В. Ф. Еднерал, С. М. Трошин, Н. Е. Тюрин, Разложение амплитуды рассеяния при больших переданных импуль- сах, ТМФ , 1980, том 44, номер 1, 138–143

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Ф. Еднерал, С. М. Трошин, Н. Е. Тюрин, Разложение амплитуды рассеяния при больших переданных импуль- сах, ТМФ , 1980, том 44, номер 1, 138–143

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

3 ноября 2022 г., 16:33:21

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 44, № 1 июль, 1980

РАЗЛОЖЕНИЕ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕДАННЫХ ИМПУЛЬСАХ

В. Ф. Еднерал, С. М. Троиган, Н. Е. Тюрин

Для амплитуды рассеяния в случае асимптотически растущих се­

чений получено разложение в ряд по параметру, зависящему от квадрата переданного импульса и убывающему с ростом q².

1. Большая величина константы связи не позволяет использовать прж вычислении амплитуд сильных взаимодействий стандартные методы т е о ­ рии возмущений. С другой стороны, в рамках различных динамических;

схем амплитуду рассеяния можно представить в виде ряда по некоторому зависящему от переменных рассеяния параметру [1] и указать область»

изменения переменных, где он оказывается малым.

В отличие от константы связи в теории поля этот параметр не я в л я ­ ется универсальным и зависит от величин, определяющих свойства^, например, ядра динамического уравнения. Так, в случае, когда основной величиной является гладкий эффективный квазипотенцйал взаимодейст­

вия V(sr r2) = g ( s , r2)exp[— cp(s, r2) J, соответствующий параметр разложе­

ния выражается через значения функций g и ф и их производных в точ­

ке г2= 0 .

Упомянутое общее для различных моделей представление амплитуды1

в виде итерационного ряда имеет следующий вид:

(1) i 7 (5^ ) ^ ^ C w Tne x p ^ ^

п

где коэффициенты сп определяются выбором модели. По существу, един­

ственное, что необходимо для получения ряда (1),—это гладкость квази­

потенциала (борновского члена) взаимодействия. Нетрудно видеть, что*

независимо от конкретного вида коэффициентов с^п амплитуда F(.s, t}<

экспоненциально убывает с ростом квадрата переданного импульса при

£~0, тогда как оценка выражения (1) в области за дифракционным кону­

сом приводит к зависимости F(s, ^) —^ехр[ — &У—^]. Такое поведение ампли­

туды рассеяния правильно отражает экспериментально полученную зави­

симость угловых распределений от t [ 2 ] . Это обстоятельство объясняет те усилия, которые были потрачены для детального согласования экспе­

риментальных данных в моделях, где амплитуда определяется путем и т е ­ рационной процедуры.

Параметр т в (1) выражается через величины, определяющие бор- новский член в выбранной схеме. Использование ряда (1) для вычисления!

Ш

v d ч do i

/параметра наклона В = — ш —- углового распределения и полного L Й dt J /=o

^сечения взаимодействия Ot⁰t позволяет выразить параметр разложения х в виде известной функции от экспериментально наблюдаемой величины

^произведения 0t^ot(s) 'B~^l(s) [1] и таким образом исследовать его энерге­

тическую зависимость при s-*•<*>. Для случая асимптотически постоянного лолного сечейия получаем T^Clogs)"¹ при s-*-°°. Этот результат обосно­

вывает представление амплитуды в виде разложения в итерационный ряд и позволяет строить теорию возмущений, например, по заданному ядру -соответствующего динамического уравнения. Таким образом, в случае

асимптотически постоянного полного сечения в теории при •s->-oo имеется .малый параметр %(s)~G^)t(s)/B{s), и все экспериментально измеряемые

величины могут'быть представлены в виде разложения по этому пара­

метру.

2. Хорошо известно, что учет неограниченногр роста полных сечений взаимодействия потребовал изменения значений параметров, определяю­

щ и х поведение ядра динамического уравнения (борновского члена). В ре­

зультате энергетическая зависимость параметра т [3] оказывается такой, что т-*'°° при s->-°o, а разложение типа (1) для амплитуды не имеет жеста Я.

В представлении прицельного параметра это означает, что амплитуду рассеяния / ( s , 6), где Ъ — прицельный параметр, нельзя разложить в ряд жо функции /о (s, Ь), определяемой преобразованием Фурье — Бесселя бор­

цовского члена. Подобное разложение оказывается возможным лишь для значений прицельного параметра b>R(s), где R(s) — радиус взаимодей­

ствия.

