А. М. Зубков, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, Корни произ- водящих функций и суммы целочисленных случайных ве- личин, Матем. вопр. криптогр., 2020, том 11, выпуск 1, 27–

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. М. Зубков, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, Корни произ- водящих функций и суммы целочисленных случайных ве- личин, Матем. вопр. криптогр., 2020, том 11, выпуск 1, 27–

46

DOI: https://doi.org/10.4213/mvk313

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:17:14

2020 Т. 11 № 1 С. 27–46

УДК 519.212.2 + 519.115 DOI https://doi.org/10.4213/mvk313

Корни производящих функций и суммы целочисленных случайных величин

А. М. Зубков¹, Г. И. Ивченко², Ю. И. Медведев²

1Математический институт им.В.А.Стеклова Российской академии наук,Москва

2Академия криптографии Российской Федерации,Москва

Получено 29.IV.2019 Аннотация. Рассматриваются свойства корней производящих функций целочисленных ограниченных случайных величин и свойства сумм независимых случайных величин со значениями в множествах {0,1} и {0, 1, 2}. Указаны условия сходимости распределений целочисленных ограниченных случайных величин к пуассоновскому и нормальному распределениям в терминах корней производящих функций.

Ключевые слова: целочисленные случайные величины, корни производящих функций, суммы независимых простейших случайных величин, предельные теоремы

The roots of generating functions and sums of integer-valued random variables

A. M. Zubkov¹, G. I. Ivchenko², Yu. I. Medvedev²

1Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences,Moscow

2Academy of Cryptography of the Russian Federation,Moscow

Abstract. Properties of roots of generating functions of integer-valued bounded random variables and properties of sums of independent random variables with values in sets {0, 1} and {0, 1, 2} are studied. Conditions of weak convergence of integer-valued bounded random variables to the Poisson and normal laws in terms of roots of generating functions are presented.

Keywords: integer-valued random variables, roots of probability generating functions, sums of independent simplest random variables, limit theorems

1. Введение. Постановка задачи и предварительные утверждения

Пустьξ — целочисленная случайная величина (с. в.), принимающая значения0,1, . . . , n, иP (z) = Ez^ξ— ее производящая функция (пр. ф.):

P (z) = p₀+p₁z+. . .+p_nzⁿ, p₀, p_n>0. (1) Множество (класс) таких случайных величин обозначим M_n. В на- стоящей работе изучаются способы построения для любой случайной величины ξ ∈ M_n таких конечных линейных комбинаций случайных величин:

ξ+X

k>1

d_kζ_k и X

m>1

c_mξ_m, (2)

что распределения этих сумм совпадают, здесь коэффициентыd_k иc_m

— натуральные числа, величиныξ_m иζ_k независимы, не зависят от ξ и принадлежат классам M₁ и M₂.

Случайные величины из классов M₁ и M₂ будем называть далеепро- стейшими.

Разложения типа (2) можно использовать, например, для оценива- ния моментов случайных величин. Важный частный случай, когда все корни производящей функции P(z) действительные, хорошо изучен, и ему посвящено значительное число публикаций. Много подобных при- меров можно найти в задачах вероятностной комбинаторики: теории случайных размещений, случайных подстановок, случайных разбие- ний конечных множеств и других моделей комбинаторных объектов (см., например, [1,4,8,11]. Ряд других примеров приводится ниже (см.

раздел5).

Значительно меньше изучен случай, когда не все корни действитель- ные. В частности, случай, когда все корни пр. ф. P (z) =Ez^ξ лежат в левой полуплоскостиRez 60, был рассмотрен (в кратком изложении и без доказательств) в [3]. В настоящей работе эти результаты существен- но обобщаются, особенно в отношении нулей производящих функций.

Покажем, что одинаково распределенные суммы вида (2) с d₁ = d₂ =. . .= 0 существуют лишь тогда, когда все корни многочленаP (z) лежат в левой полуплоскостиRez 60. В случаях же, когда многочлен P (z) имеет корни и в правой полуплоскости, существуют одинаково распределенные суммы вида (2) с ненулевыми dm.

Случайную величину ζ =P

k>1dkζk (как и ее производящую функ- циюEz^ζ) будем называтькомпенсатором для ξ.

2. Свойства корней производящих функций

Обозначим корни (нули) многочлена (1) через

z_k =ρ_ke^iϕk, k = 1, . . . , n. (3) Производящую функциюP (z)можно представить в виде

P (z) =

n

Y

k=1

z−zk

1−z_k =

n

Y

k=1

(b_k+a_kz), (4) где a_k= _1−z¹

k, b_k = 1−a_k= _1−z^−zk

k, k = 1, . . . , n.

