А. Г. Зарубин, Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, том 35, номер 5, 728–738

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Г. Зарубин, Начально-краевая задача для нестационарных уравнений тепловой конвекции, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, том 35, номер 5, 728–738

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:18:14

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ М МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И

1995 № .5

УДК 519.633

© 1995 г. А* Г. ЗАРУБИН (Хабаровск)

НАЧАЛЬНО -КРАЕВ АЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОЙ К О Н В Е К Ц И И

Доказывается разрешимость з пространстве Гёльдера начально-краевой задачи для квазилинейной нестационарной системы уравнений Буссинеска. Исследуются приближенные методы решения начально-краевой задачи, устанавливаются оценки ско­

рости сходимости о

§ L Введение

В [1 ] приводится доследование начально-краевой задачи для уравнений Бус­

шнеска путем линеаризации квазилинейной системы для всех 0 < * < со. Данная статья является непосредственным продолжением работы [2 ]. С помощью результатов, установлю'>:':.к с [2], удается получить теоремы о разрешимости начал^1Ю"-К|<^езсй задата в лдоетранст&е Гёльдера на конечном временном отрезке.

Для тшуш&от метода Ротэ |1 :| вайдежх оценим скорости сходимости нриблшжениьБ: р е ш е ш А

Всюду в дальнейшем Й — ^щл-^ч-тиая область в 11% г г« 2, 3, с границей класса I*/²"⁵"*; Q — Р Д Я Е дд^ ^ '"- (О, Т}> где Т — конечное число; 5 — боковая поверхность О; Qt = Q х (О- Д, где 0 < / < Т. Будем использовать пространства Lq (Q), I% (Q), тж; (Q), Wfl(Sih ^ (fih (Q), Я*'*7 2 ( Q , ( 0 , определение которых моэтю найти, *4f.v-i"*c^ з П ]. Здесь / — целое число, а а — нецелое положительное число, q > \*

Уравнения тепловой ^С'сеесгдтз с гр:^5д7«;жешшх Буссинеска имеют вид (см,, например, [1 ], [2]) -

( L l a ) и/ + KVI I -

#V. ^ - (1/p)

* p#

G

(1.16) v . - « О з й ,

( L b ) 0/ + й¥е -• r;cV"G ~ ф с (А

.Д. e3:f;i'e::.-ve {1Д!'.) 7 Д 7 Л ' ~ 7 Д ' 7 < 7 7 Л 7 7 ^ 7 7 7 7 7 7 1 7 7Z 717Г77ЛЬ7^г^1е УСЛОВИЯ Ц А ' Д '/ (..-.. 'л 6 |Д% I) = 0 ш 5,

(L26) и {;% С) = О, 8 (*, 0) - 0 па Q.

Обозначим через / (Й) множество бесконечно дифференцируемых финитных

в Й соленоидальных векторов, а через / (О) — его замыкание в норме IL2 (Q) Г , г = 2, Зо Пусть Р — ортоп^ектор в [Ц, (Q) ]г на / (О) и опера­

тор — 2 есть расширение по ©рщщрижсу оператора — PV2. В [4 J, [5 ] показано, что оператор — X самосопряжен ж положительно определен на D ( X ) = {W\ (Q) Г П Я где Я (Q) — пополнение / {Я) в метрике пространства

В [11 предложена следующая схема линеаризации задачи ( h i ) , (1.2):

(L3a) Щ \U k~{ + Puk_xVuk - v P¥ 4 - /TJtfM*-i = Р / (*, 4),

(1.36) Vu^h = 0,

( L 3B) i ! * ^ J f c ± + щ^т^к - xA6, = cp (x, 4 ) , (1.3г) uk 0, e& = 0 на S, к = 1, 2, . . . , iV, где % = 0, 8⁰ = 0, 4 = i t , x = T / N .

