Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. Л. Блюмин, П. А. Козлов, С. П. Миловидов, Динами- ческая транспортная задача с задержками, Автомат. и телемех. , 1984, выпуск 5, 158–161

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 01:26:20

У Д К 65.012.122

ДИНАМИЧЕСКАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА С ЗАДЕРЖКАМИ

БЛЮМИН С. Л., КОЗЛОВ П. А.г м и л о в и д о в с. п.

(Липецк)

Формулируется динамическая транспортная задача, учитывающая время движения потоков от поставщиков к потребителям. Доказывает^

ся критерий существования оптимального решения, которое минимизи­

рует транспортные расходы и штраф за неудовлетворенный спрос.

Различные задачи оптимизации потоковых систем требуют учитывать динамику системы, т. е. приводят к построению динамических моделей

[ 1 , 2 ] . В [ 3 , 4 ] рассматривалась динамическая транспортная задача с за­

держками ( Д Т З З ) , которая является естественным обобщением динами­

ческой транспортной задачи ( Д Т З ) [ 5 — 8 ] . В Д Т З потоки от поставщиков к потребителям передаются мгновенно, что не отражает работу транспорта по перемещению потоков. Введение транспортных задержек привело к но­

вому классу математических моделей.

В [3] приведены необходимые условия разрешимости ДТЗЗ в сетевой, а в [ 4 ] необходимые и достаточные условия разрешимости ДТЗЗ в мат­

ричной постановке. Необходимые условия являются условиями превосход­

ства или совпадения в динамике объема производства над объемом по­

требления. Достаточные же условия отличаются от необходимых и свя­

заны с разрешимостью специальным образом построенных транспортных задач с запретами [ 9 ] .

В рамках постановки задачи, принятой в [ 4 ] , отсутствие решения Д Т З З при выполнении необходимых условий говорит о том, что програм­

мы работы поставщиков и потребителей не согласованы по времени: объе­

мы поставщиками произведены, но транспорт их доставить вовремя не может из-за наличия транспортных задержек. Однако целесообразно знать, между какими поставщиками и потребителями, в какой момент и в каком количестве имеется такого рода дисбаланс (другие возможные причины дисбаланса — например внешние нужды пользователя или раз­

работчика модели — в данной постановке задачи не учитываются). Эта проблема решается здесь введением в ДТЗЗ переменных недопоставок, которые определяют перестройку программ поставщиков, обеспечиваю­

щ у ю нормальное функционирование систем. В результате необходимые и достаточные условия разрешимости совпадают и являются обобщением условий разрешимости ДТЗ [7] и транспортной задачи [ 9 ] .

Пусть промышленная транспортная система состоит из т поставщи­

ков Ац i=l, 2 , . , . , т, из п потребителей Bh 7 = 1 , 2 , . . . , п и транспорта, связывающего систему поставщиков и потребителей. Каждому пути (ij), i¥=j приписана транспортная задержка tij^Z^Q={0, 1, 2 , . . . . } . Выберем интервал оптимизации системы потребителей равным [Т0, Т0+Т—1], Т0, T ^ Z0. Поставщику А{ разрешено делать поставки на потребителя Bj в ин­

тервале [Г0—tij, То+Т—1—Uj]. Полагая b = m i n ti h 7 \ = m a x ti h ; = 1 , 2 , . . . , n, получим общий интервал функционирования поставщика A^t равным

[Т⁰—Тц То+Т—1—ti]. В этом интервале заданы объемы а,г(Т⁰—Т&ъ) про­

изводства поставщика Аг и приведенные расходы CiA(TQ—Тг+хг),

^[0, Ti+T—1—ti] на хранение запаса XiA(T0—Ti+Xi) с момента T0—Ti+%i—l до момента Т0—Ti+Xi. Объемы спроса bj(T0+t) и приведенные расходы Cj^B(T⁰+t) на хранение запаса Xj^B(T⁰+t) с момента T⁰+t—1 до момента To+t во всех пунктах потребления B^h / = 1 , 2 , . . . , п заданы в одном и том же интервале [Т0, Т0+Т—1].

Введем переменные поставок un(T0+t), поступающие на Bj в момент To+t и выходящие из Ai в момент T⁰+t—tij, t^[0, T—i] с приведенными транспортными расходами dj(T⁰+t),

В момент времени T0+t система потребителей обеспечивается постав­

щиком Ал из интервала [T0—Ti+t, То—ti+t]. Если, например, объемы про­

изводства сосредоточены в момент Т⁰—U+t, то пункт A^t обеспечивать в мо­

мент T⁰+t пункты B^h для которых tij>U, не может. Поэтому для пункта Ai в момент To—ti+t и пунктов Bj,'.для которых Uj>U, через V{j(To+t) обо­

значим переменные недопоставок с приведенной функцией штрафа lij{T0+t) за неудовлетворительный спрос. Недопоставки Vij(T0+t), выхо­

дящие в момент To—ti+t из Ai и приходящие в Bj в момент T⁰+t, являют­

ся фиктивными. Предполагается, что значения функции штрафа значи­

тельно больше значений стоимостных коэффициентов.