Действительно, рассмотрим, например, выражение для амплитуды рассеяния в методе обобщенной матрицы реакций ([/-матрицы) [41:/ ^

(2) F(srt)^S\bibA U{TST\b)h, / o ( W ) ,

.где функция Ufa Ь) определяется преобразованием Фурье — Бесселя

• •.;. 2 < Q P • • - • .

; • PU,b)**2-[qdqU(s,tf)MbW,

S v

; ' • " " : о • • • • . • • , . - . . }

ZJ(s, q2) —ядро соответствующего динамического уравнения, которое полностью определяет схему вычисления амплитуды и приводит к выра­

жению (2). В простейшем случае, который достаточен для обсуждения асимптотической картины [ 4 ] , функция U(s, b) определяется следующим выражением:

<3) U{s,b)=iu{s)exV[-b2/a(s)]1

*> Хотя формально в случае с^п=1/п\ амплитуда и представима рядом (1), от­

сутствие малого параметра не позволяет трактовать его на тех же основаниях, что ш в случае асимптотически постоянного полного сечения взаимодействия.

где

и (s)

-i£e<o)

ge 2

a (s)

Э (o) - l

a(s)=4|3'(0) In-—- — i

Асимптотический рост полных сечений требует р ( 0 ) > 1 , и тогда легка '' , ч. i / 1а(*)|1п|в(*)1

видеть, что для s>s0 H0<6o(s) = V ~— — - функция 'N7(5, Ъ) | > L

r Re a(s)

Это означает, что для значений прицельного параметра, меньших bQ(s)r(

разложение амплитуды (2) в ряд по U(s, Ъ) теряет смысл. В области значений b<b0(s) имеют место эффекты, которые, таким образом, нельзя:

рассматривать по схеме последовательных итераций и которые опреде­

ляют, например, асимптотический рост полного сечения взаимодействия.

Действительно, представляя амплитуду в виде суммы F(s, t) =F1(s, t)-)r +F2(s, £), где слагаемые определяются интегралами по областям [О, bo(s) ] и [b0(s), •«?], соответственно, нетрудно видеть, что первое слагаемое сум­

мы Otot(s)=Oi(s)+o2(s) при 5->оо растет как log2s, тогда как G2(s)~logs*

Отметим, что случай асимптотически постоянного полного сечения предполагает [5(0) = 1 и для s>s0 получаем и (s) ~ (log s) ~\ Таким образом, для всех значений прицельного параметра интеграл (2) представим в виде ряда (1) по малому параметру %(s)=u(s). В этом случае во всей области взаимодействия имеет место разложение (1) по числу последовательных перерассеяний, справедливое для всех значений д2.

/ Ф

® _\

V

I

Естественно возникает вопрос, нельзя ли найти другой способ разло­

жения амплитуды рассеяния и указать соответствующий параметр раз­

ложения в случае растущих сечений. В настоящей работе для амплитуды рассеяния, определяемой выражением (2), будет получено разложение в ряд (формула (8)) по функции т(д2), убывающей с ростом д2^0.

3. Для получения разложения в ряд амплитуды, определяемой соот­

ношением (2), продолжим подынтегральное выражение в верхнюю полу/

плоскость комплексных значений Ъ. Принимая во внимание соотношение,.

связывающее функцию J0(z) с функциями K0(z) [5]J0(z) = —[K0(el3X/2z) — я

—Koie'^^z)], и замыкая контур интегрирования, перепишем (2) в следующем виде:

(4) .F(S,q>) = -^h(s,b)K0(-ibi^t)bdb.

140

Контур интегрирования С изображен на рисунке. В нашем случае*

f(s, b)=U(s, b)[l— iU{s, Ъ) l"1, где :U(s, b) определяется выражением (3)J Интеграл по контуру С^ равен нулю, так как из представления f{s, Ъ) следует, что |'/($, Ъ) | ^ 1 при любых значениях комплексной переменной br

а функция K0(—ibl/q2) убывает экспоненциально при Im 6>0. Вклад от интеграла по контуру С8 в пределе е-^0 также исчезает. Действительно^, при е -* 0 оценка для вклада этого интеграла имеет вид

(5) Fc ^,—^e^f{s,ee^)ln[ - = г ) , 0 < ф < я , JC² V^{T 8}y^g2 /.-

^ — постоянная Эйлера. Здесь мы воспользовались тем, что K0(z) ^Ы(2/yz)?

