Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. А. Цурко, Разностные методы приближенного решения двумер- ных параболических уравнений с разрывными коэффициентами, Дифференц. уравнения, 2002, том 38, номер 7, 1001–1003
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
3 ноября 2022 г., 16:28:39
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2002, том 38, № 7, с. 1001-1003
с условиями
и(х7 0) = и0(х), и(х, t)\St = и(х, t), (2)
St - граница области QT, коэффициент к = к(х) = к(х\,х2) в области G имеет разрывы первого рода, на границе раздела фаз выполняются условия сопряжения .
[кди/дп] \Хт=и = 0, [и] \Хт=и = 0, т = 1 или 2, (3) п - нормаль к границе раздела.
В дальнейшем для определенности предположим, что линия раздела перпендикулярна оси х2 :
[к ди/дх2) \X 2 = i 2 = 0, [и] \Х2=Ь = 0. (З1) Пусть задача (1)-(3) имеет в области QT единственное решение, обладающее требуемыми по
ходу изложения ограниченными производными в областях непрерывного изменения к(х) (области Gi = [0 < xi < fa] х [0 < х2 < £>] и G2 = [0 < xi < fa] х [£2 < х2 < fa ) .
На отрезке [0 < t < Т] введем равномерную сетку шт = {tj = jr, j = 0,jo, Зот = Г } .
Расчетная сетка по пространству имеет вид Uh — {x[n>) = fahi, i\ — 0,Ni, h\N\ = fa,
x(2i2) = г2Д2,а, fa =0,N2, a = 1,2, h2^Ni2 = h2>2{N2-Nb) = Z2- & , 1 < < N2-l}. Учитывая
предположения о границе раздела фаз, такого рода пространственную сетку построить нетрудно.
На сетке узлов и = ит х Uh неявная разностная схема для задачи (1), (2), (3') имеет вид 2
У1='52(а<*(х)Уха)ха> (x,t)eu, хф(хи&), (4)
а2(х)Ух2\ч^2+1 - a>2(z)yx2\ii,N€2 = 2""1(/i2,i + h2j2)yi\il,N^2 -
-2~1((Н2ЛаюЛх) + ^2, 2 a i G2( ^ ) ) 2 / a i )a ;i l .1, N€ 2, Ч = l , # i - 1, t € ит. (5) Соотношение (5) получено из условия (3') с учетом (1).
В уравнениях (4) и (5) аа(х), а = 1,2, - шаблонные функционалы [2, с. 150], обеспечивающие второй по h порядок аппроксимации операторов (д/дха)(к(х) ди/дха), а = 1,2; аюа{х)1 а = 1,2, - шаблонные функционалы, соответствующие к(х) в областях Gai a = l , 2 .
1001
= К Р А Т К И Е С О О Б Щ Е Н И Я = УДК 519.63
Р А З Н О С Т Н Ы Е М Е Т О Д Ы П Р И Б Л И Ж Е Н Н О Г О Р Е Ш Е Н И Я Д В У М Е Р Н Ы Х П А Р А Б О Л И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И Й
С Р А З Р Ы В Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И
© 2 0 0 2 г. В . А . Ц у р к о
Разностные схемы для одномерных уравнений эллиптического, параболического и гиперболиче
ского типов с разрывными коэффициентами построены и обоснованы в работах [1, 2]. Локально- одномерные разностные схемы для двумерных параболических уравнений рассмотрены в [3].
В настоящей работе для нахождения численного решения двумерных параболических уравнений строятся и исследуются неявные разностные схемы. Предполагается, что разрыв коэффициентов про
исходит вдоль линии, перпендикулярной одному из направлений осей координат, и граница раздела фаз не меняется по времени.
Для наглядности изложения полагаем, что физические процессы, описываемые рассматриваемыми в данной работе уравнениями, носят изотропный характер.
Для реализации неявных разностных схем применяется итерационный метод [4]. В работе исполь
зуются обозначения, принятые в [2].
Рассмотрим в параллелепипеде QT = G х [0 < t < Г], G = [0 < х\ < fa] х [0 < х2 < fa], параболическое уравнение вида
1002 ЦУРКО
Разностные уравнения замыкаются краевыми и начальными условиями
у0 = UQ(X), yJ\sT = M O M J ) , j = ТГто- (6)
Отметим аппроксимационные свойства полученных разностных соотношений.
Локальная погрешность аппроксимации условий (4) на точном решении в областях G\ и G2 равна соответственно 0(т + / i2) , а = 1,2. Погрешность аппроксимации соотношений (5) равна 0 ( ( т + Л?)(Л2,1 + Л2,2) + Л |д + Л^2 + (Л2д + Л2,2)Л?).
Используя методику исследования устойчивости из [2], нетрудно доказать следующее утверждение.
Т е о р е м а 1. Разностная схема (4)~(б) сходится. Для погрешности метода имеет место оценка
\\z3\\c < 0(hm + т), j = 1, jo, 2de_zj = uJ - yj, hm = т а х ( Дь Л2,ь Лг.г)-
Для нахождения j = l,jo, по соотношениям (4)-(6) используется метод матричной прогон
ки [5]. Для сокращения числа арифметических операций решение неявной разностной схемы можно находить с помощью итерационного процесса, предложенного в [4]:
S+1 8* 5°
У1 =(а1(х)угх)хх+{а2{х)ух-2)х2> (x,t)€u, хф{хи&)> (7)
S° 5°
а2(х)у t-JiuN^+l - Cl2(x) У X2\iuN^2 =
= 2 (Л2,1 +Л2.2") 2/t Ui,iv€a - 2 ({h21iaiG1(x) + h2t2aiG2{x))yXl)Xl\iltN€2, t e u Ti (8)
' ^ I S T = /*0М), Syli= CV ~у)/Т, 5 = 0 , 1 , 2 , . . . , (9) если 5 -I-1 - нечетное число, то 5* = 5 4-1 и s° = 5, если s -f 1 - четное число, то s* = s и s° = s -Ы.
