Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. А. Гончар, О задачах Е. И. Золотарева, связан- ных с рациональными функциями, Матем. сб. , 1969, том 78(120), номер 4, 640–654
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 10:23:58
УДК 517.53
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями
А. А. Гончар (Мосщза)
В заглавии статьи имеются в виду задачи III и IV из классического мемуара Е. И. Золотарева «Приложение эллиптических функций к воп
росам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля»
(см. |jl], стр. 1—59); эти задачи будут сформулированы в пп. 3 и 6 ниже.
Обобщая соответствующие вопросы, задачу типа III мы выделяем в ка
честве основной и рассматриваем ее как задачу об оценке равномерного роста рациональных функций. Именно в форме асимптотически точных оценок решение этой задачи носит достаточно простой и общий харак
тер и может быть использовано в ряде вопросов, связанных с рациональ
ной аппроксимацией функций.
1. Оценки роста полиномов и рациональных функций*
Остановимся сначала на соответствующих вопросах для случая полино
мов. Всюду в дальнейшем через рп = рп (г) будем обозначать полином от z степени не выше пу через rn=rn(z) — рациональную функцию от z порядка не выше п (отношение полиномов степени <Гя).
Пусть Е — ограниченное замкнутое множество в комплексной плоскости, имеющее положительную емкость **. Предположим, что дополнение к Е связно; обозначим его через G. Пусть g (£, z) — функция Грина области G . с особенностью в бесконечно удаленной точке.
Фиксируем произвольную точку а б G; положим хп (Е, а) = sup | рп (а) |, где верхняя грань берется в классе всех полиномов рп, удовлетворяющих условию max [ рп (г) |<Ч. Следующее утверждение (лемма Бернштейна — Уолша) дает оценку роста полиномов вне заданного множества:
•' : Л г Tn(E,a)^eng(E'a\Vn>0. (1)
, i Лемма Бернштейна — Уолша имеет многочисленные приложения к вопро
сам, связанным с полиномиальной аппроксимацией функций.
Точность оценки (1) характеризуется следующим равенством
\\тУъЖ^)=--е*
{Е'
а\ (2)
/г-*оо
* Утверждения (1)— (3), приведенные в этом пункте, хорошо известны (см., напри^
мер, [2], [3]).
** Здесь и всюду в дальнейшем под емкостью множества понимается его логариф
мическая (гармоническая) емкость.
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 641
показывающим, что число g(E, а) в (1) нельзя заменить никаким меньшим числом (так, чтобы оценка оставалась справедливой при любом п).
Оценка (1) допускает простое обобщение на случай рациональных функ
ций с фиксированными полюсами. Пусть хп(Еуа, {Р&}) = sup|r^(a)| в классе всех рациональных функций гп с полюсами в точках P^6G, fe=l, . . . , nf
удовлетворяющих условию max) гп (г) | <^ 1 (порядок полюса гп в точке р* не zeE
должен превышать кратности fy в системе {(J*}!). Тогда тгл(£, а, {^})<ехр
2 g{E,a,fo)
k=i
(3) где g(E, z, р)—функция Грина области G с особенностью в точке P^G;
g(E, г, оо) = g(E, г).
Для доказательства неравенства (3) (а тем самым и (1), которое полу
чается из (3) при % = °о, k •= 1, . . . , дг) достаточно заметить, что если rrt
имеет полюсы (с учетом кратности) только в точках р1? . . . , р„ и | гЛ( г ) | ^ 1 для z б £, то функция
/г
Ф(2) = 1п|г
я(г)| — 2 г ( £ , *, Рл)
субгармонична в области G и для любой точки Z^dGczE Ш ф ( г ) < 0 .
По принципу максимума ф ( г ) ^ 0 всюду в области G, откуда следует (3).
Легко понять, как надо видоизменить оценку (3), если дополнение к Е не
связно*.
Цель настоящей статьи — привести аналоги соотношений (1), (2) для ра
циональных функций со свободными полюсами. Частные случаи соответст
вующих оценок и некоторые их приложения содержатся в работах [4], [5].