Если все корни производящей функции лежат на отрицательной по- луоси, то величины a_k =p_k иb_k =q_k можно рассматривать в качестве вероятностей бернуллиевского распределения, а P(z) в этом случае представляет собой производящую функцию обобщенного биномиаль- ного распределения. Если корни могут принимать комплексные значе- ния, то величины a_k иb_k являются комплексными аналогами парамет- ров бернуллиевской схемы. Как будет далее, интересующие нас функ- ционалы от этих параметров являются действительными величинами.

Отметим одно важное свойство величин ak. Назовем величину A_j =

n

X

k=1

a^j_k (5)

j-м корневым функционалом пр. ф. P (z), j = 1,2, . . .

Значение этих величин определяется тем, что характеристическая функция, а следовательно, и моменты (обычный, центральный, фак- ториальный и т. д.) рассматриваемой случайной величины однозначно выражаются через эти корневые функционалы. А именно:

Ee^itξ =P e^it

= exp (

X^∞

j=1

(1−e^it)^j

j Aj

) .

При этом все A_j являются действительными величинами. Это следует из того, что факториальные семиинварианты

κ_[j]= coef_z^j_/j!ω(z), где

ω(z) = lnP (1 +z)

= ln

n

Y

k=1

(1 +a_kz) =

n

X

k=1

∞

X

j=1

(−1)^j−1a^j_k

j z^j =

∞

X

j=1

(−1)^j−1A_j j z^j,

выражаются через корневые функционалы:

κ_[j]= (−1)^j−1(j−1)!A_j, j = 1,2, . . . Очевидно, что и любые функционалы вида

A_j,l =

n

X

k=1

a^j_kb^l_k, j, l = 0,1,2, . . .

также являются действительными величинами и через них также мож- но выразить любые моменты. Так, например, для первых четырех обычных семиинвариантов

κ_m = coef^tm

m! lnP e^t

=

m

X

j=1

S(m, j)κ_[j],

где S(m, j) — числа Стирлинга второго рода, соответствующие фор- мулы имеют вид

κ₁ =Eξ=A_1,0, κ₂ =Dξ=A_1,1,

κ₃ =E(ξ−A₁)³ =A_1,1−2A_2,1, κ₄ =A_1,1−6A_2,2.

Приведем также несколько вспомогательных утверждений о корнях производящих функций.

Лемма 1. 1) В секторе 06|ϕ|< ^π_n пр.ф.P(z) корней не имеет.

2) В секторе 0 6 |ϕ| < _n−l^π пр. ф. P(z) корней кратности l+ 1 не имеет.

3) Хотя бы один корень P (z) расположен в левой полуплоскости Rez 60.

Доказательство. 1. Все слагаемые суммы ImP (z_k) = Xⁿ

j=1p_jρ^j_ksin (jϕ_k) (6) в секторе 0 6 |ϕ| < ^π_n неотрицательны, а последнее слагаемое больше нуля.

2. Корень пр. ф. P (z) кратности l+ 1остается корнем у l-й произ- водной P^(l)(z), которая является многочленом степениn−l, значит, к нему применимо утверждение 1 леммы.

3. Утверждение 3 следует из формулы Виета Xn

k=1Rez_k =−pn−1

p_n .

Лемма 2. Если один из корней пр.ф.P (z)лежит на границе сектора 06|ϕ|6 ^π_n (и имеет видz˜= ˜ρe^iπn),то он однозначно определяетP (z):

P (z) =p₀+p_nzⁿ, p₀ = ρ˜ⁿ

1 + ˜ρⁿ, p_n= 1

1 + ˜ρⁿ. (7) В этом случае ρ˜ =

p0

pn

1/n

, и все корни находятся на окружности радиуса ρ˜: z_k = ˜ρe^iπ(1+2k)/n,k = 0,1, . . . , n−1.

Доказательство. Из (6) следует, что соотношение ImP (˜z) = 0

возможно лишь в случае, когда p₁ =p₂ =. . .=pn−1 = 0, а из условия ReP (˜z) =

n

X

j=0

p_jρ˜^jcos jπ

n

= 0

следует, что p0−pnρ˜ⁿ = 0. Отсюда однозначно определяются как ука- занные в (7) значения коэффициентов, так и вид корней.

Следствие. В условиях леммы 2 справедливо представление ξ=nξ₁, ξ₁ ∈M₁.

Отметим, что (см. [14]) число корней производящей функции (1) в правой полуплоскости в секторе |Argz|6α (α∈(0, π/2)) не превосхо- дит 2αn/π.

Лемма 3. С.в.ξ является решетчатой с шагомd >1тогда и только тогда,когда множество всех корней ее пр.ф.P (z),рассматриваемое как множество точек в z-плоскости,переходит в себя при повороте плоскости на угол 2π/d.

Доказательство достаточно очевидное. Заметим, что эта лемма — аналог известной теоремы о периодичности характеристической функ- ции случайной величины, решетчатой с шагом решеткиd >1.