§ 2 o Разрешимость задачи в пространстве Гёльдера

В [2] для нахождения приближенного решения задачи (1.1), (1.2) предложен следующий итерационный процесс:

(2.1а) + uⁿVu^n+l - v W ¹ = - p-'VP"*¹ + р<7&³6^я + / в Q, (2.16) Vn"*¹ = 0 в Q,

ОЛв) 4- uⁿVW^l - xV²0^{r t + 1} = ф в Q, (2.1.г) и1 1*1 (х, I) = 0, 6Я + 1 (х, 0 = 0 на 5 , (2.1д) ьГ^х (х, 0) = 0, 6^{Л + 1} (х, 0) = 0 в Q.

Здесь = 1, 2, . . . , Начальные приближения (w¹, Q¹) принадлежат пространству

[Я²** , + в / 2 ( 0 f х я^{2 + а}'^{, + а / 2}

В дальнейшем все постоянные, не зависящие от номера я, будем обозначать буквой М.

Т е о р е м а 1. Пусть Q С R^{2 5} вектор-функция f (х, t) принадлежит пространству [//**•^а/2 (Q)]², функция <р (х, *) — ш? пространства Яа > а / 2 ( 0 , где 0 < а < 1. Тогда задача (1.1), (1.2) имеет единственное решение (w, VP, 0) с к Е [ Я2* " '| + в / 2 ( 0 f, VP G [ Я * '^{а / 2} ( 0 ]², 8 E H¹^ ^{lW 2} ( 0 , если Р / (x, 0) = 0 и

<p (x, 0) = 0 на dQ.

Упростим д о к а з а т е л ь с т в о , взяв, например, а = 1/2, Задача (2.1) при каждом я является линейной относительно ( мй + |, рп+\ 0я + |) . Тогда, согласно теореме б мз [5, с. 126] и теореме 5.2 из [3, с. 364], данная задача имеет единственное решение (и^п+\ рГ+\ 0^{Л + 1}) с и^п+] G [н^5/25/4 ( 0 ]², Vp"*¹ G [ Я1 / 2 , ! / 4 ( 0 ]², 6"^{+ 1} е

е я5 / 2'^{5 / 4}( 0 .

730 А» Г. Зарубин

Положим um>s = um+s - ur'\ рт>s = pm*s - pm, 0Ш's = dm+s - 0W. Имеют место сле­

дующие тождества:

(2.2) ^ L — - vV VHs + p~[Vpn+l>s = - ия +*Умя + 1'* + + р!зд0^я'^S - I I^Й' 'Vn"^+I, Vu^n+Us = 0,

и

Вектор-функции (л^{я + 1}'*, 0^я"¹"¹'⁵) удовлетворяют нулевым граничным и начальным условиям. Из тождества (2.2) и неравенства коэрцитивности [5, с 127 ] вытекает следующее неравенство:

(2.3) \\u^n+l>^s\\^ + IIVp^fl+,'4l^ < М ( I (II 0116^я»'11^ +

+ I I ^ V M^1'5! ^ + Ни* sVun+s\\LQ),

где 2 < д < оо. Возьмем вначале # = 3 и применим к правой части (2.3) неравенство Гёльдера. Получим

(2.4) Н ия+1'5+ НУрл+|''11^ < M ( l p l ? 110я'* 11^ + + llwⁿ''ll^L|2 \Nu^n+l\\^b4 + llw^{f l + 5}ll^{L i 2} H V n ^ ' ^ i y .

Пространство И^2/1 (Q) вложено в Х/,2 (Q) и для любой функции z (х, f) из

^^{2 2}' ' ( 0 верно неравенство [3, с 97]

!!Vz!lⁱ⁴ < С1ЫЦи.

Отсюда и из (2.4) следует, что

(2.5) Ин^'ЧЦи + IIVj/^'Ml^ < Af (I pi 0110^я'⁵11^ + + Иля'ЧЦи + 11пя+,'ЧЦи).

Так как последовательность (н^я, 0^я) сходится [2] по норме пространства [Wf^l (Q)]² х W\^x (Q), то из (2.5) вытекает, что последовательность (и\Ур^п) сходится в [Wf* (Q)]² х [Ц ( 0 ]². Далее, пусть <? = 10 в (2.3). Применив неравенство Гёльдера к правой части (2.3), получим

(2.6) \\и^л+1'^й\\^ + HVp^{r t + 1}'4l^{L l 0} < M(lpltfll0"'4l^{L i o} + + Wu^n+S\\^L6Q I I V ^^{+ 1}' 4 l^{L i 2}+ ll^*l(^{L 6 0} HVu^{r t + 1}ll^{L i 2}).