Очевидно, sup | rn (a) | в классе всех рациональных функций гп (без каких- либо ограничений на расположение полюсов), удовлетворяющих условию
m a x | r „ ( z ) | ^ 1, равен + оо для любых £ и a g G (в точку а можно поме- zeE
стить полюс); это утверждение остается в силе и в классе рациональных функций с полюсами вне а, если только эта точка является предельной для допустимого множества полюсов (именно так обстоит дело в вопросах приб
лижения рациональными функциями со свободными полюсами). Однако, если вместо точки а £ G фиксировать замкнутое множество F С G, то ращюналь-
* Автору неизвестны какие-либо результаты общего характера, которые показывали
«бы, что оценка (3) асимптотически точна, и в этом смысле являлись бы аналогами ра
венства (2) (хотя бы для случая, когда Е — произвольный континуум со связным допол
нением). В частности, если f^, . . . , (3rt, . . . — последовательность точек области G, все предельные точки которой принадлежат £, такая, что правая часть (3) стремится к 4~°°
при п -> оо (ряд y ] g ( £ , a, (3^) расходится], то можно ли утверждать, что и левая часть (3) стремится к + °° при п-^-оо.
12 Математический сборник, т. 78 (120), № 4 ,
ная функция гл, модуль которой ограничен единицей на множестве Е, не может быть равномерно велика на множестве F. Точнее, в этом случае можно дать оценку для т т | гЛ( г ) | , зависящую только от п и заданных множеств Е9 F (содержательную для случая, когда каждое из множеств Е, F имеет положительную емкость). Асимптотически точное решение этой задачи дается в терминах емкости (или модуля) конденсатора (Е, F). Прежде, чем форму
лировать соответствующие результаты, остановимся подробнее на этих поня
тиях.
2. Емкость и модуль конденсатора
Пусть S —расширенная комплексная плоскость, Е и F — непересекающиеся замкнутые подмножества S, каждое из которых имеет связное дополнение.
Через D обозначим область, дополнительную к Е \J F (относительно 5); гра
ница 3D области D представляет собой объединение непересекающихся замк
нутых множеств дЕ и dF. Пару (Е, F) будем называть (плоским) конден
с а т о р о м * .
Математическое понятие емкости конденсатора было введено и подробно исследовано в работах Пойа и Сеге (см. [6]). В настоящее время известен целый ряд эквивалентных определений этого понятия (и тесно связанного с ним понятия модуля конденсатора). Емкость конденсатора может быть опре
делена, в частности, как гринова емкость одного из множеств Е, F относи
тельно области, дополнительной к другому множеству (см., например, [7]).
Отметим также недавнюю работу [8], в которой получена характеристика емкости конденсатора, аналогичная характеристике емкости множества как его трансфинитного диаметра.
Нам будет удобно основываться на следующем определении (ср. [6]).
Пусть Н — обобщенное решение задачи Дирихле в области Д построенное по граничным данным, равным 0 на множестве дЕ и 1 на множестве OF (дру
гими словами, Н (г) — гармоническая мера множества OF относительно обла
сти D в точке z^D). Функция Н гармонична в области В и в регулярных (относительно D) точках множеств дЕ, и dF имеет предельные значения, рав
ные 0 и 1 соответственно. Пусть Г — произвольный контур, состоящий из конечного числа аналитических жордановых кривых, принадлежащих D и в
совокупности разделяющих множества Е и F (точнее, Г разбивает плоскость 5 на два открытых множества, одно из которых содержит множество Е, дру
гое — множество F\ при этом Г является полной границей каждого из этих открытых множеств); производная по нормали к контуру Г, внешней по отношению к множеству, ограниченному Г и содержащему Е; ds — элемент длины дуги. Е м к о с т ь ю к о н д е н с а т о р а (Е, F) называется величина
г
* Конденсаторы (Е, F) и (F, Е) отождествляются.
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 643
легко видеть, что с не зависит от выбора контура Г (указанного выше типа) и c(Ef F) = c(F, Е).
Если емкость хотя бы одного из множеств Е, F равна нулю, то и с (Е, F) = 0; в противном случае (если каждое из этих множеств имеет по
ложительную емкость) емкость конденсатора (£, F) также положительна.
Величина /i(£, F) = c~1(Ey F) называется м о д у л е м к о н д е н с а т о р а (Е, F) (если с ^ О , то h = + оо).
Если Е и F — континуумы (связные замкнутые множества), не разбиваю
щие плоскость, то D = S\(E\JF)—двусвязная область (кольцо). Рима- нов м о д у л ь р кольца D (отношение радиусов R2/R± кругового кольца Ri<C\z\<\R2i конформно эквивалентного области D) связан с модулем кон
денсатора (£, F) следующим соотношением:
р = е \ h = h(E,F). (4)
3. Третья задача Е. И. Золотарева для произвольного конденсатора
Пусть (£, F) — произвольный конденсатор. Положим
ап (Е9 F) = sup min J rn (г) |, (5)
где верхняя грань берется в классе всех рациональных функций гл, удовлет
воряющих условию
т а х | гя( г ) | < 1 . (6)
Определение ап удобно переписать так:
/ С Г\ Г Ш П { | ГЯ( 2 ) / , z£F}
°*(£' F) = &Z т~Цглт,*Ц • С7)
Если отношение, стоящее под знаком sup в (7), обозначить через в(гп, Е, F), то, очевидно, o(rn,E, F) = afa1, F, Е). Следовательно, оп(Е, F) = an(F, E) при любом п (ап определяется заданием конденсатора (Е, F)).