Следствие. Если все корни пр. ф. лежат в левой полуплоскости и шаг решетки равен двум,то все корни лежат на мнимой оси.

Лемма 4 (Взаимно симметричные случайные величины). Пусть с.в.

ξ∈M_n и корни ее пр.ф.P (z) указаны в(3).Тогда с.в.ξ⁰ =n−ξ∈M_n и корни ее пр.ф. Q(z) =zⁿP(z⁻¹) =

n

Q

k=1

(a_k+b_kz) суть z⁰_k =ρ⁻¹_k e^−iϕk, k= 1, . . . , n.

Доказательство очевидно.

Лемма 5 (Сопряженные с. в.). Пусть ξ⁰(a) — случайная величина, сопряженная случайной величине ξ с параметром a >0:

P{ξ⁰ =k}=cP{ξ=k}a^k, k = 0,1,2, . . . , n (c— нормирующая константа).

Тогда корни ее пр.ф.P_ξ⁰_(a)(z) = ^P_P^(az)_(a) равны z_k⁰ = ^ρ_a^ke^iϕk,k= 1, . . . , n, где ρ_k и ϕ_k — те же,что в (3).

Доказательство очевидно.

Лемма 6. Если все корни пр. ф. P(z) расположены на окружности радиуса a,то

p_k =pn−ka^n−2k, k = 0,1, . . . , n.

Доказательство. При условии леммы все корни пр. ф.Q(z) = ^P_P^(az)_(a) расположены на единичной окружности, и пр. ф.zⁿQ(z⁻¹)имеет те же корни. Следовательно,Q(z) =zⁿQ(z⁻¹). Приравнивая коэффициенты этих пр. ф., получаем утверждение.

3. Построение компенсаторов для случайных величин из M

Перейдем теперь к вопросу о существовании представлений вида (2).

Класс M₁— это класс бернуллиевских случайных величин. Значение этого класса в ситуациях, когда все корни производящей функции (1) действительны, хорошо известно (см. приводимые ниже примеры в раз- деле 5).

Класс M₂ — это класс случайных величин с производящими функ- циями вида

Ez^ξ =P (z, z₁) = p₀+p₁z+p₂z² =p₂(z−z₁) (z−z¯₁). (8)

Очевидно, ее корни, z₁ = ρe^iϕ, z₂ = ¯z₁, действительны при ϕ = ±π и комплексно сопряжены в противном случае, при этом

ρ= (p₀/p₂)^1/2, cosϕ=−1 2

p₁

√p₀p₂ 60 (9) (корни лежат в левой полуплоскости).

С другой стороны,

p₂ = 1−2ρcosϕ+ρ²−1

, p₁ =−2ρcosϕ·p₂, p₀ =ρ²p₂. Если p₁ = 0 ⇔ϕ= ^π₂

, то корни расположены на мнимой оси, и соответствующая случайная величина представляет собой удвоенную бернуллиевскую величину.

Моменты случайной величины из M₂ выражаются через корни ее производящей функции следующим образом:

Eξ^k = 2p₂ 2^k−1−ρcosϕ ,

Dξ= 2p₂(2−ρcosϕ)−4p²₂(1−ρcosϕ)².

Ниже нам понадобится простой алгебраический факт, проясняющий роль функций вида (8).

Лемма 7. Пусть

h(z, z₁) = (z−z₁)(z−z¯₁)

(1−z₁)(1−z¯₁), z₁ =ρe^iϕ, и корень z₁ расположен в секторе

ρ >0, π

2^k 6ϕ < π

2^k−1, k >2.

Тогда

h(z, z₁)h(z, −z₁)h z², −z₁²

. . . h

z^2k−2, −z²₁^k−2

=h

z^2k−1, z²₁^k−1 . (10) Соотношение (10) доказывается индукцией по k.

Поясним смысл этой леммы. При z = 1 все сомножители в левой части (10) и его правая часть равны 1. Если выполнено условие лем- мы, то числа z₁, z₁², . . . , z²₁^k−2 лежат в правой полуплоскости, а числа

−z₁,−z₁², . . . ,−z₁^2k−2 и z₁^2k−1 — в левой полуплоскости. Поэтому все со- множители левой части соотношения (10), кроме первого, и его правая

часть являются производящими функциями случайных величин, ко- торые имеют вид соответственно κ₀, 2κ₁, . . . ,2^k−2κk−2 и 2^k−1κk−1, где κ0, κ1, . . . , κk−1 ∈M2.

Перейдем теперь непосредственно к построению компенсаторов.

Теорема 1. При любом n>3 для любой с.в.ξ ∈M_n существует та- кой конечный набор независимых с.в.η₁, η₂, . . .∈M₂,не зависящих от ξ,и числаd₁, d₂, . . .∈ {1,2, . . .},что распределение суммыξ+P

k>1d_kη_k совпадает с распределениемP

m>1c_mξ_m,где ξ₁, ξ₂, . . . ∈M₁∪M₂ и неза- висимы,c₁, c₂, . . .∈ {1,2, . . .}.

