Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Л. Левин, А. А. Милютин, Задача о перемещении масс с разрывной функцией стоимости и массовая постановка проблемы двойственности выпуклых экстремальных задач, УМН , 1979, том 34, выпуск 3(207), 3–68
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 02:06:25
1979 г. май —июнь т. 34, вып. 3 (207) УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ HAVE
ЗАДАЧА О ПЕРЕМЕЩЕНИИ МАСС С РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИЕЙ СТОИМОСТИ И МАССОВАЯ ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
В. Л. Л е в и н , А. А. М и л ю т и н
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение 3
§ 2. Теоремы о редукции 8
§ 3. Абстрактная версия задач jk и М с функцией стоимости, удовлетворяющей
неравенству треугольника 20
§ 4. Доказательства основных теорем. Обсуждение теоремы 1.1 и ее обобщение
на неметризуемые компакты 33
§ 5. Задача о перемещении масс и массовая постановка проблемы двойствен
ности 45
§ 6. Теоремы о продолжении и одна задача о непрерывных селекторах . . . . 59
Л и т е р а т у р а 67
§ 1. Введение
В настоящей работе изучается следующая экстремальная задача. Зада
ны: компакт X, мера Радона р на X с р(Х) = 0 и функция с на X X X.
Требуется минимизировать функционал (1.1) j с(х, у) dp
ХхХ
на множестве мер Радона \х на X X X, удовлетворяющих ограничениям:
(1.2) | i > . 0f ( Р - 0 ц = р.
Здесь Р, Q суть операторы проектирования мер на X X X в меры на X, определяемые равенствами
J ф (х) d (Р\х) = j ф (х) dp, j <p(x)d (Qii) - j ф (у) d\i
X ХхХ X XXX
для всякой непрерывной функции ф на X.
Обозначим через А{с, р) нижнюю грань значений функционала (1.1) при ограничениях (1.2). Задачу нахождения А(с, р) будем для краткости называть задачей А.
Задача Л впервые была сформулирована и исследована Л. В. Канторо
вичем [1], [2] (см. также [3], [4]) в случае, когда X — метрический компакт с метрикой с(х, у).
4 Bt Л . Л Е В И Н , А. А. М И Л Ю Т И Н
Задачу Канторовича часто называют задачей о перемещении масс. Она является обобщением классической проблемы Монжа «о выемках и насыпях»
и допускает следующую экономическую интерпретацию. Заданы исходное р+
и желаемое р_ распределения некоторого продукта на X ( р+ и р_ суть поло
жительные меры Радона на X, являющиеся элементами разложения Жорда- на меры р). Требуется перейти от первого распределения ко второму с наименьшими затратами при условии, что стоимость перемещения единицы продукта из пункта х в пункт у равна расстоянию с(х, у) между ними х).
Задача Л с непрерывной функцией стоимости с(х, у)^ 0 и произволь
ным компактом X исследовалась В. Л . Левиным [5] — [8].
В настоящей работе мы будем рассматривать разрывные функции с: X X Z - ^ ^ U l + oo}.
Заметим, что в этом случае задача Jk является непрерывным аналогом транспортной задачи линейного программирования в сетевой постановке и превращается в последнюю, когда X конечно. При этом роль сети играет множество точек (х, у) 6 X X X, где с(х, у) < + о о - К исследованию зада
чи Л с разрывной функцией стоимости приводит также изучение некоторых вопросов вариационного исчисления (см. А. Д. Иоффе [9]); возникающая при этом функция с(х, у) удовлетворяет неравенству треугольника
с(х, у) < ф , z) + ф , г/), Чх, z/, z £ X,
полунепрерывна снизу и ограничена снизу, но не ограничена сверху и даже принимает значение + о о . Нашей главной целью будет изучение функ
ций
с: X X Х - > R1 (J { + «>},
для которых справедлива теорема двойственности с любой р, р(Х) = О, аналогичная соответствующей теореме двойственности линейного програм
мирования. В случае метрического компакта X будет получено полное опи
сание множества таких функций в классе всех ограниченных снизу функций с аналитическими лебеговыми множествами {(#, у): с(х, г/) ^ ос}, а 6 R1- Д л я ограниченных функций это описание превращается в эффективно про
веряемый критерий принадлежности указанному множеству. Аналогичный результат будет доказан и для неметризуемых компактов.
Напомним (см., например, [11]), что множество А в полном сепарабель- ном метрическом пространстве Y называется аналитическим, если оно является проекцией борелевского множества В czY X Z, где Z — некоторое полное сепарабельное метрическое пространство. Аналитические множества универсально измеримы 2), и класс аналитических множеств выдерживает операции счетного объединения и пересечения (см. [11]).
Сформулируем двойственную задачу. Требуется максимизировать функционал
(1.3) \u(x)dp х
на множестве непрерывных функций и (х)п& X, удовлетворяющих ограни-
х) Существует ряд работ, посвященных связи между задачами Монжа и Канторовича и некоторым обобщениям задачи Монжа. Наша статья не имеет отношения к этой тематике.
2) Множество в полном сепарабельном метрическом пространстве У называется универсально измеримым, если оно измеримо относительно любой конечной борелевской меры на У.
П Р О Б Л Е М А Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И В Ы П У К Л Ы Х Э К С Т Р Е М А Л Ь Н Ы Х З А Д А Ч 5
чению:
(1.4) и(х) — и(у) < с(х, у), V#, у 6 X.
