уравнения, 2002, том 38, номер 1, 98–101

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. А. Кулиев, Многомерная обратная краевая задача для линейно- го гиперболического уравнения в ограниченной области, Дифференц.

уравнения, 2002, том 38, номер 1, 98–101

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:25:59

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2002, том 38, 1, с. 98-101

УДК 517.956.32

У Р А В Н Е Н И Я С Ч А С Т Н Ы М И П Р О И З В О Д Н Ы М И

М Н О Г О М Е Р Н А Я О Б Р А Т Н А Я К Р А Е В А Я З А Д А Ч А Д Л Я ЛИНЕЙНОГО Г И П Е Р Б О Л И Ч Е С К О Г О У Р А В Н Е Н И Я

В ОГРАНИЧЕННОЙ О Б Л А С Т И

© 2002 г, М . А . Кулиев

Под обратной краевой задачей для дифференциального уравнения понимается задача, в которой наряду с решением данного дифференциального уравнения ищутся его коэффициенты и правая часть по некоторым дополнительным данным.

В настоящей работе исследуется многомерная обратная краевая задача для линейного ги­

перболического уравнения в ограниченной области. Предполагается, что неизвестные коэффи­

циенты и правая часть уравнения зависят только от аргумента t.

Рассматривается задача

д²и(х, t)/dt² - Lu(x, t) = c(t)d(x, t) ди(х, t)/dt + a{t)b{x, t)u(x, t) + f{t)F(x, t),

_ _ (1) ( ж , * ) б В^т = й х [ 0 Д

U(x, 0) = <p(x), du{x, t)/dt\^t=0 = ф{х), re G ft, (2)

1 7 ( М ) |^{Г т}= 0 , Г^т = 5 х ( 0 , Т ) , (3)

U(x^ht) = hi(t) (i = 1,2,3), t e [0,T], (4)

где 0 < T < +oo; f) - произвольная ограниченная n-мерная область, S - граница области fi, Гт - боковая поверхность цилиндра DT, Xi (г = 1,2,3) - различные фиксированные точки в fi, а оператор L имеет вид

п

Lu = ^2 (d/dxi)(dij(x) ди/dxj) — К(х)и,

причем всюду на fi функции dtj(x) = dji(x), К(х) > 0 измеримы и ограничены, Y17j=i ^aij(^x)€i€j — flY^i (A* = c o n st > 0), & - любые действительные числа; <p(x), ф(х), d(x,t), b(x,t), F(x,t) и hi(t) (i = 1,2,3) - заданные, a a(£), c(t), / ( £ ) , u(x,t) - искомые функции.

Определение. Четверку функций { n ( x , t ) , a ( t ) , c ( t ) , / ( t ) } назовем классическим решени­

ем задачи (1)-(4), если она удовлетворяет следующим условиям: 1) функция u(x,t) дважды непрерывно дифференцируема в DT', 2) функции a(t), с(£), f(t) непрерывны на [0,Г];

3) условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном классическом смысле.

Введем следующие пространства.

1. Обозначим через В ^ ¹ совокупность всех функций вида u(x,t) = YlkLi^uk(t)^vk{x), рассматриваемых в DT, ДЛЯ которых функции Uk(t) (Л: = 1,2,...) непрерывно дифференци­

руемы на [0, Г] и

г оо . 1 / 2 ^f оо . 1 / 2

^ k=i

—

^j ч = 1 — ^j

здесь а > 1; — А^, щ{х) = 1,2,...) - собственные значения и соответствующие ортонор- мированные в L²(P) обобщенные собственные функции первой однородной краевой задачи для оператора L в (1. Норму в этом множестве определим так: ||u|| — JT(U).

МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Известно, что все эти пространства банаховы.

2. Через Е^т обозначим множество # { ^^{2 ] + 3}' [ n / 2 ] + 2 х (С[0,Т])² с нормой ||(гх,а,с,/)||я^г -

= |Н|в[п/2]+з, [п/2]+2 + ||а||с[о,г] + ||с||с[о,Т] + ||/|1с[о,Т]- Очевидно, что Ет -банахово пространство.

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) функции a,ij(x) ( i , i = T i n ) [ п / 2 ] + 2 раза, а функция К(х) [п/2] + 1 раз непрерывно дифференцируемы на Л;

2) S в

3) собственные функции v^k(x) оператора L при граничном условии v^k(x)\s = О (А: = 1,2,...) [п/2] + 3 раза непрерывно дифференцируемы на

4) функция ф ) е W[2n/2]+Z{Q) и ф ) \ ³ = Ь ф ) \ ³ = ... = £["/4l+V(*)ls = 0, а функция ф(х) £

wi

^n/2]+2

(n)

и ф(х)\³ = ^{Ь ф ) \ 3} = . . . = 1^²У^ф(х)\³ = 0;

5) функция F(x,t)ewW*^]+2fi(Dr) и F(x,t)\r^T =LF(x,t)\r^T = . . . = Z > +²> /⁴l F ( x , < ) |^{Г т} = 0 ; 6) функции (г = 1,2,3) дважды непрерывно дифференцируемы на [0,Т] ^ 0 V* G [0,31 и /ц(0) = ф г ) , fcj(0) = ф г ) (t = 1,2,3);

