Ф. Н. Игнатьев, В. Г. Карпов, М. И. Клингер, Двухъямные критические потенциалы – типич- ные неодноямные атомные потенциалы в аморф- ных системах, Докл. АН СССР, 1983, том 269, но- мер 6, 1341–1345

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ф. Н. Игнатьев, В. Г. Карпов, М. И. Клингер, Двухъямные критические потенциалы – типич- ные неодноямные атомные потенциалы в аморф- ных системах, Докл. АН СССР, 1983, том 269, но- мер 6, 1341–1345

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 22:18:44

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1983. Том 269, №6

УДК 5 3 9 . 2 Ф И З И К А

Ф.Н. ИГНАТЬЕВ, В.Г. КАРПОВ, М.И. КЛИНГЕР

ДВУХЪЯМНЫЕ КРИТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ - ТИПИЧНЫЕ НЕОДНОЯМНЫЕ АТОМНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ В АМОРФНЫХ СИСТЕМАХ

(Представлено академиком СВ. Вонсовским 16 VII1982)

Многие свойства аморфных систем успешно объясняются постулатом о су­

ществовании в них двухъямных атомных потенциалов [ 1 ] . Проблема природы таких двухъямных потенциалов до недавнего времени оставалась открытой. В [ 2 ] был развит подход к этой проблеме, основанный на некоторых общих идеях и мик­

роскопических моделях, касающихся поведения атомных потенциалов и их неустой­

чивости при изменении атомных конфигураций. При этом в [ 2 ] был выявлен новый класс "критических" атомных потенциалов, характеризуемых аномально малыми квазиупругими константами. Термодинамический подход к той же проблеме, изло­

женный недавно в [ 3 ] , согласуется с микроскопическим подходом и моделями в [ 2 ] и с развитой ниже общей теорией.

В настоящей работе показано, что в аморфных материалах вообще типичные неодноямные атомные потенциалы являются двухъямными и критическими. Име­

ется в виду лишь неодноямность потенциала на масштабах атомной длины а⁰ ~ 1 А (но не тривиальная неодноямность, проявляющаяся, например, в атомной диффу­

зии) . Развиваемый подход основан на исследовании возможных форм локальных потенциалов V(x) "атома" (отдельного атома или группы атомов) в неупорядо­

ченной атомной системе. Под локальным потенциалом мы понимаем потенциальную энергию системы в зависимости от соответствующего числа п ее координат (х), называемых далее внутренними, при неизменных значениях остальных N — п коор­

динат (у), называемых внешними, т.е.

( 1 ) V(x) = V(x\y)\^y=eontt =

= V(Х\, . . . , Хп | Xn + i, . . . , Xpf) | j c „+ 1 = c o n s t , . . . . x w = c o n s t -

Мы рассмотрим далее ансамбль идентичных по составу и топологическим связям локальных подсистем аморфной структуры. В такой структуре, характеризуемой случайными локальными атомными конфигурациями подсистем ансамбля, описы­

вающий их параметр у является случайной величиной в соответствующей области Л ее изменения с плотностью распределения р(у) при fp(y)dy = 1 . При этом в неко­

торой части Л ' области Л потенциал V(x) может быть одноямным, тогда как в альтернативной части Л "потенциал V (х) оказывается Z Q - Я М Н Ы М ( Z0 > 2 ) . Вблизи гиперповерхности у^С9 разделяющей области Л^,и Л", потенциал V(x) является критическим. Дальнейшее рассмотрение выявляет типичные, т.е. наиболее вероят­

ные, формы неодноямных ( z⁰ > 2 ) атомных потенциалов и их общее описание.

Сказанное можно пояснить на примере простой модели [ 2 ] одномерной трой­

ки атомов, в которой роль х играет координата среднего атома О (рис. 1 ) . Если общая длина фрагмента R достаточно велика, то парные потенциалы взаимодейст­

вия перекрываются мало, и результирующий потенциал V (х) оказывается двухъям- ным, т.е. энергетически выгодно образование двухатомной квазимолекулы атома О

о

Рис. 1. Трехатомный одномерный фрагмент и его локальный потенциал. Штриховыми линиями обозначены потенциалы парных взаимодействий

Рис. 2. Дискриминантный конус и типичные распределения точек в фазовом пространстве при

/ 1 = 2

с любым из крайних атомов. С другой стороны, при малых R парные потенциалы сильно перекрываются, и потенциал V(x) является одноямным. Если крайние атомы одинаковы, а внешние поля отсутствуют, то роль у здесь играет длина R, флуктуи­

