Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Е. А. Горин, Несколько примеров, связанных с ал- гебраическими уравнениями в алгебрах функций, Докл. АН СССР, 1971, том 200, номер 2, 273–276
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 10:26:47
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р
1971. Том 200, № 2
УДК 5 1 9 . 4 : 5 1 7 : 5 1 3 . 8 8 + 5 1 7 . 5 4 МАТЕМАТИКА
Е. А. ГОРИН
НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ, СВЯЗАННЫХ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ В АЛГЕБРАХ ФУНКЦИЙ
(Представлено академиком П. С. Александровым 18 III 1971)
Пусть А — полупростая коммутативная банахова алгебра с единицей над полем С комплексных чисел, реализованная в соответствии с гельфан- довским представлением как алгебра непрерывных функций на компакте X ее максимальных идеалов. Всюду ниже компакт X предполагается связ
ным. Через %п{А) обозначается совокупность уравнений вида
wn + а,юп-' + ... + ап = 0 (1)
с коэффициентами cit^A, 1 ^ i < ^ и о б р а т и м ы м д и с к р и м и н а н т о м . В дальнейшем, говоря об уравнениях, мы будем иметь в виду урав
нения класса 91П(Л). В случае А = С(Х) обозначение для класса сокра
щается до 9СП(Х).
Уравнение класса %п(А) называется р а з р е ш и м ы м , если оно обла
дает п различными решениями, принадлежащими А. При этом решения
WiiiWz р а з л и ч н ы , если wt (х) ф w2 (х) при всех Ж Е ! .
Вопрос о разрешимости уравнений класса 9tn(X) подробно рассмотрен в (1) , где он сводится к чисто топологическому при помощи простой кон
струкции (которую здесь удобно воспроизвести).
Обозначим через Вп совокупность полиномов степени п с постоянными комплексными коэффициентами, отличным от 0 дискриминантом и со стар
шим коэффициентом 1. Множество Вп наделяется топологией, индуциро
ванной естественным вложением в С". Далее, Еп — совокупность упорядо
ченных наборов ( A i , . . . , Ап) комплексных чисел, для которых Аг Ф Aj при i ф /; это множество также наделяется топологией, индуцированной вло
жением в Сп. Имеется накрывающее отображение р: Еп^> Вщ сопоставляю
щее точке ( A i , . . . , Ar. ) ^ Еп полином Ап + с ц А *- 1 + . . . + ian, корнями ко
торого служат A i , . . . , An.
С каждым уравнением класса 91 п (X) теперь ассоциируется отображе
ние /: Х~+Вщ причем уравнение, соответствующее отображению /, тогда и только тогда разрешимо, когда существует такое отображение g: Х-+Еп>
что диаграмма
Х—± )Р (2)
коммутативна. Мы не будем в дальнейшем различать уравнение класса
%п(Х) с ассоциированным с ним отображением /.
Хорошо известно (см., например, (2) , стр. 102), что если коэффициенты уравнения (1) принадлежат алгебре А и если это уравнение имеет непре
рывное решение, то такое решение само является элементом алгебры.
В частности, если все уравнения класса 9tn(Z) разрешимы, то разре
шимы и все уравнения класса 9 tn( 4 ) . Естественно возникает во
прос относительно обращения этого предложения: верно ли, что из разре
шимости всех уравнений класса %п(А) при некоторой алгебре 'А, простран
ством максимальных идеалов которой служит компакт X, вытекает разре- 275
мнимость всех уравнений класса S tn( X ) ? Хотя мы не знаем полного ответа на этот вопрос, мы покажем, что ответ оказывается отрицательным, если вместо всех уравнений рассматривать уравнения с о т м е ч е н н о й т о ч к о й (см. ниже). Кроме того, ответ оказывается отрицательным в простей
шем классе топологических алгебр функций.
Сформулированный вопрос тесно связан с проблемой гомотопической классификации уравнений класса 9tn, поскольку два гомотопных в 9 tn( X )
уравнения разрешимы одновременно.
По теореме Аренса — Ройдена, каждое двучленное уравнение класса Шп(Х) гомотопно в этом классе двучленному уравнению из %п(А). Отсюда легко следует, что то же верно в отношении общих квадратных уравнений.