Для любой функции z (x, t) из ^{I F2?!} ( 0 верно неравенство IIVzll^i2 < С1ЫЦ,'

и пространство Wfl (Q) вложено в L6 0, поэтому неравенство (2.6) преобразуется к виду •

\\и^п+и'\\^ + ||Vp^{n + 1}'*ll^{L i 0} < М(1р1^П6^п'⁵1Ци + + \\un+]>s\\^ + 11ия,,1Ц.>).

Отсюда н нз сходимости (ия, 8я) в [Wfl (Q)f х W\*1 (Q) получаем, что после­

довательность (и^п, Vpⁿ) сходится в [W]£ ( 0 f X [L^]0 (Q) ]².

Аналогичный факт устанавливается для последовательности {8"}.

В [3, с. 9 7 ] установлены неравенства

IIZ 11^/2.1/4^ < С1Ы1^, JIVZII„^ 1 / 4 ф < C l l z l l ^ ,

где постоянная С > 0 не зависит от выбора функции z (х, t) Е И^¹ (Q), Отсюда и из сказанного выше вытекают соотношения:

(2.7а) ( \ \ и^п^⁵\ у п , I M + це"^+|'^s |1я1/2, i/4) -* О,

(2.76) (IIVi/^+!>⁵11^я1/2, i/4 + ||У9^{Я + 1}'⁵ П^я>/2, i/4) -> 0, п, 5 О О .

Применим к (2.2) неравенство коэрцитивности [5, с. 126] в пространстве Гёльдера при а = 1/2. Тогда

(2.8) \\U^{n + U S} !1^я5/2, 3/2 + ||Vp^{rt + I}'⁵ И^я1/2,1/4 <

< М ( ф 1 ? 116"' 5 Ня«/2, 1/4 + \\un+SVlln+U 5 Пя'/2, 1/4 + Ни"' w + 1 Ня»/2, »/4).

Аналогично, для 6^{Я + 1 , х} (см. [3, с. 364]) имеем (2.9) Н9^{я + |}'⁵ Н^я5/2, з/2 < м (Ни"- W4" 1 И^я1/2, i/4 +

+ i i w^{n + s}v e "^{+ l}'^sn ^ / 2 , i / 4 ) .

Неравенства (2.8), (2.9) и соотношения (2.7) дают следующий результат: по™

следовательность (и^п, Vp", 0^я) является фундаментальной в пространстве

[ Я5 / 2 , з / 2 (Q) ]2 ^{х [ Я}1 / 2 , ./4 (Q) f ^х ^5/2, з/2 ^ Нетрудно показать, что предельный элемент данной последовательности является решением задачи (1 Л ) , (L2). Един­

ственность решения доказана в [2].

Т е о р е м а 2. Пусть QcR\ / ( х , О €Е [Н*^² ( Q ) ]³ и ср (х, t) G / T^a/2 (Q), О < а < 1, причем Pf (х, 0) = 0, f (х, 0) = 0 яа Эй. Пусть, наконец,

(2.10) б < ( 3 / 4 )3 / 2 [x, / 8Q,2 -,v , где

(2.11)

б

=

(llfl^, +

lkp г = / p V V "

,

<2 Cf i — норма оператора вложения пространства W\(Q) в W\ (Q), ц — яая- меньшее собственное значение первой краевой задачи для оператора — А.

Тогда задача (1Л), (1.2) имеет по крайней мере одно решение (и, V/;, 6), принадлежащее пространству [ Я^{2 + а}'^{, + а / 2} ( 0 f X [ J T '^{a / 2} ( Q ) f X Я^{2 + а}'^{, + а / 2} ( © .

732 А. Г. Зарубин

Д о к а з а т е л ь с т в о . В случае когда Q — трехмерная область, при определенных ограничениях на / , <р и на коэффициенты системы уравнений [2 ] последовательность решений {и^п, Vpⁿ, %^п} задачи (2Л) со стартовой точкой

и1 = 0 и 01 = 0 сходится по норме пространства

{WY (Q)f х [L^ (Q)f х Wfl (Q) и предельный элемент (и, Vp, 8) является решением задачи ( L I ) , (1.2).