рующая в ансамбле таких трехатомных фрагментов. При этом гиперповерхность у^с вырождается в точку R - R^c. При малых значениях т? = \R — R^c\= \у - у^с\ дно единственной ямы (rj > 0) или каждой из двух ям (17 < 0) оказывается очень поло-

_ d²V

гим, т.е. квазиупругая константа k^t = — — в минимуме х = Xf очень мала, ki -> 0 при т? -> 0, и в этом смысле потенциал V(x) является критическим. В более общем случае слабо неодинаковых крайних атомов и при наличии слабых внешних (по отношению к рассматриваемому фрагменту) полей потенциал V(х) обладает аналогичными свойствами и может быть представлен в виде

(2) V(x) = Ацх² + Btx³ + Сх⁴ + F ( 0 ) ,

| т ? Н 1, \t\< 1,

где параметры А^у В, С, t выражаются через соответствующие производные от по­

тенциалов парных взаимодействий и внешнего поля. Параметр t мал и описывает результирующую асимметрию системы; t - 0 для одинаковых крайних атомов и в отсутствие внешних полей. Если считать атомный состав фрагмента неизмен­

ным, допуская лишь флуктуации параметров 77 и г, то переменная у - {1?, t \ ока- 9 В

зывается двухмерной и у^с представляется линией т? = • 1 на плоскости (17, г ) . 16 А

Рассмотрим разложение локального потенциала V(x) вблизи некоторой точки экстремума:

(3) V(x) = V(0) + 2 aijXiXj* 2 ащх^хрс^ 2 а ^ х ^ х ^ + . ..

*, у I, / . / /, / , /. w

. . . + = V(0) + А²х² +А³х³ + Л⁴*⁴ + . . . , Л²х² = 2 aijXiXj и т.п., /. У

Л²=А²(у), А³=А.³(у), А*=А⁴(у), А²х² = 2 а ^{а а} ^ %^а = Ис^1аХг.

a i Если все собственные значения а^аа матрицы А² существенно положительны, то потенциал V(x) является одноямным. Основной интерес представляет возмож-

1342

ность обращения в нуль (изменения знака) одного или нескольких значений а^аа. Зависимость V от мод движения для которых а^{а а} = О, определяется членами разложения степени выше второй. Последние также могут обращаться в нуль при соответствующих флуктуациях переменной у, так что в рассматриваемом ансамб­

ле могут реализоваться различные типы потенциалов V (х).

Удобно сопоставить каждому потенциалу V(x) точку в пространстве Г =

= \ац, ащ,... } = \a^s\ (для краткости координатные оси пространства Г нуме­

руются одним индексом s). При этом гиперповерхность у^с в А отображается на гиперповерхность 7 ! , разделяющую Г на подпространства Г^, и Г " , отвечающие соответственно одноямным и неодноямным потенциалам V(x). Подпространство Г " содержит вложенные подпространства Г², . . . , Г² , . . . , соответствующие отрицательности z⁰( > 2) собственных значений а^{а а} и ограниченные гиперповерх­

ностями y^z . В свою очередь, каждое подпространство Г^ш характеризуется более тонкой структурой, порождаемой гиперповерхностями, на которых меняют знаки коэффициенты при высших степенях разложения. Рассматриваемому ансамблю соответствует в Г плотность распределения

(4) * ( { * , } ) = / р ( у ) П H<*s-a^s{y))dy А ^

с конечными масштабами спада o^s (в соответствующем кристалле было бы #0^1) =

= П5(а⁵ - 0 ^г)) ) . Мы полагаем далее на эмпирической основе, что относитель-

s

ная концентрация неодноямных атомных потенциалов ( z⁰ > 2) в аморфном ве­

ществе мала, с = / g(\a^s\)Uda ^s < 1, т.е. в Г " попадает лишь малая часть распре- г" ^

деления g(\a^s\). Центр \a^s\ распределения g(\a^s\) может при этом находиться в любой точке \a^s\ в Г ' не слишком близко от гиперповерхности у^х, \у\ -a^s\>

> o^Si но расстояние \a^s - а^^сг^\ не должно быть очень большим, \a^s - а^^сг^\ <

<\a^s | , если ближний порядок соответствующего кристалла при аморфизации не разрушается*.

Оказывается, что вероятности реализации различных типов V(x) сущест­

венно различны благодаря существенному различию отвечающих им объемов в пространстве Г. Вопрос об относительной величине объемов, отвечающих тем или иным типам V (х), может быть решен на основании результатов элементарной теории катастроф (см., например, [ 5 ] ) . Далее мы приведем очень краткое иллюстратив­

ное изложение некоторых из этих результатов в удобном для наших целей виде.

