Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, Самоподобные функ- ции в пространстве L
2[0 , 1] и задача Штурма–Лиувилля с сингулярным индефинитным весом, Матем. сб. , 2006, том 197, номер 11, 13–30
DOI: https://doi.org/10.4213/sm3788
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 06:43:20
УДК 517.984
А. А. Владимиров, И. А. Шейпак
Самоподобные функции в пространстве L
2[0, 1] и задача Штурма–Лиувилля с сингулярным индефинитным весом
В статье изучается вопрос об асимптотике спектра граничной задачи
−y00−λρy= 0, y(0) =y(1) = 0,
гдеρ есть функция из пространстваW˚2−1[0,1], имеющая арифметически самоподобную первообразную. При этом требование знакоопределенности на весρне налагается. Полученные теоретические результаты иллюстри- руются данными численных расчетов.
Библиография: 10 названий.
§ 1. Введение Рассмотрим граничную задачу
−y00−λρy= 0, (1.1)
y(0) =y(1) = 0. (1.2)
Хорошо известно, что если вес ρпринадлежит пространствуC[0,1]и положи- телен, то граничная задача (1.1), (1.2) эквивалентна спектральной задаче для некоторого неограниченного самосопряженного оператора в гильбертовом про- странстве L2([0,1];ρ). Также известно, что если вес ρ ∈ C[0,1] не является знакоопределенным, то задача (1.1), (1.2) эквивалентна спектральной задаче для неограниченного самосопряженного оператора в пространстве Крейна (см.
[1], [2]).
Ситуация, когда вес ρпредставляет собой сингулярную обобщенную функ- цию, изучена существенно хуже. Более того, в настоящее время для такой зада- чи нет даже канонической операторной модели. В известных авторам работах по указанной проблематике [3] и [4] предложены две различные (хотя и оказы- вающиеся эквивалентными) интерпретации задачи (1.1), (1.2) с сингулярным весом ρ, притом только для случая, когда ρнеотрицателен (т.е. представляет собой меру). Случай, когда весовая функция не является знакоопределенной, видимо, не исследовался вовсе.
Между тем, разрабатываемая в настоящее время теория операторов Штур- ма–Лиувилля с сингулярными потенциалами (см., например, [5]) позволяет естественным образом связывать с задачей (1.1), (1.2) линейный пучок огра- ниченных операторов в том весьма общем случае, когда ρ есть произвольный элемент пространства W˚2−1[0,1] (подробности см. в § 4). Такой пучок может
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследованй (грант № 04-01-00712), Программы поддержки ведущих научных школ (грант № НШ- 5247.2006.1) и фонда INTAS (грант № 05-1000008-7883).
c А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, 2006
быть построен даже тогда, когда вместо −y00 в левой части равенства (1.1) стоит произвольное полуограниченное дифференциальное выражение второго порядка.
Основной целью настоящей статьи является установление асимптотик спек- тра задачи (1.1), (1.2) в случае, когда вес ρ представляет собой обобщенную производную квадратично суммируемой самоподобной функции. Заметим, что если наложить наρдополнительное требование знакоопределенности, то полу- ченный частный случай рассматриваемой нами задачи будет совпадать с ранее изученным в работе [4]. Таким образом, основные результаты настоящей ста- тьи можно рассматривать как обобщения утверждений из работы [4] на более широкий класс весовых функций.
Отметим, что свойства рассматриваемых нами индефинитных задач облада- ют рядом существенных отличий от ранее исследовавшихся дефинитных. Так, для собственных значений дефинитной задачи (1.1), (1.2) известна асимптоти- ческая оценка
1 λn
=O 1
n2
при n→ ∞ (1.3)
(см. [3; (11.7)], [4; (3)]). Как будет показано далее (см. утверждение5.1), в ин- дефинитном случае справедливость такой оценки может быть опровергнута на примерах. Соответственно, теряет смысл и проблематика (см. ссылки в [4]), связанная с уточнением правой части (1.3) в зависимости от наличия у обоб- щенной первообразной веса ρ ненулевой абсолютно непрерывной составляю- щей.
Охарактеризуем теперь используемые нами методы исследования. Посколь- ку рассматриваемая задача является индефинитной, то при ее рассмотрении мы будем опираться на общую теорию операторных пучков и операторов в про- странствах с индефинитной метрикой (см., например, [6], [7]). Кроме того, при выводе спектральных асимптотик мы будем использовать некоторые приемы теории восстановления (см., например, [8], [9; гл. XI]).
Структура статьи такова. В § 2дается доказательство одного частного слу- чая теоремы восстановления и ее двумерного аналога. При этом используется модификация метода из работы [8]. В § 3 очерчиваются контуры теории са- моподобных функций в пространствеL2[0,1]. В§ 4исследуются спектральные свойства отвечающего задаче (1.1), (1.2) операторного пучка. Для случая, ко- гда весовая функция ρ оказывается обобщенной производной арифметически самоподобной функции положительного спектрального порядка, выписывают- ся асимптотики спектра (случай неарифметического самоподобия будет разо- бран в следующей статье). Наконец, в § 5полученные результаты иллюстри- руются на примерах, в том числе приводятся данные численных расчетов.