Впервые экстремальная задача (5) — (6) (как задача о наибольшем от
клонении от нуля*) была поставлена и решена Е. И. Золотаревым (см. [1], задача III) для действительных рациональных функций гп, Е = {х £ R : | х | <ОЬ F = fx£R:\x\^— 1, 0 < < & < 1 (R—действительная прямая). Е. И. Золо
тарев нашел точное (при любом п) значение величины вп, соответствующей этому случаю:
( T „ - £ - " ( s n ^ s n ^ . . . s n ^ ,—4 ( 8 )
\ П П П )
* Задачу (5) — (6) можно обратить и рассматривать как задачу о наименьшем откло»
нении от нуля. Имеем а "1 (£, F) = inf max | rn [z) |, где нижняя грань берется в классе
Z£E
всех рациональных функций rft, удовлетворяющих условию min | rn (z) \ ^ 1.
12*
где [л—наибольшее нечетное число, меньшее, чем я, К — полный эллипти
ческий интеграл первого рода с модулем k•*.
В работе [4] было показано, что в случае, когда £, F—отрезки (расши
ренной) действительной прямой, асимптотически точная оценка ап может быть дана в геометрических терминах:
аД£, F)<f, У л > 0 , ' ( 9 ) где р — риманов модуль области D = S\(E \J F)\ при этом
lim j/a„(£, F) = p. (10)
n-»oo
(Заметим, что в случае, рассмотренном Е. И. Золотаревым, р = ехр ( -— \ >
где /(, /С' — полные эллиптические интегралы первого рода с сопряженными модулями ft, k! =У\—/г2).
В этой форме оценка оп распространяется на случай произвольного кон
денсатора. Ниже будет доказана
Т е о р е м а 1. Для любого конденсатора (£, F) имеем:
an{E,F)^enh{E'F),Vn>0; (11)
lim Y^WTF) = e"
(£,F), (12)
/г—>оо
где /i(£, F) — модуль конденсатора (£, £).
Отметим, что равенство (12) является простым следствием оценки (И) и одного результата Уолша (об этом результате будет говориться в п. 5 ниже).
Если Е> F — континуумы, то соотношения (11), (12) могут быть записаны в виде (9), (10) (см. (4)); прямое доказательство оценки (9) для этого слу
чая содержится в статье [5].
4. Доказательство оценки (11)
Конденсатор (£, F) будем называть п р а в и л ь н ы м , если каждое из мно
жеств £> F ограничено конечным числом непересекающихся аналитических кривых. Будем говорить, что последовательность конденсаторов (£v, Fv) моно
тонно стремится к конденсатору (£, F) и писать: (£v, £v)->(£, £), если i E c £ v C f i v - i , FdFvc: / v _b £ = П £v, F - П Fv.
Нам понадобятся следующие утверждения**.
1°. Для любого конденсатора (£, F) можно построить монотонно стре
мящуюся к нему последовательность правильных конденсаторов (£v, Fv).
2°. Если (£v, £v)->(£, F), mo /i(£v, Fv)-*h(E, F) при v->oo.
V" J . . . .
* Отметим, что в действительном случае соответствующая задача для полиномов (см. п. 1, определение тп) также допускает точное решение: если Е — {х £ R; | * [ ^ 1 } ,
*.<££.R, I a | > 1» то тл = \Тп(а)[\, где Тп— полином Чебышева, нормированный условием
0тщ \Тп(х) | = 1 (см., например, [9]).
** Эти утверждения! хорошо известны. Второе из них может быть легко доказано на основе принятого выше определения емкости конденсатора.
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 64&
Следующая лемма эквивалентна оценке (11) (в этой форме оценка удобна для применений).
Л е м м а 1. Пусть (£, F)—произвольный конденсатор, га—рациональ
ная функция порядка п. Если
' т а х | гя( 2 ) / < Л * < + о о , (13) то
mm\rn(z)\^Menh{E'F\ (14)
Лемма 1 (также как и оценка (11)) содержательна в случае, когда каж
дое из множеств £, F имеет положительную емкость (тогда ^;(Д F ) > 0 H
h(E, F)<C+ ос).
