Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Многогранник Ньюто- на и локальная разрешимость линейных дифференциаль- ных уравнений в частных производных, Тр. ММО, 1985, том 48, 211–262

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Многогранник Ньюто- на и локальная разрешимость линейных дифференциаль- ных уравнений в частных производных, Тр. ММО, 1985, том 48, 211–262

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 07:25:13

М Н О Г О Г Р А Н Н И К НЬЮТОНА И Л О К А Л Ь Н А Я Р А З Р Е Ш И М О С Т Ь Л И Н Е Й Н Ы Х Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х

У Р А В Н Е Н И Й В ЧАСТНЫХ П Р О И З В О Д Н Ы Х Л . Р^е Волевич, С. Г. Гиндикин

СОДЕРЖАНИЕ

Введение . . 211 Глава I. Полиномы главного типа относительно многогранника Ньютона

Глава II. Разбиение единицы, ассоциированное с многогранником Ньютона Глава III. Дифференциальные операторы с переменными коэффициентами глав

ного типа относительно многогранника Ньютона . . . • Л и т е р а т у р а . . . . . . . . . . . . .

Введение

Настоящая работа посвящена локальной разрешимости неоднород­

ного уравнения

Р ( х^; D)u(x)=f(x), (0.1)

где Р — дифференциальный оператор в частных производных с глад­

кими коэффициентами. Обозначим через Р^т старшую однородную часть Р. Р называется оператором главного типа, если

{ P^m( x ° , ^ ) = 0 } ^ { g r a d , P^m( x ° , %>)Ф0}. (0.2) Как было доказано Хёрмандером [ 1 ] , если символ Р^т — веществен­

ный, то оператор главного типа в области Q достаточно малого диа­

метра 6 допускает оценку

X \\0*и\\ < с (б) || Р (х, D) и И, и €= Со⁰⁰ (Q), (0.3) с(б)~^0, 6-^0. И з этой оценки выводится теорема о локальной разрез

щимости (0.1) (см., например, [ 2 ] ) . Этот результат Хёрмандера на операторы с вещественной старшей квазиоднородной частью был рас­

пространен Н. А. Шананиным [3] (см. т а к ж е [4, 5 ] ) .

Целью настоящей работы является описание некоторого класса неоднородных дифференциальных операторов с переменными коэффи­

циентами, обобщающего указанные выше классы и доказательство для него теоремы о локальной разрешимости.

В самых общих чертах результат работы состоит в следующем.

Пусть N(P) — многогранник Ньютона символа Р ( х , 1) оператора Р ( х , D). С многогранником N(P) связан многогранник б ( Р ) , отвечаю-

213 237 248 261

212 Л . Р. ВОЛЕВИЧ, с . г . г и н д и к и н

щий «младшим» членам Р ( х , D ) , и некоторое расширение Д ( Р ) много­

гранника б ( Р ) . Указываются достаточные условия на оператор Р ( х , D), при которых в достаточно малой области Q имеет место оценка (ср. (0.2))

X \\D^au\\<c(b)\\P(x, D)u\\⁹ и е С о * ( 0 ) , (0.3')

aGA(P)

£(6)->0, б->0, 6 = d i a m Q . Из оценки (0.3') вытекает локальная разре­

шимость соответствующего уравнения (0.1). Эти результаты изложены в гл. III работы.

Если дифференциальный оператор Q(x, D) является линейной комбинацией младших членов Р ( х , D ) , то из (0.3) следует, что

£ \\D^au || < ^CQ (б) || (Р (х, D) + Q (х, D)) и ||, а е Со" (Q). (0.4)

aGA(P)

Если коэффициенты Р и Q — постоянные, то в силу известной теоремы Хёрмандера [1] оценка (0.4) эквивалентна неравенству

£ |g*|<const(P+~Q).(g) у g ев R", (0.5)

aGA(P)

где P(g) = [ 2 | d^aP ( g ) / d g « |²]^{I / 2}- функция Хёрмандера.

В первой главе указываются необходимые и достаточные условия на полином P ( g ) , при которых имеет место оценка типа (0.5). Эти ус­

ловия формулируются в терминах старших квазиоднородных частей Р . В процессе доказательства рассматривается также тот случай, когда в левой части (0.5) вместо А ( Р ) можно брать Л^Г( Р ) ; тем самым полу­

чается новое доказательство теоремы В. П. Михайлова [ 6 ] .

Следует подчеркнуть, что специфика оценок (0.3), (0.5) состоит в том, что они устойчивы относительно добавления к полиному младших членов. В силу этого обстоятельства в формулировке необходимых и достаточных условий фигурируют только «старшие» квазиоднородные части.

Наряду с оценками типа (0.5) в литературе рассматриваются и оценки вида

. | g « | < c o n s t P ( g ) Vge=Rⁿ, (0.6) где а пробегает некоторый многогранник AaN(P), причем включение

строгое. Ряд результатов в этом направлении получен в работах Г. Г. Казаряна (см. [7] и имеющиеся там ссылки),. В частном случае, когда А состоит из мультииндексов a, | a | < m — 1, m = d e g P , необхо­

димое и достаточное условие (0.6) было найдено Б. П. Панеяхом [ 8 ] . В условия работ [7, 8] входят не только «старшие» части, но и члены более низких порядков.

