Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Э. И. Зверович, Г. С. Литвинчук, Краевые задачи со сдвигом для аналитических функций и сингулярные функциональ- ные уравнения, УМН , 1968, том 23, выпуск 3(141), 67–121
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 01:35:42
УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
УДК 517.948.32:517.544
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ
ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Э. И. З в е р о в и ч и Г. С.. Л и т в и н ч у к
Рассматриваются методы исследования основных краевых задач со сдвигом на плоскости и римановой поверхности и сингулярных интегро-функциональных урав
нений со сдвигом.
В § 1—3 излагается применение метода конформного склеивания к задачам со сдвигом на римановой поверхности. § 4 посвящен изложению классического метода интегральных уравнений применительно к одной из задач (типа задачи Карлемана).
В §§ 5 и 6 исследуются сингулярные интегральные уравненения со сдвигом, удовлетворяющим условию Карлемана, и соответствующие общие краевые задачи.
Основной метод — сведение к системам сингулярных уравнений с ядром Коши, допол
ненный применением теоремы об устойчивости индекса, позволяет получить здесь усло
вия нетеровости и вычислить индекс. В § 6 вводится понятие устойчивости задачи со сдвигом Карлемана, аналогичное понятию устойчивости частных индексов задачи Ри«
маыа; доказывается достаточный признак устойчивости для задачи А. И. Маркушевича.
В конце § 6 и в § 7 дается обзор работ, посвященных излагаемой тематике, но не вошедших в основную часть статьи:
СОДЕРЖАНИЕ
В в е д е н и е 68
§ 1. Краевая задача Римана на абстрактных римансвых поверхностях . . 70
§ 2. О теоремах конформного склеивания 75
§ 3. Основные краевые задачи со сдвигом на абстрактных римановых поверх
ностях 77
§ 4. Метод интегральных уравнений в теории основных краевых задач
со сдвигом 86
§ 5. Теорема Нетера для одного класса сингулярных интегральных урав
нений со сдвигом Карлемана 90
§ 6. Теоремы о разрешимости характеристического уравнения со сдвигом
Карлемана 100
§ 7. Обзор других результатов НО
Л и т е р а т у р а 116 5*
Введение
Настоящая статья посвящена краевым задачам со сдвигом для аналити
ческих функций. Так называются задачи, краевые условия которых пред
ставляют собой линейные соотношения между предельными значениями искомых аналитических функций, вычисленными в различных точках гра
ницы. С такими краевыми задачами тесно связаны сингулярные интегро- функциональные уравнения, линии особенностей которых задаются гомео- морфными отображениями контура интегрирования на себя.
Впервые краевую задачу со сдвигом предложил рассматривать С. Газе- ман в работе [41], опубликованной в 1907 г. Поставленная им задача обобща
ла задачу Римана [42] в том смысле, что предельное значение внутренней компоненты искомой кусочно-аналитической функции вычислялось в точке a (t), полученной из t сохраняющим ориентацию гомеоморфизмом простого замкнутого гладкого контура X на себя. В 1932 г. в докладе [59], прочитан
ном II Международному математическому съезду, Т. Карлеман поставил носящую ныне его имя краевую задачу об отыскании аналитической внутри X функции по условию линейного сопряжения ее граничных значений в точ
ках t и a (t), где a (t) — изменяющий ориентацию на X гомеоморфизм, удов
летворяющий условию a [a (t)] = t. Т. Карлеман отмечал, что указан
ная задача является обобщением задачи о существовании автоморфной функции, принадлежащей данной фуксовой группе; саму задачу Т. Карле
ман рассматривал как пример для применения теории интегральных урав
нений Фредгольма.
Дальнейшее развитие теории обеспечивалось исключительно трудами советских математиков. Здесь прежде всего следует отметить основопола
гающие работы Д. А. Квеселава [60] — [63], опубликованные в 1946—1948 гг.
Используя метод интегральных уравнений, Д. А. Квеселава дал для случая односвязной области полное решение задач Газемана, Карлемана и еще трех аналогичных задач. Эти пять задач вместе с изученной в последнее время задачей типа задачи Карлемана условимся называть основными краевыми задачами со сдвигом. Характерная особенность упомянутых задач, точные формулировки которым мы дадим в § 3, состоит в том, что в краевые условия этих задач входит пара граничных значений искомых аналитиче
ских функций. Н . П. Векуа в работах [19] — [34], опубликованных в 1947—
1957 гг., рассмотрел основные и некоторые более общие краевые задачи со сдвигом для случая п пар неизвестных функций. С 1960 г. наметился новый интенсивный этап в развитии теории задач и уравнений со сдвигом.
За истекшие 7 лет опубликовано свыше 60 работ по этой тематике. Последний этап примечателен появлением новых проблем и методов. Вот некоторые из них: исследование основных краевых задач со сдвигом на римановой поверхности методом склеивания, нетеровская теория и проблема качествен
ного исследования весьма общих классов задач со сдвигом и связанных с ними функциональных уравнений, краевые задачи со сдвигом, не принад
лежащие к нормальному нетеровскому типу (односторонние задачи), особые случаи в теории краевых задач со сдвигом (случаи разрывных коэффициен-
тов, разомкнутых контуров), краевые задачи со сдвигом в классе обобщенных аналитических функций.