Обозначим через 38(с, р) верхнюю грань значений функционала (1.3) на множестве, задаваемом ограничением (1.4). Задачу нахождения 38(с, р) будем для краткости называть задачей 38.
Задача 38 достаточно интересна и сама по себе, независимо от ее связи с задачей Л. Сейчас мы опишем некоторый класс подобных задач, введенный А. А. Милютиным. Введение этого класса инспирировано одной конкретной экстремальной задачей с липшицевыми функциями в плоской многосвязной области, принимающими заданные граничные значения. Эта конкретная задача исследовалась П. П. Мосоловым [10] в связи с некоторыми вопросами механики. Пусть X, X' — произвольные компакты, / — непрерывное отображение X' н а Х , s — непрерывная функция на X ' X X ' , р — мера Радона на X с р(Х) = 0. Рассмотрим задачу 38 с функцией
(1.5) ф , у) = min{s(g, и): £, Л 6 X', /(£) = *, /(п) = у).
Легко видеть, что функция с конечна и полунепрерывна снизу на X X X.
Если X' = X, а / — тождественное отображение, получаем задачу 38 с про
извольной непрерывной функцией с(х, у). Задача Мосолова отвечает случаю, когда X' — замкнутая ограниченная многосвязная область в R2, X — дву
мерная сфера, а отображение / склеивает в точку каждый из контуров (вклю
чая внешний), составляющих границу X'.
Задачи А и 38 с произвольным компактом X и функцией стоимости вида (1.5) также будут предметом нашего исследования.
Введем ряд определений и обозначений, которыми мы будем пользо
ваться в дальнейшем. Пусть У — произвольный компакт. Через С (У) обозначается банахово пространство непрерывных функций на У с нормой
|| Ф| | = шах | Ф0/) |, Ф 6 C(Y).
VEY
Сопряженное банахово пространство обозначается через V(Y); его элемента
ми служат меры Радона на У, а норма задается равенством
|| а|| = | а | (У) = а+(Х) + М П <* € V(Y),
где a = о+ — а_ — разложение Жордана меры о, | о | = a+ + a— Через V+(Y) обозначается конус положительных мер в V{Y)-> а через V0(Y) — подпространство, состоящее из мер р, для которых
р(У) = || 1 dp = 0.
Y
Через еу обозначается мера Дирака, сосредоточенная в точке у £ У, т. е.
j<pde„ = <p(y), V c p e q y ) .
У
Вернемся к задачам Л и 38 и рассмотрим в С(Х) множество Q(c) = { u 6 С(Х): и(х) - и(у) < с(х, у), Ух, у е X}.
Заметим, что функция Л(с, р) определена при любой ограниченной снизу универсально измеримой функции г) с: X X X -+ R1 [J { + оо}] и любой
х) Функция на компакте У называется универсально измеримой, если она измерима относительно любой меры \х £ Т+ (У).
6 В . Л . Л Е В И Н , А. А.; М И Л Ю Т И Н
мере р £ V0(X), а функция <%(с, р) определена при любой функции с, для которой Q(c) не пусто, и любой р £ V(X). Положим по определению
«^(с» Р) = +°°> если р (J V0(X), и .^(с, р) = —оо, если Q(c) пусто.
Заметим, что функции «^(с, р) и $(с, р) сублинейны по р и суперли
нейны по с 1). Отметим также очевидное неравенство Л(с, р) ^ J? (с, р) для любой ограниченной снизу универсально измеримой функции с и любой Р € V(X).
Нас интересует, для каких функций с имеет место соотношение двой
ственности
А(с, р) = Щс, р), Vp 6 П И .
При этом мы должны исследовать и функции с, не ограниченные сверху, так как иначе пришлось бы исключить из рассмотрения задачу Иоффе и дру
гие содержательные задачи. Можно было бы еще расширить класс задач Jk, рассматривая в качестве с произвольные положительно однородные адди
тивные функционалы
V+(X X X) -> R1 U { + оо}.
С другой стороны, класс задач $} не допускает подобного расширения по р за пределы пространства V(X). Таким образом, изучаемая нами двойствен
ность не симметрична относительно задач Л и J?. В заключительной части статьи мы коснемся этой несимметрии более подробно.
Д л я формулировки первого основного результата нам понадобится введенная в [8] операция, сопоставляющая всякой функции с(х, у) некоторую функцию с%(х, у). Она определяется следующим образом:
£#(*, У) = i n f сп{х, у)-
п
где
Сп(х, у) = min{c(x, у), с\х, у), . . ., сп(х, у)}, сг(х1 У) = inf{c(a;, %) + ф1 ? у): z1 6 X},
ch(x, у) = ini{c(x, zx) + Ф и z2) + . . . + c(zk, у): zu . . ., zk£X) (к > 1).
Легко видеть, что функция с* удовлетворяет неравенству треугольника при условии, что она не принимает одновременно значений + о о и —оо.
Д л я всякого числа N обозначим
(с Д Ю(х, у) = т т { ф , у), N}
и рассмотрим следующее условие на с:
(1.6) Jh{c, р) = lim Л{с Л N, p), Vp 6 V0(X).
N-УСО
Заметим, что условие (1.6) выполнено тривиальным образом, когда с ограничена сверху2.
Т е о р е м а 1.1. Пусть X — метрический компакт.
с: X X Х-+В}{}{+оо}
— ограниченная снизу функция с аналитическими лебеговыми множествами {(х, у): с(х, у) <С а } , а £ R 1. Тогда следующие утверждения равносильны:
1) А (с, р) = §8(с, р) для всех р £ V0(X);
г) Под сублинейной (соответственно суперлинейной) функцией здесь понимается выпуклая (соответственно вогнутая) положительно однородная функция. Выполнение каких-либо топологических свойств типа полунепрерывности не предполагается.