Если все корни пр. ф. P (z) = Ez^ξ, ξ ∈ M_n, лежат в левой полу- плоскости Rez 6 0, то распределение ξ совпадает с распределением суммы независимых с.в.из M1∪M2.

Доказательство. Производящая функция P(z) = Ez^ξ с. в. ξ как многочлен с неотрицательными коэффициентами может иметь некоторое количество r действительных неположительных корней

−α₁, . . . ,−α_r ∈ (−∞,0], некоторое количество 2s попарно комплекс- но сопряженных комплексных корней β_k = ρ_ke^iϕk, β¯_k, k = 1, . . . , s, расположенных в левой полуплоскости, и некоторое количество 2t по- парно комплексно сопряженных комплексных корней γ_l = r_le^iψl, γ¯_l, l= 1, . . . , t, расположенных в правой полуплоскости, но не на положи- тельной полуоси (и должны выполняться равенства r + 2s + 2t = n, P(1) = 1).

Тогда P (z) =

r

Y

j=1

z+α_j 1 +α_j ×

s

Y

k=1

(z−β_k)(z−β¯_k) (1−β_k)(1−β¯_k) ×

t

Y

l=1

(z−γ_l)(z−¯γ_l)

(1−γ_l)(1−γ¯_l). (11) Первое произведение в правой части является производящей функ- цией суммы независимых бернуллиевских случайных величин из M₁; обозначим их ξ_j, j = 1, . . . , r.

Второе произведение

s

Y

k=1

(z−βk)(z−β¯k) (1−βk)(1−β¯k) =

s

Y

k=1

z²−2zρkcosϕk+ρ²_k 1−2ρ_kcosϕ_k+ρ²_k

есть производящая функция суммы независимых с. в. из M₂, поскольку в каждом трехчлене все коэффициенты неотрицательны. Соответству- ющие независимые (и не зависящие от ξ₁, . . . , ξ_r) случайные величины обозначим ξ_r+1, . . . , ξ_r+s.

Если в (11) третье произведение отсутствует (в правой полуплос- кости корней нет), то получаем доказательство второго утверждения теоремы: распределение ξ совпадает с распределением

r

X

j=1

ξ_j+

s

X

k=1

η_k.

Если P(z) имеет корни в правой полуплоскости (так что t > 0), то третье произведение в правой части (11) имеет вид

t

Y

l=1

(z−γ_l)(z−γ¯_l) (1−γ_l)(1−¯γ_l) =

t

Y

l=1

h(z, γ_l),

где h(z, γ) — та же функция, что в лемме 7, и γ_l = r_le^iψl, l = 1, . . . , t.

Так как π

2^kl 6ψ_l < π

2^kl−1, k_l = min{k∈Z: k >log₂(π/ψ_l)}, то согласно лемме7

t

Y

l=1

h(z, γ_l)

k_l−2

Y

m=0

h(z^2m,−γ_l^2m)

!

=

t

Y

l=1

h(z^2kl−1, γ_l^2kl−1), (12) и l-й сомножитель в правой части является производящей функци- ей с. в. 2^kl−1ξ_r+s+l, где ξ_r+s+l ∈ M₂. С другой стороны, если l ∈ {1, . . . , t}, m ∈ {0,1, . . . , k_l −2}, то h(z^2m,−γ_l^2m) является производя- щей функцией с. в. 2^mη_l,m, η_l,m ∈M₂.

Из сделанных замечаний, (11) и (12) следует, что P(z)

t

Y

l=1 kl−2

Y

m=0

h(z^2m,−γ_l^2m)

=

r

Y

j=1

z+α_j 1 +α_j ×

s

Y

k=1

(z−β_k)(z−β¯_k) (1−β_k)(1−β¯_k) ×

t

Y

l=0

h(z^2kl−1,−γ_l^2kl−1),

или

Ez^ξ·

t

Y

l=1 kl−2

Y

m=0

Ez^2mηl,m =

r

Y

j=1

Ez^ξj ·

s

Y

k=1

Ez^ξr+k ·

t

Y

l=1

Ez^{2kl−1ξr+s+l},

т. е. если ξ, η_l,m(l ∈ {1, . . . , t}, m ∈ {0, . . . , k_l−2}), независимы и ξ_j, j ∈ {1, . . . , r+s+t}, независимы, то распределения

ξ+

t

X

l=1 kl−2

X

m=0

2^mη_l,m и

r+s

X

j=1

ξ_j +

t

X

l=1

2^kl−1ξ_r+s+l

совпадают, что и требовалось доказать.