Оказывается, что для уравнений степени п = 3 это уже не так. Построение примера основано на следующей лемме, которая является простым следст
вием теоремы Монтеля о нормальности семейства аналитических функций, выпускающих два значения.
Л е м м а 1. Не всякое непрерывное отображение кругового кольца г < |£| < R в комплексную плоскость без двух точек (например, 0 и i) гомотопно в классе таких отображений отображению, задаваемому анали
тической функцией. \
Фактически можно доказать больше: среди «сложных» отображений лишь конечное множество классов содержит аналитические отображения
(вряд ли имеет смысл уточнять формулировку).
П р и м е р 1. Пусть X = {£: 0 < г =^ | £ | ^ i? < со} и 4 —- замкнутая подалгебра в С ( Х ) , состоящая из функций, аналитических внутри X. По лемме 1, имеется непрерывное отображение h компакта X в комплексную плоскость без точек 0 и 1, не гомотопное в этом классе никакому аналити
ческому отображению. Рассмотрим уравнение w(w — 1) (w — h) = 0. По
скольку это уравнение разрешимо, всякое гомотопное ему уравнение также разрешимо. Отсюда легко следует, что предположение о гомотопности этого уравнения некоторому уравнению из %з(А) приводит к противоречию с вы
бором h.
Теперь переходим к построению основных примеров. Фиксируем точку
# о ^ X и точку Ьо ^ Вп. Отображение типа /: ( X , х0) (Вп, Ь0) будем на
зывать уравнением с о т м е ч е н н о й т о ч к о й . Нетрудно показать, что если всякое уравнение класса § tn( X ) с отмеченной точкой разрешимо, то разрешимо и любое уравнение этого класса. Мы увидим, что из одной толь
ко разрешимости всех уравнений класса УЬп(А) с отмеченной точкой, вооб
ще говоря, не следует разрешимость всех уравнений класса § tn( X ) . По
строению примера предшествуют некоторые предложения, представляю
щие, быть может, самостоятельный интерес.
Дискриминант уравнения типа (1) будем обозначать через d. Пусть Hoi (С0) — алгебра функций, голоморфных на многообразии С0 = С \ {0}.
Л е м м а 2. Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат Но1(С0), причем at = 0 и d = 1, то все коэффициенты этого уравнения постоянны.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Переходя, если необходимо, к тг!-листному на
крытию, можем считать, что уравнение разрешимо. Пусть wu ..., wn — набор решений уравнения. По теореме Пикара при i > 2 функции
(Wi — Wi) I (w2 — Wi)
обязаны быть постоянными. Добавляя к этим соотношениям еще два, вы
текающих из условий #1 = 0 и d = 1, получим, что все w{ — константы.
Лемма доказана.
С л е д с т в и е . Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат Но1(С0) и если дискриминант этого уравнения допускает извлечение корня сте
пени п(п — 1), то это уравнение разрешимо.
Действительно, такое уравнение путем замены неизвестного сводится к уравнению, удовлетворяющему условиям леммы 2.
Пусть t > 1 и Kt = {£: t"1 ^ | £ | ^ £}. Обозначим через At замкнутую
подалгебру в C(Kt), состоящую из функций, голоморфных внутри Kit Фик
сируем некоторую точку b0 е Вп.
Л е м м а 3. Для любого п существует такое t0(n), что при t ^ t0(n) разрешимо всякое уравнение./: [Kh 1) -> (Вп, Ь0) класса ЯП( - 4 < ) с d = I.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим противное. Тогда найдется семей
ство неразрешимых уравнений ft: (Ки 1) -> (Вп, Ь0) с £ - > о о , удовлетво
ряющих условиям леммы. Не ограничивая общности, можно дополнитель
но предположить, что ах = 0 для всех уравнений семейства.
Переходя (как в лемме 2) к накрытию и используя теорему Монтеля, мы обнаружим, что семейство нормально. Кроме того, значения ft при
£ = 1 фиксированы, и поэтому наше семейство фактически компактно.
