и (266) следует, что как классическое, так и квантовое сечения пропорциональны энергетической б-функции, умноженной на сечение в телесный угол dO

,33) * - ' в №- £< > £ ,

а3р |р|77г dO

где #=р72лг, E'=tfV2m.

Отметим, что приведенный вывод формулы (32) применим и для ка­

нала неупругого рассеяния с тем единственным отличием, что в правой части появится отношение скоростей

<

³⁴

> (4г)

^e

^f^q

^/

*4L<p,ql^-ey.plPo,q

^/

>,

\ d3p / неупр Ущ J

где muin-= | ро |, mv0ut= | p |.

7. Покажем, что общие (т. е. и квантовые и классические) формулы (32), (33) в классическом (или квантовом) случае сводятся к обычным.

Классическое выражение <p,q|P?Kn;|p/, q'> согласно классическому ус­

ловию гамильтоновости может быть представлено в виде

(35) < P , q | ^ | p/, q/> = 63{ p - p ( p ' , q ' ) } 63{ q - q ( P ' , q 0 } ,

где преобразование от пары р, q к паре р', q' каноническое. При этом со­

гласно (22), (26а) функция р(р', q') не зависит от д/, а 63{р—р(р', q / ) } представила в виде

(36) 6{p-p(p',q')} l-rbiE-E'^in-niE,^,^)},

772-Ip I

где двумерная 6-функция определена соотношением

(37) [dOV{n-n(Ey,4,:)}f(n)=f{n(E,n,qi:)}. - •

Здесь АО — элемент телесного угла вектора р=т?гп. Подставляя теперь (35), (36) в (33), (34), получим

<38) b{E-E')^.^m\9\^^b{E-E')\ d\^{n-n(E,n',4±')}.

При азимутально симметричном рассеянии абсолютная величина вектора q±' равна прицельному параметру Ъ

<39) |«L.|=6, .

так что для сечения из (38) получается стандартное классическое выра­

жение ,

<40) da- Ь

АО sin ®\d®/db\

где cos ,&=(ппо).

Квантовая величина <р, q \ £РКВ \ р', q'> в полной аналогии с (5) выра­

жается через элементы <р4 j s | р2> матрицы рассеяния

<41) < Р ^ 1 ^к в1 р ^ ' > = щ

X<p+1/2k|5|p,+V2k,><p,-1/2k,l5,-1lp-1/2k>.

5-матрица связана с амплитудой рассеяния/(pi, p2) выражением (42) <Pil5rlp2>=63(Pi-p2) + 7^<PiIi?lp2>,

где <р4|Й |Р2>=6 (^1—£'2)/(pi, р2). Подставив теперь (41) в (32) с учетом (33), (42), получим для квантового сечения рассеяния стандартное выра­

жение

(43) dGjdO=m2h*\f(V,Vo)\\

З а м е ч а н и е 1. Мы отвлекаемся от осложненных случаев рассеяния, таких как падение на центр, закручивание, ореол, радужное рассеяние и др., поскольку они не имеют прямого отношения к нашей проблеме.

З а м е ч а н и е 2. Интегрированию по q, q' в стандартной форме кван­

товой теории соответствует приравнивание импульсов P i = p / , Р2=Р27 в мат­

ричных элементах <p,i|s|p²>, { Р / И ' Ч Р Л - Использованием (22), (266) снимается интегрирование по д/, что соответствует снятию стандартной шероховатости с «возведением в квадрат» б-функции по энергии.

318

8. Для обобщенного оператора Мёллера Q(t) из (1), (12) можно полу­

чить уравнение движения в картине взаимодействия

(44) 5й(*)/5^=Я1{рсв(*),дсв(*)}оЦ'(0г.; •••••

Р

гдерсв(0

⁼⁼

р,q

^C

B(0

⁼

=q + — t, н=н

⁰

+н

¹

.