Отметим, что если все корни производящей функции (1) лежат на мнимой оси, т. е. когдаn четно и

P (z) =

n/2

Y

k=1

(z+iβ_k)(z−iβ_k) (1 +iβk)(1−iβk) =

n/2

Y

k=1

z²+β_k² 1 +β_k² , то

ξ = 2

n/2

X

k=1

ξ_k,

где все слагаемые в правой части — бернуллиевские случайные вели- чины из M₁.

Пример. Пусть Ez^ξ =P(z) = 1

5 z⁴+z³+z²+ 2

= 1

5 z² + 2z+ 2

z²−z+ 1 .

Здесь R(z) = ¹₅ (z²+ 2z+ 2) есть производящая функция некоторой случайной величины η из класса M₂. ФункцияQ(z) = z²−z+ 1 имеет корни в правой полуплоскости, а корни функцииQ(−z) = ¹₃(z²+z+ 1) лежат в левой полуплоскости, и это есть производящая функция неко- торой случайной величиныζиз класса M₂, которая и является в данном случае искомым компенсатором. Следовательно,

Ez^ξEz^ζ = 1

3P (z)Q(−z) = 1

5 z²+ 2z+ 21

3 z⁴+z²+ 1

=Ez^ηEz^2κ, гдеEz^2κ = ¹₃(z⁴+z²+ 1), κ∈M2. Таким образом, еслиξ иζ независи- мы и η иκ независимы, то распределения ξ+ζ иη+ 2κ совпадают.

4. Предельные теоремы

4.1. Сходимость к закону Пуассона

В этом разделе рассматривается задача о сходимости распределений последовательности целочисленных случайных величин ξ_n ∈ M_n, n =

1,2, . . ., к закону Пуассона в терминах корней их производящих функ- ций P_n(z) = Ez^ξn. Корни (нули) пр. ф. P_n(z) будем далее обозна- чать как в (3), снабжая их дополнительным индексом n: zk = zn,k = ρn,ke^iϕn,k, k = 1, . . . , n, так что

P_n(z) =

n

Y

k=1

z−z_n,k 1−z_n,k

=

n

Y

k=1

(b_n,k+a_n,kz), положим также

µ_n =Eξ_n =

n

X

k=1

1 1−z_n,k =

n

X

k=1

a_n,k,

σ²_n=Dξ_n=

n

X

k=1

−z_n,k (1−z_n,k)² =

n

X

k=1

a_n,kb_n,k.

(13)

Поскольку мы рассматриваем случай, когда последовательность пр. ф. {P_n(z), n= 1,2, . . .} сходится к целой функции P (z) = e^λ(z−1) равномерно в любой ограниченной области плоскости z, а последняя функция не имеет нулей, то согласно теореме Гурвица (см., например, [7, с. 317]) все нули z_η,k с ростом n должны по модулю неограниченно возрастать.

Теорема 2. Условия

n

X

k=1

1

1−z_n,k →λ∈(0,∞),

n

X

k=1

1

|z_n,k|² →0 (n → ∞) (14) достаточны для того, чтобы предельным законом для с. в. ξn был закон Пуассона с параметром λ,т.е.чтобы

P{ξ_n=k} → λ^k

k!e^−λ, k = 0,1,2, . . . (n→ ∞). Доказательство. Запишем пр. ф.P_n(z) в виде

P_n(z) =

n

Y

k=1

1 + z−1 1−z_n,k

.

Из условий теоремы следует, что все нули z_n,k с ростом n по моду- лю неограниченно растут. Поэтому можно рассматривать ее логарифм, lnP_n(z), по крайней мере, для конечных значений z (имеется в виду

главное значение логарифма). Разлагая логарифм в ряд Тейлора, по- лучим

lnP_n(z) =

n

X

k=1

ln

1 + z−1 1−z_n,k

=

n

X

k=1

z−1 1−z_n,k +O

n

X

k=1

|z−1|²

|1−z_n,k|²

! .

Но из условий (14) следует, что

lnP_n(z) =λ(z−1) +o(1),

причем эта оценка равномерна по z в любой ограниченной области.

Отсюда получаем, что

P_n(z) =e^λ(z−1)(1 +o(1)).

Но это и означает, что распределение случайной величины ξn слабо сходится к распределению Пуассона с параметром λ.

4.2. Сходимость к нормальному закону

Рассмотрим теперь условия сходимости распределений последователь- ности целочисленных случайных величинξ_n ∈M_n, n= 1,2, . . ., к нор- мальному закону в терминах корней z_n,k = ρ_n,ke^iϕn,k, k = 1, . . . , n, их производящих функцийP_n(z) =Ez^ξn.

Лемма 8. Имеют место неравенства (см. (3)) sinπ

n 6|1−z_n,k|61 +ρ_n,k, (15) при этом верхняя граница достигается для действительных корней z_n,k =−ρ_n,k, а нижняя — для двухточечного распределения:

p₀ = cos^π_nn

1 + cos^π_nn, p_n= 1−p₀, p_k = 0, k = 1, . . . , n−1.