2) Дальнейшие примеры см. в § 4. Там же построен пример функции с (х, у) > О, для которой с#(ж, у) полунепрерывна снизу, но условие (1.6) не выполнено.
ПРОБЛЕМА Д В О Й С Т В Е Н Н О С Т И В Ы П У К Л Ы Х Э К С Т Р Е М А Л Ь Н Ы Х З А Д А Ч 7
2) выполняется условие (1.6) и имеет место одно из двух: либо функция с%(х, у) не ограничена снизу, либо функция, равная с%(х, у) при х Ф у и О при х = у, ограничена снизу и полунепрерывна снизу на X X X.
В связи с этой теоремой представляет интерес подробное изучение опера
ции перехода от с к с^.. Заметим, что эта операция естественно возникает и в вопросах, не связанных с двойственностью. Так, полученное П. П. Мосо
ловым решение основной задачи, изучавшейся в [10], допускает очень простое описание в терминах функции с*, где с определяется по формуле (1.5), а в качестве s взята евклидова метрика в R2 (в этом случае функция с% выпи
сывается явно). Далее, нетрудно показать, что если функция с. X X X —>- ->• R1 U { + о о } удовлетворяет неравенству треугольника, и полунепрерывна снизу (в таком случае с% = с), то следующие утверждения равносильны:
i) для всех р (= V0(X) величина 98{с, р) равна верхней грани значений функционала (1.3) при ограничении (1.4) в классе функций и(х), удовлетво
ряющих условию Липшица относительно метрики d в X;
п) с(х, у) = lim (с Д Nd)^(x, у) при всех (х, у) £ X X X, где
N-+oo
с Л Nd) (х, у) = тт{с{х, у), Nd(x, у)}.
Описание функций с, для которых справедливо последнее условие, было бы очень полезно с точки зрения тех вопросов, которые изучаются в [9].
Следующая теорема верна для произвольного компакта.
Т е о р е м а 1.2. Пусть X — компакт, с — функция на X X X, опре
деляемая формулой (1.5). Тогда Jb{c, р) = 3$(с, р) для всех р 6 V0(X).
С л е д с т в и е . Пусть X — компакт, с £ С(Х X X). Тогда А{с, р) =
== 38(с, р) для всех р £ V0(X).
Теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в § 4; их доказательство опирается на ряд вспомогательных результатов, которым посвящены §§ 2 и 3.
В § 2 дана редукция задачи Л к случаю, когда функция стоимости удовлетворяет неравенству треугольника.
В § 3 изучается абстрактный вариант задач Л и 38 при условии, что выполняется неравенство треугольника. Рассматривается произвольное мно
жество X, а меры Радона заменяются линейными функционалами на банахо
вых решетках ограниченных функций с sup-нормой на X X X и на X. Полу
ченные здесь общие результаты применяются в § 4 при доказательстве основ
ных теорем к двум конкретным примерам, в которых указанные банаховы решетки состоят из всех непрерывных и из всех ограниченных борелевских функций.
Нам кажется, что теоремы, доказанные в §§ 2 и 3, представляют само
стоятельный интерес как по заключенным в них результатам, так и по при
меняемой технике. В первую очередь это относится к теореме о почти про
должении в § 3 (см. следствие из теоремы 3.4).
В § 4, кроме доказательства теорем 1.1 и 1.2, содержится подробное обсуждение теоремы 1.1 и, в частности, условия (1.6), а также ее обобщение на неметризуемые компакты. В случае диадического компакта X доказан аналог теоремы 1.1 для ограниченных снизу функций
с: X X X - ^ ^ L K + o o }
с лебеговыми множествами, представимыми как результат А -операции над бэровскими множествами в ! х 1 (теорема 4.5). Это — прямое обобщение теоремы 1.1, так как в метрическом случае указанный класс множеств пре
вращается в класс аналитических множеств. Теорема 4.5 переносится с ис
пользованием гипотезы континуума на произвольный компакт X (теоре
ма 4.6).
В § 5 содержится обсуждение полученных результатов с точки зрения некоторой общей концепции двойственности в выпуклом анализе, которую
8 В. Л. ЛЕВИН, А. А. МИЛЮТИН
мы назвали массовой постановкой проблемы двойственности. В этих рамках можно поставить много интересных задач, ждущих своего решения. Несколь
ко таких задач сформулировано в конце параграфа. § 5 можно читать неза
висимо от остальной части статьи.
В § 6 исследуется задача о продолжении ограниченных функций и(х)г
определенных на некотором множестве F C Z H удовлетворяющих условию и(х) — и(у) < с(х, */), V#, у 6 F,
до функций на всем X, принадлежащих заданному классу и удовлетворяющих аналогичному условию при х, у £ X. Используя результаты § 3 и свойства функции с*, мы доказываем ряд теорем о продолжении непрерывных и боре»
левских функций. Здесь же обсуждается одна нетрадиционная задача о непре
рывных селекторах выпуклозначных отображений.
§ 2. Теоремы о редукции
Из определения функции с% сразу следует, что Q(c) = Q(£#). Поэтому i?(c, p) = 38{с^, р), Vp 6 V(X)- В этом параграфе мы покажем, что при некоторых естественных условиях справедливо равенство Л(с, р ) = А{с%, р).