при малых z.

Таким образом, значение интеграла (4) определяется суммой вычетов, в полюсах подынтегрального выражения, положение которых определя­

ется решениями уравнения

(6) l+u(s)e-^b2/a^=0;

имеющими вид bj-(s)=a(s)[lau{s)+in(2n+l)\, w==0, ± 1 , ± 2 , . . . . На рисунке показано положение точек bn(s), мнимая часть которых- положительна. Вычисляя вычеты в полюсах, для амплитуды рассеяния получаем следующее выражение, справедливое при д2^0:

(7) F(

П=—оо

Если теперь для функции K0(—ibnl/q2) использовать асимптотическую- формулу K0(z)^ у— e~z, то после несложных преобразований получаем:

••' 2 z -

(8) ' F(8,tf)*-to(8)£[e-«'>*«]»<b

где R(s) = 2Ур'(0)(р(0)-1) l n s l l + 0 ( l n l n s / l n s ) ] , c(s) = 2яУр'(0) / / ( Р ( 0 ) — 1) [ 1 + 0 (In In s / l n s) j , а функция Фт(Щз), Уq*) имеет следую­

щий вид:

(9, Ф.(

М.У7)~(2„-)-*{ ^ < ( « < ' Н ^ ( . ) Д ) Г ? ? _

Ч(-'Ш(*)-Д+(ш-

Л)с(*))Уд

]*

exV{(-iR(s)-&+c(s)/2)1q2}

[№(s)+A+(™-7

)c(s))y<f] * } •

где А = я 1 / ^ ( 0 ) / ( р ( 0 ) - 1 ) ( Р ( 0 ) -1/ 2 ) . При получении формулы (8) мыг учли, что u(s)-+°° при 5->-оо и пренебрегли в выражении для bm(s) чле­

нами порядка (m/R(s))2. Функция <Pm(i?(s), д2) слабо зависит от т.

Мы получили, таким образом, ряд, роль малого параметра в котором иг­

рает величина, зависящая от передачи импульса т(д2) =ехр{—c(s) lg2}.

Появление малого параметра т(д2) =ехр[—c(s)Vg2] непосредственно

^связано с ростом полного сечения взаимодействий, что приводит к необ­

ходимости выбора значения р ( 0 ) > 1 . В случае, когда р ( 0 ) < 1 , вместо раз­

ложения по малому параметру мы получаем бесконечную сумму функций, модуль которых равен единице.

Убывание функции т(д2) с ростом q2 приводит к тому, что для боль­

ших значений квадрата переданного импульса амплитуда рассеяния опре­

деляется только одним членом разложения (8).

Отметим, что разложение, аналогичное (8), можно получить и для амплитуды рассеяния, представленной в эйкональной форме f(s, Ъ) = -=(i/2) (1—е~х(8'ъ)). В этом случае, предполагая, что %(s, 0)-*-<» при s->-o°, необходимо вычислить положения точек перевала, определяемых уравне­

нием {d/db){-%{s, b)+ibifq*.) =0.

4. Таким образом, для случая t=^0 в рамках подхода в теории сильных взаимодействий, основанного на решении трехмерного динамического уравнения, получено представление амплитуды рассеяния в виде ряда по величине т(д2) =ехр[—cYg2], убывающей с ростом квадрата переданного импульса. Это разложение получено путем анализа структуры сингуляр- ностей парциальной амплитуды рассеяния в плоскости прицельного пара­

метра без привлечения теории возмущений по борновскому члену (ядру интегрального уравнения).

Функция f(s, Ъ) является мероморфной в 6-плоскости, и т — член ряда (8) соответствует полюсу в плоскости прицельного параметра, поло­

жение которого с точностью до членов порядка О(m2/R2(s)) определяется функцией

<10) b^m(s)=R(s)+tc(s)(m-a),, где a = A / c ( s ) .

Отметим, что величина Re bm(s) совпадает с радиусом взаимодействия.

Для lm bm(s) справедливо равенство Im bm+i(s)— Im bm(s)=c(s)1 причем c(s) слабо зависит от s и c(s)->-const при s-*-°°. Таким образом, полюсы парциальной амплитуды расположены вблизи значения прицельного па­

раметра, соответствующего радиусу взаимодействия. Независимость lmbm(s) от кинематических переменных при s->-°° приводит к тому, что

параметр т(д2) воспроизводит орировский режим в поведении амплитуды рассеяния для соответствующей области переданных импульсов. Экспери­

ментально такое поведение угловых распределений было проверено в об­

ласти энергий ISR [2].