При доказательстве оценок (0.3) и (0.5) мы разбиваем все про­

странство на области специального вида. К а ж д а я такая область связа­

на с одной из граней многогранника N(P), причем: члены оператора (полинома) Р, отвечающие грани в некотором смысле доминируют над остальными членами оператора (полинома). В гл. II указывается способ построения таких областей и доказывается, что из них можно выбрать покрытие всего пространства. Следует отметить, что геомет­

рическая конструкция гл. II аналогична конструкциям А. Д . Брюно [9] и С. Г. Гиндикина [10].

ГЛАВА I. ПОЛИНОМЫ ГЛАВНОГО ТИПА ОТНОСИТЕЛЬНО МНОГОГРАННИКА НЬЮТОНА

В настоящей главе мы изучим полиномы ^-главного типа, т. е. та­

кие полиномы Р от многих переменных, которые оцениваются снизу че­

рез сумму модулей всех младших мономов, причем эти оценки устойчивы относительно вариации младших членов. Основной результат главы со­

стоит в описании полиномов А^-главного типа в терминах «некратности»

вещественных нулей всех старших квазиоднородных частей полинома, отвечающих различным граням Т^{к) его многогранника Ньютона N(P).

Формулировка основного результата главы связана с двумя понятиями:

существенных переменных грани T^ik)czN(P) и расширенного много­

гранника «младших членов» А ( Р ) . Чтобы лучше разъяснить мотиви­

ровки этих понятий и смысл основных результатов главы, мы предвари­

тельно останавливаемся на случае квазиоднородных полиномов (с лю­

бым числом переменных) и случае полиномов общего вида, но с двумя переменными. Хотя результаты этих параграфов и являются новыми, они не являются самоцелью и служат в качестве мотивировок и на­

глядных иллюстраций более трудных результатов главы. В § 1, 2 из­

ложение носит более беглый характер, не все обозначения и понятия аккуратно определяются. С § 3 начинается подробное и систематическое изложение.

§ 1. Полиномы главного и квазиглавного типа

1.1. Пусть P(D) и Q(Z)), D= (——, - — — ) — дифферен-

\ i дхг i дхп J

циальные операторы с постоянными коэффициентами. Согласно из­

вестной теореме Хёрмандера [1] для любой ограниченной области QczRⁿ неравенство

|| Q (D) и || < с (Q) || P(D)u ||, и е= Со (&) (1.1) (где || || — обычная ^L2- H 0 p M a ) имеет место тогда и только тогда, когда

3 с ' > 0 , так что

Q(Z)<c'P(t) y g e R " , (1.2) где Q и Я — функции Хёрмандера полиномов Р и Q (см. выше).

1.2. Согласно [1] оператор P(D) степени тп называется оператором г л а в н о г о т и п а , если для любой ограниченной области Q и любого оператора Q(D) порядка меньше m найдется такая константа c = c(Q, Q ) > 0 , что

c~mP(D)u\\<\\P(D)u+Q(D)u\Uc\\P(D)ul ue=Co°°(Q).

Это условие, как нетрудно проверить, эквивалентно тому, что для лю­

бой ограниченной области Q c : Rⁿ и любого оператора Q(D) порядка

<т можно указать такое c'*=c'(Q, Q), что i

£ \\D«u\\<c'\\P(D)u+Q(D)u\\ у * € = С^{0 в}( О ) . ( 1 . 3 )

| a | < m — 1

Согласно критерию (1.2) это эквивалентно неравенству

£ 16«1<^(Р

0)(6). .

| a l < m — 1

214 Л. Р. ВОЛЕВИЧ, С. Г. г и н д и к и н

Необходимое и достаточное условие справедливости (1.4) можно сформулировать в терминах Р^т(1) — старшей однородной части Р.

Оно состоит в том, что

{РЛ1) = 0}^{^ёЫ¹Р^т(1)фО} V i ^ R « \ { 0 } . (1.5>

Полиномы Р ( £ ) , удовлетворяющие условию (1.5), называются полино­

мами главного типа.

•1.3. Пусть q = (q\, qn) —целочисленный вектор, причем min qt = 1.

Пусть P ( g ) — полином ^-порядка т¹* :

Р ( ? ) - 2 ааГ? ( 1 . 6 )

Переменная называется существенной переменной, если <7J=1; на­

бор существенных переменных обозначим через Полином (1.6) н а з ь к вается полиномом квазиглавного типа, если

{Рт(1) = 0}^ёг^Р^т(1)фО} V g e R « \ { 0 } , (1.7>

где Р^т — ^-главная часть Р.

1.4. П р е д л о ж е н и е . Для полинома (1.6) и q = ( q t , q n ) , m i n ^ = =

= 1, следующие условия эквивалентны:

(Г) Р — полином квазиглавного типа (т. е. выполнено (1.7)), (II) для любого полинома Q, deg^qQ<m можно указать такое с > 0 , что

. / ~ ' def •

( p ( ? ) + i r - ' < c ( P + Q ) ( i ) ,

(i)=Xii,i <

>

Д о к а з а т е л ь с т в о . ( 1 ) = Ц П ) . Выберем на «сфере» - р ( | ) = 1 конечное покрытие {(//}. Тогда Rn\ { 0 } будет покрыто «^-конусами»

KU^f={i<=Rn\{0}, (Ш1Г^Я\ . . . . ^ ( g ^ e t ; , } .