7) tfb(x,t)/dx?---dx«» 6 С ( А т ) (г = 0, [п/2] + 2) и &>b(x,t)/dx^ • • • 0а£» = 0 (t € [0,Т], х £ S; i = 0,2[(п + 2)/4]); _

8) &d{x,t)ldx1l.--dx°* € С ( Д г ) (» = 0,[п/2]+2) и 0 » d ( a : , г ) / ^ ?¹ • • • 0а£» = 0 (te[0,Т], а: € 5 ; j = 0,2[(п + 2)/4] - 1);

&(s

^b

*)M*)

d{x^x,t)h\{t) F(x^ut) 9 ) Д ( « ) = b(x²,t)h²(t) d(x²,t)h'²(t) F(x²,t)

b(x³,t)h³(t) d(x³,t)h'³(t) F(x³,t)

При выполнении условий l)-9), применяя метод Фурье и учитывая условия (4), решение задачи (1)-(4) сведем к решению следующей системы интегро-дифференциальных уравнений:

фо W € [0,Г].

u(x,t) = Y^VkCos\ktv^k(x)+ ^-tsin\^ktv^k(x) + Y]— / / c ( r) d( f , r )

* = i o n

^ ( e , r )

+

+ a(T)6(fT)ti(e,r) + / ( r ) F ( e , r ) sin A^fe(£ - T)i/f c(£) d£ dr • i/^fc(a?),

1 ³ 1 ³

j t = i

Д(*)

1

/ ( * ) =

д 7 ^ Е

а, с, / ; t),

где Aij(t) - алгебраическое дополнение элемента a;j определителя A(t), Ф*(и, a, с, / ; t) = h"(t) + ^ \\ip^k cos A^i г^(ж^г) + ] Г A*^* sin A^i ^ ( ж^г) +

(5)

(6)

ifc=i

+ £ / / ^ [ « ^ ) 4 r )

+ c( r ) d K , T ) ^ P +

<9r

0 n

+ /№Xe,r)J sinA^{f e}(i - r)i/^fc(OderfT • u^k{xi) (i = 1,2,3),

= У

^ с е м о ^ ,

Фк = f

^{ф((Н(о de (* =}

1,2,...).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 38 № 1 2002

100 КУЛИЕВ Справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены условия 1)~9). Тогда при достаточно малых значениях Т задача

(1)-(4)

имеет единственное классическое решение.

Доказательство. Запишем систему (5), (6) в виде z — G[z), где z = {и{х, t),a(t), c(t), /(£)}, G(z) = {Gi(z),G2{z),Gs(z),G±(z)}, причем компоненты G i ( u , a , c , / ) (г = 1,4) оператора G(n, а, с, / ) равны правым частям уравнений (5), (6) соответственно. Рассмотрим оператор G(u,a,c,f) в шаре # я ( | | г | | я^г < R) пространства Ет, где

г з 4 ( | | ^ ) | 1^ж[ п / 2^{] +}з^{( п )} + \\ФШ^ш[п/2)+2^(п)) + ( m m \A(t)\) - i

wjr^W

¹ V<?<T'

, oo n 1/2

+ £ М Ж< ) А 1 П /4 ]+1) 2 ( 2 l | | ^ ( x ) | lw[ n / 41 + 2 ( n ) +

^ k=l ' ²

y^/\\hUt)\\c[o,T^] +

i=l

•Р2||^(*)11иг^/4]+2^{( П )}) £ \\A^ij(t)\\^cl0)Ti=M<R^t

M⁼¹

где Q > 0 (1 = 1,2) - некоторые постоянные.

Тогда для любого ( u , а , с , / ) Е KR ИЗ уравнений (5), (6), применяя неравенство Коши- Буняковского и учитывая условия 1)-9), будем иметь

[n/2]+3,[n/2]+2

< ||И^(а;,«)|| [ „ / 2 ]⁺3 , [ n / 2 ] + 2 +

2,Г D2ST

1

2Т j J[Ll⁺¹Q(u(t,T),a(T),c(T),f(T))}²dtdT

при n = 4r, 4r + l,

о п т

+ < 2Т

/ / { Ё ч 1

п о 4,1 = 1

( 0 { ( 5 Г^{+ 1}д К е , т ) , а ( т ) , с ( т ) , / ( г ) ) / ^ ) х х (Ш+ЪЫЬг),о(т),с(т),f(T))/dtj)} +

(7)

+

+

tf(0[Lj;⁺¹Q(u(£, т), о(г), с(т),

/(г))]

²

1

^{d£ dr} при п = 4г + 2,4г + 3,

ЦО<(м,о,с,/)||с[о,г| < l|Wi(«»*)llc[o,ri +

/ оо Тг » i 2 4 I / 2

v^||^-i(t)||c[o,r]|^y

Ui

^n/4]+2

y

^Q(U(^r),a(T),c(r),/(r))deJ , t = 2,3,4, (8)

k=l n о

где W\{x,t) = ^2™⁼¹<pk cos\^ktv^k(x) + Y2T=i№k/Xk)s'm\^ktv^k(x),

^ 3 г oo

W R» (^{R R}' * ) ⁼

A T T T X ^ ^ -

¹

^

h^fj{г) + ^Ы^кЩcosX^kt + ^^ksinX^kt)u^k(xj)

/e=l

, i = 2,3,4,

1 ⁰ Г⁰⁰ "| 1/2

^ W = ^ = ^ E ^ W { E ^ ^ ) / A t

n / 4 ] + 1

)

²

]

, i = 1,2,3,

Q(ufo t ) , a(r), c(r), /(r)) = c(T)d(e, т) т)/0т + а(т)6(£, т)«(£, г) + /(r)F(£, г).