Наконец, все более отчетливо вырисовываются приложения краевых задач и сингулярных уравнений со сдвигом к смежным теориям, имеющим прикладное значение. Таковыми являются: 1) теория краевых задач для уравнений в частных производных смешанного (эллиптико-гиперболического) типа и систем таких уравнений; 2) теория бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны; 3) теория плоских кавитационных течений идеальной жидкости; 4) плоские задачи теории упругости.
К настоящему времени исследование основных краевых задач со сдвигом приняло почти законченный вид. Теория краевых задач со сдвигом более общего вида, чем основные, еще далека от завершения. Лишь в самое послед
нее время построена теория Нетера для одного довольно общего класса задач со сдвигом. Теоремы о числе решений и условий разрешимости полу
чены пока только для ряда частных случаев. То же самое можно сказать и о теории сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, так как даже простейшие из таких уравнений приводятся к задачам со сдвигом весьма общего вида.
Настоящий обзор не претендует на полное изложение всех вопросов теории краевых задач и сингулярных уравнений со сдвигом. Попытка дать такое изложение привела бы к резкому увеличению объема статьи. Сосредо
точив внимание на изложении нескольких важных проблем этой теории, авторы в то же время ставили своей целью дать возможно более полную библиографию остальных работ, относящихся к теме, и краткий обзор наиболее интересных из них.
Статья состоит из семи параграфов.
В § 1 излагаются основные факты теории краевой задачи Римана на абстрактной римановой поверхности. Эта теория построена в работах В. Коппельмана [66], [67], Ю. Л. Родина [112]-[116], Л. И. Чибриковой [131], [132]. Результаты § 1 являются вспомогательными для дальнейшего построения теории краевых задач со сдвигом на римановых поверхностях.
В связи с этим в п. 1 (кроме теоремы 1.1) мы опускаем доказательства, отсы
лая читателя к цитированным выше работам. Теорема 1.1 из п. 1 и резуль
таты п. 2 снабжены доказательствами, более простыми по сравнению с извест
ными ранее. Кроме того, теорема 1.4 уточняет соответствующий результат Ю. Л. Родина.
В § 2 устанавливается тесная связь, существующая между теоремами конформного склеивания и краевыми задачами со сдвигом.
В § 3 при помощи метода склеивания строится теория основных краевых задач со сдвигом на абстрактной римановой поверхности. Здесь же в каче
стве следствий формулируются теоремы о числе решений и условий разре
шимости основных краевых задач со сдвигом на плоскости.
§ 4 посвящен изложению метода интегральных уравнений для одной из основных краевых задач со сдвигом — задачи типа задачи Карлемана.
Применение этого метода позволяет получить решения основных краевых задач со сдвигом на плоскости в виде интегралов типа Коши, плотности
которых удовлетворяют интегральным уравнениям Фредгольма, причем ядра последних зависят только от сдвига и границы. При этом получаются все качественные результаты (о числе решений и условий разрешимости).
В § 5 отыскиваются условия нетеровости и вычисляется индекс одного класса сингулярных уравнений со сдвигом Карлемана.
В § 6 изучены случаи, в которых характеристическое сингулярное интегральное уравнение со сдвигом Карлемана допускает подсчет чисел решений и условий разрешимости. В этом же параграфе вводится и разъяс
няется понятие устойчивости краевой задачи со сдвигом Карлемана.
§ 7 представляет собой краткий обзор работ, не вошедших в основную часть настоящей статьи.
Условимся, что все функции и коварианты, заданные на кривых, а также предельные значения аналитических функций, удовлетворяют условию Гёльдера (//-непрерывны), если специально не оговаривается принадлеж
ность их другому классу. Заметим еще, что, говоря о решениях задач и урав
нений, мы имеем в виду, как правило, линейно независимые решения.
§ 1. Краевая задача Римана на абстрактных римановых поверхностях
1. Ядро Беенке и Штейна. Пусть R — замкнутая риманова поверх
ность рода р. Точки поверхности R будем характеризовать символами Р Ы, где Р обозначает точку поверхности, z — локальная координата точки Р в одной из возможных локальных систем координат. Пусть К{, К2, . . .
. . ., К2р — канонический гомологический базис поверхности. Известно [112], что на R можно определить функцию А (т, z) (ядро Беенке и Штейна [11]), обладающую следующими свойствами: 1) А (т, z) — коварианта III рода по т, инварианта по z\ 2) особенности А (т, z) по переменным Р [z] и Q [т] возможны при Р [z] = Q [т] и, кроме того, в р + 1 фикси
рованных точках Р0, Ри . . ., Рр поверхности R, которые выбираются с большим произволом: а) по Р [z] особенности следующие: при Р = Q Ф Ф Р^ ((1 = 0, 1, . . ., р) и Р = Р^Ф Q (|х = 1, 2, . . ., р) имеем полюс первого порядка, в остальных точках A (Q, Р) регулярна по Р, в том числе при Р = Q = Рц (|х = 0, 1, . . ., р); более того, А (Р^, Ру) = 0 ({л = 0, 1, . . . , / > ) ; б) по Q [х] особенности следующие: при Q = Р Ф Р^
(|i = 0, 1, . . ., р) имеем полюс первого порядка с вычетом + 1 , а при Q = Р0 ф Р _ полюс первого порядка с вычетом — 1 ; в остальных точках A (Q, Р) — аналитическая по Q коварианта. Дивизор d = P0Pi - . . Рр
называется дивизором особенностей ядра.