Докажем сначала утверждение леммы для случая, когда (Я, F) — правиль
ный конденсатор. Пусть G— дополнение множества Е. Полюсы рациональ
ной функции гп в расширенной плоскости 5 обозначим через рх, . . . , % (каждый полюс выписывается столько раз, какова его кратность; из усло
вия (13) следует, что все (Зд. принадлежат G).
\r (z)\
Применим оценку (3); поскольку — < гп (£, г, {J3&}), z^G, полу
чаем:
| гп (г) | < М ехр
2 £(£,*,>)
,*€<?, (15)где g(E, z, (3)—функция Грина области G с особенностью в точке Рб G Пусть
77 k=i
Замечая, что F CZ G, положим
fi=ming(z) (17) и рассмотрим функцию (У (г) = \х~1 • g (г), zgG. U (z) — супергармоническая
функция в G; она непрерывна в G, исключая логарифмические полюсы в точ
ках j3l5 . . . , ря> причем U(z) = 0, z£dE, f / ( z ) > l , гб/7.
Пусть Н (z) — гармоническая мера dF относительно области D=S\(E (J F) в точке z б D. В рассматриваемом случае (<3£ и д/7 — контуры, состоящие из конечного числа непересекающихся аналитических кривых) Н (z) непрерывна в Д H,(z) = 0, z^dE, H(z) = l, z£dF. Более того, Н (z) допускает гармо
ническое продолжение в некоторую окрестность D; поэтому
с = — \ — ds = — \ — ds, (18) г а£
здесь Г — контур, фигурирующий в определении емкости конденсатора, в пра-
вом интеграле производная берется по нормали к дЕ, внутренней относитель
но D, с — емкость конденсатора (£, F).
Рассмотрим разность V (z) = Н (г) — U (г) в замкнутой области D. Функ
ция V (z) субгармонична в D и непрерывна в D\{p^}J; при этом V(z) = 0, z^dE, V (z) ^ 0, z £ dF. По принципу максимума V (z) ^ 0 всюду в области D.
Поскольку V (z) = 0, z £ д£, имеем: — — <; О во всех точках z£dE (нормаль внутренняя относительно D); следовательно,
Тем самым
C ^ d s _ C ^ d s < o . (19)
J дп i дп
дЁ дЕ
По формуле Грина при любом (3(<G имеем:
\d-^ds = 2it, g = g{E9z,V)\
«) dn
то же равенство справедливо и для g = g{z) (см. (16)). Следовательно,
дЕ
{™ds =
2-^. (20)
Заменяя интегралы в неравенстве (19) по формулам (18) и (20), получаем
^ 1 с
Из (15)—(17) и (21) следует
j i < i - = f t , h = h(E,F). (21)
m i n | r „ ( z ) | < e ^ < ; ^ , что и требовалось показать.
Если (£, F) — произвольный конденсатор, то воспользуемся утверждениями 1°, 2°. Строим последова!ельность правильных конденсаторов (£v, Fv), моно
тонно стремящуюся к (£, F). Пусть /Wv = max | rn (z) |, mv = min | г„ (г) |,
z£Ev z£Fv
ftv = h(Ev, Fv). По доказанному
mv^Mvenh\ v - 1,2, . . . (22)
При v->oo имеем Mv-^max|rr t(г) |, mv -» min | rn (г) |, hv-->h(E, F). Пере- ходя к пределу в (22), получаем утверждение леммы 1.
З а м е ч а н и е 1. По существу доказано следующее, несколько более сильное, утверждение: если (£, F) — конденсатор и тах|гп(г)1 « < М < + оо,
z£dE
то min 1 rn (z) \ <С Memh^E» F), г<?£ т — число полюсов рациональной функции гп zedF
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 647
s дополнении к множеству Е. Это утверждение позволяет оценивать ап(Е, F) для произвольных замкнутых множеств Е, F. Приведем простейший пример.
Пусть ТР = (г: | z | = р}, Р > О, Е•= т * F = ^ (J т %, / ?х< 7? < #3; тогда
In — l n ^ -
( rn( g , F ) < e x p ( « R' ^ *
5. Теорема Уолша. Доказательство равенства (12)
Следующая теорема принадлежит Уолшу (ср. [2], § 8.7, теорема 9; мы используем принятые выше термины и несколько видоизменяем формулировку теоремы; в этой форме ее утверждение инвариантно относительно дробно-линей
ного преобразования плоскости S и требование ограниченности области D не существенно).