§ 2. Теоремы восстановления
Введем в рассмотрение банаховы пространства`1,r, где r∈R+, элементами которых являются последовательности θ={θk}∞k=0, ограниченные по норме
kθk`1,r =
∞
X
k=0
rk|θk|.
Произвольному элементу θ ∈ `1,r можно сопоставить определенную на круге {w| |w|< r}аналитическую функцию Θвида
Θ(w) =
∞
X
k=0
θkwk.
В дальнейшемΘбудет называтьсяпроизводящей функцией вектораθ.
Лемма 2.1. Пусть фиксированы произвольные r <1и R >1. Пусть так- же набор неотрицательных чисел {uk}Nk=1 таков,что
N
X
k=1
uk = 1,
причем наибольший общий делитель номеровk,для которых справедливо нера- венствоuk >0,равен1. Тогда для любогоx∈`1,Rсуществует и единственно решение z∈`1,r системы
∀n∈ {0,1,2, . . .} zn=xn+
min(N,n)
X
k=1
ukzn−k.
При этом координаты вектора z удовлетворяют оценке
∀n∈ {0,1,2, . . .}
zn−ω J
6kxk`1,R·Cn,
где бесконечно малая последовательность {Ck}∞k=0 не зависит от выбора x, а величины ω и J определены равенствами
ω=
∞
X
k=0
xk, J =
N
X
k=1
kuk.
Для доказательства леммы2.1достаточно воспроизвести с незначительными изменениями рассуждения из доказательства леммы A.1 из [8].
Лемма 2.2. Пусть фиксированы произвольныеr <1 иR >1. Пусть набо- ры неотрицательных чисел {uk}Nk=1 и{vk}Nk=1 таковы,что
N
X
k=1
(uk+vk) = 1,
N
X
k=1
vk >0,
причем наибольший общий делитель номеровk,для которых справедливо нера- венство uk+vk >0,равен1. Пусть также найдется либо нечетное k6N со свойством uk > 0, либо четное k 6 N со свойством vk > 0. Тогда для любых xj ∈`1,R, j = 1,2,существует и единственна пара zj ∈ `1,r,j = 1,2, решений системы
∀n∈ {0,1,2, . . .} zj,n=xj,n+
min(N,n)
X
k=1
(ukzj,n−k+vkz3−j,n−k), j= 1,2.
При этом координаты векторов zj,j = 1,2,удовлетворяют оценке
∀n∈ {0,1,2, . . .}
zj,n−ω J
6 kx1k`1,R+kx2k`1,R
·Cn, (2.1)
где бесконечно малая последовательность {Ck}∞k=0 не зависит от выбора xj, а величины ω и J определены равенствами
ω=1 2
∞
X
k=0
(x1,k+x2,k), (2.2)
J =
N
X
k=1
k(uk+vk). (2.3)
Доказательство. Шаг1. Обозначим черезU иV многочлены U(w) =
N
X
k=1
ukwk, V(w) =
N
X
k=1
vkwk.
Из условий леммы вытекает, что многочлен1−U−V имеет в круге{w| |w|61}
единственный, причем простой нульw= 1. Тем самым рассматриваемый мно- гочлен может быть представлен в виде (1−w)·Q(w), где Q есть многочлен вида
Q(w) =
N−1
X
n=0
N X
k=n+1
(uk+vk)
wn.
В свою очередь,Qможет быть представлен в виде(1−w)·P(w) +J, гдеP есть некоторый многочлен, а постояннаяJ =Q(1)определена равенством (2.3).
Из условий леммы вытекает также, что при любом w, удовлетворяющем неравенству|w|61, справедливо неравенство
|U(w)−V(w)|<1.
Объединяя этот факт со сказанным ранее, получаем, что при некотором Rb ∈ (1, R)круг{w| |w|<R}b свободен от нулей многочленовQи1−U+V.
Шаг 2. Производящие функции Xj иZj, j= 1,2, векторовxj иzj должны подчиняться равенствам
Zj =Xj+U Zj+V Z3−j, j= 1,2,
из которых немедленно вытекают равенства Zj = X1+X2
2(1−U−V)+ Xj−X3−j
2(1−U+V), j= 1,2. (2.4) Последние равенства доказывают факт существования и единственности пары решенийzj,j = 1,2.
Далее, равенства (2.4) означают, что при любомw из области определения функцийZj справедливы равенства
Zj(w) =X1(1) +X2(1) 2J(1−w) +
(X1(w)−X1(1)) + (X2(w)−X2(1)) 2J(1−w)
−P(w)·(X1(w) +X2(w))
2J Q(w) + Xj(w)−X3−j(w) 2(1−U(w) +V(w))
.
Слагаемое из правой части, заключенное в квадратные скобки, представляет собой аналитическую функцию в круге {w| |w|<R}. Применяя к этой функ-b ции неравенства Коши, убеждаемся, что ее коэффициенты ряда Маклоренаck, k= 0,1,2, . . ., удовлетворяют оценке
∀k∈ {0,1,2, . . .} |ck|6Ck kx1k`1,R+kx2k`1,R ,
где бесконечно малая последовательность {Ck}∞k=0 не зависит от выбора xj. Поскольку коэффициенты ряда Маклорена функции
X1(1) +X2(1) 2J(1−w)
тождественно равны ω/J, где постоянная ω определена равенством (2.2), то тем самым неравенства (2.1) справедливы. Лемма 2.2доказана.