Отметим, что изложенная в настоящей работе процедура вычисления амплитуды рассеяния в случае, когда. и (»)-»• G при s-*°°, приводит к ре­

зультату, совпадающему с оценкой ряда (1) в области больших значе­

ний \t\. Когда u(s) является малым параметром, вычисление амплитуды как суммы по вычетам в полюсах знаменателя проводилось в работах [7].

Полюса амплитуды в плоскости прицельного параметра рассматриваются также в работе [8], где рассеяние адронов моделируется рассеянием гдлоской волны на некоторой сфероидальной поверхности.

Изложенная схема построения разложения амплитуды рассеяния при

^больших переданных импульсах не рассматривает детально вопросов, 142

связанных с внутренней структурой адронов (взаимодействием адронныхг составляющих), которая, вероятно, проявляется при больших значениях переданного импульса, и соответствующий механизм приводит к степен­

ной зависимости сечений от q2 [9].

Следует отметить, что при получении формулы (8) мы фактически остаемся в области прицельных расстояний b~R(s). С другой стороны,, в моделях теории поля с сильной связью ( g » l ) , которые, заметим, при­

водят к значению [10] .{J(O)=0(gT), ч>0, превышающему единицу, гладкость эффективного потенциала взаимодействия возникает в резуль­

тате учета форм-факторов частиц [11]. При этом рассматриваются рас­

стояния столкновения 6>Х, где проявляются эффекты существования виртуального облака. Здесь X~g-V2 — размер соответствующей потенциаль­

ной ямы (центральной области), где заключены частицы, сильно связан­

ные g>l с квантованным полем. Переход в область Ь^Я связан с учетом взаимодействия адронных составляющих.

Институт физики высоких энергий Поступила в редакцию- _ 10 апреля 1979 г.

Литература

[1] О. A. Khrustalev, V. I. Savrin, N. Е. Tyurin. Preprint YINR E2-4479, Dubna, 196&

V. I. Savrin, S. V. Semenov, N. E. Tyurin, 0. A. Khrustalev. Preprint IHEP 71-113, Serpukhov, 1971.

[2] J. Orear. Phys. Rev. Lett, 12, 112, 1964. H. DeKerret at al. Phys. Lett., 68B, 374,, 1977.

[3] A. A. Arkhipov, V. I. Savrin, N. E. Tyurin, 0. A. Khrustalev. Preprint IHEP 73-26r

Serpukhov, 1973.

[4] H..E. Тюрин, О. А. Хрусталев. ТМФ, 24, 291, 1975. В. И. Саврин, Н. Е. Тюрин,.

О. А. Хрусталев. ЭЧАЯ, 7, вып. 1, Атомиздат, 1976.

[5] Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции, том II, «Наука»,, 1974.

[6] В. Ф. Еднерал, С. М. Трошин, Н. Е. Тюрин, О. А. Хрусталев. Письма в ЖЭТФ, 22, 347, 1975.

[7] N. W. Dean. Nuovo Gim., 52}А, 1129, 1967. A. Martin, R. Peschanslu. Phys. Rev.r

D18, 695, 1978.

[8] B. Schrempp, F. Schrempp. Preprint CERN TH. 2573, Geneva, 1978.

[9] V. A. Matveev, R. M. Muradyuan, A. N. Tavkhelidze. Nuovo Gim. Lett, 7, 719;, 1973. S. J. Brodsky, G. R. Farrar. Phys. Lett., 31, 1153, 1973.

[10] N. Nakanishi. Suppl. Progr, Theor. Phys., 43, 1, 1969.

[11] А. А. Архипов, H. E. Тюрин. ТМФ, 17, 57, 1973. H. E. Тюрин, О. А. Хрусталев.

ТМФ, 20, 3, 1974.

EXPANSION OF SCATTERING AMPLITUDE AT LARGE MOMENTUM TRANSFER

V. F . Ednaral, S. M. Troshin, N. E. Tyurin

In the case of asymptotically increasing scattering cross sections, the expansions of the scattering amplitude in the series with respect to parameter which depends orm the square of the momentum transfer and decreases with the growth of q2.