Покрытие { ( / j } выберем столь мелким, чтобы при ge/CE/j. либо Р^т(1)Ф ФО, либо g r a d^vP^m( g ) ^ 0 .

Предположим сначала, что Pm(g)=^=0. Так как среди членов Р( а ) +

+ Q( a ) имеется константа, скажем со, то

( P T Q ) ( g ) > ~ ^0 2 + I P + Q I2 > - у c0 + e | Pm| — e | P + Q — Pm| . Второй член справа оценивается снизу через e%p^m(g), а третий член имеет ^-порядок меньше т , а в силу интерполяционных неравенств оценивается снизу через

- * ( у Р " ( Ю + с ( х ) ) . При 8 с ( > с ) < с0/ 2 приходим к неравенству (1.8).

Если g r a d^vP^m (£)=?£= О, то

( P T Q ) (?) > V c o2+ | g r a dv (P + Q ) |2> - ~ с0 +

+ e I g r a dr PMI - e Igradv (P + Q-Pm) \ ^ - j c0 + • e x p ^ 4 g ) —:,

_ ⁸ ^ p ^ l (£)⁺-^{c (x)} j ^ J ^ ^ + J L^{x p}m - - l ^(g)

коль скоро ее (и) <с0/4.

1 Как обычно, ^-порядком монома a^ag^a называется число (a, q) =<zi<7i + ... + aⁿ<7n,

^-порядком полинома Q называется наибольший из ^-порядков его мономов и обозна­

чается d e g^eQ .

( I I ) = H I ) . Пусть в некоторой точке £°: Рт( £ ° ) = 0, | g r a d ^ Pm( f ) | = 0 . Рассмотрим кривую I (t) = (/*£?, • • • > Тогда

с о п й - <т-1< ( 1 + р ( Е( 0 ) )^п^¹- -' (1-9) С другой стороны, так как Pm(l(t)) = | g r a d g ' Pm (5 ( 0 ) 1 = 0 , то

(P+Q)(l(t))<\Pm-l(l*) + Qn^^ (1-Ю) где Рщ-и Qm-i — квазиоднородные части Р и Q ^-порядка m — 1 . Мы

всегда можем подобрать Qm-i таким образом, чтобы (1.10) было 0 ( /^т~²) . Действительно, пусть (для определенности) 1°^хф0⁹ ., 1°⁸ф0, S / ^ O , 7 > s . Если существуют целые ai,..., a^s, что atqi+ ... + a s ?^s =

- m - 1 , то, п о л а г а я Q ( g ) ^s . . . , Б ?в и с = -Р^фуц*" \ . . . , gfs, м ы получим, что Pm-i(|°)+Qm-i(E°) = 0 . Если не существуют целых a i , a s, для которых a i ? i + ... + as^s = m—1, то тогда Pm-i=Qni-\^=0, откуда (1.10) есть 0(t^m-²) и оценка (1.9) нарушается при £-*оо.

З а м е ч а н и е 1. Если q— ( 1 , 1 ) , то левые части неравенств (1.8) и (1.4) эквивалентны, откуда следует эквивалентность условий (1.4) и (1.7). В общем случае условие (1.7) сильнее квазиоднородного аналога условия (1.4):

£ \l^a\<c^Q(P~Q)(l)(deg^qQ<deg^gP). (1.4') (a,q)<m

Приведем два примера квазиоднородных полиномов, для которых вы­

полнено (1.4') и не выполнено (1.7).

П р и м е р 1. п = 2 и

Р(1) = Ц + Ч%' (ЫО')

В этом случае ? = 1 , 2 и существенной переменной будет gi. Очевидно, что

| P ( i ) | + \дР(1)/аь\

=о, ii=o,

т. е. для (1.107) не выполнены эквивалентные условия предложе­

ния (1.4).

С другой стороны, элементарные оценки показывают, что для лю­

бого Q(l)= qala имеет место неравенство ai4-2a2<3

( 1 + ( 1 + h l i | )²| g²| ^ / C^Q( ^ + ^ ) (g), откуда вытекает (1.4') с q= ( 1 , 2 ) ;

П р и м е р 2. п = 3 и

Р ( Ю = ^ ( ? 1 + ^ + Е з2) + ^ ? 2 - У 2. (1.11) Полином (1.11) совпадает со своей (1, 2, 2)-однородной частью, сущест­

венной переменной будет gi. Д л я (1.11) не выполнено условие (1.7), поскольку

\Р№\ + \дР(1)/дЬ\ = 0 , ^ = 0, fe, g³)^R²- С другой стороны, используя неравенства

\Р(1)\>Щ + Ц(Щ+Ц), - g - >2(Щ+Щ), 91

216 Л. Р. ВОЛЕВИЧ, С. Г. ГИНДИКИН

нетрудно показать, что

( 1 + | Ы )^в+ ( 1 + " i S i l )². ( l + + \ls\)²<c^Q(P~Q)(l)^f где degqQ<5 и # = ( 1 , 2 , 2 ) . Из последнего неравенства следует, ч т о для полинома (1.11) выполнено условие (1.4') с 17= (1,2,

З а м е ч а н и е 2. При доказательстве достаточности условия (1.7) для справедливости (1.8) мы нигде не пользовались тем, что вектор q имеет только целочисленные компоненты. Можно освободиться от ус­

ловия целочисленное™ и при доказательстве необходимости. Однако между случаями целых и рациональных q имеется принципиальная разница. В случае целых q левая норма (1.7) оценивает все мономы

^-порядка меньше т . В случае рациональных q имеются такие мономы 1^а, что т—К (a, q)<m, они не оцениваются левою частью (1.7).