Пусть (Е0, F0)—правильный конденсатор, h0 = h(E0, FQ), D0 =
= S\(E0 (J FQ), функция H0(z) непрерывна в D0, гармонична в D0, H0(z) = 0, z£dE0, H0(z)= 1, z£dF0. Существует последовательность рациональных функций wn (порядок wn равен п), все нули которых принадлежат множе
ству дЕ0, а все полюсы — множеству dF0, такая, что
п
lim YI Wn (z) | = eh°"°iz), z e D0. (23)
М-ЮО
Сходимость в (23) равномерная внутри D0. Немедленным следствием этой теоремы является
Л е м м а 2. Пусть (Е, F) — произвольный конденсатор, h=h(E, F)<^-{-oo, s ^> 0 — любое. Для любого п^>N (г) = N (г, Е, F) существует рациональ
ная функция wn порядка п такая, что
min {\w„ (z)\, z G F] „l h 0^
a(wn, E, F) = "У \ ' >en{h~£). (24)
max { \ wn(z) l, г £E)
Действительно, фиксируем 6^>0 и рассмотрим правильный конденсатор (Е0, F0) такой, что Е0 Z) E, F0 ZDF, h0^h—б (h0, D0, H0 имеют тот же смысл, что и выше). Положим Гр = {z £ D0: Н0 (z) = р}, р "> 0; пусть wnt
л = 1, 2, . . . , —последовательность рациональных функций, фигурирующих в теореме Уолша. Из соотношения (23) вытекает, что для п^>п(Ь) справед
ливы неравенства
\wn(z)\<:e«h-b)-*\ ZGIY, |шя(*)| >**<*-*> u-*>, ze'lV-e;
учитывая расположение нулей и полюсов рациональных функций wn и приме
няя в первом случае принцип максимума, во втором—принцип минимума модуля аналитических функций, убеждаемся в том, что те же неравенства
справедливы для z£E и z£F соответственно. Тем самым, o(wn9'E, F)>e"(i-6)(i-46);
если б = , отсюда следует (24) для n^>N(е). Лемма 2 доказана.
1 +4Я
Из леммы 2 вытекает соотношение:
lim Yon(E, F)>eh{E'F).
n-юо п
С другой стороны, Yan{E, F)<^eh{E,F) (оценка (И)) при любом п\ тем самым,
ШПу<Уп(Е, F)^eh{E'F).
п
Следовательно, Y°n{E, F) имеет предел* при п—>ос, и справедливо равенство (12). Теорема 1 доказана полностью.
З а м е ч а н и е 2. Равенство (12) приводит к следующей характеристике
МОДУЛЯ конденсатора**:
h(EtF) = Xm l n C T"( £'f ). (25)
tt-ххэ П
Эта характеристика может оказаться удобной для доказательства некото
рых свойств модуля конденсатора. В качестве иллюстрации докажем одно утверждение, вытекающее также из принципа круговой симметризации (см. [10]).
Пусть (£, F) — произвольный конденсатор. Положим Е* = {— | г |: г £ £ } , F* = {\z\: z£F}\ множества Е* и F* являются соответственно круговыми проекциями Е и F на левую и правую (относительно центра проекции — точки 0) части действительной прямой.
Г. h{E,F)^h(E\F*).
Для доказательства рассмотрим произвольную рациональную функцию / ч ( z - a i ) - . .. ( z - a , )
М*) = ао~ ;г7 : ;г7 ' Z' m<n>
(2 — Pi) . . . (Z — Pm)
и положим
( z + ' l a x l ) . . . (z + Ы )
^ ( z ) = fl0 ( z - I P i l ) . . . (z-|-Pm|)
Имеем: I z—a* | > | | г | — | a* 11, | z—$k \ < \ * \ + \ % |; поэтому max [гя(г) | >
> max |r*n(z)|. Аналогично, | z — &k|< |zj + | &k\, |z — P&| > | Iz| — | M | ;
z£E*
* Существование предела l / " ^ при п-^оо нетрудно доказать непосредственно.
** Эту характеристику можно переформулировать в терминах логарифмических по
тенциалов точечных зарядов.
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 649
тем самкм, min | гп (г) | <; min | rn (z) |. Для любой гп мы построили г*п такую,
z£F z£F*
что o(rn, E, F)^a(rn, Е*, F*); следовательно, ап(Е9 F)^an(E*9 F*) при лю
бом п и утверждение 1° вытекает из равенства (25).
Частными случаями 1° являются следующие утверждения*.
2°. Л е м м а Т е й х м ю л л е р а . Если континуум Е содержит точки z = •— 1 и z = 0, а континуум F — точки г = а и z = оо, то h(E, F)^
<ft([-.1,0], [|fl|, +°o]).