Доказательство. Имеем

|1−z_n,k|² = 1−2ρ_n,kcosϕ_n,k+ρ²_n,k, при этом согласно лемме 1

−16cosϕ_n,k 6cosπ n.

Отсюда видно, что верхняя граница в (15) достигается при ϕ_n,k = π, следовательно,z_n,k — действительный корень. Нижняя же граница до- стигается, когда корень лежит на луче ϕn,k = ^π_n, и треугольник с вер- шинами {0,1, zn,k} имеет прямой угол в вершине zn,k — в этом случае искомый катет равен синусу противолежащего угла, поскольку гипо- тенуза равна единице. По лемме 2 этот корень однозначно определяет распределение из класса M_n с указанными в формулировке теоремы параметрами.

Замечание. Из (15) следует, что с ростом параметра n приближение корней z_n,k к 1 происходит по порядку не быстрее _n¹.

Введем величину (см. (13)) γn =σnmin

k |1−zn,k,|. (16)

Укажем достаточные условия асимптотической нормальностиξ_nпри n→ ∞.

Теорема 3. Пусть при n→ ∞ выполняются условия

1) Dξ_n =σ_n² =Pn k=1

−z_n,k

(1−z_n,k)² → ∞, 2) ^µ_σⁿ3

n →0, µ_n =Eξ_n =Pn k=1

1 1−z_n,k, 3) γ_n → ∞,

4) _σ¹3 n

Pn k=1

1

|1−z_n,k|³ →0.

Тогда нормированная случайная величина ξ˜_n = (ξ_n−µ_n)/σ_n имеет в пределе стандартное нормальное распределение N(0,1).

Доказательство. Для характеристической функции величины ξ˜_n имеем представление (см. доказательство теоремы2)

Ee^itξ˜n =e^−itµn/σnPn e^it/σn

=e^−itµn/σn

n

Y

k=1

1 + e^it/σn−1 1−z_n,k

.

Отсюда и из того, чтоmaxk

e^it/σn 1−z_n,k

→0при γn → ∞, следует асимпто-

тическое разложение

lnEe^itξ˜n =−itµ_n σ_n +

n

X

k=1

ln

1 + e^it/σn−1 1−z_n,k

=−itµ_n

σ_n + e^it/σn−1

n

X

k=1

1 1−z_n,k

−1

2 e^it/σn−1²

n

X

k=1

1

(1−z_n,k)² +O e^it/σn−1³

n

X

k=1

1 (1−z_n,k)³

! .

Так как

n

X

k=1

1

(1−z_n,k)² =

n

X

k=1

1

1−z_n,k − −z_n,k (1−z_n,k)²

!

=µn−σ_n², то, используя формулу Тейлора дляe^u, u→0, получаем

lnEe^itξ˜n =−t²

2 +O 1 σ_n + µ_n

σ³_n + 1 σ³_n

n

X

k=1

1

|1−z_n,k|³

! .

Все слагаемые под знаком O по условиям 1, 2 и 4 теоремы стремятся к нулю, таким образом, в условиях теоремы lnEe^itξn → −^t₂², что ее и доказывает.

Отметим, что недавно в [13] доказана сходимость к нормальному закону при условиях σ_n> n^ε, γ_n> σ^ε_n, ε >0.

5. Примеры

Приведем ряд примеров производящих функций (1), для которых известны их корни.

• Число успехов в n испытаниях Бернулли. Для с. в. µ_n — числа успехов вn испытаниях Бернулли с вероятностью успехаpв отдельном испытании ее пр. ф.P (x) = (q+xp)ⁿимеет корень кратностиnв точке x=−q/p.

• Триномиальное распределение. Так мы называем распределение с производящей функцией

P (z) = p₀+p₁z+p₂z²n

,

т. е. распределение суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин из класса M₂. Аналогичное распределение сум- мы n независимых неодинаково распределенных случайных величин

из класса M₂ назовем обобщенным триномиальным распределением.

Его производящая функция имеет вид P (z) =

n

Y

k=1

p_k0+p_k1z+p_k2z² .

Все корни таких производящих функций лежат в левой полуплоскости.

•Случайные r-подстановки ([6]). Рассмотрим перестановки элемен- тов множества X_n+r = {1,2, . . . , r, . . . , n+r}, n > 1, r > 0, имею- щие не менее r циклов, при дополнительном условии, что элементы 1,2, . . . , r принадлежат разным циклам. В этом случае говорят об r- перестановках (подстановках). Число r-подстановок с r+k циклами естьr-число Стирлинга первого родаs(n, k, r), определяемое разложе- нием [9]

[x+r]_n=

n

X

k=0

s(n, k, r)x^k, где [x]_n =x(x+ 1). . .(x+n−1), n >1, [x]₀ = 1.