То обстоятельство, что некоторое уравнение ft неразрешимо в точности,
•означает, что при обходе окружности | £ | = 1 происходит нетривиальная перестановка корней (уравнений с числовыми коэффициентами). Так как группа перестановок конечна, мы можем предположить, что для всех урав
нений нашего семейства происходит одна и та же перестановка. Переходя теперь к пределу при t -> оо и используя при этом отмеченную выше ком
пактность, мы обнаружим неразрешимое уравнение класса 9 tn( H o l ( C0) ) с d = 1. Но существование такого объекта противоречит следствию из лем
м ы 2. Доказательство закончено.
Т е о р е м а . Пусть G — группа с конечным числом образующих и ко- печным числом определяющих соотношений.
Тогда существует такой конечный комплекс с отмеченной точкой (X, х0) и такая замкнутая подалгебра А в С(Х), пространством максимальных идеалов которой служит X, что 1) jti(X) = G, 2) всякое уравнение /:
(X, х0) ->- (Вп, Ь0) класса 9&п(А) с d = 1 разрешимо. Если при этом груп
па G не имеет нетривиальных гомоморфизмов в группу Z целых чисел, то разрешимым можно считать любое уравнение класса 9&п(А) с отмеченной точкой.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Заметим, что если G = Z, то в качестве X мож
но использовать Kt с t ^ t0(n), а в качестве А — алгебру Аи В общем слу
чае рассмотрим букет окружностей S{ в количестве, равном числу обра
зующих группы Сг, и, в соответствии со стандартной конструкцией, заклеим их пленками, чтобы получить (двумерный) комплекс с фундаментальной группой G. Рассмотрим далее, такое же количество круговых колец Kt с t ^ t0{n) и отметим на каждом из них единичную окружность. Отож
дествим полученные окружности с окружностями St так, чтобы точки Z = 1 попали в отмеченную точку х0 букета. Полученный комплекс обозна
чим через X. Ясно, что n;i(X) = G. Пусть А — замкнутая подалгебра алгебры С ( Х ) , состоящая из функций, аналитических внутри «полей» Ки Легко видеть, что X совпадает с пространством максимальных идеалов
«алгебры А. Разрешимость уравнений, отмеченных в пункте 2), вытекает из леммы 3. Если дополнительно Hom(G, Z) = 0, то для построенного ком
плекса Н1 (X, Z) = 0, и, следовательно, разрешимы все двучленные урав
нения класса 9tn. В таком случае произвольное уравнение легко приводит
с я к уравнению с d = 1. Теорема доказана.
Вернемся к диаграмме (2). Известно, что фундаментальной группой пространства Вп служит группа В(п) кос Артина из п нитей. Отсюда сле
дует ('), что в случае конечного комплекса X для разрешимости всех урав
нений класса $П( Х ) необходимо и достаточно, чтобы группа tti(X) не имела нетривиальных гомоморфизмов в группу В (п).
П р и м е р 2. Пусть G — коммутант группы В(п), п ^ 5. Группа G не имеет нетривиальных гомоморфизмов в Z и является конечноопределенной группой ('). Используя доказанную теорему, мы получаем пример алгеб
ры Л, в которой разрешимы уравнения класса %п(А) с отмеченной точкой.
Вместе с тем, группа я4( Х ) в данном случае нетривиальна и естественно вложена в В (п). Поэтому, в силу сказанного выше, не все уравнения клас
са %п(Х) разрешимы. Добавим еще, что уравнения класса 9(4(Х) окажутся
разрешимыми, так как при п ^ 4 из Hom(G, Z) = О вытекает отсутствие*
нетривиальных гомоморфизмов вВ(п).
З а м е ч а н и е . Используя вместо леммы 3 лемму 2, нетрудно на том ж е пути указать пример такой т о п о л о г и ч е с к о й алгебры на бесконечном комплексе X, в которой разрешимы в с е у р а в н е н и я классов 3tn, но*
в С(Х) на спектре этой алгебры, вообще говоря, нет разрешимости уравне
ний выше 4-й степени.
Московский государственный университет Поступило
им. М. В. Ломоносова 1 0 I I I 1 9 7 1 ЦИТИРОВАННАЯ Л И Т Е Р А Т У Р А
1 Е. А. Г о р и н , В. Я. Л и н , Матем. сборн., 78, 4, 579 (1969). 2 Л . X ё р м а н д е р, Введение в теорию ф у н к ц и й нескольких к о м п л е к с н ы х п е р е м е н н ы х , М., 1968L