Пусть X — гладкий замкнутый контур без самопересечений, делящий R на две (вообще говоря, несвязные) области D+ и D". Если взять d£D~, то получим ядро А+(х, z), аналогичное ядру Коши. Интеграл типа Коши
выражает кусочно-мероморфную функцию F± (z) с линией скачков X, причем F+ (z) аналитична в D+. a F" (z) мероморфна в D" и дивизор ее особенное-
тей кратен дивизору — . Для интеграла типа Коши справедливы формулы Сохоцкого
F±(t)^±^(t) + ^-^(x)A+(x1t)dx.
Аналитическая в D+ функция представима интегралом Коши. Пусть ср (t) — тсоварианта на X. Интеграл типа Коши
0 ±(*) = - ^ § ф ( ' М+( м ) Л
представляет собой кусочно-мероморфную коварианту с линией скачков X, аналитическую в D+ и имеющую в точке Р0 полюс первого порядка. Спра
ведливы формулы Сохоцкого
Q± (т) = ± { Ф ( Т ) + ~ I Ф (t) А+ (т, t) dt.
Последние равенства носят ковариантный характер1). Для области D" можно построить ядро А~(х, z), аналогичное ядру А+ (т, z) для D+. Однако Нарима
новой поверхности нет существенной разницы между «внутренней» и «внеш
ней» областями (различение этих областей вызывается лишь терминологическими удобствами—направлением обхода на X и фиксацией дивизора d). Поэтому специально для области D" ядро А~ (т, z) вводить не имеет смысла, а ядро А+(х, z) мы будем считать фиксированным и обозначать А(х, z).
Т е о р е м а 1.1. Для разрешимости краевой задачи «о скачке» {для функ
ций)
F+(t)-F-(t) = g(t) (1.1) необходимы и достаточны условия
^g(t)Z'k(t)dt = 0 ( А = 1 , 2 , . . . , р ) , (1.2)
«г*
где Z'k(i) (& = 1, 2, . . . , р)—базис ко вариант первого рода. При выполнении Условий (1.2) решение задачи (1.1) дается формулой
F±{z)=-^lg{T)A{x,z)dx + C. (1.3)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость условий очевидна. Для доказатель
ства достаточности ищем решение в виде (1.3). Покажем, что при выполне
нии условий (1.2) F±{z), выраженная интегралом (1.3), кусочно-аналити
ческая. Для этого достаточно показать, что в точках Pi [г±], . . ., Рр [zp] функция F' (z) не имеет особенностей. При некотором локальном параметре имеем
Km [А (т, z) (z-zk)]=Z'k (х) (к = 1, 2, . . . , р), (1.4)
г) Ковариантные равенства понимаются как равенства соответствующих дифферен
циалов.
причем Z'k (т) — коварианта. Докажем, что Z'k (т) — абелева коварианта первого рода. Из свойств ядра A (Q, Р) видно, что Z'k (т) аналитична всюду, кроме, быть может, точки Q [т] = Р0 [z0], где она может иметь полюс порядка не выше первого. Но из теоремы о вычетах следует, что вычет Z'k (т) в точке Р0
равен нулю. Таким образом, Z'k (т) — коварианта первого рода. Как следует из (1.4), вычеты функции F~~ (z) в точках zk с точностью до отличного от нуля ковариантного множителя совпадают с левыми частями равенств (1.2). Но в силу (1.2) эти вычеты равны нулю, и функция (1.3) кусочно- аналитическая.
2. Однородная задача Римана. Поставим задачу о нахождении кусочно- аналитической функции Ф± (Р) по краевому условию
<t>+(Q) = G(Q)q>-(Q) на X, (1.5)
1 Р
где G (0=^=0. Обозначим х = —\ dwgG(t). Пусть ND+, Nz, ND-~ числа нулей (с учетом кратностей) решения задачи Римана в Z)+, на X и в D~
соответственнох).
Т е о р е м а 1.2. Число нулей решения задачи Римана конечно и, если задача (1.5) разрешима, имеет место соотношение
ND+ + Nz + ND- = x. (1.6)
При к < 0 задача Римана не имеет нетривиальных решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предполагая, что число нулей бесконечно, полу
чаем, что на контуре X имеется точка сгущения нулей Q0[t0]. Пусть t — локальный параметр точки Q0. В круге \t — t0\<zl условие (1.5) принимает вид
Ф+(*)=С(*)Ф-(0- (I-5')
Если решение задачи (1.5), а следовательно, и задачи (1.5') существует ^ то (1.5') можно записать в виде
X+(t) X~(t) ' ^ - ' '
где Х± (z) —отличная от нуля вблизи t0 каноническая функция. Применяя к (1.7) теорему об аналитическом продолжении, получаем, что t0 — предель
ная точка нулей аналитической функции —± {z) . Следовательно, нули реше-
л (z)
ния разрешимой задачи Римана (1.5) изолированы. Из равенства (1.7) видно, между прочим, что кратность граничных нулей решения задачи Римана необходимо является целым числом. Поскольку принцип аргумента верен на компактных римановых поверхностях, то для доказательства равенства
(1.6) достаточно взять индекс от обеих частей (1.5). Из (1.6) следует нераз
решимость задачи (1.5) при х < 0 . Теорема доказана.