Пусть теперь на множестве всех r-подстановок задана вероятност- ная мера, согласно которой любой подстановке с r+k циклами при- писывается вероятность, пропорциональная θ^k, где θ >0— произволь- ный параметр. Обозначим черезr+ξ_n,r общее число циклов случайной r-подстановки в такой параметрической модели. Тогда распределение случайной величины ξ_n,r можно записать в виде

P{ξ_n,r =k}= θ^ks(n, k, r)

[θ+r]_n , k= 0,1,2, . . . , n. (17) Из (17) следует, что производящая функция случайной величины ξn,r равна

Ez^ξn,r = [θz+r]_n [θ+r]_n =

n−1

Y

j=0

(q_j(r, θ) +p_j(r, θ)z), (18) где p_j(r, θ) = 1−q_j(r, θ) = _θ+r+j^θ .

Таким образом, в данном случае корни производящей функции есть

−q_j(r, θ)

pj(r, θ) =−r+j

θ , j = 0,1, . . . , n−1.

Случай r = 0 соответствует обычным (без ограничений) подстанов- кам, а если, дополнительно, параметр θ = 1, то имеем классическую

модель равновероятных подстановок, для которой представление (18) известно еще со времен классической работы Гончарова [2].

• Рекорды в случайных перестановках. Рассмотрим n-перестановку s = (s1, s2, . . . , sn). Говорят, что элемент sj является в ней рекордом, если s_i < s_j для всех i < j, а число s_j называют рекордным значе- нием. Реньи (1962) показал, что число n-перестановок с k рекордами равно их числу с k циклами, т. е. равно абсолютной величине |s(n, k)|

числа Стирлинга первого рода, поэтому изучение числа рекордов в слу- чайной перестановке эквивалентно изучению числа циклов в ней (см.

предыдущий пример). Новым здесь является рассмотрение такой ха- рактеристики, как сумма позиций всех рекордов в перестановке.

Пусть N(n, k) обозначает число тех n-перестановок, в каждой из которых сумма позиций ее рекордов равнаk. Эти числа определяются разложением [15]

z z²+ 1

z³+ 2

. . .(zⁿ+n−1) =

n

X

k=0

N(n, k)z^k.

Следовательно, производящая функция случайной величиныξ_n— сум- мы позиций рекордов в случайной равновероятной перестановке — есть

Ez^ξn = 1 n!

n

Y

j=1

z^j+j−1 ,

т. е. в данном случае величинаξ_n представима в виде линейной комби- нации независимых бернуллиевских случайных величин.

Нули этой функции, за исключением нуля z = 0, лежат на кон- центрических окружностях радиусов (j −1)^1/j, j = 2,3, . . . , n и, как нетрудно убедиться, условие асимптотической нормальности для этой величины не выполняется.

• Случайные r-разбиения ([6]). Рассмотрим такие разбиения конеч- ного множества X на блоки, что несколько выделенных элементов X должны принадлежать разным блокам. Пусть множество X_n+r = {1,2, . . . , r, . . . , n+r}, n >1, r > 0, разбивается на r или более блоков так, что элементы 1,2, . . . , r принадлежат разным блокам. Такие раз- биения называют r-разбиениями, а число разбиений, имеющих r +k блоков, есть r-число Стирлинга второго рода S(n, k, r), определяемое разложением [9]

(x+r)ⁿ=

n

X

k=0

S(n, k, r) (x)_k,

где (x)_n =x(x−1). . .(x−n+ 1), n>1, (x)₀ = 1.

Пусть на множестве всех такихr-разбиений множестваX_n+r задана вероятностная мера, согласно которой любому разбиению c r+k бло- ками приписывается вероятность, пропорциональная θ^k, где θ > 0 — произвольный параметр. Обозначим через r+ξ_n,r общее число блоков случайного r-разбиения множества X_n+r в такой параметрической мо- дели. Тогда распределение случайной величиныξ_n,r можно записать в виде

P{ξn,r =k}= θ^kS(n, k, r)

B_n,r(θ) , k = 0,1,2, . . . , n; (19) нормирующий множитель

B_n,r(θ) =

n

X

k=0

S(n, k, r)θ^k (20)

называютr-полиномом Белла.