' В дальнейшем нужно повторить доказательство теоремы 1, для этого в (2.3) на первом этапе нужно положить q = 5 / 2 , затем q = 9/2 и, наконец, q = 11.

Тем самым завершаем доказательство теоремы 2 при а = 1/2.

Отметим, что условия (2.10) и (2.11) отличаются от условий теоремы 2 из [2]. Тем не менее при условиях (2,10) ж (2.11) справедливы утверждения теоремы 2 из [ 2 ].

§ З о Оценки скорости сходимости метода Ротэ Рассмотрим процесс (1.3).

Т е о р е м а 3. . Пусть Q С РД / (х, i) В [ Я2 + а- , + а / 2 (Q) ]2, <р (х, i) G

е Я^{2 + а}'^{1 + л / 2} (Q) и Р / ( х , 0) = Pdf(x, Щ/Ы - 0, f (х, 0) = (х, 0)/dt = 0 на dQ.

Тогда при каждом к задача (1.3) .однозначно разрешима, причем

(3.1) sup [118 (s) - %Л^гыщ + Ни (s) - иЛ^2т} * Мт²; существует тате число что при х < т0

» [0 (s) - 0,j - [ 8 ( s - 1 ) - й,_,1

Т

2 || i 11 ^(0) +

. А

[ир) - и,] -

u,_, ]

+ T

S

+ т | [xllV2 (0, - 8 (s))\tJQ) + vlN2 (и, - и

(s))l^

]

где положительная постоянная M не зависит от т, т¥, м (s), а (и (s), 0 (s)) — значение точного решения (и, 0) в точке (х, у,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обратимся к задаче (1.3). Так как ( /ь срА) при каждом

& = 1, 2, . . . , N принадлежат пространству [ Я^{2 + а} (Q) f X Я^{, + а} (Q), то из соответ­

ствующих теорем [5, с. 103] и [6, с. 133] вытекает, что задача (1.3) однозначно разрешима и решение (%, Vp^A, 8^Л) принадлежит пространству [ Я^{4 + а} (Q) ]² х

х [ Я^{1 + а} (Q) ]² х Я^{4 + а}

Рассмотрим уравнение (1.36) и умножим его скалярно на 2 т 0^А. Используя соленоидальность вектор-функции и равенство нулю функции B^k на dQ, получаем

1!0*Н²

-

Если оценить правую часть по неравенству Фридржхса и воспользоваться соот-

ношением 2 \ а\ \ b\ < е \а\² 4- г ¹ Ш², то предыдущее неравенство преобразуется к виду

mkn2 - и е ^ и2 + m i i v e j i2 < %мцji2, где постоянная М > 0 не зависит от выбора i i i ~

Так как интегральная ш разностные нормы эквивалентны, то, суммируя последнее неравенство по к от 1 до s < i¥, получаем

(3.2а) S18JI² < rf, iff ⁵ = 1, 2, . . . , Ж N

(3.26) HV8,li² < d² Щ\%^шу Аналогично,

(3.3а) Ни, II2 < </, (11/1!|2(е) + Ucp lli2 ( 2 )), (3.36) т £ IIVu^tli² < d< ( l l / l l²^ + ll<plli,⁽⁰).

Здесь постоянные 4? ^° = 1, 2, 3, 4, не зависят от т, Рассмотрим снова уравнение (1.36) и умножим его скалярно на —2т¥²8^{/ г}. Тогда

(3.4) IIV8JI² - IIVS,.,!!² + 2тк IIV²8,!i² + т² l l r^s (V (8, - 8^А_,))1Р <

< 2т % ! H t V \ f ! + 2т1(иА_,Уел, V28,) I.

Оценим I (^_,V6/ 4, V28/ r) S по неравенству Гёльдера / = 1(%-,V8A, V28,)l < l l i ^ l l ^ i!V8A4 !!V28A!i^.