Леммы 2.1 и 2.2 позволяют доказать следующие теоремы восстановления с равномерной по начальным данным оценкой остатка.
Теорема 2.1. Пусть фиксировано произвольное положительное вещест- венное числоτ. Пусть также набор неотрицательных чисел{uk}Nk=1 таков, что
N
X
k=1
uk = 1,
причем наибольший общий делитель номеровk,для которых справедливо нера- венство uk >0, равен1. Наконец,пусть непрерывная на R функция X удо- влетворяет условиям
∀t∈R+ |X(t)|6Πe−τ t,
∀t∈R− X(t) = 0,
где Π > 0. Тогда существует и единственна непрерывная на R функция Z, удовлетворяющая уравнениям
∀t∈R+ Z(t) =X(t) +
N
X
k=1
ukZ(t−k),
∀t∈R− Z(t) = 0.
При этом для функции Z справедлива оценка
∀t∈R+ |Z(t)−s(t)|6Π·C(t),
где исчезающая на бесконечности функция C не зависит от выбора функ- ции X,а непрерывная 1-периодическая функцияs имеет вид
∀t∈R s(t) = 1 J
+∞
X
k=−∞
X(t−k).
Через J здесь обозначена величина
J =
N
X
k=1
kuk.
Теорема 2.2. Пусть фиксировано произвольное положительное вещест- венное число τ. Пусть наборы неотрицательных чисел {uk}Nk=1 и {vk}Nk=1 таковы,что
N
X
k=1
(uk+vk) = 1,
N
X
k=1
vk >0,
причем наибольший общий делитель номеровk,для которых справедливо нера- венствоuk+vk >0,равен1. Пусть также найдется либо нечетноеk6N со свойством uk >0,либо четное k 6N со свойством vk >0. Наконец,пусть непрерывные на Rфункции Xj,j= 1,2,удовлетворяют условиям
∀t∈R+ |Xj(t)|6Πje−τ t,
∀t∈R− Xj(t) = 0.
Здесь Πj,j= 1,2,– положительные числа. Тогда существует и единственна пара непрерывных на Rфункций Zj,j= 1,2,удовлетворяющая уравнениям
∀t∈R+ Zj(t) =Xj(t) +
N
X
k=1
(ukZj(t−k) +vkZ3−j(t−k)),
∀t∈R− Zj(t) = 0.
При этом для функций Zj,j= 1,2,справедливы оценки
∀t∈R+ |Zj(t)−s(t)|6(Π1+ Π2)·C(t),
где исчезающая на бесконечности функция C не зависит от выбора функ- ций Xj,j= 1,2,а непрерывная 1-периодическая функция sимеет вид
∀t∈R s(t) = 1 2J
+∞
X
k=−∞
(X1(t−k) +X2(t−k)).
Через J здесь обозначена величина
J =
N
X
k=1
k(uk+vk).
Доказательство теоремы 2.2. Зафиксируем произвольное R ∈ (1, eτ).
Тогда при любом t ∈ [0,1) последовательности xj(t) = {xj,k(t)}∞k=0, j = 1,2, вида
∀k∈ {0,1,2, . . .} xj,k(t) =Xj(t+k), j= 1,2,
принадлежат пространству`1,R. При этом равномерно поt∈[0,1) справедли- вы оценки
kxj(t)k`1,R6 Πj
1−Re−τ , j= 1,2.
Пусть теперь {Ck}∞k=0 – последовательность из леммы 2.2. Зафиксируем произвольную исчезающую на бесконечности непрерывную функцию C, удо- влетворяющую условию
∀t∈R+ C(t)> C[t]
1−Re−τ ,
где через [t] обозначена целая часть числа t. Утверждение теоремы теперь легко получается в результате применения леммы 2.2 к последовательностям zj(t) ={zj,k(t)}∞k=0,j= 1,2, вида
∀k∈ {0,1,2, . . .} zj,k(t) =Zj(t+k),
где t∈[0,1).
Теорема2.1доказывается аналогично теореме2.2с тем отличием, что вместо леммы2.2используется лемма2.1.
§ 3. Самоподобные функции в пространствеL2[0,1]
3.1. Операторы подобия в пространстве L2[0,1]. Пусть фиксировано натуральное число n > 1, и пусть вещественные числа ak > 0, dk и βk, k = 1, . . . , n, таковы, что
n
X
k=1
ak = 1.
Данному набору чисел можно поставить в соответствие непрерывный нелиней- ный операторG:L2[0,1]→L2[0,1]вида
G(f) =
n
X
k=1
βk·χ(αk,αk+1)+dk·Gk(f) , (3.1)
где использованы следующие обозначения:
(1) через αk, k = 1,2, . . . , n+ 1, обозначены числаα1 = 0 и αk =Pk−1 l=1 al, k= 2, . . . , n+ 1;
(2) через χΓ, где Γ – интервал, обозначена характеристическая функция интервалаΓ, рассматриваемая как элемент пространстваL2[0,1];
(3) через Gk, k = 1, . . . , n, обозначены непрерывные линейные операторы в пространстве L2[0,1], действующие на характеристическую функцию χ(ζ,ξ)произвольного интервала(ζ, ξ)⊂[0,1]согласно правилу
Gk(χ(ζ,ξ)) =χ(αk+akζ,αk+akξ), k= 1, . . . , n. (3.2) Это правило, как нетрудно видеть, определяет операторыGkоднозначно.