2.1. Рассмотрим задачу Л в случае, когда X — метрический компакт, а с: X X Z ^ ^ U l + o o }
— ограниченная снизу функция с аналитическими лебеговыми множества
ми {(х, у): с{х, у) < а}.
Рассмотрим функцию с%, а также функции сп и сп (п = 1, 2, . . .),, которые были определены в § 1.
Л е м м а 2.1. Для всякого числа а множества в X X X Ап(а) = {(х, у): сп(х, у) < а},
Ап(а) = {(#, у): сп(х, у) < а) (п = 1, 2, . . .), А*(а) = {(я, у): с*(х, у) < а}
являются аналитическими.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку
П оо
Лп(а)= U Ak(a), Ат(а) = [} Ап(а),
k=l n=i
достаточно проверить аналитичность множеств Ап(а). Каждое Ап(а) являет
ся проекцией на X X X множества из (X X X) X Xй
Вп(а) ={(ж, у, %, . . ., zn): c{x, z±) + . . . + c(zn, у) < а}.
Множество Вп(а) аналитическое, так как оно представимо в виде
в
п(а)= и "п'ягы*
где объединение берется по всевозможным наборам рациональных чисел (г1? . . ., гп + 1), для которых гг + . . . + гп+1 < а,
ЩЛ) ={(х, У, *п • • •> zn): c(x, z±) < r j ,
5g(rfe) = {(s, г/, %, . . ., 2n): c(zk-l9 zk) < rfe}, 1 < к < /г + 1, tfS+ifo+i) = {(^ г/, 2Х, . . ., zn): фп, г/) < rn + 1} .
Тогда и Лп(а) — аналитическое множество. •
С л е д с т в и е . Функция с%(х, у) универсально измерима.
ПРОБЛЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 9
Заметим, что с% может быть не ограничена снизу и даже принимать значение —оо.
Пусть \i £ V+{X X X). Если интеграл \ с# d\i не имеет смысла, т. е.
XXX
J" ( 0 +
dV> = J (
с*)- Ф = + °°»
где
(**)+(*, I/) = тах(с#(ж, у), 0), (с*)_(я, г/) = — тт(с*(х, г/), 0), то будем считать по определению, что
При таком соглашении величина «^(с#, р) вполне определена для любой меры р £ Т^о(^) и справедливо неравенство
«^(с, Р) >№(с*, р).
Нам понадобятся определение и некоторые свойства ^4-операции (более подробные сведения см. в [11]). Пусть каждому конечному упорядоченному набору натуральных чисел (пг, . . ., пк) отнесено некоторое подмножество Z(nx, . . ., nk) множества Z. Результатом А-операции над множествами Z(n±, . . ., nk) называется множество
оо
А= U Л Z(nu ...,nh),\
(ni, n2 t« «•) fe=i
где объединение берется по всевозможным последовательностям натураль
ных чисел. Класс множеств, представимых с помощью Л-операции над мно
жествами из некоторой а-алгебры, выдерживает операции счетного объеди
нения и пересечения. Результат А -операции над борелевскими множествами в полном сепарабельном метрическом пространстве является аналитическим множеством, причем всякое аналитическое множество можно представить в таком виде. Если Z — компакт, и. £ V+(Z) и все Z(n1, . . ., nh) ji-измери- мы, то результат Л-операции над ними тоже [х-измерим. Отсюда следует, что ^[-операция не выводит из класса универсально измеримых множеств в компакте Z г). Далее мы будем этим пользоваться.
Т е о р е м а 2 . 1 . Предположим, что для данной меры р £ V0(X) выпол
няется условие
(2.1) А{с, р) = lim Л(с A N, р), где
(с Д N) (х, у) = min (с(х, y),N).
Тогда имеет место равенство
(2.2) Л{с, р) = Л{с*, р).
С л е д с т в и е . Если с — ограниченная функция, то для любой меры р £ V0(X) справедливо равенство (2.2).
Рассмотрим множество
W = {(х, у): с*{х, у) = — оо};
х) Подмножество компакта Z называется универсально измеримым, если оно [х-изме- римо для любой \х £ V+ (Z), или, что то же, если универсально измерима его характеристи
ческая функция.
10 В. Л . Л Е В И Н , А. А. М И Л Ю Т И Н
оно аналитическое, так как
W= П Аш(-п).
п=1
Обозначим М = (X X X) \ W. Фиксируем 8 > 0 и рассмотрим в X X X множества
М0 = {(х, у):с(х, у) = ст(х, у)}, /): сп(х, у)<с*{х, у)-
Т71 = Т 7 П ^1( - 1 / е ) ,
Мп = {(х, у):сп(х, у)<с*(х, у) + г}\[]1 Mh (и = 1, 2, . . . ) ,
Wn = [W{)An(-l/e))\ni)iWk (п>1).
В силу леммы 2.1 все эти множества универсально измеримы. Кроме того, они попарно не пересекаются и
ОО а ,
и м
п= м, и w
n= w.
п = 0 п = 1
Положим
Еп = Мп U Wn (n = 1 , 2 , . . .)•
Предпошлем доказательству теоремы 2.1 следующую лемму.
Л е м м а 2.2. Пусть \i £ F+( Z X X). Для любого натурального числа\т найдется мера Радона \лт £ F+(X X X) такая, что
(Г - 0)Цт = {Р - Q)lL
U
lib III
(2.3) j (cA^)^
m<S J c,d|i-i-2 n(W
n) +
I x l n=0 Mn n = l
m cx>
+ 28 2 (*(£») + # 2 [!(£„).
n = l n = m + l
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для каждого натурального тг определим мно
гозначное отображение Гп: Еп-+ 2хп, полагая
Гп(я, y) = {(zi, . . ., zn): с(х, % ) + . . . + c(zn, у) < сп(я, г/) + е}.