т

Из этого уравнения и начального условия (16) следует интегральное уравнение Лшшмана — Швингера

(45) 0{*)=1 + ^

справедливое при соответствующем выборе а в каждой из механик. Для исследования связей между квантовым и классическим рассеяниями пред­

ставляет интерес другое интегральное уравнение, связывающее Qm(t) с £2КЛ (t). Вывод этого уравнения аналогичен выводу интегрального уравне­

ния, связывающего ркв(р, q, t) с ркл(р, q, t) [4]. Дифференциальное (по t) уравнение (44) переписывается в виде

(46) 9Оя в/Л-Я1{ро в(0, q«i(*)}?oflU(*)e-

=Я1{рсв(^), q^(t)}{o%-Go)Q^(t). ?"

Соответствующий запаздывающий оператор Грина $?(t, f) удовлетворяет уравнению

(47) 3 ^ ( * , О / ^ - Я1{ р5 В( 0 , д с в ( 0 } ^ ( Г , . О = 1 - - 8 ( ^>) и оказывается равным

(48) #(*, Г)=^о-ЧО%л(0^кл-ЧО%(^)е(^-о,

что проверяется непосредственной подстановкой. Индекс «кл» не ставится у операторов *%,, ^о"~\ поскольку они одинаковы для обеих механик. Под­

черкнем, что только при отсутствии связанных состояний множитель перед 0-функцией можно заменить на:йш(0£1слг(£)- Искомое интегральное урав­

нение, удовлетворяющее условиям (16), получается из (46) в виде

t

(49) Qm(t)=Qm(t)+ •<fd*,3(M')#i{p»(f),q.»(*')}X

— GO

— oo

Х Я , {ров (*'), qCB.(*')} ( af t- o0) QKB (*')'.

Согласно (4) классический оператор эволюции %л( 0 известен, если из­

вестны все (в том числе финитные!) траектории. При этом умножение на операторы ^/кл, °Ы^ сводится к интегрирование б-функций. Отсюда следу­

ет, что уравнение (49) дает общий и эффективный метод вычисления кван­

товых поправок к известному классическому рассеянию.

Подчеркнем, что уравнение типа (49) можно выписать и при наличии дополнительных дискретных квантовых степеней свободы (частицы со спи­

ном, наличие возбужденных уровней).

9. При использовании объединенных алгебр с другими (не вейлевски­

ми) квантованиями (см. [3]) следует учитывать, что в них, как правило, классическая эволюция отличается от квантовой, т.е. H0GO^HOGV> ДЛЯ ре­

лятивистского рассеяния это различие существует и в вейлевском кванто­

в а н и и : Hp2+m2c2,Go=^l/p2+m2c2Gn>

Наконец, следует помнить, что даже при наличии классических решё- жий существование итераций уравнения (49) следует из теорем, доказан­

ных в' [2] только для достаточно гладких потенциалов. Но, например, для сферической потенциальной ямы конечной глубины существуют как клас­

сическое, так и квантовое решения. Однако формальный ряд по Й, полу­

ченный итерациями уравнения (49) и разложением оп, оказывается несу­

ществующим—все его члены, кроме нулевого, расходятся.

Непосредственной областью применения развитого формализма являет­

ся, в частности, вычисление квантовых поправок к полуклассическим урав­

нениям для кулоновского возбуждения ядер (см., например, [6]).

Московский государственный Поступила в редакцию университет 14 июня 1978 г.

Литература I I ] Ю. М. Широков. ТМФ, 25, 307, 1975.

12] Ю. М. Широков. ТМФ, 28, 308, 1976.

13] Ю. М. Широков. ТМФ, 29, 309, 1976.

Щ Ю. М. Широков. ТМФ, 31, 327, 1977.

[5] Дж. Тейлор. Теория рассеяния, «Мир», 1975.

| б ] К. Alder, A. Winther. Theory of Coulomb exitation by heavy ions, North Holland, Amsterdam, 1975.

UNIFIED FORMALISM FOR QUANTUM AND CLASSICAL SCATTERING THEORY

Yu. M. Shirokov

Nonrelativistic scattering theory is formulated in terms of only such physical and mathematical concepts which are meaningful both in classical and quantum mechanics.

Integral equation is derived, of which the iterations give the quantum corrections to the

«classical scattering.