Операторы Gвида (3.1) будут называтьсяоператорами подобия.
Лемма 3.1. Оператор подобияG является сжимающим в том и только том случае,когда справедливо неравенство
n
X
k=1
ak|dk|2<1. (3.3)
Доказательство. Утверждение доказываемой леммы следует из того фак- та, что при любых f1, f2∈L2[0,1]справедливы соотношения
kG(f1)−G(f2)k2L
2[0,1]= Z 1
0
|G(f1)−G(f2)|2dx
=
n
X
k=1
|dk|2 Z αk+1
αk
|Gk(f1)−Gk(f2)|2dx
= n
X
k=1
ak|dk|2 Z 1
0
|f1−f2|2dx= n
X
k=1
ak|dk|2
kf1−f2k2L2[0,1].
Из леммы 3.1 и принципа сжимающих отображений немедленно вытекает справедливость следующего утверждения.
Теорема 3.1. Если справедливо неравенство (3.3),то существует и един- ственна функция f ∈L2[0,1],удовлетворяющая уравнениюG(f) =f.
В дальнейшем всегда будет предполагаться, что неравенство (3.3) выпол- нено.
3.2. Самоподобные функции и их типы. Если функция f ∈ L2[0,1]
удовлетворяет уравнению G(f) =f, где G – некоторый оператор подобия, то такая функция будет называться самоподобной. При этом величины n, ak, dk и βk, k = 1,2, . . . , n, определяющие соответствующий оператор подобия G, будут называтьсяпараметрами самоподобия функцииf.
Замечание 3.1. Различные операторы подобия могут определять одну и ту же самоподобную функцию. В качестве примера можно привести функцию f видаf(x) =x, обладающую, в частности, параметрами самоподобия
(1) n= 2, a1=a2=d1=d2= 1/2, β1= 0, β2= 1/2;
(2) n = 2, a1 = d1 = (3−√
5)/2, a2 = d2 = (√
5−1)/2, β1 = 0, β2 = (3−√
5)/2;
(3) n= 2, a1=d1= 1/3, a2=d2= 2/3, β1= 0, β2= 1/3.
Функцияf ∈L2[0,1], для которой найдутся такие параметры самоподобия, что при некотором ν >0будет справедливо условие
∀k∈ {1, . . . , n} ∃lk∈N (ak|dk|)·(ak|dk| −e−lkν) = 0, (3.4) будет называться арифметически самоподобной функцией. Если для некото- рых параметров самоподобия числоνbявляется максимальным среди чиселνсо свойством (3.4), то такое числоbν будет называться шагом самоподобия функ- цииf.
Функцияf ∈L2[0,1], для которой найдутся такие параметры самоподобия, что при любом ν >0 условие (3.4) будет нарушено, будет называтьсянеариф- метически самоподобной функцией.
Замечание 3.2. Одна и та же функция может иметь различные шаги само- подобия и даже может быть арифметически и неарифметически самоподобной одновременно. Например, упоминавшиеся в замечании 3.1 наборы парамет- ров самоподобия для функции f видаf(x) =xпоказывают, что эта функция
(1) арифметически самоподобна с шагомln 4;
(2) арифметически самоподобна с шагомln 2−ln(3−√ 5);
(3) неарифметически самоподобна.
3.3. Спектральный порядок. Особое место среди самоподобных функ- ций занимают функции, для которых существуют параметры самоподобия со следующими свойствами:
(1) среди чиселdk,k= 1, . . . , n, не менее двух отличны от нуля;
(2) среди чиселβk, k= 1, . . . , n, по меньшей мере одно отлично от нуля.
Такие самоподобные функции будут называться самоподобными функциями положительного спектрального порядка. Смысл условия (2) состоит в исклю- чении тривиального случая f ≡0.
Лемма 3.2. Пусть f – самоподобная функция, и пусть n, ak и dk, k = 1, . . . , n,– ее параметры самоподобия.Пусть при этом среди чиселdkне менее двух отличны от нуля. Тогда существует и единственно положительное решение D уравнения
n
X
k=1
(ak|dk|)D/2= 1. (3.5) При этом D <2.
Доказательство. Рассмотрим определенную на(0,+∞)функциюΥвида
∀x∈(0,+∞) Υ(x) =
n
X
k=1
(ak|dk|)x.
Из легко получаемых на основе неравенства Коши–Буняковского соотношений
n
X
k=1
ak|dk|6 n
X
k=1
ak|dk|2 1/2
· n
X
k=1
ak·12 1/2
= n
X
k=1
ak|dk|2 1/2
<1 (3.6) следует, что эта функция является убывающей, причем для любогоx>1спра- ведливо неравенство Υ(x)<1. С другой стороны, из условий леммы следует, что при x ≈ 0 значения Υ(x) превосходят 1. Тем самым, все утверждения леммы справедливы.