3°. Если E, F — континуумы, каждый из которых имеет непустое пере
сечение с окружностями \z\ = р1 и \z\ = р2, 0<Ср1<СР2<С+ °°» то h (£> ^ ) ^
< А ( [ — ?2,—Pi], [Pi, Pal).
Заметим, что столь же простое доказательство приведенных утверждений может быть дано на основе характеристики модуля конденсатора, полученной в [8] (см. [8], п. 6, доказательство леммы Тейхмюллера).
6. Четвертая задача Е. И. Золотарева для произвольного конденсатора
Задача IV в [1] сформулирована как задача о наименьшем отклонении от нуля:
An==K(k) = \nf тях\гп(х)\, b(k) = [—l,—k][J[k, 1], 0 < £ < 1 , (26)
где inf берется в классе всех действительных рациональных функций гП9 удов
летворяющих условиям:
rn(xX — l,xe[—l,—k)\ rn(x)>l, x£[k, 1]. (27) Экстремальная задача (26)—(27) по существу совпадает с задачей о наи
лучшем приближении функции sgnx, x£A(k), посредством действительных рациональных функций гп:
Ln = Ln (k) = inf max | sgn x — rn (x) \
A — 1
(CM. [11], стр. 319—320); очевидно, Ln = — . E. И. Золотарев нашел точные значения An (и, тем самым, Ln) при любом п, выразив их через эллиптические функции; соответствующие формулы по своему характеру ана
логичны формуле (8). Н. И. Ахиезер сформулировал теоремы Золотарева (как теоремы о наилучшем приближении sgnx, x£A(k)) в параметрической форме и дал новое их доказательство [12]. Он же отметил, что III и IV задачи Е. И. Золотарева эквивалентны.
Мы обобщим четвертую задачу Е. И. Золотарева как задачу о наилуч
шем приближении. Пусть (£, F) — произвольный конденсатор; рассмотрим функцию X(z)9 z£E (J F: X(z) = 0, z£E, X(z) = l, z£F. Положим
pn = pn(E, F) = inf max \K(z)—rn(z) I;
{rn\zeE{]F
* Надо использовать также свойство монотонности модуля конденсатора (если EtdEz, Fx dF2, то h (£*!, Fx) ^ h(E2, F2)), которое, кстати, тоже является очевидным следствием равенства (25).
нижняя грань берется в классе всех рациональных функций гп порядка не выше п (без каких-либо ограничений на расположение полюсов).
Т е о р е м а 2. Для любого конденсатора (Я, F) имеем:
--h(E, F)
lim Ypn(E, F)=e 2 , (28)
где h(E, F) — модуль (£, F).
Вычисляя модуль для случая, рассмотренного Е. И. Золотаревым, полу
чаем формулу (по существу содержащуюся в [4]) lim yLn(k) = ехр — я — .
Соотношение (28) можно дополнить следующим неравенством, справедли
вым при любом п:
Pn(E,F)>±e 2 . (29)
Для доказательства (28) и (29) установим связь между рп =рп(Е, F) и ап = ап(Е, F). Рассмотрим произвольную рациональную функцию гпф0.
_ L Положим о(гп) = о(гп, Е, F) и нормируем гп условием max) rn(z)\ = а 2 (г„);
«г rn (z)
тогда min I гп (г) I = а (гп). Пусть sn (г) = —; очевидно, sn — рациональ-
zeF rn (z) +1
ная функция порядка не выше п. Имеем:
_ i_
(у 2 ( О 1
\Ш\< r
£^ = - r -
J>
гб £ ,
1 - а 2(г„) а2 ( гя) - 1 1
'«(*) + •
1 — Sn(z)\= * < - Т — " - ' Z€F- I г„ (z) + 1 | ±-
°* (гп) - 1
Следовательно,
p(sn)= max | Л, (г) — sf t(z)|< — , 1
2 6 ^ U ^ —
откуда
Р» < inf - j - ^ = т ^ — • (30)
{ М а2 (гЛ)-1 а» - 1
Зададимся теперь произвольной рациональной функцией s„ (порядка <^/г)
sn (z)
и положим гп (г) = —. Имеем:
! -sn (z)
| г „ ( 2 ) К - ^ - , г б £ ; 1г„(г)1> ^ ' ^ , z*F.
1 - P ( s „ ) P W
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 651
'Следовательно, с> (/*„)>( —) и
9 Ы > — > -т •
°2( 'я) + 1 о%+1 Тем самым
Рп > ~г ' > у ап
Объединяя (30) и (31), получаем
-Г— <?п<~г}—> Vn>0.