§ 2. Полиномы N-главного типа с двумя переменными

2Л. Многоугольник Ньютона. В этом параграфе мы будем иметь дело с полиномами от двух переменных £ = i£2) ^1R2:

Р(£)^Е^*Л?Ф- ( 2 Л )

Обозначим через N(P) выпуклую оболочку точек (ai, а г ) , отвечающих ненулевым коэффициентом аа в (2.1), их проекций на координатные оси и начало координат {0}. Выпуклый многоугольник N(P) располо­

жен в замыкании положительного квадранта R+², он имеет начало координат в качестве одной из своих вершин, стороны N(P), исходят:

щие из этой вершины, л е ж а т на координатных осях. Так к а к N(P) замкнут относительно проектирования на координатные оси, то коси­

нусы внешних нормалей сторон N(P), не лежащих на координатных осях, не отрицательны.

Многоугольник N(P) называется полным, если косинусы сторон, не лежащих на координатных осях, строго положительны. Последнее эквивалентно тому, что N(P) не имеет сторон, параллельных коорди­

натным осям.

Все дальнейшие формулировки существенно упрощаются, если вы­

полнено

Условие (А). Многоугольник N(P) — полный.

Обозначим через Г/0 ) = (а(, aj), / = 0, 1+2— вершины N(P), причем Го0) = Г / + 2 = (0, 0). Если N(P) — полный выпуклый много­

угольник, то

a i > a f > . . . > а £ Н = 0 , . 0 = a } < a ? < :...<а*+К

Обозначим через Tf\ / = 0 , Z + 1 , сторону N(P), соединяющую вер­

шины Г/^{0 )} и Г/о-ь и пусть q^U) = (q{, Q2) — вектор внешней нор­

мали к l y1* . Если выполнено ( Л ) , то числа q!k> 1 < / < / , & = 1 , 2, — по­

ложительные, поэтому их можно нормировать условием

def

min<7/ = l, b^f =maxqy min qi^k. (2.2) Многоугольник N(P) можно задать системой неравенств

(a, qW)<c^/9 < 7^{( / )}e # + , J = l, / , : % > ( ) , a² ^ 0- (2.3)

2. 2. Многоугольник младших членов. Точка a^N(P) называется младшей, если - j a ' e i V ( P ) , так что а < аМ ). Выпуклая оболочка, натя­

нутая на множество целых младших точек обозначается через 6 ( Р ) . Целая точка a^N(P) называется Z-младшей, если Ra'^N(Р)[\

f|Z², так что а<а'. Выпуклая оболочка, натянутая на множество Z-младших точек, обозначается через 6z ( Р ) . Очевидно, что 6z (Р)с=

с = 6 ( Р ) . Приведем пример полинома, для которого это включение строгое.

П р и м е р . Р ( ^ ^ + Г2 + ^

В этом случае N(P) будет треугольником с вершинами (0, 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 0 , 2 ) . Точка (1, 1) является внутренней точкой треугольника и, следовательно, младшей. Однако эта точка не является Z-младшей.

Наряду с геометрическим условием (А) мы будем налагать на N(P) арифметическое

Условие (В). б ( Р ) = б ( Р ) .

Д л я эффективной проверки этого условия может быть использова­

на следующая

2.3. Лемма. Для полинома (2.1), удовлетворяющего условию (А), следующие условия эквивалентны.

(i) Числа Ь\ — из (2.2) целые, / = 1 ,

(и) Если многоугольник N(P) задан неравенствами (2.3) и векто­

ры qW нормированы условием (2.2), то

( Р , < 7 < ' > ) < c / - l , / = 1 , . . . . , / , П Z2; (2.4) (ш) б ( Р ) = б2 ( Р ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о . (i)=>(ii). Так как вершины N(P) — целые точки R², то при условии (i) числа с^}- в (2.4) будут целыми. Е с л и р не лежит на Tf\ то (р, qW)<c^}. По соображениям целочисленности приходим к (2.4).

(и)=$(Ш). Возьмем произвольную точку p e 6 ( P ) D Z². Так к а к в си­

лу условия (А) р не может лежать на сторонах Г/¹*, /=1> U то для р выполнены неравенства (2.4). Подберем такую точку

p'eE#(P)nZ2, что р ' > р .

Рассмотрим сначала случай, когда <7{ < <7£ V/, т. е. qW=(l, &/), / = 1 , /. Пусть p = ( p i , р²) и р^/= ( р¹+ 1 , р²) . Тогда р ' > р , а в си­

лу (2.4) (р', /, т. е. p ' e i V ( P ) . Если ? { > q{ У / , т о в качестве р' можно взять ( р^ь р²+ 1 ) .

Рассмотрим теперь общий случай, когда

Ч[<ЧЪ Л < ] < К q[>q^jr Л < / < / ,

и обозначим через N'(P) и N"(P) пересечения N(P) с полуплоскостя­

ми аг^ан19 а2> о ф К многоугольникам N'(P) и N"(P) применимы проведенные выше рассуждения и можно взять p/ == ( P i + l , р2) при peEJV'(P) и р,= ( рь р2+ 1 ) при $f=N"(P). Если $ZEN(P) \N'(P) \

\N"(P), то в качестве р' можно взять вершину (а*,.-а*).