!) Нуль £0 функций Ф+ и Ф" на контуре J?, который обе функции обязаны иметь с одинаковой целой кратностью, считается за один нуль кусочно-аналитической функ
ции Ф± (Р), т. е. кратность граничного нуля Ф+ или Ф~ не удваивается оттого, чта мы рассматриваем его как нуль функции Ф± (Р).
Т е о р е м а 1.3. При х > р задача (1.5) разрешима.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Решение задачи (1.5) ищем в виде
ф±
& = 4а I
СР (
т)
А<
т' *>
dx+
С'
(1,8)где ф (t) — неизвестная инварианта, удовлетворяющая условиям
j9(T)Zi(T)dT = 0 (A = 1,2, . . . , р ) , (1.9) Z'k(t) (к = 1, 2, . . . ,р) — базис ковариант первого рода. Будем пока искать
решения задачи (1.5), исчезающие в точке Р0, т. е. положим С = 0 в (1.8).
Используя (1.8), (1.5) и формулы Сохоцкого, сведем задачу Римана к син
гулярному интегральному уравнению
1 ^ ф ( 0 + Ц ^ $ Ф ( т ) Л ( т , О й т = 0. (1.10) Из формул Сохоцкого следует равносильность задачи (1.5) уравнению (1.10)
с условиями (1.9). Индекс уравнения (1.10) равен х, следовательно, число его решений Z>x. Пусть ф! (t), . . . , фг (t) — фундаментальная система реше-
i
ний уравнения (1.10), так что общее его решение ср (t) = 2 ck4)k (0 • Под-
ь=1
ставляя это решение в (1.9), получим систему р линейных алгебраических уравнений с I неизвестными q, . . . , сг. Имеем / > х > р ; если указанная выше система имеет нетривиальные решения, то и уравнение (1.10) также имеет нетривиальные решения. Но тогда задача (1.5) также имеет нетри
виальные решения, что и требуется. Случай, когда система неразрешима, возможен только при Z = x = p. В этом случае уравнение (1.10) с условиями (1.9) неразрешимо. Отбросим теперь условие С — 0 и опять сведем (1.5) к интегральному уравнению
1 ^ ^ ф ( 0 + Ц ^ ^ ф ( т ) ^ ( ^ т ) й т + [ 1 - С ( 0 ] С ^ 0 , (1.10') с условиями (1.9). Поскольку к = 1 — 1' = 1, то Г = 0 , т. е. (1.10') безусловно разрешимо и его решение зависит от р произвольных постоянных, не счи
тая С. Используя условия (1.9) и неразрешимость получаемой однородной системы линейных алгебраических уравнений, заключаем, что существует нетривиальное решение ср(£), определенное с точностью до множителя С.
Таким образом, в этом случае задача (1.5) имеет одно решение. Теорема доказана.
Т е о р е м а 1.4. Пусть I —число решений задачи (1.5). Тогда: а) если х < 0 , то 1 = 0; б) если х > 2 р — 2, то 1 = к — р + 1; в) если 0 < х < 2 р —2, то для I имеет место точная оценка max{0, x — p - f - l } < Z < -^- Ы - 1 .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пункт а) установлен в теореме 1.2. Пусть
% > 2 р — 2. Тогда х > р и из теоремы 1.3 следует существование по крайней мере одного нетривиального решения Ф± (Р) задачи (1.5). Краевое условие
задачи Римана можно переписать в форме
Ф+(р Ф-(*) , .„
Ф+(0 Фо(о ' I1-0'
откуда видно, что задача о нахождении всех решений задачи (1.5) равно
сильна задаче о нахождении всех мероморфных на R функций, кратных дивизору А нулей решения Ф ± ( Р ) . Размерность пространства этих функций совпадает с числом решений задачи Римана. По теореме Римана —Роха [124] имеем
I = dim A = dim -^- + ord А — р + 1. (1.11) Здесь ord А —порядок дивизора А, причем по теореме 1.1 имеем ordA = x,
dim -г—размерность пространства дифференциалов, кратных дивизору А""1. При х > 2 р — 2 , как известно [124], d i r n - ^ - ^ O , и пункт б) доказан. Рассмот
рим случай в). Левое неравенство следует из приведенных выше рассужде
ний, если учесть, что при 0 < > с < 2 р — 2 , вообще говоря, dim-— > 0 . Для доказательства правого неравенства опять представляем краевое условие задачи в виде (1.5"). В случае, когда это сделать нельзя, нера
венство очевидно. Интерес представляет лишь тот случай, когда класс диви
зоров, эквивалентных А, специален [138], поскольку для неспециальных классов реализуется знак равенства в левом неравенстве с). Д л я специаль
ных классов имеет место теорема Клиффорда ([138], стр. 153) o r d A >
> 2 dim A — 2 , откуда учитывая наши обозначения, легко получаем требуе
мое неравенство и доказательство его точности. Теорема доказана.