Равенство (28) следует из (12) и (32), оценка (29) —из (И) и (31).
7. Об одной теореме единственности
Пусть К — замкнутое множество положительной емкости, Q — область, не пересекающаяся с множеством /С; предположим, что К принадлежит одной из связных компонент дополнения к Q. Положим /i(/C, Q) = ini h(E, F), где нижняя грань берется в классе всех конденсаторов (Е, F) таких, что дЕ (Z /С, dFd&- В случае, когда К — континуум со связным дополнением, Q—жор- данова область, К П Q = 0 (тогда (/С, Q) — конденсатор) имеем: h (/С, Q) =
= h(K, й) = In р, где р — риманов модуль области D = S\(K (J £2).
Пусть С (/С) — пространство непрерывных на К функций с нормой )/|| = max[/(z)|; через A(Q) обозначим совокупность всех функций, анаЛИ- тических в области Q.
Т е о р е м а 3. Пусть функции f£C(K) и f£A(Q) таковы, что сущест
вует последовательность рациональных функций гп, п=1,2, . . . , со сле
дующими свойствами:
а) гП9 п = 1, 2, . . . , равномерно сходится на К к функции /, причем
Ito \\f-rnf<e-m'Q); (33)
rt-ЮО
б) гп, п = 1, 2, . . . , равномерно сходится внутри Q к функции f.
Тогда, если /(z) = 0, z(] /С, mo f (г) = 0, z£ й.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Значение верхнего предела, фигурирующего в (33), обозначим через q\ пусть ^таково, что q<^q1<^e-h{K^\ Фиксируем е > 0 , выбрав его столь малым, чтобы цЛ • eh(K> Q)+8 = q2<ZU пусть (Е, F) — кон
денсатор такой, что dEczK, -dFaQ, h(E, F)<^h(/(, й) + е. Так как ,/ (г) ЕЕ 0, г £ К, из неравенства (33) получаем:
т а х | гя( 2 ) | < | | гя| | < й , n>N. (34) (31)
(32)
Предположим, что / ( г ) ^ 0 , z£Q; тогда функция /имеет на множестве OF лишь конечное число нулей. Обозначим их через гъ . . . , zv (каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность). Рассмотрим рациональную функцию
rn-\-v (*) = (г-%) . . . (г—г)
ее порядок не превосходит п + v. Последовательность rn + v, п = 1, 2, . . . , равномерно сходится на <ЗР к функции
Г(г) = ^(Z)
(z—zj) . . . ( z - zv)
не обращающейся в нуль на д/7; поэтому
lim min | r«+v (2) | = min | f* (z) I = [i > 0. (35) С другой стороны, из (34) следует неравенство
max | Гп+v (z) |<rf~v- q", n > N,
zedE
где d^>0 — расстояние между множествами дЕ и dF. Применяя к rn+v
лемму 1 (в форме, приведенной в замечании 1), получаем
Vn = min\r;+V (z)\<<Tv • qle^^'^Cql n>N,
zedF
где С не зависит от п. Следовательно,
lim- |хя = (1 = 0, (36)
и мы получили противоречие (ср. (35) и (36)). Теорема доказана.
Условие (33) в теореме 3 сколько-нибудь существенно ослабить нельзя.
Покажем это на простом примере. Пусть К = {z: \z | <^ 1), Q = {z: | z | > p }v
р > 1; тогда e~h{K' Q) = —. Последовательность rn(z) = — - — , п= 1, 2,...,
Р г^+р"
1
— 1
а) равномерно сходится к /(z) = 0 на /С, причем lim||r/l||n = —, б) равно-
п-+оо р
мерно сходится к f{z) = 1 внутри Q.
Интересно отметить, что как в случае К = {z: \z\^ 1}, Q= {г: |z|^>o}r, так и в случае К = {z: \z\ = 1}, Q = {z: p < | z | < p + e) (e>0 произвольно- мало) • условие на скорость сходимости гп в теореме 3 одно и то же.
З а м е ч а н и е 3. Пусть К—континуум (не сводящийся к точке), Q — область такая, что К f).Q = 09 К П &Ч= 0 -
В этом случае h (К, Й) = 0. Действительно, пусть dx и d2 — диаметры К и Q соответственно. Фиксируем число d, 0 < d < m i n (—, — j , и точку
£ £ / ( Г) й- Пусть б > 0 произвольно мало (6<d). Выберем точки г' и г" в Q так, что г' принадлежит б-окрестности точки £, a z " лежит вне ее d-окрест- ности; соединим эти точки жордановой дугой F CZQ. Континуум К и дуга F имеют непустое пересечение с каждой из окружностей: \z — £ | = б и
О задачах Е. И. Золотарева, связанных с рациональными функциями 653
\г—£|=d. Применяя утверждение 3° п. 5, получаем: h(/(, й)<^
<7i([—d,—5], [6, d]). Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при б —> 0, откуда следует наше утверждение.