(iii)=>(i). Пусть qj=(l, bj) и bf = -^- > 1, где m и п — целые будет принад- п

взаимно простые числа. Тогда точка ( а £ + m

х 1 1 2

\ L п ' _ .

л е ж а т ь б ( Р ) , но не будет Z-младщей точкой, что противоречит ( ш ) .

1 Определение отношения порядка для точек Rn см. на стр. 326.

8 Труды ммо, т. 48

218 Л. Р. ВОДЕВИЧ, С. Г. ГИНДИКИН

2.4. Условия- на старшие квазиоднородные части. Каждой стороне Г /⁰ с : N(P), 1 ^ / ^ / , сопоставим полином

(2.5) Этот полином будет старшей квазиоднородной частью относительно веса qW = (q{⁹ q Q .

Переменная -|i (соответственно g²) называется существенной пере­

менной стороны Г )⁰, если <7i<<7² (соответственно qi < ql)- Если q[=q2>

то обе переменные будут существенными. Существенные переменные Г/^{! )} обозначим через

Условие (С). Д л я любой стороны Tf\ 1 < / ^ / , с существенной пе­

ременной (или переменными) £'

{Рп⁾(1)=0}^{^ётй^гР^{1)(1)фО}¹ ЬФ-О'ЪФЬ (2.6),

Ч ¹ /

Полиномы, удовлетворяющие условию (2.6), будем называть поли­

номами Af-главного типа.

2.5. Т е о р е м а . Пусть многоугольник Ньютона N(P) полинома, (2.1) удовлетворяет условиям (А) и (В). Тогда следующие условия эк­

вивалентны:

(i) Выполнено условие (С).

(и) Найдется такая константа с > 0 , что

£ \Ъ^а\<сРЦ) V E e R » . (2.7)

Доказательство необходимости условия (С) почти не отличается от доказательства (1)=^(П) в предложении 1.4 и мы его не будем при­

водить (в случае полиномов от многих переменных аналогичное дока­

зательство приведено в § 4 ) .

Доказательство достаточности распадается на два этапа. Сначала оценка доказывается в областях специального вида, связанных с верши­

нами и сторонами многоугольника N(P). Затем из этих оценок «склеи­

вается» оценка во всей области. Мы ограничимся доказательством (2.7) для g^b g²> 0 (общий случай сводится к этому заменами g—>•— ^t

2.6. Область G ( r / ° ) , ео). -Пусть Tf — вершина N(P), Tf^}Ф{0}.

Обозначим через V{o) угол нормалей в этой вершине, т. е. угол, обра­

зованный лучами {^7^(/)}, {tq^{}+% t^O. Как легко видеть, q = (q^lf <7²) Е У , тогда и только тогда, когда

-q[qi+q{q² > о. ¥2+1Ч1-Ч[+1ЙШ > о.

Обозначим через G(Tf\ е⁰) совокупность таких g, что вектор In | ~

= (In g^b l n g²) принадлежит сдвигу У^]\⁰⁾:

-ql² In Ь + q[ In g² > I n J - , qf+t I n l^x- q { + * In g² > In l / e⁰. (2.7'}

80

Л е м м а . Пусть вершине Yf\ / > 0 , отвечает точка а'=(а{, а²) . Тогда V e > 0 найдется такое ео(е), что при е о < е⁰( е )

f < е | « \ I е= в(if, е⁰) V £ s (N(P)\Tf) Л Z² ( 2 . 8 )

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через L/ луч, проходящий через сторону Т /^{1 ) -}и начинающийся в точке Г/^{0 )}. Тогда

L / H P e R * , $=aJ-tt!, t > 0, /'=(-flr£, q[)}.

В силу первого неравенства (2.7^/) для произвольного р ^ £ /

£^р= е х р ( р , l n g ) = e x p ( a ' ' , l n g ) e x p ( — й ' , l n £ ) < 8 o V ,

где / = / ( р ) . Аналогично, если Mj — луч, проходящий через Г}+1 и на­

чинающийся в Г⁽⁷о), то Vy&Mj можно указать такое 0 = 6 ( у ) , что

Теперь остается заметить, что на лучах L\ и М^}- можно т а к выбрать точки р, P ^ L / , у, у'&М/, чтобы множество (N(Р)\Г^)(]2² принадле­

жало выпуклой оболочке этих точек, причем

* ( р ' ) > * ( Р ) > х ; е ( у ' ) > е ( у ) > х . Выбирая 8 о из условия е о< 8 , получим (2.8).

2.7. П р е д л о ж е н и е . Пусть Г/^{0 )}— вершина N(P). Если ео дос­

таточно мало, то в области G (Г/^{0 )}, е⁰) справедлива оценка

S I F K ' I ^ B I V E € = G ( l f^f 8⁰) . (2.9)

aG6(P)nZ²

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме из предыдущего пункта левая часть не превосходит и е |^{а Э}, где % — число целых точек в 6 ( Р ) .