Как будет показано далее (см., например, теорему 4.2), решение D уравне- ния (3.5) представляет собой удвоенный порядок асимптотики спектра задачи (1.1), (1.2) с весом ρ=f0. Поэтому справедливо следующее утверждение (на подробном доказательстве которого мы не останавливаемся).
Утверждение 3.1. Пусть f ∈ L2[0,1] – самоподобная функция положи- тельного спектрального порядка. Тогда решениеDуравнения(3.5)не зависит от выбора параметров самоподобия.
Решение D уравнения (3.5), отвечающего самоподобной функции положи- тельного спектрального порядка, будет называться спектральным порядком этой функции. Спектральным порядком самоподобной функции, не являю- щейся самоподобной функцией положительного спектрального порядка, будет по определению считаться число нуль.
§ 4. Операторный пучок и его спектральные свойства
4.1. Построение операторной модели. В дальнейшем через H будет обозначаться пространствоW˚21[0,1], снабженное нормой
∀y∈W˚21[0,1] kykH =ky0kL2[0,1],
черезH0= ˚W2−1[0,1]будет обозначаться пространство, дуальное кH относи- тельноL2[0,1], т.е. пополнение пространстваL2[0,1]по норме
∀y∈L2[0,1] kykH0 = sup
kzkH=1
|hy, ziL2[0,1]|.
Через I[y, z], где y ∈ H0 и z ∈ H, будет обозначаться полуторалинейная форма, являющаяся продолжением по непрерывности формы
∀y∈L2[0,1] ∀z∈H I[y, z] = Z 1
0
yz dx.
Как несложно проверить, любой функцииP∈L2[0,1]можно поставить в со- ответствие однозначно определенную функцию ρ∈H0 со свойством
∀y∈H I[ρ, y] =− Z 1
0
P y0dx.
Такая функцияρбудет называтьсяпроизводнойфункцииP. Легко проследить связь введенного определения с известным в теории обобщенных функций по- нятием обобщенной производной.
В соответствии с мультипликаторной трактовкой задач Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами (см., например, [5]) выберем в качестве опера- торной модели для задачи (1.1), (1.2) линейный пучок Tρ: H → H0 ограни- ченных операторов, удовлетворяющий тождеству
∀λ∈C ∀y, z∈H I[Tρ(λ)y, z] = Z 1
0
y0z0dx−λ·I[ρ, yz].
В случае, когда вес ρпредставляет собой производную функции P ∈ L2[0,1], последнее тождество переписывается в виде
∀λ∈C ∀y, z∈H I[Tρ(λ)y, z] = Z 1
0
y0z0+λP ·(y0z+yz0) dx. (4.1) Несложно убедиться, что в регулярном случаеρ∈C[0,1]уравнениеTρ(λ)y= 0 эквивалентно задаче (1.1), (1.2), понимаемой обычным образом. Очевидна так- же справедливость тождества
∀y∈H I[Tρ(0)y, y] =kyk2H. (4.2) Прежде чем сформулировать основной результат настоящего пункта, введем следующие понятия:
– индексом инерцииindSоператораS:H →H0будет называться макси- мум размерностей подпространств M ⊂H, удовлетворяющих условию
∃ε >0 ∀y∈M I[Sy, y]6−εkyk2H;
– собственное значение λ∈Cлинейного пучка S: H →H0 видаS(λ) = A−λBбудет называтьсясобственным значением положительного(от- рицательного)типа, если справедливо неравенство
∃ε >0 ∀y∈kerS(λ) I[By, y]>εkyk2H (соответственно∃ε >0 ∀y∈kerS(λ) I[By, y]6−εkyk2H).
Основной результат настоящего пункта состоит в следующем.
Теорема 4.1. Спектр пучка Tρ чисто дискретен, и все его собственные значения являются простыми.
Все собственные значения пучка Tρ, расположенные правее нуля, имеют положительный тип,а все собственные значения пучка Tρ, расположенные левее нуля,имеют отрицательный тип. Для любого λ >0 число собствен- ных значений пучка Tρ,принадлежащих интервалу(0, λ),совпадает с индек- сом инерции indTρ(λ) оператора Tρ(λ). Аналогично, для любого λ < 0 число собственных значений пучкаTρ,принадлежащих интервалу(λ,0),совпадает с индексом инерции indTρ(λ) оператораTρ(λ).
Доказательство. Ввиду тождества (4.2) операторTρ(0)является ограни- ченно обратимым. Кроме того, производная Tρ0 пучка Tρ представляет собой компактный оператор, так как может быть равномерно приближена действу- ющими из пространства H в пространство H0 операторами умножения на непрерывные функции. Соответственно, операторTρ−1(0)Tρ0 является компакт- ным самосопряженным оператором в пространстве H. Поэтому спектр пуч- каTρсостоит из собственных значений, обратных собственным значениям опе- ратора Tρ−1(0)Tρ0 (с сохранением кратностей). Справедливость утверждений теоремы о распределении собственных значений по типам вытекает теперь из факта положительности квадратичной формы I[Tρ(0)y, y]. Прочие утвержде- ния теоремы являются следствиями известных вариационных принципов для собственных значений самосопряженных компактных операторов (см., напри- мер, [10; п. 95]).