Последовательные значения итерационных приближений у, $ = 1 , 2 , н а х о д я т с я последова
тельно по каждому направлению методом обычной прогонки. Итерирование ведется до выполнения условия \\3ylj-yjl\c < £i\\yj\\c+£2, где j = l , j0, 5 = 1 , 3 , 5 , . . . , s\ и e2 - эмпирические параметры.
Т е о р е м а 2. Итерационный процесс (7), (8) сходится абсолютно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Д л я наглядности изложения положим Л2д = /12,2 = Л2. Обозначим р =
S + L S
у - 2 / , s = 0 , l , 2 , . . . , 2 ^ a i G x f r ) +аю2(х)) = a i ( a r ) , t2 = t'i = l , J V i - l ,
° l g a i ( » ) , *i = l , N i - l , »2 = ^ 2 1
a - V H S l ^ j l = 2-*т\\#2вРш2]\ = ||p||2, 0(Й = ( 1 Й2 + l l T l l2 + llPlli + l № l ? )1 / a. Из соотношений (7), (8) для разностной функции р получим следующие уравнения:
°У = т(а2(х)С~р1 + р)х2)х2, 5 = 1 , 3 , 5 , . . . , (10)
s~pl = r ( S i ( x ) (sp1 - Ь р )г 1)Ж 1 > 5 = 2 , 4 , 6 , . . . , (11)
»1 = 1 , ^ - 1 , i2 = 1 , ^ 2 - 1 , вр1| 5 т = 0 , 5 = 0 , 1 , 2 , . . .
Умножим уравнение (10) скалярно на р , 5 = 1 , 3 , 5 , . . . , а уравнение (11) скалярно на р , 5 = 2 , 4 , 6 , . . . Применим первую разностную функцию Грина, е-неравенство и сложим полученные соотношения. Имеем
Q^ZW'VwI + WpWI « = 1 , 2 , 3 , . . . (12) Пусть г = /г*, х > 0. Тогда из (12), используя теорему вложения [2, с. 118], получим
Q4'f) < (1 - ha)(Wf\\l + \Ш + 2 Лв +* - V ( | | ' F | |a + ||р||2), (13) где а* = тахГПагЦс} l | f l i | | c ) - Полагаем а > 2 и, не ограничивая общности, заключаем, что существует
q = 2a*holJr3<~2 < 1. Обозначим q = max((l - ha),q). Из неравенства (13) имеем
Q{f) < Q1/2Q(h- (14) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 38 № 7 2002
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ 1003
Ограниченность Q{p) имеет место при достаточной гладкости коэффициентов и решения исходной дифференциальной задачи. Из неравенства (14) непосредственно следует сходимость итерационного процесса (7), (8).
Расчеты на различных модельных примерах показали высокую точность рассматриваемого итера
ционного метода.
Приведем характерные результаты расчетов. Полагаем, что коэффициент теплопроводности зави
сит от х и t. Введем в правую часть уравнения функцию источников f(x, £), также имеющую разрыв первого рода. Задачу рассмотрим в области QT = [0 < х\ < 1] х [0 < х2 < 1] х [0 < t < Т]. Разрыв коэффициентов происходит вдоль линии х2 = £.
Полагаем
и = Т е х р { - ( я 1 + ж2- £ - - 1 )2+ с г } , *а > f, fc f*, х2 >£,
\ e x p { - ( x i - I )2 + х2- £ + с£}, х2<£, \ - 2 * ( x i - l ) , х2 < £.
Разрывная функция f(x,t) определяется таким образом, чтобы для двумерного уравнения
1—1
при данных и и к имело место тождество. Краевые и начальные условия определяются функци
ей и. Для выбранного нами решения и коэффициента теплопроводности имеют место соотношения [кди/дх2\ = 0, [и] = 0 при х2 — £.
Вычисления проводились итерационным методом при различных параметрах £, с, Т. Варьирова
лись значения шагов сетки г, h\ и h2. При входных данных f = 0.5, с = 0.1, Т = 5, г = 0.1, hi = h2 = 0.025 величина ||z||c = \\у ~ и\\с не превышала значения 0.05. При уменьшении шага г в 10 раз для рассматриваемого теста имеет место неравенство ||z||c < 0.002.
Заметим, что значительное увеличение времени счета не приводило к существенной потере точно
сти. Зависимость коэффициента к от времени и введение функции f{x,t) в уравнение (1) не услож
няет построение и исследование разностных схем и итерационных процессов.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Самарский А.А., Фрязинов И.В. // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1961. Т. 1. № 5.
С. 806-824.
2. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977.
3. Фрязинов И.В. II Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1973. Т. 13. № 1. С. 80-91.
4. Цурко В.А. II Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс, 1978. Вып. 21. С. 91-100.
5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М., 1978.
Институт математики НАН Беларуси, Поступила в редакцию г. Минск 12.02.2002 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 38 № 7 2002