С другой стороны, в силу леммы

l^ai = \a^ai\-'\P{l)-{P{l)-a^a&)\<\a^ai\-^x (\P(l)\ +

а€ЩР)\Г⁽р

< К / Г '

| P ( l ) l + e

( S | ^ 7 | ) ^ '

Выбирая 8 o таким образом, чтобы коэффициент перед £^{а /} в правой части не превосходил 1/2, получим (2.9).

2.8. Область (/(Г/⁰, 8⁰, 8^Х) . Пусть Г /¹— сторона N(P) (не лежа­

щ а я на координатных осях, т. е. 1 < / < / + 1 ) , qW — внешняя нормаль к Гу° и .//.= (.—^, #1) — направляющий вектор прямой, проходящей че­

рез Г /⁰. Обозначим через 0(Г/^{1 }}, е⁰, 8^Х) совокупность таких £, что In g принадлежит полуполосе

1 п е⁰< ( 1 п £ , / 0 < 1 п — , ( 1 п | , #(/))> I n - L . (2Л0)

80 8А

Л е м м а , (г) у .а, а ' е Г/^{1 у} найдется такое 6 = 0 (а, а')., *ш>

4 < № ' < во"⁹ \/ g ЕЕ G ( i f , 80, 8Х) . (2Л1) (it) у а е i f , Убо>0 и V e⁰> 0 можно указать такое е^х (е, ео)> что при

e i < e i ( e , 8о)

E*<eg« y p ^ ( ^ ( P ) \ r f⁾) n Z², y g e = G ( l f , 8⁰, ^{в 1}) . (2.12)

220: Л. Р. ВОЛЕВИЧ, С. Г. г и н д и к и н

Д о к а з а т е л ь с т в о , (i) Если а, а'.€= Г/ , то для некоторого G : а—а' = 8/' и

Е«/5«^, = е х р ( а - а ' , 1п.Е)==ехр(в'(1/, lng)).

В силу первого неравенства (2.10) получим (2.11).

(И) Д л я любой точки р е А / ' ( /^>) \ Г /^{( /}) можно подобрать £ > 0 и такую точку а ' е Г/¹ *, что р = a'—tqV\ Тогда

£ 0 = e x p ( - f ( l n g , <7^{( / )})) £^а' < в { £^а' < e l C^{1 0 1}^ ,

где константы t и 6 зависят от р. Если р пробегает конечное множест­

во (Л^(Р)\Г/^{1 )}) П Z², то можно выбрать единые константы 9 и t, для ко­

торых будет выполняться полученное неравенство. Подбирая ei из усло­

вия г{го^в < 8 , получим (2.12).

2.9. П р е д л о ж е н и е . Пусть Г /^{( 1 )} — стороны N(P). Тогда для любого ео можно указать такое ей что в области G(F/^{1 )}, е⁰, е^х) справед­

лива оценка

£ • | 5^al < c ( | P ( g ) | . + |gradPXE)J) \/l^:G(T⁽l\ г^0Уг^±). (2.13)

a€6(P)riZ²

Прежде чем доказывать оценку (2.13), мы выведем одно следствие из условия (С).

Л е м м а . Пусть Г⁽^ — сторона N(P), а V — направляющий век­

тор прямой, проходящей через Tf\ Пусть

W(a, 6) = { ? Е 4 , a < ( l n g , P)<b}. (2.14) Если полином P ( g ) удовлетворяет условию (С), а разность b—а дос­

таточно мала, то в области (2.14) выполнено одно из двух условий:

J > ( 0 ^ O V l e = H ? ( a , Ь), (2.15) или

I grad^P,,) (|)|^=0 \fl^W{a,b), (2.15') где g⁷ — набор существенных переменных стороны Г/^{1 }}.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если g e W ( a , b), то

а<ф^\<Ь, qiqiyO,

т а к что W может пересекаться с осями Ш^О} только в начале коорди­

нат. Ввиду условия (С) в каждой точке g<=№ (а, Ь) выполнено либо (2.15), либо (2.150.

Положим p ( g ) - [ g¹[^{1 /}^ + | g²|¹4 Тогда t = (p^q[(t)<»v Р⁴Ш О > р (со) = 1.

Если разность b—а достаточно мала, то дуга W°(a, b) = {g<=U7(a, b)>

,p(g) = l} также достаточно мала, а поэтому во всех точках этой дуги выполнено либо (2.15), либо (2.15^/)„ Теперь остается заметить, что зна­

чения Р (1) (g) определяются значениями этого полинома на W°(a, b), поскольку

^ ш Ш - р Ч ^ ^ ш И , р ( с о ) = 1 . (2.16)

Д о к а з а т е л ь с т в о п р е д л о ж е н и я 2.9. 1. Прежде всего заметим, что G ( l f , е⁰, 8х) с : И ^ 1 п е⁰, ln-^-j» где область W опреде­

ляется посредством (2.14), Не ограничивая общности, можно считать, что в W = W ^ l n e⁰, I n — j выполнено одно из двух условий (2.15),

(2.15х). В противном случае мы разобьем отрезок l n e0, I n — на мел- кие отрезки [а^к, а^ш]\ 1 0 < Л , - и вместо G будем рассматривать

G(]W(a^Xy а^ш).