Представляет интерес выяснение причин, от которых зависит число реше
ний задачи Римана на римановой поверхности в особом случае 0 < и <
< 2/? — 2. В этом направлении на основе теоремы Клиффорда — Чеботарева из теории алгебраических функций Н . Т . Мишняков недавно получил сле
дующий результат, который мы здесь приводим без доказательства.
Т е о р е м а 1.5. Пусть задача (1.12) имеет нетривиальное решение, а число решений задачи (1.5) и индекс связаны соотношением 1 = к — г + 2, где 0 < r < J ~^~ — 1 . Кроме того, пусть существует дивизор Л (порядка к) задачи (1.5) A = PiP2 • • • Р i Q (Pj —точки, Q — дивизор) такой, что класс (PiQ) порядка %—^--}-2 имеет измерение 2 и является собственным.
Сформулированные условия могут выполняться только на поверхности, род которой удовлетворяет неравенству
3. Союзная и неоднородная задачи Римана. Союзная задача ставится для ковариант, и ее краевое условие имеет вид
1V+(t)=G'1(t)1¥'(t). (1.12)
Число решений задачи (1.12) обозначим через V.
Т е о р е м а 1.6. Разность чисел решений задач (1.5) и (1.12) I — Г =к— р + 1.
Т е о р е м а 1.7. Для разрешимости неоднородной задачи Римана ф+ — С ф - -}- g на X необходимы и достаточны условия
^gW+k(t)dt = 0 (к = 1, 2, . . ., Г),
if
еде Wk (t) {к = 1, 2, . . ., Z') — полная система решений задачи (1.12).
Теорема 1.6 является одной из формулировок теоремы Римана — Роха.
Теорема 1.7 является простым следствием интегральной теоремы Коши д л я ковариант на римановой поверхности.
§ 2. О теоремах конформного склеивания
Речь будет идти о теоремах, которые устанавливают существование аналитических функций, подчиненных определенным соотношениям на границах областей. Примерами теорем конформного склеивания яв
ляются следующие утверждения, доказанные в монографии [43], (стр.
5 0 1 - 5 0 3 ) .
Т е о р е м а 2 . 1 . Пусть функция х' = g (x) отображает отрезок 1—1, 1] на себя, g (—1) = — 1 ; g (1) = 1, g' (x) > 0; кроме того, g (z) анали- тична в некотором круговом двуугольнике, содержащем отрезок [ — 1, 1].
При этих условиях существуют две функции w = /i (z) и w = /2 (2), аналитические соответственно в полукругах Bi { \ z | < 1, Im z > 0) и В 2 { \ z | < 1, I m z < < 0 } , однолистно отображающие 5 i и В2 соответствен
но на две области, Gi и G<i, без общих точек, полученные из круга \ w \ < 1 проведением в нем гладкого разреза %, аналитического внутри круга. Кроме того, на [—1, 1] fi (х) = /2 [g (x)].
Эта теорема принадлежит М. А. Лаврентьеву [72]. Доказывается она с помощью теоремы Римана об отображении и принципа симметрии.
Т е о р е м а 2.2. На окружности \ z \ = 1 дана дуга у = [а, Ъ\, аф Ъ.
На у задана функция g (z), аналитическая на (а, Ъ) и отображающая [а, Ъ]
взаимно однозначно с сохранением концов на дополнительную дугу, g' (z) Ф- 0 на (а, Ъ). При этих условиях существует однолистная в \z | < 1 функция F (z) = — + aiz + . . ., аналитическая в \ z | < 1 , кроме точек а, Ъ, 0,
удовлетворяющая условию F (z) = F [g (z)] на (a, b).
Теорема принадлежит Шефферу и Спенсеру [122], [123] и доказывается при помощи теории граничных свойств аналитических функций.
Л . И. Волковыский [35] —[37], опираясь на теорию квазиконформ
ных отображений, доказал теорему 2.1 в предположении непрерывности g' (x) > 0, и показал, что разрез X является спрямляемой кривой. Л . И. Вол
ковыский рассмотрел также другие задачи на конформное склеивание и успешно применил теоремы конформного склеивания к проблеме типа односвязной римановой поверхности.
Другим возможным подходом к задачам конформного склеивания является теория краевых задач для аналитических функций. Последнюю
можно определить как раздел теории функций, изучающий вопросы конформ
ного склеивания. В самом деле, граничное условие всякой краевой задачи для аналитических функций можно рассматривать как некоторое условие склеивания для искомых аналитических функций. С этой точки зрения основ
ные вопросы, исследуемые теорией краевых задач, состоят, во-первых, в вычислении условий разрешимости и подсчете размерностей пространств решений задач на склеивание, а во-вторых, в нахождении алгоритмов для построения склеивающих аналитических функций. Наиболее близкими по постановке к задачам теорем 2.1 и 2.2 настоящего параграфа являются основные краевые задачи со сдвигом, обзору результатов теории которых посвящены следующие два параграфа настоящей статьи. Впервые задачу на склеивание в форме, близкой к теореме 2.2, поставил Т. Карлеман в [59].