Рассмотрим для простоты случай п = 2, х = \х^х, х²\ , так чтоА²х² = а^{х х}х\ +

+ # 1 2 * 1 * 2 + 0 2 2 * 2 - В подпространстве R³ = { 0 ц , 0 1 2 , # 2 2 } пространства Г форма А²х² является полным квадратом (вырождается в одном направлении) на поверх­

ности дискриминантного конуса а\² —Аа^хха²² = 0 (рис. 2 ) . Вырождение же в двух направлениях происходит в единственной точке 0 ц = а¹² - а²² = 0 . Аналогично можно убедиться в том, что при п > 2 размерности гиперповерхностей у^т иу^т_^х

В R«("+1) / 2 находятся в с о о т н о ш е н и и D ( y^m_^х) — D(y^m) = т.

Подобным образом решается и вопрос об обращении в нуль коэффициентов высших степеней разложения по той из координат (скажем, £ i ) , для которой соб­

ственное значение ( 0 ц ) матрицы А² равно нулю. В этом случае, используя лемму расщепления [ 5 ] , можно записать (3) в виде

(5) К ( * ) - К ( 0 ) = / ( Ы + 2 а^ааЦ,

* Фактически, мы имеем в виду идеальное (вдали от дефектов) стекло, описываемое случай­

ной сетью атомов с заданным ближним порядком, совпадающим с ближним порядком в соот­

ветствующем кристалле [4 ] .

1343

где все другие a^a0L существенно положительны и / ( £ ) — полином порядка / > 2.

В подпространстве R³ = \a^lXi b^lf е^х\ коэффициентов разложения tfj ^ ² + / ( £ i ) =

= tfn£i ^{+ +} квадратичный член исчезает в плоскости а^Х\ = 0, а кубиче­

ский — лишь на одной прямой этой плоскости и т.п. На основании таких соображе­

ний можно заключить, что размерности пространства, в которых обращаются в нуль первые т или т — 1 членов высших степеней, соответственно, различаются на единицу.

Заметим теперь, что, хотя выше речь шла о ситуации при точном обращении в нуль одного или нескольких коэффициентов разложения ( 3 ) , совершенно таким же образом можно говорить и о ситуации при относительной численной малости этих коэффициентов, не равных нулю. Далее для удобства будем считать все величины в (3) обезразмеренными введением соответствующих масштабов. В частности, будем выражать смещения х в атомных единицах длины а⁰, а энергию - в харак­

терных для твердых тел единицах k^al, где = Mio^2D - обычный масштаб величины квазиупругих констант, к^ ~ (10—30) э В / А² (М — характерная атом­

ная масса, C J^D — дебаевская частота). Тогда в отсутствие вырождения обезраз- меренные коэффициенты а\ , = ^а. , (к⁽⁰⁾)~¹а™~² характеризуются масшта-

т т

бом | а\ , | ~ 1, а близости к вырождению соответствует | а\ ^t | < 1.

Возьмем какое-либо заданное малое число е < 1. Тогда тип критического потенциала можно охарактеризовать числом т аномально малых собственных значений \a^0l0l\< е: V(x) = V^m(x, е ) . В фазовом пространстве Г критическим потенциалам V^m (х, е) соответствует узкий слой толщины е < 1 вблизи гиперпо­

верхности у^т, так что отношение фазовых объемов для потенциалов V^m(x, е ) и V^m_^x(x, е) составляет т^т/т^т_i ~е^т < 1 (см. рис. 2 ) .

Если величина е столь мала, что е ^ o^s для всех существенных s = (/,/), то относительные концентрации потенциалов V^m (х, е ) (если они вообще реали­

зуются в данном веществе) определяются просто отношением соответствующих им фазовых объемов. При этом множество критических потенциалов представ­

ляется в основном потенциалами V^l(x^f е ) , и в этом смысле V^x (х, е) является типичным критическим потенциалом. При рассмотрении потенциала класса V^х (х, е ) без потери типичности можно допустить еще аномальную малость и смену знака коэффициента при кубическом члене по той из мод, по которой имеется близость к вырождению (by выше, см. ( 5 ) ) , поскольку вероятность этого события (~ е ) все еще существенно выше вероятности одновременного вырождения формы А ²х² в двух направлениях ( ^ е²). Таким образом, типичные критические потенциалы при достаточно малых е описываются выражениями

(6) V(x) = V, (х, е ) = а , & + Ъ\%\ + еЛ\ + 2 а^аа & + V(0)

<ХФ\

при | Д ц | < € , I 6i | 5 $ I | > е, I flcml ^ €, ос Ф 1, причем здесь на основе физи­

ческих соображений (финитность движения в потенциале V(x)) следует полагать е^г>

> 0 и a^a0L > 0 .