2. Предположим сначала, что выполнено (2.15). С учетом (2.16) для любого а е i f имеем

|а< с0| / > ( ! ) Ь | е Г ( 1 п вв, 1 п - М , а е Г ' /1. (2.17) Воспользовавшись леммой 2.8 ( и ) , мы получим, что

&<*с⁰\Рм{®\, Z<=G(T?\e⁰, ^{в 1}) , p e N ( P ) \ r <^{1 )}. (2.18) ч

В силу этих неравенств

1 ^ ( « - ^^га ) Ш 1 <⁸^ 1^Рг ^ ^ 1 <4-1^{/ 5 г}о)^)Ь

1/ Ч • * ч

если е мало, откуда

| / > ( Б ) К 2 | Р ( Е ) | . (2.19) ч

Подставляя в (2.18), мы получим (2.13).

3. Заметим, что при условии (2.15) в G ( i f , е⁰, г^г) на самом деле имеет место неравенство более сильное, чем (2.13). В самом деле, обо­

значим через T ( l f ) треугольник, образованный пересечением прямой, проходящей через i f , с положительным квадрантом. Тогда

I* < const\Р V а ё Т (Г?), t*=G ( I f , 80, 8 , ) . (2.20) В самом деле, если а лежит на прямой, проходящей через i f , то»

(2.20) следует из (2.17) и (2.19). Если a e = T ( l f ) \ r ^ то (2.20) следу­

ет из леммы 2.8 (и), поскольку неравенство (2.12) (как это видно из доказательства леммы) сохраняется \/ Р {Т {Тр)\Т⁽р) П Z².

4. Пусть теперь выполнено (2.1.5/) и пусть для определенности l'=h ¹⁾ так, что qW= (1, b^}), Имеем

Т(Г⁽Р) = {ае~К\ ( a , ^ > ) < c/f с^, а2> 0 } . Положим

Т'(Г?) = {аеЕТ(Г⁽Р), (a, q<f))^<Cj-l}.

Из результатов п. 3, примененных к полиному дР(1)/д1и следует, что

£ 6 » < | 0 P ( 6 ) / 0 6 i l , £ < = G ( l f , 8⁰, ^{8 l}) .

Э б Г ' ^ П г2

Теперь остается заметить, что б (Р) cz Т ( i f ) . Предложение доказано.

1 Если \ ' состоит из обеих переменных igi и £², то, сужая (если это необходимо) рассматриваемую нами область, мы сможем считать, что производная по одной из

существенных переменных отлична от нуля.

222 Л. Р. ВОЛЕВИЧ, С. Г. ГИНДИКИН

2.10. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.5 ((i)=^(ii)), Прежде всего заметим, что, поскольку P(Q>c, оценка ( й ) очевидна в любом

кР У^{г е} Поэтому ввиду предложений 2.7, 2.9 достаточно пока­

зать, что дополнение к

\jG(T^{l\ е⁰, e ^ U u V f , в⁰)

/ = 1 / - 1

в R+ покрывается кругом достаточно большого радиуса. Если перей­

ти на плоскость <7=1п£ и обозначить через £ ( Г(Д е0) и g(Tf\ е0, гг) соответствующие углы и полуполосы

8 (!?> e⁰) - \q €5= R², (q, mf) > In — , (q, /'*) > In - Ц ,

I e0 e0 J

£ ( l f , e0, 8 l) = R2, l n e0 < (q, mf) < l n - i -f 0/, <7(/)) > I n — ) . то нам надо будет показать, что область

R ' M - U * ^

,

е

))"

/ = 1 Ж

содержится в сдвиге отрицательного квадранта R2_={<7&R2, <7i^0,

< 0 } .

Д л я доказательства этого факта надо вспомнить, что g(Vf\ е0) яв­

ляется сдвигом угла нормалей Vf⁾ вершины Г/^{0 )}, т. е. g(Г/, l) = Vf\

a R l является углом нормалей вершины {0}. Таким образом, R ^ R i U U ^¹? , е⁰) при е⁰= 1 .

Уменьшая ео, мы сдвигаем углы g(Tf\ е0) внутрь себя, так что между ними образуются «зазоры». Эти «зазоры» вне окрестности нуля покры­

ваются полуполосами G(T/^{1 )}, е⁰, е^х). Теорема доказана.

2.11. З а м е ч а н и я к т е о р е м е 2.5. 1) Условие (В) используется только при доказательстве необходимости (С) для справедливости

(2.7). Если в левой части (2.7) заменить 6 ( Р ) на 6z ( Р ) , то она будет иметь место и без предположения ( В ) .

2) Поскольку в условии (С) фигурируют только старшие квазиод- нородные части Р, то при добавлении к Р младших членов в оценке

(2.7) изменится только константа. Поэтому условие теоремы можно переформулировать так:

(«') Д л я любого полинома Q, N(Q)cz8(P) найдется c(Q)>0, так что

£ I E^al < c ( Q ) ( P ^ ) ( | ) V g ^ R². (2.7")

aG6(P)nZ2

3) Как видно из доказательства теоремы 2.5, мы фактически до­

казываем более сильное неравенство

£ | | « |^{< c}( | : p ( | ) l ⁺ | g r a d P ( | ) 1 + I). (2.7'"):

4) Если N — некоторый многогранник, а Р1, . . . , $J — его вер­

шины, то положим

• • • • • • / = 1 .