В этой работе Т. Карлеман изложил основополагающую идею о примени
мости метода интегральных уравнений к исследованию задач на склеивание.
Дальнейшее развитие теории плоских задач со сдвигом сводилось к примене
нию идеи Т. Карлемана к различным конкретным задачам со сдвигом и под
счету размерностей пространств решений для них. В работе [139] Юн Эр- цзянь применяет теорию задач со сдвигом к усилению теорем 2.1 и 2.2 настоя
щего параграфа. Однако автор, очевидно, не был знаком с цитированными выше работами Л . И. Волковыского, который получил более сильные резуль
таты значительно раньше.
Сформулируем одну важную для дальнейшего теорему конформного склеивания, принадлежащую Г. Ф. Манджавидзе и Б . В. Хведелидзе [95]
и усиленную И. Б . Симоненко [42].
Т е о р е м а 2.3. Пусть X — гладкий замкнутый контур, a (t) — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм X на себя, причем a' (t) Ф О и a' (t) cz Н. При этих условиях существуют две функции, Ф+ (z) и Ф~ (z), аналитические и однолистные соответственно внутри и вне X, за исключе
нием точки z = оо, где Ф~ (z) имеет простой полюс, удовлетворяющие на X условию склеивания
Ф+[а(*)] = Ф - ( 0 . (2-1) Кроме того, линия склеивания Г, заданная уравнением w = Ф~ (t), t £ X,
является простым гладким замкнутым контуром. Если X является контуром Ляпунова, то и линия склеивания является контуром Ляпунова.
Доказательство теоремы 2.3 основано на применении метода интеграль
ных уравнений к задаче (2.1) и содержится в монографии Ф. Д. Гахова ([42], стр. 151—155).
Мы будем использовать теорему 2.3 в следующей локальной форме.
Л е м м а 2 . 1 . Пусть h и 1% — гладкие простые разомкнутые кривыег
между которыми имеется гомеоморфное соответствие % = a (t) (t £ lir
х £ Z2) такое, что a' (t) Ф 0, a! (t) cz H (Zi). При этих условиях мож
но конформно склеить левую односвязную полуокрестность Hi кривой /4 с правой односвязной полуокрестностью *) Нг кривой 1%, т. е. существуют
г) Это означает, что при движении вдоль 1Л область Hi остается слева от 1и
а область Н2 — справа от Z2.
функции Ф1 (z) и Ф2 (z)f аналитические и однолистные соответственно в Hi и Hz, такие, что на h имеем Ф1 [a (t)] = Ф2 (t). Кривая склеивания X
с уравнением I = Ф2 (t), t £ X — гладкая. Пара функций Ф1 (z), Ф2 (z) определена с точностью до взаимно однозначного и конформного отображения области G, полученной после склеивания.
§ 3. Основные краевые задачи со сдвигом на абстрактных римановых поверхностях
Пусть R — замкнутая риманова поверхность рода р. Пусть D+ — область на R (вообще говоря, несвязная), ограниченная гладким1) контуром X, состоящим из т-\-\ простых замкнутых непересекающихся кривых Х§, Xj, . . .,Хт- Через D~ обозначим дополнение D+ до R. Пусть Qi = a±{Q)~- гомеоморфизм контура X на себя, причем а+ (Q) сохраняет, а а_ (Q) изме
няет ориентацию контура X. Пусть, далее, производная функции а± (Q) по локальному параметру [кривой X удовлетворяет условию Гёльдера и не обращается в нуль. Основными краевыми задачами со сдвигом будем называть следующие шесть 2) задач линейного сопряжения.
Найти кусочно-аналитическую на R функцию Ц)± (Р) с линией скачков X, удовлетворяющую на X одному из следующих краевых условий:
<t+[<*+(Q)] = G{Q)<?-(Q) + g(Q) (3-1) (задача Газемана);
Ф+ (Q) = G ( 0 q r [ a _ (Q)] + g(Q) (3-2) (задача типа задачи Газемана).
Полагая область D+ связной римановой поверхностью рода fe<p, найти две функции ф (Р) и г|з (Р), аналитические в Dг и удовлетворяющие на X одному из следующих условий:
v[a+(Q)] = G(Q)W) + g(Qh (3-3)
<?[a-(Q)] = G(Q)y{Q) + g(Q). (3.4) Предполагая дополнительно, что на X выполнено условие Карлемана [59]
а± [ а± ((?)] = Q, (К)
найти функциию ф ( Р ) , аналитическую в Z)+, по одному из следующих условий на X:
Ч[а+(Q)] = G(Q)vW + g(Q) (3-5)
(задача типа задачи Карлемана);
<f[a-(Q)] = G(Q)<p(Q) + g(Q) (3.6) (задача Карлемана).
г) Для задач (3.2), (3.3), (3.5), краевые условия которых содержат комплексно сопряженные значения искомых аналитических функций, будем предполагать, что X является контуром Ляпунова. В работе [52] ошибочно предполагалась гладкость X в этих случаях.
2) Л. И. Чибрикова и В. С. Рогожин [135] сформулировали еще четыре задачи (со сдвигом) линейного сопряжения двух граничных значений и указали способ све
дения этих задач соответственно к задачам (3.1) — (3.4).