Теорема 4.1 показывает, что знание асимптотики при λ → ±∞ для индек- са инерции операторов Tρ(λ) эквивалентно знанию асимптотики приλ→ ±∞
для собственных значений пучка Tρ. Поэтому получаемые ниже утверждения о поведении величиныindTρ(λ)легко могут быть переформулированы в утвер- ждения о спектре пучкаTρ.
4.2. Асимптотики спектра. Основным результатом настоящего пункта является следующее утверждение.
Теорема 4.2. ПустьP ∈L2[0,1]– арифметически самоподобная функция с шагом ν, имеющая положительный спектральный порядок D. Пусть при этом найдется номерk6n,для которого выполнено одно из следующих усло- вий:
– справедливо неравенство dk>0 и отношение ln(ak|dk|)
ν (4.3)
нечетно;
– справедливо неравенство dk<0 и отношение (4.3)четно.
Тогда для пучка (4.1)справедливы следующие утверждения:
(1) существуют такие непрерывные неотрицательные 1-периодические функции s±, что при λ → ±∞ справедливы асимптотические пред- ставления
indTρ(λ) =|λ|D/2
s± ln|λ|
ν
+o(1)
; (4.4)
(2) если при некоторомk∈ {1, . . . , n}имеет место неравенствоdk<0,то справедливо тождество
∀t∈R s+(t) =s−(t); (4.5) (3) если для некоторой функцииy∈H имеет место неравенство
I[ρ,|y|2]>0,
то функция s+ положительна;аналогично,если для некоторой функ- ции y ∈ H имеет место неравенство I[ρ,|y|2] < 0, то функция s−
положительна.
Доказательство теоремы4.2будет опираться на следующую лемму.
Лемма 4.1. Пусть функция P ∈L2[0,1]самоподобна,и пусть n,ak и dk, k= 1,2, . . . , n,– ее параметры самоподобия. Тогда для пучка(4.1)справедливы неравенства
∀λ∈R 06indTρ(λ)−
n
X
k=1
indTρ(akdk·λ)6n−1. (4.6) Доказательство. Зафиксируем произвольноеλ∈R.
Шаг 1. Пусть Mk, k = 1,2, . . . , n, – произвольные подпространства в H, удовлетворяющие при некоторомε >0условиям
∀y∈Mk I[Tρ(akdk·λ)y, y]6−εkyk2H, k= 1,2, . . . , n.
Рассмотрим в H подпространство M =
n
M
k=1
Gk(Mk),
где Gk – операторы, определенные формулой (3.2). Размерность подпростран- стваM, очевидно, представляет собой сумму размерностей подпространствMk. С другой стороны, для любого набора функций yk ∈Mk, k= 1,2, . . . , n, и по- строенной по нему функции y=Pn
k=1Gk(yk)∈M справедливы соотношения I[Tρ(λ)y, y] =
n
X
k=1
Z αk+1
αk
|y0|2+λP ·(y0y+yy0) dx
=
n
X
k=1
Z 1
0
a−1k |yk0|2+dk·λP ·(yk0yk+ykyk0 ) dx
=
n
X
k=1
a−1k I[Tρ(akdk·λ)yk, yk]6−ε
n
X
k=1
a−1k kykk2H =−εkyk2H.
Тем самым, подпространствоM удовлетворяет условию
∀y∈M I[Tρ(λ)y, y]6−εkyk2H. (4.7) Ввиду произвольности выбора подпространств Mk сказанное означает спра- ведливость левого неравенства в соотношении (4.6).
Шаг 2. Пусть M – подпространство в H, удовлетворяющее при некото- ромε >0условию (4.7). Пусть такжеMk,k= 1,2, . . . , n, – подпространстваH, удовлетворяющие при некоторыхεk >0условиям
∀y∈Mk I[Tρ(akdk·λ)y, y]6−εkkyk2H, k= 1,2, . . . , n. (4.8) ЧерезMk⊥ в дальнейшем будут обозначаться подпространстваH вида
Mk⊥=
y∈H | ∀z∈Mk I[Tρ(akdk·λ)z, y] = 0 , k= 1,2, . . . , n.
Предположим, что справедливо неравенство dimM −
n
X
k=1
dimMk> n−1. (4.9)
Поскольку подпространство
Mf=
n
M
k=1
Gk(Mk⊥)
имеет в H коразмерностьPn
k=1dimMk+n−1, то подпространство M ∩Mf нетривиально. Следовательно, найдется такой набор функций yk ∈ Mk⊥, k = 1,2, . . . , n, что для отвечающей ему функции y =Pn
k=1Gk(yk) будут справед- ливы соотношения
n
X
k=1
a−1k I[Tρ(akdk·λ)yk, yk]I[Tρ(λ)y, y]<0.
Тем самым, при некотором m ∈ {1,2, . . . , n} будет справедливо неравенство I[Tρ(amdm·λ)ym, ym] < 0. Но в этом случае, как легко проверить непосред- ственно, подпространство
Mm0 =Mm⊕Lin{ym} будет удовлетворять условию
∀y∈Mm0 I[Tρ(amdm·λ)y, y]6−ε0mkyk2H при некоторомε0m>0.