При h (Ку Q) = 0 заключение теоремы 3 можно усилить (не меняя форму неравенства (33)). Из теоремы 3 следует, что в этом случае функция / един
ственным образом определяет функцию f; точнее, если наряду с последо
вательностью гп, п = 1, 2, . . . , удовлетворяющей условиям а), б) теоремы 3, рассмотреть любую другую последовательность рациональных функций sn, л =1,2, . . . (порядок sn не превосходит п), удовлетворяющую условию
lim ||/ — SrtH" <C 1 и равномерно сходящуюся внутри Q, то с необходимо-
л->оо
стью lim sn (z) --= f (z), z£Q.
n->oo
Обозначим через Л* (К, Q) совокупность всех функций / £ С (/С), для каж
дой из которых существует последовательность рациональных функций гп, п = 1,2, . . . , сходящаяся к ней на К со скоростью геометрической про-
i_
грессии: lim ] | / — гп\\п <С 1 и равномерно сходящаяся внутри Q (к* некоторой
д->эо
функции / б A(Q)). Сопоставляя функции / б А\К, Q) функцию а(/) = J^A (Q), получаем (однозначное) отображение а: Л* (/(, Q)->A(Q). Отметим следую
щие свойства этого отображения:
1°. Если fug принадлежат А* (К, Q), то XJ + k2g (А,х, Х2 — комплекс
ные числа) и / • g также принадлежат А* (К, £2), причем a (KJ + К^) =
= V (/) + V (g), « (/ • S) = « (/) * « (§)•
2°. Пусть £—какая-либо точка, принадлежащая /СП^>^Ф—функция, аналитическая в некоторой окрестности U точки £. ЯСУШ /£Л*(/С, й) а /(г) = ф(г), z e / С П ^ ^ «(/)(*) = ф(*). ^ б ^ П ^ .
Свойство 1° очевидно; свойство 2° вытекает из теоремы 3 в усиленной форме, указанной выше (заметим, что если а — открытый круг с центром в точке £ такой, что eaU, то h(К П #» Q П ^ ^ О И существует после
довательность полиномов ря, п = 1, 2, . . . , сходящаяся на а к функции <р так, что
i_
"Пт [max|cp(z) — рп(г)\]п < 1).
Отображение а определяет естественное продолжение функции f(z), z£K, в область Q (обобщенное аналитическое продолжение функции /); Л*(/(, Q)—
класс функций /£С(К), допускающих такое продолжение.
Несколько видоизменяя данные выше определения, можно расширить рамки обобщенного аналитического продолжения, введенного в работе [5]
(подчеркнем, что континуум К может не иметь внутренних точек).
(Поступила в редакцию 16/ХП 1968 г.)
Литература
1. Е. И. З о л о т а р е в , Собрание сочинений, т. II, Москва, Изд-во АН СССР, 1932.
2. Дж. Л. У о л ш, Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в- комплексной области, Москва, ИЛ, 1961.
3. Г. М. Г о л у з и ;н, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Мо
сква, изд-во («Наука», 1966.
4. А. А. Г о н ч а р , Оценки роста рациональных функций и некоторые их приложения,.
Матем. сб., 72 (114) (1967), 489—503.
5. А. А. Г о н ч а р , Об обобщенном аналитическом продолжении, Матем. сб., 76 (118) (1968), 135—146.
6. Г. П о л н а и Г. С е г е, Изопериметрические неравенства в математической физике,, Москва, Физматгиз, 1962.
7. Н. С. Л а н д к о ф, Основы современной теории потенциала, Москва, изд-во «Нау
ка», 1966.
8. Т. B a g b y , The modulus of a plane condenser, J. Math, and Mech., 17, № 4 (1967), 315—329.
П. И. П. Н а т а н с о н , Конструктивная теория функций, Москва, Гостехиздат, 1949.
10. Дж. Д ж е н к и н с , Однолистные функции и конформные отображения, Москва,, ИЛ, 1962.
i l . H. И. А х и е з е р , Лекции по теории аппроксимации, Москва, изд-во «Наука», 1965.
12. Н. И. А х и е з е р , Об одной задаче Е. И. Золотарева, Изв. АН СССР, серия матем.
(1929), 919—931.