Отметим, что задача (3.1) переходит в задачу Римана, если а+ (Q) = QT
а задача (3.5)—в задачу Гильберта, если a+(Q) = Q и, если кроме тогог
все частные индексы функции G(Q)~ четные числа.
В основе исследования задач (3.1) —(3.6) лежит метод конформного склеивания, аналогичный описанному в [42] методу сведения плоской задачи Газемана к задаче Римана. Последний не проходит для задач (3.1) —(3.6), поскольку на римановой поверхности при р>0 теорема 2.3 несправедлива*
В связи с этим мы производим склеивание, конформное локально. Этого оказывается достаточным, чтобы свести задачи (3.1) —(3.6) на римановой поверхности R к задаче Римана на другой римановой поверхности, что позво
ляет перенести на задачи (3.1) —(3.6) все основные результаты, известные для задачи Римана, в частности, результаты, изложенные в § 1 нашей статьи.
1. Задача Газемана. Рассмотрим полученное из R многообразие R\
состоящее из областей D+ и D~, края которых склеены по правилу: точка a+(Q)£D+ отождествляется с точкой Q£D~. Таким образом, R состоит из областей Z)+, D~ и пар Q' = {a+(Q), (?}, полученных склеиванием обла
стей D+ и D~. На R' введем следующую топологию: в точках областей D+
и D~ топологию оставим прежней, в точках Q'~{a+(Q), Q} окрестности зададим как две полуокрестности V[a+(Q)]{]D+ и V(Q)[)D~, склеенные по указанному выше правилу. Здесь V (Р) — окрестность точки Р в тополо
гии R, а V (Q) и V[a+(Q)] выбираются так, чтобы множества V[a+(Q)](]X
и V(Q)f}% были связными и соответствовали друг другу при гомеоморфизме а+ (Q)г). Таким образом, мы получим конечную ориентируемую поверхность R' рода р. Чтобы превратить R' в риманову поверхность, надо задать кон
формную структуру, т. е. локальные параметры в каждой точке, так, чтобы соотношения соседства были конформными. В областях D±, рассматриваемых как области поверхности R возьмем ту же структуру, которую эти области имели на поверхности i?, уменьшив параметрические круги точек таким образом, чтобы эти круги не пересекались с X. В точках Q'0 = {GC+(Q0), Q0} параметрическое отображение зададим следующим образом. Пусть V (Q'0) — построенная выше окрестность точки Q'0, состоящая из полуокрестностей V [а+ (Qo)] П D+ и V (QQ) f| D~ точек а+ (Q0) и Q0 в областях D* соответственно.
Пусть Z = /P0(JP) { | Z | < 1 , fp0(P0) = 0, P£V(P0)}— параметрический гомео
морфизм окрестности точки Р0 в структуре поверхности R. Рассмотрим мно
жества в плоскости
/а+№„) {V [о+ «?„)] П Щ - 1 и /Qo [V (Q0) П D2] + 1. (3.7).
Это —образы рассмотренных выше полуокрестностей, причем между глад
кими кривыми
/a+(Q0) {V [о+ (Q0)] П X) + 1 и /Qo [V (Qo) П X\ ~ 1 (3.8) соответствие Q± = a+(Q) индуцирует гомеоморфизм % = X(t), удовлетворяю-
]) Последнее легко проверяется с помощью построения достаточно мелкой три
ангуляции и подсчета эйлеровых характеристик обеих поверхностей.
щий, в силу наложенных условий, всем требованиям леммы 2.1. Согласно- лемме 2.1 существуют две функции w = Oa+(Q0) (z) и w = (&Q0(z)i осущест
вляющие однолистное конформное склеивание областей (3.7), переводящее области (3.7) на единичный круг с гладкой линией склеивания Z, причем
фсц.(д0)[ЧО] = ф(Эо(0> фа+(д0) (°) = фдо (°) = °- в качестве параметрического отображения окрестности V (Q'0) возьмем отображение
4 / т / Ф*Ч««> f^(Q.) (^) + lb ^ F [а+ (<?„)] П Ш,
w=-fQ'(P) = { (3.9)
1 Ф О . [ / < 3 . ( ^ ) - 1 ] , P£V(Q0)[)D-.
Итак, мы ввели структуру на всей поверхности R. Докажем ее конформ
ность. В D± структура конформна. Пусть пересекаются окрестности V (Q') и V(P), причем Р^ X' = {а+(Х), X). В соотношение соседства в этом случае войдет только одно из равенств (3.9), и конформность соотношений соседства следует из однолистности функций <Da+(Q0)(z), Фд0(^) и из конформности соотношений соседства для R. Остается рассмотреть случай, когда пересе
каются окрестности V (Q[) и V (Q'2) точек линии X'. Соотношение соседства имеет вид
Wi = /Q;[/Qi(H>2)L (3.10)
где wi = fQ[ (Р), w2 = /Q i (Р). Если Р £ {F [a+ (£)] П Щ П {^ [«+ (ft)] П ^ } или
^ 6 { ^ ( З Д П^+} П {^((?г) П £*"}> т 0 конформность гомеоморфизма (3.10) оче
видна. В силу склеивающего свойства гомеоморфизмов /Q' и fq> имеем непре
рывность гомеоморфизма (3.10) на линии склеивания. Действительно, если w2 стремится к точке t0 линии склеивания с разных сторон, то 0 (w2) будет стремиться к точкам а+ (Q) и Q соответственно, а отображение /Q> согласно построению локальных параметров переводит точки а+ (Q) и Q в одну точку.