Сказанное означает, что, отправляясь от набора подпространств Mk, k = 1,2, . . . , n, удовлетворяющего условиям (4.8) и (4.9), всегда можно построить набор подпространств Mk0, k = 1,2, . . . , n, удовлетворяющий при некоторых ε0k >0условиям
∀y∈Mk0 I[Tρ(akdk·λ)y, y]6−ε0kkyk2H, k= 1,2, . . . , n,
а также условию
n
X
k=1
dimMk0 >
n
X
k=1
dimMk.
Отсюда автоматически вытекает справедливость правого неравенства в соот- ношении (4.6). Лемма4.1полностью доказана.
Утверждение леммы4.1представляет собой обобщение формулы (18) из ра- боты [4].
Доказательство теоремы4.2.Шаг1. Введем в рассмотрение непрерыв- ные функцииΛ±,ε вида
∀t∈R Λ±,ε(t) =e−Dνt/2ε−1 Z t+ε
t
indTρ ±eνζ
dζ, (4.10) где ε– произвольная положительная постоянная. Из леммы 4.1 следует, что имеют место неравенства
∀t∈R
Λ±,ε(t)− X
dk>0
(ak|dk|)D/2Λ±,ε(t−lk)
− X
dk<0
(ak|dk|)D/2Λ∓,ε(t−lk)
6e−Dνt/2·(n−1), (4.11) где числа lk определены соотношением (3.4). Кроме того, очевидно, что най- дутся такиеt0∈Rи ε0>0, что будут справедливы тождества
∀ε∈(0, ε0) ∀t6t0 Λ±,ε(t) = 0.
Применяя теперь теоремы 2.1и2.2к функциямΛe±,ε вида
∀t∈R Λe±,ε(t)Λ±,ε(t−t0),
находим, что при t →+∞ функции Λ±,ε равномерно по ε∈(0, ε0) стремятся к непрерывным 1-периодическим функциям s±,ε. При этом в случае, когда среди коэффициентовdk имеются отрицательные, справедливо тождество
∀ε∈(0, ε0) ∀t∈R s+,ε(t) =s−,ε(t).
Шаг 2. Зафиксируем произвольноеδ >0. Зафиксируем также такое нату- ральное числоN, чтоe−DνN/2< δ/4и
∀ε∈(0, ε0) ∀t∈[N, N + 1) |Λ±,ε(t)−s±,ε(t)|< δ/4. (4.12) Из теоремы 4.1 следует, что для некоторого ε1 ∈ (0, ε0) будут справедливы неравенства
∀ε∈(0, ε1) ∀t∈[N, N + 1) |eDνt/2Λ±,ε(t)−indTρ(±eνt)|61.
Отсюда немедленно вытекают неравенства
∀ε, ε0∈(0, ε1) ∀t∈[N, N+ 1) |Λ±,ε(t)−Λ±,ε0(t)|< δ/2,
объединяя которые с неравенствами (4.12), убеждаемся в справедливости нера- венств
∀ε, ε0 ∈(0, ε1) ∀t∈[N, N+ 1) |s±,ε(t)−s±,ε0(t)|< δ.
Из сказанного выше получаем, что при ε&0 функцииs±,ε равномерно на R сходятся к некоторым 1-периодическим функциям s±, для которых справед- ливы асимптотики (4.4). При этом в случае, когда среди величинdk имеются отрицательные, справедливо тождество (4.5). Тем самым, справедливость пер- вых двух утверждений теоремы доказана.
Шаг3. Для завершения доказательства теоремы остается показать справед- ливость ее утверждения (3). Мы ограничимся рассмотрением случая с функ- циейs+ (случай с функциейs− рассматривается аналогично).
На данном шаге будет предполагаться, что все коэффициентыdk неотрица- тельны.
Пусть при некотором y ∈H справедливо неравенствоI[ρ,|y|2] >0. Тогда согласно определению пучка Tρ при λ 0 будет справедливо неравенство indTρ(λ) > 0. Согласно теореме 4.1 это означает наличие собственных зна- чений пучкаTρ на положительной полупрямой.
Обозначим через λ1 наименьшее положительное собственное значение пуч- ка Tρ. Тогда при любом достаточно маломε >0на полуинтервалеt∈[lnλ1/ν, lnλ1/ν+ 1−ε)будет выполняться неравенство
Λ+,ε(t)− X
dk>0
(ak|dk|)D/2Λ+,ε(t−lk)>e−Dν/2λ−11 .
Согласно теореме2.1и лемме4.1это означает, что функцияs+должна подчи- няться неравенству
∀t∈R s+(t)> e−Dν/2 J λ1
, где положено
J = X
dk6=0
lk(ak|dk|)D/2. (4.13) Следовательно, в рассматриваемом случае функция s+ положительна.