ЕГО график можно представить в виде
U ({(*, I/, 21? . . ., 2„): c(s, zx) + . . . + фл, г/) < г} П
г
П {(х, у, z±, . . ., zn): (х, у) е Еп, —сп(х, у) < в — г}), где объединение берется по всем рациональным числам. Первое из множеств под знаком объединения аналитично, а второе принадлежит а-алгебре
2pl(£'7l) ® В(ХП), порожденной произведениями А X В множеств А 6 2 ^ (Еп), В£В (Хп), где S [Я(£'П) обозначает а-алгебру jx-измеримых мно
жеств в Еп, а В(Хп)~ а-алгебру• борелевских множеств в метрическом ком
пакте Xй. Отсюда видно, что график Гп представим как результат ^.-опера
ции над множествами из 2 ^ ( 4 ) ® В(Хп). Тогда к Гп применима теорема об измеримом селекторе ([29], Следствие 2 1)), согласно которой существует
•) В данном случае можно было бы также воспользоваться теоремами [6 и 7 B [ 3 0 J .
ПРОБЛЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И
fx-измеримое отображение фп: Еп -»- Хп такое, что
фпО*, У) = (<ftil(#> У), • • м Фпп(*, I/)) 6 Гп( * , у)
при всех (ж, у) £ Еп. Положим
фпо(я> У) = Я, ф п п + l f o #) = У
ш рассмотрим отображения грп?1: Еп-> X X X,
4w(s, У) = (фпь-Л*, У)» Фпл(я, У)) . (& = 1, . . ., п + 1).
Теперь мы можем предъявить требуемую меру jxm. Она определяется равенством
т п+1 оо
ц
т(5) = ^(5ПМ
0)+2 2иОШЯ)) + ИВЛ( U Я»))
w=l ft=i n=m+l
для всякого борелевского множества В а X X X.
Ввиду [х-измеримости множеств грй4(5), это определение корректно *).
Очевидно, \хт ^ 0. Обозначим для краткости
оо
E = M0\j( U Д„).
n = m + l
Пусть и 6 С (X). Имеем
\ud(P — Q)\im= j (и (ж) — M(i/))dH,m =
m n + 1
= ^ (u(x) — u(y))d\i+^i j 2 [wfanfc-i(s, */)) — w(q>nfc-(tfiг/))]ф,=
E n = l En ft=l m
= J (u(s) — м ( у ) ) ф + 2 J (u(x) — u(y))d\L =
E n=lEn
= V (u(x) — u(y))d[i=\ud(P — Q)\i, xxx x т. e.
Покажем, что справедливо неравенство (2.3). Положим
оо
Я ' = U Еп.
П=7П+1
Имеем
j (СД ^ ) Ф т < j # Ц т + ЛГЦт(Я') =
m п+1 со
= jc,dn+2 j 2 с(^(*, */))Ф+# 2 i*(^»).
iW0 n = l E n ft=l n = m + l
!) Более того, отсюда следует ji-измеримость множеств \\>nk (А) и равенство
т п+1 со
[x
m(4)=nHn м,)+ 2 2 ц(^и))+ц(л n ( U Е
П))
n = l /i=l n = m + l
для любых |1т-измеримых множеств А а X X X. Это нетрудно усмотреть, если заметить, что для всякого [лт-измеримого А найдется борелевское множество В такое, что \im(A ДВ)=
= 0 (А Д В обозначает симметрическую разность множеств А и В)§
12 В. Л . Л Е В И Н , А. А. М И Л Ю Т И Н
Поскольку фп — сечение Гп,
71+1
2 с{$пк(х, У))<сп{х, у) + е, V(s, у)£Еп.
/1=1
Отсюда и из определения множеств Мп и Wn вытекает
т п+1 т
2 j 2
c(Vnk(x, » ) ) Ф < 2 ( j
c"(*. »)й|1 + ец(^„)) =
n = l En h=l n = l E n m
= 2 ( J c"^i+ j с
лф + ф ( Щ ) <
71=1 M n W n m
< 2 ( j *.Ф + Ф ( M
n) - 4 - n ^ J + eji(£„))<
n = l M n
m m
< 2 ( J c,d
li-±v(W
n))+2e2 p(E
n).
n = l M n n = l
В итоге получаем
m m
J (cAiv)^
m<2 j c*d|*-4-S n(^
n)+
XxX n = 0 M n n = l
m oo
n = l n = m + l
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.1. Будем считать, что*
«^(Cjj., p) < +оо, так как в противном случае утверждение теоремы три
виально.
Возьмем 6 > 0 и выберем меру \х ^ О, (Р — Q)\x = p из условия (2.4) j сфф < ^ ( с „ р) + б,
XXX
если «^(с#, р) =^= —°°- Если же Л(с%, р) = —оо, то выберем меру \i ^ 0Г
(Р — Q)\i = p из условия
(2.5) J c,d
lx
< 1 6 'Поскольку в обоих случаях
то имеет место равенство
т
(2.6) I с „ , ф = lim 2 ( c*dM-
Рассмотрим меры \im, отвечающие и. по лемме 2.2. Из (2.3), (2.6) вытекает (2.7) Л (сAN, p X J i m j ( с Л # № т <
1
M
ПРОБЛЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 1 3
Если \x(W) = 0, то
М XXX
Устремляя в (2.7) 8 к нулю и используя (2.4), (2.5), получаем Jh(c Д N, р ) < Л(с^ р) + б,
если Л{с%, р) Ф —оо, и
Л{с Л ^ , Р ) < - 1/6,
если Л{с%, р) = —оо. Ввиду произвольности б > 0, в обоих случаях Л{с Д N, р) < Л(с„ р).