Если воспользоваться мультипликаторными неравенствами [7 ], то

* (3.5) / < й 5 Ш ^ ~ уГпи^Щ ^ Щ Ц liV28AliL2.

Известно, что если функция z (х) принадлежит пространству W\ (Q) и обращается в нуль на D Q , то

1 Ы Ц < rf6 IIV²zll^L2, 1ЫЦ < rf⁷ IIVzll^,

где постоянные d⁶ и d¹ не зависят от выбора z (х). Отсюда и из (3.5) вытекает оценка

j<d^B iiv«,_,ti£ n v e j i £ i!V²e,ii«

Воспользуемся оценкой (3.2a), тогда

/ < d, HV^_,ll£ IIV6,ll£ \N\\^\

Применяя к правой части неравенство Юнга, получаем (3.6) / < й¹ ( | &^т iiv²ejl²^ -:-1 £"^{4 / 3} ПУ6,П£² 1г7и,_, И|²).

7 3 4 А. Г. Зарубин

Неравенства (3.4) ж (3.6) приводят при в = (mf7 ) ' к соотношению

•LIVE,IS2 - i i v e ^ n² + у I I V2E J I2 + ^ i i t - ' v ( В , - e ^ n²^

< 2Tiif,I!IIV²E,II + d^s\Nu^k_^{\\² nveji². Отсюда нетрудно получить, что

(3.7) live,II² - live,.,!!² + | k I I V²6 , I I² + -eilt-V (0, - В ^ ) ! !2 <

< t£l⁹(!lf,l!² + L L V I ^ . l P l l V e j l²) , где постоянная d9 не зависит от к и т.

Просуммируем (3.7) по i от 1 до s < N — 1, тогда (3.8) nveji² + % j 2 ! i v 2 0*^{! | 2} + т² 2 n t^{_ 1}v ( е , - е,_,)п² <

< d^{l 0} Пф \\^гыа) + xd⁹ j ; n v^%_ , п² live, и². Аналогично,

(3.9) fiVaJf2 + v j 2 ,IV

4'I

=S rf„ ( l l / l l²^ , + Ikp l l ^^{( e )} + Td,² 2 !IV%_, II² HV«, II². Обозначим через

lm = HViiJi2 + nve^mii².

Тогда (3.8) и ( 3 J ) приводят к следующему:

(ЗЛО) L < ^ + T 2 < P ( m ) L , ,

M = 0

где ф (m) = d[4 (IIV0m + lll2 -f IIVw^m+1!l²), а постоянные rf^{I3 и} не зависят от 5 и N. Из (ЗЛО) и [8, следствие 1] вытекает оценка

5-1

L ^ ^13 ехр Г х J ? ( m ) ] . Отсюда и из (3.26) и (3.36) получаем

(ЗЛ1) I < rf⁵³ ехр (dⁱ⁴d^l5) = I^{! 6 9} ^ = 1, 2, . . . , # - L Из (3.7) при к = N следует^§ что

(3.12) n v e j i² < н е ^ п² + </9ikp и2ыт + t^ i i v ^ . u ^ n v e ^ i i²^ .

Из (ЗЛ1) и (3.12) при 0 < х < % = (2d]6yl получаем HVe^ll² < dl 7, где

</l7 = 2 ( d1 6 + A ! I f l ^( 0) .

Если положить dlg = max (dl6, dn), то (злз) nveji²< d^m 5 = 1,2, Аналогично,

I I V M , I P < £ /I 9, 5 = 1 , 2 , ...,N, где постоянные dlg ж dl9 зависят от v

Обозначим через (и (к), р (к), 0 (к)) значение решения (и (х, р (х, t), 0 (х, 0) задачи (1.1), (1.2) в точке t^k = кх. Тогда нз (1.1в) н (1.36) получим тождество

(ЗЛ4) х-¹ { [0, - 0 (к)] - [0,_, - 8 ( * - 1 ) ] } - xV² [0, - 8 ( * ) ] + + %„,V [0, - 8 ( * ) ] = { 0 / ( * ) - х'^[ [0 ( * ) - 0 (к - 1)]} + + [и (к) - и ( * - 1)] V8 (it) + [и (Jfc - 1 ) - ] V0 (к).