Шаг 4. Пусть теперь среди величин dk имеются отрицательные. Обо- значим через λ1 наименьшую из абсолютных величин собственных значений пучка Tρ. Тогда при любом достаточно малом ε > 0 на полуинтервале t ∈ [lnλ1/ν,lnλ1/ν+ 1−ε)будет выполняться по меньшей мере одно из двух нера- венств
Λ±,ε(t)− X
dk>0
(ak|dk|)D/2Λ±,ε(t−lk)− X
dk<0
(ak|dk|)D/2Λ∓,ε(t−lk)>e−Dν/2λ−11 . Согласно теореме2.2и лемме4.1это означает, что функцияs+должна подчи- няться неравенству
∀t∈R s+(t)> e−Dν/2 2J λ1
,
где величина J определена соотношением (4.13). Следовательно, в рассматри- ваемом случае функция s+ также положительна. Тем самым, третье утвер- ждение теоремы справедливо.
Теорема4.2полностью доказана.
§ 5. Примеры
5.1. Некоторые конкретные весовые функции. В дальнейшем через Pa,δ, гдеa∈(0,1/2) и δ∈[0,1/3), будет обозначаться квадратично суммируе- мая самоподобная функция вида
n= 3, a1=a2=a, a2= 1−2a, d1=d3= 1/2 +δ, d2=−2δ, β1= 0, β2= 1/2 +δ, β3= 1/2−δ;
в частности,P1/3,0 представляет собой хорошо известную канторову лестницу.
Кроме того, черезPea, гдеa∈(0,1/3), будет обозначаться функцияPa,δ, для которой значение параметраδ определено условием(2−5a)δ=a/2.
Утверждение 5.1. Пусть Da есть спектральный порядок функции Pea. Тогда при a%1/3 справедлива асимптотикаDa%2.
Доказательство. В рассматриваемом случае имеет место соотношение
Da= ln 9
ln(2−5a)−lna−ln(1−2a). Подставляя сюда a%1/3, получаем искомое утверждение.
Таблица 1. Оценки первых собственных значений для случаяa= 1/3,δ= 0
n λn n/λlogn 62 n λn n/λlogn 62
1 1.44·101±1% 0.356±0.001 11 2.03·103±1% 0.578±0.001 2 3.53·101±1% 0.504±0.001 12 2.03·103±1% 0.630±0.001 3 1.41·102±1% 0.442±0.001 13 2.27·103±1% 0.654±0.001 4 1.51·102±1% 0.574±0.001 14 2.29·103±1% 0.702±0.001 5 3.26·102±1% 0.533±0.001 15 5.26·103±1% 0.545±0.001 6 3.53·102±1% 0.620±0.001 16 5.26·103±1% 0.582±0.001 7 8.76·102±1% 0.509±0.001 17 9.23·103±1% 0.497±0.001 8 8.76·102±1% 0.582±0.001 18 9.27·103±1% 0.525±0.001 9 1.58·103±1% 0.521±0.001 19 9.59·103±1% 0.547±0.001 10 1.62·103±1% 0.573±0.001 20 9.60·103±1% 0.576±0.001 5.2. Численные результаты. В таблице1представлены результаты чис- ленных расчетов для первых двадцати собственных значений задачи Штурма–
Лиувилля, весовой функцией в которой выступает производная функцииP1/3,0. Данные таблицы позволяют проиллюстрировать следующее из теоремы 4.2 утверждениеλnnln 6/ln 2.
Заметим теперь, что в случаеρ=P1/3,00 из соотношения (4.11) и сформули- рованного при доказательстве теоремы4.2определения функцииs+,εвытекает справедливость оценок
∀ε >0 ∀t >0
|s+,ε(t)−Λ+,ε(t)|6
∞
X
k=0
|Λ+,ε(t+k+ 1)−Λ+,ε(t+k)|62·
∞
X
k=0
2−t−k−1= 21−t.
Рис. 1. Оценки функцииs+ для случаяa= 1/3,δ= 0
Кроме того, непосредственно из определения (4.10) следует, что для любого положительного числа λ, не являющегося собственным значением пучка Tρ, справедливо равенство
lim
ε&0Λ+,ε(log6λ) =λ−log62·indTρ(λ).
Поэтому для любого положительного числа λ, не являющегося собственным значением пучкаTρ, выполняются соотношения
λ−log62·(indTρ(λ)−2)6s+(log6λ)6λ−log62·(indTρ(λ) + 2). (5.1) Подставляя в эти соотношения данные таблицы 1, устанавливаем справедли- вость неравенств
s+(log6λ14+ 0)>0.60, s+(log6λ17+ 0)60.56.
Тем самым, для рассматриваемой весовой функцииρфункцияs+ не является постоянной. Грубые верхняя и нижняя оценки для графика этой функции s+ представлены на рис. 1.
Рассмотрим также функцию P, для которойb β2= 2/5, а прочие параметры самоподобия совпадают с таковыми для функции P1/3,0. Вес ρb=Pb0 является индефинитным, но к нему не может быть применено утверждение (2) теоре- мы4.2. Расчеты показывают, что имеют место равенства
indT
ρb(10000) = 19, indT
bρ(−10000) = 3.
Однако для функции ρ=ρbпри любом положительном λ, не принадлежащем спектруTρ, справедливы соотношения (5.1), а при любом отрицательномλ, не принадлежащем спектруTρ, справедливы соотношения
|λ|−log62·(indTρ(λ)−2)6s−(log6|λ|)6|λ|−log62·(indTρ(λ) + 2).
Поэтому имеют место неравенства
s+(log610000)>0.48, s−(log610000)60.15,