Если же \i(W) > 0, то
] с* dp, = — оо
и, переходя в (2.7) к пределу при 8 - ^ 0 , получаем Л{с Д N, р) = —оо.
Итак, во всех случаях
Л(с Д N, р) < ^ ( с# > р), и остается воспользоваться условием (2.1). •
З а м е ч а н и е 2 . 1 . Всякая функция и £ С(Х), удовлетворяющая неравенству
м(ж) — и(у) < ф , у) (х, у 6 X),
удовлетворяет аналогичному неравенству с с Д 7V, вместо с, когда 7V > 0 достаточно велико. Отсюда и из монотонности ^ по первому аргументу
получаем
Л (с, p ) > T i i n A(c/\N, p ) > l i m Jh(c[\N, p ) > l i m ^ (сДЛ^, p) = #(<:, р).
iV-oo ] y ^ £ iV-*oo
Следовательно, условие (2.1) необходимо для справедливости соотношения двойственности Jk{c, р) = J?(c, p).
З а м е ч а н и е 2.2. Условие (2.1) не является необходимым для равенства (2.2). Приведем контрпример. Положим
+ оо, если хфу, если х = у, и возьмем р = гХо — еУо, где х0 Ф у0. Легко видеть, что
Г + оо, если хфу, с* (х, у) = { * v У [ — оо, если х = у,
и А(с, р) = А(с%, р) = + о о , в то время как А(с Д N, р) = — оо при любом N ;> 0.
2.2. Рассмотрим теперь задачу ^ в случае, когда X — произвольный компакт, а функция с(х, у) определена формулой (1.5).
Отображение /: X' —>- X продолжается до непрерывного линейного отображения /: V(X') -»- V(X), действующего по формуле
[ q > ( * ) r f ( / p ' ) = J < P ( / ( 5 ) ) d p \ V p ' G F ( X ' ) , Ф€ С ( Х ) . Аналогично определяется линейное отображение
/ X /: V(X' X X') - > 7 ( Х X X).
Г + о о
14 В . Л , Л Е В И Н , А . А . М И Л Ю Т И Н
Обозначим через Р' и Q' операторы проектирования V(Xr X X') ->- V(X')r
аналогичные соответствующим операторам Р и Q для X.
Пусть р £ V0(X). Обозначим через A'(s, р) нижнюю грань значений интегралов J s dv по всевозможным мерам v 6 ^ + ( ^ ' X X'), для которых
Х'ХХ'
КР' - Q> = р.
Отметим тождество
f(P' - Q')v = (Р - < ? ) ( / X /)v, Vv 6 V(X' X Z ' ) .
Л е м м а 2.3. Для любой меры р £ V0(X) справедливо равенства А(с, р) = A'{s, p).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любой меры v £ V+CX"' X X')r f(P' — Q') v = p мера \i = (/ X /)v принадлежит У+(Х X X), удовлетворяет соотношению (.Р — Q)\i = p и при этом
j s d v > j с (/(£), /(Tj))dv= j cd|i.
Р Х Г XXX XxX
Следовательно, Jb'(s, p) ^ «^(c, p).
Чтобы доказать противоположное неравенство, рассмотрим в X' X X*
множество
# = { ( £ , п):«(Е, Т1)=*(/Ш, /(Л))}-
Из определения (1.5) функции с видно, что (/ X /) (Н) = X X X. Пусть
\х 6 V+{Х X X) и (Р — Q)\x = р. Поскольку с — борелевская функция (она полунепрерывна снизу), мы можем воспользоваться теоремой Лузина о С-свойстве и построить последовательность попарно непересекающихся замкнутых множеств Fn а X X X таких, что
[i[(X X X) \ U Fk]< Нп
и ограничение с \ Fn функции с на Fn есть непрерывная функция на Fm
(п = 1, 2, . . .). Рассмотрим в X' X X' множества
#
П=#П (/х ь-ЧРп)
и покажем, что они замкнуты. Пусть обобщенная последовательность (£7, г\у) £ Яп сходится к точке (£, г)) ^ Г X X'. Тогда
(/(У, / ы к ^ , (Ш, /(л))=нш(/(у, / ы к ^
Y
и
s ( | , i,) = lims(iv t r]v) = limC(/(iv), / Ы ) = в(/(5), /(Л)), т. е. (g, т|) 6 #п- Итак, Яп замкнуты и (/ X /) (Яп) - Fn.
Тогда всякая положительная мера Радона на Fn является образом относительно / X / некоторой положительной меры Радона на Нп. В самом деле, отображение ф v~* ф о (/ х /) является линейной изометрией C(Fn) на замкнутое подпространство L в С(Нп), состоящее из функций вида
<р(/(£), f(r\)), где ф б C(Fn). Поэтому всякая мера Радойа u/ £ V+ (Fn) задает некоторый непрерывный линейный функционал X ^ О на L х). Продолжив его с сохранением нормы на все пространство С(Нп), получим меру Радо
на v' на Нп, причем \л' = (f X /)v\ Положительность меры v' немедленна следует из положительности X и равенства || v' || = | | Х\\.