Тогда неравенство (2.7) можно переписать в виде

S^{e (}p ) ( £ ) < c o n s t P ( 5 ) , | G E R². (2.21)

5) Если внимательно просмотреть доказательство теоремы 2.5, то можно увидеть, что фактически доказывается более сильное неравен­

ство (ср. предложение 1.4)

Нл⁽Р)(g) < const ( | Р(I) J + | grad Р(I) | + 1 ) , (2.22)

где многоугольник Л (Р) ~>6z (Р) определяется неравенствами

(ср. ( 2 . 3 ) )

(a, q^)<Cj— 1, / = 1 , /, с ц > 0 , а²> 0 . (2.23)

В следующем параграфе мы будем иметь дело с многогранником N(P)czRn, / г > 2 . Чтобы наши определения совпадали при п = 2, надо добавить к (2.23) еще одно неравенство в том случае, когда найдется

такое /г, 1 < / г < / , что

q(')=(bh 1 ) , / г - 1 , bi>l,

(2.24)

< / « > = ( ! , Ь,), * = А, /, bt>l.

В этом случае к (2.23) надо присоединить неравенство

(а, 1, <7=== ( 1 , 1), £ ± = т а х ( а , ? ) . (2.25)

6) При доказательстве теоремы 2.5 попутно была установлена 2.5'. Т е о р е м а . Пусть выполнено условие (А). Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) Для любой стороны Г/¹*, 1 ^ / ^ / ,

P^rO ) ( g ) ^ 0 , 1гФ0⁹ ЪфО. (2.26)

Ч

(и) Найдется такая константа с > 0 , что

£ 1 ? 1 < с ( | Р ( Е ) 1 + 1) V ? ^ R². ( 2 . 2 7 ) aeW(P)

7) Вернемся к примеру 1 из § 1. В этом случае N(P) будет четы­

рехугольником с вершинами (0, 0 ) , (4, 0 ) , (2, 1 ) , (0, 1 ) , а полином (1.10) будет удовлетворять всем условиям теоремы 2.5', кроме условия (А) (не являющегося необходимым для справедливости ( 2 . 2 7 ) ) . Этим и объясняется, что для полинома (1.10) выполняется оценка (2.27).

§ 3. Определение и геометрические свойства многогранника Ньютона полинома

3.1. О б о з н а ч е н и я . Мы будем иметь дело с тремя л-мерными вещественными пространствами, точки которых будем обозначать через l^ilu a = ( a^b ...» а^п), q=(qu Уп), а сами пространства соот­

ветственно Rft^)t /?(а)И R(^q).

224 Л . Р . В О Л Е В И Ч , с . г г и н д и к и н

Пространства Rfa) и R^, находятся в двойственности, т. е. опре­

делено билинейное скалярное произведение:

( a , q) = axq± + , . .+ anqn, а .g= R("a), q е= R^.

Через R [ |^{) +}, R(|)⁺ и т. д. будем обозначать совокупность точек из R|>

с положительными (неотрицательными) координатами.

Пространства R(|)-f и RJJ) связаны биективным отображением

def

/%> (g - I n l = (In |^{Х )} . . . , In

1„),

а поэтому при g ^ R(|)-b и a ё= R"a) имеет смысл

Г = ехр(а, In I ) . (3.1) Для g e R j ) положим l + ^ d ^ l , | g j ) 6 R ©^f

Тогда

def

| ^ | - Й - е х р ( а , l n ? + ) . (3.1') 3.2. Многогранники и связанные с ними геометрические понятия.

Пусть rc:R(a)— выпуклый многогранник и q е R"a). Полупространства

(a, q)<c, a e R (a ), < 7 < Е ^Ь (3.2) называется опорным к Г, если (а, У а Е Г , причем хотя бы для

одного а е Г достигается равенство. В силу выпуклости Г каждому опорному полупространству (3.2) отвечает единственная, принадлежа­

щая ему грань Г<*)с=Г (& = d i m I W ) максимальной размерности. С дру­

гой стороны, каждой грани отвечает, вообще говоря, много содержащих ее опорных полупространств.

Вектор q из (3.2) называется направляющим вектором этого по­

лупространства. Совокупность направляющих векторов всех опорных полупространств, содержащих грань Г ^ с г Г , называется нормальным конусом грани и обозначается через V(k). Отметим, что V&) d R⁽"> будет замкнутым выпуклым многогранным углом и dim V(^k) = n—k.

Следует отметить, что V(k) содержит т а к ж е направляющие векторы опорных полупространств, для которых максимальной содержащейся в них гранью будет не П*>, а некоторые грани T^k,\ k'>k, на границе

которых лежит Г^{( й )}.

В Rfa) можно определить естественное отношение порядка: а =

= ( а^ь czn)>Э= (Эь ...» р/г), если а / > Р / , / = 1 , ..., /г, причем одно из неравенств строгое. Множество у cz Rf^aH_ называется слабо полным (см. [11]), если вместе с каждой точкой р е у множеству у принадле­

жит и

7^{f t} = { a e R ( a )^{+ f} a < p } .

Выпуклой слабо полной оболочкой множества у называется наимень­

ший выпуклый слабо полный многогранник, содержащий у .

Согласно данному выше определению слабо полный многогранник Г с= R(a)+ содержит начало координат в качестве вершины, и в каждой координатной гиперплоскости {а*=0}, 1 ^ п , лежит одна из (п—1)- мерных граней Г .