Типичные критические потенциалы описываются выражением (6) и в случае, когда a^s <С е < 1 для некоторых s = ( / , / ) . Действительно, распределение g({a^s\ ) не может быть сильно анизотропным и поэтому пересекает гиперповерхность у^г по нескольким измерениям, как правило, вдали от относительно малых фазовых объемов т^т при т > 3 , поскольку при а⁵ ~а^^г ^ 1 и l7i - ^a\^cr * I ~ 1 флуктуа­

ции, отвечающие значениями a^s вблизи у^х, значительны, \a^s - a^s\~ 1 и не могут считаться независимыми для различных s. В результате заметно флуктуируют по крайней мере несколько величин a^s. Наглядная интерпретация для случая п = 2 дана на рис. 2, где изображен типичный вид распределения g(\a^s\). Заметим, что альтернативный случай типичных V ² (х, е ) соответствовал бы при этом распределе- 1344

нию g({a^s\) вида очень узкого цилиндра, "протыкающего" внутренность двой­

ного конуса рис. 2 в начале координат; из-за отмеченной связи между флуктуа- циями различных ац подобное распределение фактически не реализуется.

Неодноямные потенциалы, не обладающие критическими свойствами, соот­

ветствуют значительному удалению от поверхности у^х в область Г "фазового про­

странства на расстояния е < 1. В рамках излагаемого подхода при с< \ в аморф­

ном веществе (см. выше) следует считать, что при таких е плотность распределе­

ния g(\a^s\) в Г " пренебрежительно мала, резко убывая при удалении от гипер­

поверхности ух (в альтернативном случае концентрация неодноямных потенциалов не была бы малой). Масштаб этого убывания определяется ширинами o^s. При этом подавляющая часть неодноямных потенциалов в аморфной системе характеризу­

ется значениями \а^а011^ о < 1. Учитывая это и изложенное выше, можно считать, что типичные неодноямные атомные потенциалы в рассматриваемых системах суть двухъямные критические потенциалы ( 6 ) .

В заключение отметим, что выявленные типичные формы неодноямных по­

тенциалов в аморфных структурах характеризуются по крайней мере двумя су­

щественными физическими особенностями: наличием двухуровневых атомных туннельных состояний и аномально высокой обобщенной восприимчивостью. Эти особенности могут проявиться во многих эффектах (см., например, [ 6 ] ) .

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Академии наук СССР, Ленинград

Ленинградский политехнический институт им. М.И. Калинина

Поступило 9 VIII 1982

ЛИТЕРАТУРА

I.Anderson P.W., Halperin В., Varma С. - Phil. Mag., 1972, vol. 25, p. 1-7; Phillips W.A. - J. Low Temp. Phys., 1972, vol. 7, p . 3 5 1 - 3 6 0 ; Amorphous solids. Low temperature properties. Berlin:

Springer-Verlag, 1981, ed. by Phillips W.A. 2. Карпов ВТ., Клингер MM. - Письма в ЖТФ, 1980, 6, с. 1 4 7 8 - 1 4 8 1 ; Klinger M.L, Karpov V.G. - Sol. St. Comm., 1981, vol. 37, p. 9 7 5 - 9 7 8 . 3. Co­

hen M.H., Grest G.S. - Phys. Rev. Lett., 1980, vol. 4 5 , p. 1271-1274. A.Mott N.F., Davis A.E.

Electronic processes in noncrystalline solids. Oxford: Clarendon Press, 1979. 5.Постом Тим, Стю­

арт Иэн. Теория катастроф и ее приложения. M.: Мир, 1980. 605 с. 6. Клингер М.И., Кар­

пов ВТ. - ЖЭТФ, 1982, 82, с. 1687-1704.

УДК 539.126 Ф И З И К А

Л.М. СЛАДЬ

ВОЗМОЖНАЯ РОЛЬ АКСИАЛЬНЫХ ФОТОНОВ В ОСЛАБЛЕНИИ ПОТОКА СОЛНЕЧНЫХ НЕЙТРИНО

(Представлено академиком А.М. Балдиным 16 IX 1982)

Проведение экспериментов по регистрации солнечных нейтрино на ^{7 1}G a [1]

и на ^{1 1 5} In [2] даст возможность судить о потоке на земной поверхности электрон­

ных нейтрино с энергиями выше 0,24 и 0,12 МэВ соответственно и сделать более оп­

ределенные выводы о причинах уменьшения такого потока, установленного ранее для нейтрино с энергиями выше 0,81 МэВ в экспериментах на ^{3 7}С 1 (см. L3J и имею­

щийся так обширный список литературы).

5 . 2 9 5 1345