г) Запись X > О означает, что функционал X положителен, т. е. принимает неотрица
тельные значения на неотрицательных функциях из L.
ПРОБЛЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 1 5
Пусть vn ^ О — какая-нибудь мера Радона на Нп, для которой (/ X /)vn = \i | Fn. Определим меру Радона v ^ О на X' X Х\ полагая
сю
Х'ХХ' п=1 Нп
для любой g £ С(Х' X X1). Это определение корректно, так к а к
со со со
2 | j ' t e i f fn) d vn| < i i £ i i 2 J ^ » Н Ы 1 2 f*(^n)=iifii-iiiiii.
n=l Нп п=1Нп n=i
Далее, легко видеть, что (/ X /)v = \x и, следовательно, ftp' - Q')v = (P- Q)ii = p.
Поскольку Нп cz H, получаем
со со
} s d v = 2 J ( s | ^n) d v „ = 2 j с(/(£). /Ol))dvn =
ГХГ n=lfln п=1Нп оо
= 2 Jcd(|i|^„)= { c<fy.
Так как \x £ l^+(^ X X) — произвольная мера, для которой ( Р — Q)\i = р , отсюда следует, что Jk'{s, p) < ; Jh{c, р ) . н
Определим теперь функцию
7,(£, Л) = i n f ^ (g, г]) & r ^ X ' ) ,
n
где
7n(l, т)) = m i n ( s ( | , n), ? ( £ , *l)» - . ^ - Ч)), 7na, ti) = min {s(l, S i ) + S *(&, &+i) +
+ «(In, Ti):£fc. Ь к € Х ' , / ( ^ ) = /(L)(fe = l , . . . , n ) } (для тг = 1 член с 2 отсутствует).
Легко видеть, что функции sn9 sn непрерывны.
Л е м м а 2.4. Имеет место один из следующих двух случаев: (а) % =
= —оо, (б) ^ ^ С ( Г х Х ' ) , и последовательность sn сходится к s% равно
мерно. В первом случае с^== — оо, а во втором с% полунепрерывна снизу и связана с s% равенством
(2.8) сш (х, у) = min К (£, т|): / (£) = х, f (r\) = у}.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что семейство функций К & Л): и = 1, 2, ...}
равностепенно непрерывно.
Фиксируем точку (?-, т ) ) £ Х ' х Х ' . Поскольку Xе — компакт, a s£
£ С ( Х ' х Х ' ) , то д л я каждого е > > 0 найдутся такие окрестности U^(E),
U-(s) точек £, г], что
(2.9) \4(1, £) —«1(1, 0 | < е , |s(C, n) —*(C,
при всех i6£/f*(s), r i e U - ( e ) , £ € * ' .
16 В. Л* ЛЕВИН, А. А, МИЛЮТИН
Возьмем g £ Ur (е), г) £ С/"- (е). Для всякого натурального п найдутся такие точки fft, Vk, £ft, ^ (Л = 1, . . . , и ) , что
/(&)==/(5), /(Ь0 = Ш)'
и
(2.Ю) 7" (f, ч) = s (|, £.) + 2 * (&, Ём-i) + * (е., л),
fe<n
(2.11) F»(6, TI) = S(S, s o + 2 *(&, £ft+i) + s(£;, rj).
fe<n
Из (2.9) —(2.11) и определения sn получаем
= 7»(g, ti) + *(f, & ) - * ( £ , Ci) + s(U, 4 ) ~ s ( S ; , *])<>(£, ri) + 2e, J»(g, ri)<s(E, Ci)+ S *(!*, Zk+i) + s(&, r,) =
=?»(!; ^)+s(i, so-sd, £)+«(&, л)-*(£», n)<7
n(li л)+2е.
Таким образом^ мы указали такую окрестность Ur (e) x £/=• (е) точки (I, г]), что
|в
п№,л)-*
п(1л)1<2
8для всех (£, rj) £ f/r- (e) X Z7- (e) и всех тг. Кроме того, в силу (2.9) И£» л) — ^ (f. л)| < 2s
для всех (|, г|) gZ7^(e) X Z7-(e). Отсюда и из определения sn следует, что (2.12) | 5л( £ , л ) - * п ( 1 , Л ) | < 2 е
для всех (|, т]) £ t/|- (е) X Z7- (е) и всех п.
Таким образом, семейство функций {sn: п = 1, 2, . . .} равностепенно непрерывно в каждой точке (£, у\) £ X' X X'.
Тогда в силу теоремы Арцела имеет место либо случай (а), либо слу
чай (б).
Далее, для всякого натурального п имеем
оп (х, у) = min {с (х, zt) + 2 c\(zk, zk+i) + с (zn, у): zu . . ., zn £ X) =
h<n
= min {s (g, Si) + 2 * (Gk, Sft+1) + * (&, t|): / (?) = a:, / (т|) = у, f (£*) =
= /(й)(А = 1, ...,i»)} = min{^(gfT|):/(6) = ^ /(т,) = у}.
Следовательно,
(2.13) сп(ж, г/) = min{7n(£, т|): /(g) = х, f(r\) = у}.
В случае (а) для всякого х найдется номер п(х), начиная с которого min {7п(^ ц): /(£) = х, f(x\) = я} < — 1 .
Тогда
с%(х, х) = lim сп(х, х) <С —1,"
и так как с% удовлетворяет неравенству треугольника, то с% = —оо.
ПРОБЛЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ ВЫПУКЛЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ 1 7
В случае (б) возьмем точки £п, г\п, для которых 1 Kin) = X> /(Лп)1=|Уэ
Sndn, Лп) = min{sn(g, TI): /(£) = ж, /(т|) = у}.