По теореме об аналитическом продолжении получаем, что гомеоморфизм (3.10) является конформным в своей области определения. Таким образом, мы превратили R в риманову поверхность рода р. Функции G(Q) и g(Q) опре
делим на Z/, полагая G(Q') ~G(Q), g (Q') == g(Q). Учитывая, что точки a+(Q) и Q на Rf отождествлены, мы перепишем краевое условие (3.1) в виде
Ф+ (<?') = G (<?') Ф- (<?') + g (<?') на X'. (3.11) Таким образом, задача Газемана (3.1) на поверхности R преобразована
в равносильную ей задачу Римана (3.11) на поверхности R'. Применяя результаты § 1, получаем следующее предложение.
Т е о р е м а 3.1 [52]. а) Для задачи Газемана (3.1) справедлива тео
рема! А, где Z'k(t) (& = 1, 2, . . . , р)—базис ковариант первого рода поверх
ности R', т. е. кусочно-аналитических ковариант на R, удовлетворяющих на X краевому условию XY+ [a+ (Q)] = W~ (Q).
б) Для задачи Газемана справедливы теоремы 1.2, 1.3, 1.6, 1.7, где под союзной задачей понимается задача нахождения кусочно-аналитической на R коварианты, удовлетворяющей на X условию 4й" [а+ (Q)] ==——— W~ (Q).
2. Задача типа задачи Газемана. Поверхность R' зададим следующим образом. Включим в нее области Z)~, склеенные по правилу: точка Q£ X с: D+
отождествляется с точкой ct-(Q)£XaD~. Построим конформную структуру поверхности R. В области D+, рассматриваемой на R', оставим конформную структуру поверхности Д, уменьшив параметрические окрестности точек D+ так, чтобы они не пересекались с X. В области D~, рассматриваемой на R\
введем сопряженную конформную структуру. Это значит, что в качестве локальных параметров точек области D", рассматриваемых на i ? \ берем параметры, комплексно сопряженные с локальными параметрами области D" cz i?, уменьшив при этом параметрические окрестности надлежащим обра
зом. Докажем конформность сопряженной структуры. Пусть zx = fPl (Р) и z2=fp2 (Р)—параметры пересекающихся окрестностей точек Рх £ D~ и P2^D~, Гомеоморфизм z1 = / р1 [fp\ (z2)] — конформный в своей области определения.
Полагая zi = t)i и z2 = t2i гДе £i и £2 —л о к а дь н ы е параметры сопряженной структуры, мы получим гомеоморфизм £,i = fp1[fp\(Z>2)]i который, очевидно, также конформный. Функция, сопряженная к аналитической в исходной структуре, будет аналитической в сопряженной структуре. Построим структуру в точках Q' = {Q, а _ ( 0 } . Рассмотрим полуокрестности V (Q) {] D+
и V [a-(Q)] (} D~ в плоскостях исходного и сопряженного локальных параметров соответственно. Пусть точка движется вдоль X в положи
тельном направлении, т. е. таким образом, что полуокрестность V(Q)[)D+
в плоскости исходного локального параметра остается слева от X, тогда точка а_ (Q) движется в плоскости сопряженного параметра так, что образ полуокрестности V[a-(Q)]()D~ остается справа. В самом деле, <x~(Q) изме
няет ориентацию в исходной структуре, а переход к сопряженной структуре еще раз меняет ориентацию1). Теперь все условия леммы 2.1 выполнены.
Согласно лемме 2.1 существует однолистное конформное склеивание полуокре
стности V (Q) П D+ (с исходной структурой) с полуокрестностью V [а_ ( 0 ] {] D"
(с сопряженной структурой). Функции склеивания принимаем за локальный параметр точки Q' = {Q, a-(Q)} поверхности R'. Так же, как и в п. 1, легко показать, что Rr — риманова поверхность рода р. Положим G(Q') ~G(Q), g(Ql = g(Q) на X; ц+(Р) = Ф+(Р) в D+, qr (P) = Ф~ (Р) в D~. По доказан
ному, Ф± (Р) — кусочно-аналитическая функция на R'. Краевое условие (3.2) принимает вид Ф+ (<?') - G (<?') ф - (Q') + g (Q') на X1.
Т е о р е м а 3.2. Для задачи (3.2) справедливы теоремы 1.1 — 1.7, где под союзной задачей понимается задача нахождения кусочно-аналитической на R коварианты по граничному условию
Если, в частности, R — риманова поверхность нулевого рода, то для задач (3.1) и (3.2) оказываются справедливыми все результаты, известные для задачи Римана, поставленной на плоскости. Связность области не влияет
г) Изменение ориентации контура ведет к необходимости накладывать условия ляпуновости контура J? для задач с комплексно сопряженными предельными значе
ниями.