Умножим скалярно тождество (3.14) на 2т [0А — 0 (к)} и проведем рассуждения, аналогичные выводу оценки (3.2а). Имеем

(ЗЛ5) 110, - 0 (s)\%^(Q) < т М ^ { 116/ (к) - г"¹ [0, - 8 ( * - 1)]1|^^{( П )} + + IIlu (к) - и (к - 1) ] V8 (*) lli^{2 ( a )} + Щи (к - 1) - ] V9 (Л) П1^{2 ( й )}}.

Оценим сверху каждое слагаемое правой части (3.15). Так как функция 0 (х, t) принадлежит #^{4 + а}'^{2 + а / г} (Q), то

9 (к) - 6 (к - 1) - тб/ (к) = | 9„" ( у . Следовательно,

(3.16) 116/ (Л) - т-' [8 (к) -в (к - l ) ] l l i2 ( Q ) =

где постоянная rf20 > 0 не зависит'от s. В силу теорем вложения [3, с. 95] и

принадлежности решения (и (х, t), 0 (х, t)) пространству Щ4^2W2 ( 0 f х Я4 + а'2W 2 (Q) получаем

sup_l(Va (х, О)' ^ dm sup l(V0 (х, 0) I ^ ^

(*. о ее (Л, оеё

Следовательно,

(3.17) т 2 Щи (*) - м (/с - 1)] V0 (k)ll^2L2(Q) < ^ Н и / ! ^ .

736 А. Г. Зарубин

Аналогично,

(3.18) т 2 "[« (к ~ 1 ) - 1 (к) I l ^^{( 0 )} < d^{2 3}t

2

Объединяя неравенства (ЗЛ5), (3.16), (3.17) и (3.18), получаем (ЗЛ9) 118 (s) - %s\%m < tf^t2 + d2S%2 »в (* - 1) - 8A_,

Если провести аналогично рассуждения для a (s) — и„ то (3.20) Ни (s) - к, i t^{2 ( f i )} < d²⁶\² +

+ i2 7T 2 { liu (А - 1) - + 119 (А: - 1) - 9⁴_, !1?гШ,}.

Из (ЗЛ9), (3.20) ж разностного аналога неравенства Гронуолла-Беллмана [8 ] следует оценка

(3.21) Ив (s) - + Ik (s) - м , ! ^ < d2Br\

где положительная постоянная <a⁷²g не зависит от 5 , N.

Умножим (ЗЛ4) сжалмрно на —2tV2 [в* — в (&) ] и проведем рассуждения, аналогичные выводу соотношения (3.4). Тогда для функции 0А — 8 (/с) можно записать неравенство

[ 6 , - 9 ( й ) ] - [в*., - 8( Л - 1)]

(3.22) % 2 | | - ^ — — ^ — ^ — ^ |^{2 ( й )} + « v [в. - е ( , ) ] »2 2 ( й ) +

+ li [« (A) - и,_, 3 7в (к) 1 1 ^ + II [u (к - 1) - u4_, ] V0 (к) Н ^^{( П )} +

• Ю / (к) - f [ е⁴- в ( Л - l ) ] ! ^ } . Из (3.22) si бценшс (3.17) — (3.19) следует, что

<3.²³> ^; у i i & ~ щ > - 1 у - ' ? - г > 1 ^{1 % т} .

<

•1- !Г7 [G, - 8 (.i')]!Ii^{2 ( Q )} + ^S« 2 «^{V 2} I⁶* " 6 ( * ) ] ^^{( Q )}

Далее, s силу мультипликативного неравенства [7 ],

i i ^ - . v [в,^; - е (к))#ыт * h v i e , - 9 ( / c ) ] i i l4 ( n ) <

< м i t e , „ , i ! i^{4 ( a )} не, - е {кЩ^{а) не, - е (&) п^щ.

Так как W\ (Q) конечно в L4 (й), то при т < %

lto.-,V [8, - 8 (*) I 1 1 ^ < Л#, ^{I I V2} 18, - 9 ( * ) ] IP42 118, - 8 (к) Здесь использовано неравенство (ЗЛЗ).