Используя компактность X' X X', выберем сходящуюся обобщенную под
последовательность
(Kv, ^ v ) ^ & ' -*Ло)-
Тогда /(£0) = х, /(т)0) = у и, так как последовательность sn сходится к ^ равномерно, имеем
** (£о7лТГ= limTn (?nv, ^nv) = lim cn (ar, y) = lim cn (x, у) = с* (х, у).
v v v О-*00
С другой стороны, в силу (2.13)
с * ^ , У) = ] lim сп (а:, у) < lim snr(£, r]) = s* (£, л)
П-*оо п-*оо
для любых g, т| с /(g) == ж, /(т)) = у.
Следовательно, справедливо равенство (2.8), из которого вытекает полу
непрерывность снизу с*. •
З а м е ч а н и е . Нетрудно проверить, что если s(£, ц) ^ 0, Vg, л 6 X1
nftg, I) = О, П 6 X', то
с* 6 С(Х X X), с*(я, у) > 0, V*, у 6 X, <:*(*, ж). = 0, Vx е\Х и
М£, л) = '*(/Ш, /ft)), vg, г! б х:
Из лемм^2.3 и 2.4 получаем
С л е д с т в и е . Для всякой меры р 6 ^о(^) справедливо равенство Jt'(s*, р) = -Щс*. р).
Д о к а з а т е л ь с т в о . В случае (а) «?#'($#, р) = «^(с*, р) = —оо.
Если же имеет место случай (б), то все следует из соотношения (2.8) и лем
мы 2.3, примененной к функциям s% и с%. Ш
Т е о р е м а 2.2. Для всякой меры р £ V0(X) справедливо равенство Л{с,р) = А(с*, р).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ввиду леммы 2.3 и следствия из лемм 2.3 и 2.4, достаточно доказать равенство Jk'(s^ р) = «?#'(5*> Р)«
Рассмотрим отображение
Т: С(Х' X X') -> С(Х' X Х')%
действующее по формуле
Tg{h л) = min{^(gfK) +XV* Л): С, С 6 X', /(£) = /(£')}.
Ясно, что с<?1 = 775, sn+1 =Tsn (n = l, 2, • ' . . ) • Отсюда [и из монотонности Т получаем sn+l = min (sn, Tsn) (и = 0, 1, 2, . . . ) » гДе so = s-
Нам понадобится следующая лемма, доказательство которой дано ниже.
Л е м м а 2.5. Пусть g £ С(Х' Х Г ) м К « » ^ " М * ' X X')- Тогда для любого . е • > 0 найдется такая мера Радона v' £ T^+(X' X X'), чиго /(/>' _ Q')V> = /(P' _ Q')V и
J g r f v ' < [ min(£, Z ^ d v + e.]
2 Успехи матем. наук, т. 34,гвып. 3
18 В, Л, ЛЕВИН, А, А, МИЛЮТИН
Продолжим доказательство теоремы. Выберем меру v 6 V+(X' X X ' )r
f(P' — Q')v = p из условия
(2.14) j ~sn+idv<A'Csn+u p) + e,
X'XX'
если A'(sn+1, p) Ф —oo. Если же A'(sn+1, p) = —oo, то выберем меру v 6 V+(X' X X'), f(P' - Q')v = p из условия
(2.15) j sn^dv<^.
X'XX'
Применяя к функции g =sn и мере v лемму 2.5, получаем A' (sn, p ) < \ sn dv' < j sn+1 dv + e.
I'XZ' X'XX'
Если «?#' (5n+1, p) Ф — oo, то отсюда и из (2.14) следует, что A9 (sn, p) <
< A9 (sn+b р) + 2е. Поскольку е>>0 произвольно, это значит, что A9 (sn, p) =
= A9(sn+u,p).
- - 1
Если ^ ' ( 5п + 1, р ) = — о о , то в силу (2.15) A9 (sn, р ) < — ~ + 8> ч т ( >
ввиду произвольности 8 > 0 дает A9 (sn, р ) = — с о .
Итак, в обоих случаях A9 (sn, p) = A' (sn+i, p) (^ = 0^ 1, 2, . . . ) . Возьмем теперь меру v^ £ V+(X' X X'), /(Р' — <?')v* = Р» Дл я которой (2.16) j ~s*\dv:<A'Cs*,9) + %
X'XX'
если A9(s%, p) =7^= —°°- Если же A'(s%, р) = —оо, то возьмем меру v^ £ б V+(X9 X X'), /(/>' ~ <?>* - р и з условия
(2.17) j ^ d v ^ - l .
Применяя к последовательности функций sn лемму Лебега — Фату, полу
чаем
A' (s, р) = A' (sn, p) <; lim
П"°° X'XX" X'XX'
что в соединении с неравенствами (2.16) и (2.17) и произвольностью е > О дает
A'(s, р ) < ^ ' (5* » р).
Поскольку обратное неравенство очевидно, теорема доказана. • Осталось доказать лемму 2.5.
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 2.5. Рассмотрим множество М ={(1, ч) 6 X9 X X9: Tg(t, л) < *(Е. Л)}-
Если v(M) = 0, то в качестве v' можно взять саму меру v. Исключим далее этот тривиальный случай и будем считать, что v(M) > 0.
Для каждой пары точек £, £' £ X' с /(£) = /(£') определим множества UlX^{(hy])^M:g(lЛ) + c^,r])<Tg(^ц) + ^ } .