Из (7), (8) получаем

(U, а, С, / ) || [ п / 2 ] + 3 , [ п / 2 ] + 2 <

МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 101

< | | W i ( # , i ) | |B[ „ / 2 ] + 3 , [ n / 2 ] + 2 + V2Tci\\Q(u(^T),a(T),c(T),f(T))\\w[n/2]+2,o(D у (9)

\\Gi(u,a,c,f)\\^c[0>T] <\\Wi(x,t)\\^C[o,T\ +

.+ л^а||^-1(*)|1с[о,п110(«(€, т), а(т), с(т), /('^r))llwiY?^+2,0(^)' ^{i = 2}'³'⁴' ^{( 1 0 )} где Сг > 0 (г = 1,4) — некоторые постоянные.

Из работы [1] следует, что при условиях данной теоремы ряд YlT=i(^k(^x)/Х^^А^¹)² при х Е Ti равномерно сходится.

Таким образом, из (9), (10) получаем, что при любом п и любых (м,а,с, / ) Е Ет

4

\\G(u,a,c,f)\\^ET < ||Wi(ar,t)||^B[n/2]⁺3,[„/a]⁺2

+ ^ 11^(М)|1с[од1 +

+ V T C⁵| | Q ( u ( e , T ) , o ( T ) , c ( T ) , / ( T ) ) | |^{w [}„^{/ 2 ] + 2}, o , (11)

где С5 - некоторая постоянная. Пользуясь теоремами вложения С Л . Соболева и структурой пространства

в$?

^]+3

'

^[п/2]+2

\

^{д л я} любых и € В ^^{2 ] + 3}'[ п / 2 ] + 2 и t€ [0,Т] имеем

||^^(ггг, - - ^^^"«Ц^С^) < СбИ^П^/^^з.^/^ч-^ (г = 0,[п/2]+3; а⁰ = 0,1), (12) где Се - некоторая постоянная, не зависящая от и и t. Теперь с учетом оценки (12) из (11) получаем \ / ( м , а , с , / ) Е KR

4

\\G(u,a,cJ)\\^ET < | | ^ 1 ( я ;^у« ) | |^{в [}» / 2 ]⁺з , [ » / 2 ]⁺2 + £ * ) | | ^С [ о , г ] + ^ с д , (13)

2'Т г=2

где CR - некоторое число, зависящее от R.

Далее, аналогично (13) для любых (и, а, с, / ) , (й, а, с, / ) Е if# имеем ||G(w, а, с , / ) — - G(tX, а, с, / ) | |^{Е т} < Сч/Г||(5(п, а, с, / ) - Q(fi, а, с, / ) | | ^[V2]+2,o^^{D r}j, где С - некоторое постоян­

ное число. Отсюда, пользуясь оценкой (12) (в которой и нужно заменить на и — й), получаем, что для любых (гд, а, с, / ) , (й, а, с, / ) Е i f я

||С(гх,а,с,/) - С ( й , й , с , / ) | | я^т <

< c^RVf[\\u - й | |^в[ п / 2 ] + з , [ п / 2 ] + 2

+ ||а - а||

с [ 0 ) Т

] +

\\с - с\\^С[о⁹т\

+ II/ ~

/11с[о,т]], (^{1 4}) где CR > 0 - некоторое число, зависящее от R. Из неравенств (13) и (14) видно, что при достаточно малых значениях Т оператор G является оператором сжатия в шаре KR И, сле­

довательно, имеет в этом шаре единственную неподвижную точку ( {и(х, £), а(£), ca(t), fa{t)} ) . Легко проверить, что {и(х, £),a(£),са(£), fa(t)} является классическим решением задачи (1)-(4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Шишмарев И.А. // Изв. АН СССР. Сер. мат. I960. Т. 24. С. 883-896.

2. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференци­

альных уравнений. Новосибирск, 1969.

3. Намазов Г.К. Обратные задачи теории уравнений математической физики. Баку, 1984.

4. Кулиев М.А. Многомерная обратная задача для уравнения гиперболического типа в конечной обла­

сти. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений с частными производными: Тем. сб.

науч. тр. Баку, 1987. С. 79-83.

5. Худавердиев К.И. / / Уч. зап. АГУ Сер. физ.-мат. наук. Баку, 1972. № 1. С. 3-28.

Бакинский государственный университет Поступила в редакцию 23.09.1999 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 38 № 1 2002