О&ьеднияя последнее соотношение ( 3 . 2 3 ) , применяя неравенство Юнга, получаем

is < м* ⁺ М2т 2 не, - е (*> i g ^ ,

щ е / , — левая часть (3*23). Данное неравенство и ( 3 . 2 1 ) завершают доказательство теоремы.

Т е о р е м а 4. Пусть Q CR\ / ( J C , t) G [H2**^!W2 (Q) f, <p ( x , 0 G

€E Я^{2 + а}'^{| + а / 2} (Q) ii 0) = P d / ( x , 0)/d* = 0, cp ( x , 0) = Эср (x⁹'0)/dt = 0 на ЭЙ.

Тогда при каждом к задача ( 1 . 3 ) имеет единственное решение? причем справедливо неравенство (3.1), где постоянная М не зависит от к, если выполнены соотношения (2.10) и (2.11).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Умножим уравнение ( 1 . 3 6 ) скалярно на 2 т 8ь после преобразований получим

118,II2 - Ив,.,!!² + 2 T X ! I V 8 , I !2 < 2т ( | lie,!!² + %!l²) , откуда

II0J12 + 2т ( щ -

f ) J

IJ

(3,24а) 118, II² < >Г^"¹!1фИ1²(⁰, (3.246)

т2

1I^MJP + 2т (v)t - е) 2 IIV«,lt^z < J 2 "Л"² + 7 ^ 2 И²-

А=1 * S | /<=1

Полагая £ = 2~'vfx и используя оценку (3.246), получаем Ни, IF < 2 v " У "1 (11/lP^a +^T l k p = ,i-'6².

Умножив (1.36) скалярно на —2тЧ²ик, после преобразований получим l i V%l l i2 ( a ) - \Nut.,\%w + 2 t v l l V 4 H2^ , ^

< 2т ( е Н У Ч Н²^ , + ^ W/X^2ia> + Y& l l 9* -^{1 | l}i²( 0 ) + + Ни.-11д,<о, H V^M, l l^{i 4 ( Q )} H V ^ i l ^ ^ ) .

4 ЖВМ и МФ, № 5

738 А. Г. Зарубин

Если здесь положить е = 2 ^lv, то

" V u ^ Q )

+ ™Х

+ 2 v - lkpl^^{( c )} + 2x

(|)

V

c

t

Итак,

(3.25) I I Vh , l l i^{2 ( n )} + т j [ v - 2 (I )^{3 / 2} ji-'V IIV«._,ll^{i 2 ( e )}] < б². Пусть s = 1 в (3.25). Так как V% = 0, то

IIVw, II² < б² < 4-' ( 4 / 3 )^{3 / 2} C o V^{, 7}V .

Положим в (3.25) 5 = 2. Воспользуемся условиями теоремы и оценкой (3.25).

Тогда

H V M²^ ^ б²< 4 "¹ ( 4 / 3 )^{3 / 2} c^V'V.

Продолжая процесс, устанавливаем, что

(3.26) I I V ^ ' I I ^ < б²< 4 -¹ ( 4 / 3 )^{3 / 2}

cSV'V,

Используя равномерную оценку (3.26), по аналогии с доказательством теоремы 3 получаем утверждение теоремы 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shinfrot М., Kotorynski W. P. The initial value problem for viscous heat conducting//.*. Math. Analys.

and Appl. 1974. V. 45. P. 1—22. • 2. Зарубин А. Г. Об итерационном методе приближенного решения начально-краевой задачи для

уравнения тепловой конвекции//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 8. С. 1218—1227.

3. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. M.: Наука, 1967.

4. Крейн С. Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики//Докл.

АН СССР. 1953. Т. 98. С. 969—972.

5. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. M.:

. Наука, 1976.

6. Ладыженская О. А , Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. M.: Наука, 1964.

7. Крейн С. Г., Глушко В. 17. Неравенства для норм производных в пространствах с весом//Сибирский матем. ж. 1960. Т. 1. № 3. С. 343—382.

8. Демидович В. Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. 1.

Общие положения//Дифференц. ур-ния. 1974. Т. 10. № 12. С. 2266—2278.

Поступила в редакцию 21.03.94 Переработанный вариантс07.07.94