Из (19) и (20) следует, что производящая функция случайной вели- чины ξ_n,r равна отношению r-полиномов Белла:

Ez^ξn,r =P_n,r,θ(z) = B_n,r(zθ)

B_n,r(θ) . (21)

Известно [12], что все корни полинома B_n,r(θ) различны, действи- тельны и неположительны. Поэтому, обозначив его ненулевые корни через−α₁,−α₂, . . . ,−αn−1 (явный вид этих корней неизвестен), можно записать представление

B_n,r(θ) = θ(θ+α₁). . .(θ+αn−1). Отсюда следует, что

P_n,r,θ(z) =z

n−1

Y

j=1

zθ

θ+α_j + α_j θ+α_j

. (22)

Но это означает, что случайная величинаξ_n,r может быть представлена в виде суммы независимых бернуллиевских случайных величин:

ξ_n,r =ξ_n,r,1+ξ_n,r,2+. . .+ξn,r,n−1+ 1, (23) где

p_n,r,j(θ) =P{ξ_n,r,j = 1}= 1−P{ξ_n,r,j = 0}= θ

θ+α_j, j = 1,2, . . . , n−1.

Случайr = 0соответствует обычным (без ограничений) разбиениям, а если, дополнительно, параметр θ = 1, то мы имеем классическую мо- дель равновероятных разбиений, для которой представление (23) впер- вые было получено в [11].

•Нелинейные коды([10]). Пусть a_n—n-мерный вектор с элементами из поля характеристики 2, s — подстановка степени n с циклами длин n₁, n₂, . . . , n_k, n_j >2, j = 1,2, . . . , k, P

j

n_j =n. Пусть, далее, a_ns — век- тор, полученный из a_n перестановкой его элементов по подстановке s, kank — вес Хемминга вектора an. Если an выбирается случайно и рав- новероятно из множества всех двоичныхn-мерных векторов, то сумма ξ_n =ka_n⊕a_nsk (символ ⊕ означает суммирование по mod 2) является целочисленной случайной величиной с производящей функцией

Pn(z) =

k

Y

j=1

1 +z 2

nj

+

1−z 2

nj .

Корни этого многочлена есть z_j,l =itgπ(2l+ 1)

nj

, l= 0,1, . . . , n_j −1, j = 1, . . . , k, кромеl = (n_j −1)/2при нечетных n_j.

Таким образом, в данном случае все корни лежат на мнимой оси, и дисперсия σ_n² =n/4 неограниченно возрастает с ростом n. Следова- тельно, с. в.ξ_n асимптотически нормальна.

• Статистика критерия согласия для проверки гипотезы случай- ности. В различных статистических задачах исходные данные X = (X₁, . . . , X_n)часто рассматривают как выборку из распределения неко- торой случайнй величиныξ, т. е. считают компоненты Xi вектора дан- ныхXнезависимыми и одинаково распределенными случайными вели- чинами. Такое предположение называют гипотезой случайности H₀. Критерий согласия для проверки этой гипотезы можно построить ис- ходя из следующих соображений (далее предполагается, что вектор X имеет непрерывное распределение).

Если гипотезаH₀ действительно имеет место, то компоненты векто- ра X «равноправны», и поэтому данные не должны быть упорядоче- ны ни в каком смысле. Другими словами, ситуацию, соответствующую гипотезе H₀, можно охарактеризовать как «полный хаос». При откло- нениях от H₀ исходные данные имеют тот или иной порядок, имеются

скрытые связи. Следовательно, соответствующий статистический кри- терий проверки этой гипотезы можно построить на основании стати- стик, измеряющих степень «беспорядка» исходных данных.

Одной из таких статистик является число инверсий в выборке. Эта статистика определяется следующим образом. Построим вариацион- ный ряд X₍₁₎ < . . . < X_(n) выборки. Говорят, что компоненты X_i и X_j образуют инверсию, если i < j, но X_i стоит правее X_j в вари- ационном ряду, т. е. наблюдению с меньшим номером соответствует большее значение. Пусть T_n=T_n(X)— общее число инверсий для вы- борки X. Статистика T_n является естественной мерой «беспорядка»

среди наблюдений, и ее используют для построения критерия. Извест- но (см., например, [5, с. 363]), что производящая функция статистики T_n имеет вид

Ez^Tn = 1 n!

n−1

Y

r=1

(1 +z+. . .+z^r) = (1−z)⁻ⁿ n!

n

Y

r=1

(1−z^r).

Все корни этой функции лежат, очевидно, на единичной окружности, дисперсияTn равна

DT_n= 2n³+ 3n²−5n

72 ,

и условия теоремы 3выполнены.

Следовательно, статистики T_n асимптотически нормальны (извест- ный результат).

Отметим, что производящие функции такого же типа (с корнями на единичной окружности) имеют и другие известные статистики (Уил- коксона, Манна – Уитни и т. д.), используемые в различных задачах проверки статистических гипотез.

•Равномерное дискретное распределение (контрпример). Пусть с. в.

X ∈Mn−1 имеет равномерное распределение:

P{X =k}= 1

n, k = 0,1, . . . , n−1.

В этом случае ее производящая функция есть Ez^X = 1−zⁿ

n(1−z),

все ее корни также лежат на единичной окружности, дисперсия равна DX = n²−1

12 ,