Динамическая транспортная задача с задержками ставится как задача минимизации транспортных расходов Л , расходов на хранение /2 и штра­

фа за неудовлетворительный спрос /³: (1) Л + Л + Л - ^ т т ,

п Т-1

(2) / . - ^ ^ ^ „ ( ^ « « ( Г . + О ,

г=1 3=1 ( = 0 m Ti-tf+T-l

/ Г = = И I J ^С*^А(^Г« - Г < + Т О * <^А( Г . - 7 \ + Т . ) + (3)

г = 1 x^t=l

п Т - 1 "

т n Т—1

(4) . Л = У * ^ V w . + O M r . + t ) -

, ^ПШЗКВШ fflM^llffff дш^^и г'=1 j = i i = 0

при ограничениях, задаваемых

а) уравнениями динамики запасов поставщиков Ail xSiTo-Ti+Xi+V^xSiTo-Ti+xJ + a ^

(5), ^;

п ! - ^ B « ( 2 ' e - r^J+ T^<+ *^{f l}) + vM-Ti+Ti+h),

3=1

Т,<=|0, 7 V t:+T-l], '

б) уравнениями динамики запасов потребителей Bf.

(6). ж Д Г

+ т ) = а;

.

(7/

+О-ВД+О +

г'=1 '

в) начальными и конечными условиями:

Х;^Л ( Г о - ' Л ) =Z,A(T0+T~tt) = 0 , (7)

. т / ( 7^,о ) = ж / ( 7 ' , , - ! - 7 ' ) = 0 ,

г) условиями неотрицательности переменных запасов, перевозок и не­

допоставок:

х{А(Т0-Т<+ъ)>0, г^[1,Т{-и+Т-1];

x/^!(To+t)>0, m[l, Т-1];

UiiiTo+ty^UijiTo-Ti+ti+t^X),

159

(8) t^Tn+ttf-T,, xMTt-t^Ti-ta+T-H;

v^v(T⁰+t) = U y ( 7 Л - 7 Л + т г Н ) 3*0,

• t=Xi+U-Ti, ъЩЪ-Ъ, Ti-ti+T-1].

Теорема. Для разрешимости ДТЗЗ (1) —(8) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

m Tj—(j+e 7 i о

( 9 ) X •^a*(^T»-^T*⁺*t)>YⁱE^ibiWo+t)r se[0,T-2],

m Ti-ti+T-1 ^{n r}_⁴

d o ) £ « Д ^ - ^ + т О ^ ^ ь д Г о + О .

i==l %t=0 3=1 t=0

С содержательной точки зрения условия ( 9 ) , ( 1 0 ) указывают соотно­

шение в динамике объемом производства и потребления с учетом транспортных временных факторов. Невыполнение условий приводит к тому, что спрос опережает предложение.

Доказательство теоремы приведено в приложении.

В заключение отметим, что методом Форда и Фалкерсона [ 1 , 2 ] в [3, 4 ] динамическая транспортная задача с задержками сводится к ста­

тической транспортной задаче на сети, для которой разработаны методы решения [ 9 ] . Поэтому необходимые и достаточные условия разрешимости ДТЗЗ являются одним из возможных критериев разрешимости транспорт­

ных задач на сети.

ПРИЛОЖЕНИЕ Доказательство. Необходимость. Для пункта Ai в интервалах отправления [ T0- ti h T0-tij+s]<=[T0-Ti, To-h+s], s<=[0, T-2] имеет место

П 8 П Ti—ti+9

JLJ JLJ L A JLJ

j = l i = 0 j = l Tf = 0 П Ti—ti+8

j = l Xi = Ti-ti Суммированием no i получим

m n в m n Ti—ti+s

^ ^ ^ в ц ( У о + * ) + ^ д ( У о + 0 < ^ ^ » < i ( y p - - y < + T^<+ ^ i ) + i==l j = l f = 0 i = l J—"1 Xf=0

(П.1)

Пусть ж *л( Г о — ^ г + Т г ) , # j^B( r⁰+ 0 , ю^(Го+0» ^ ( З Г о + О удовлетворяют ограниче- ниям (5) — ( 8 ) . Тогда нулевые начальные условия ( 8 ) и уравнения динамики (5) дают

Ti-П+Ш

x^iA(To-Ti-T'Ti-ti + s+l)=

^

u^ij(To-Tⁱ+Xi + t^ij)+- VijiTo-Ti+Xi+U),

(П.4)

откуда в силу неотрицательности запасов следует

(П.2) а , ( Г , - Г, + т¹) > ^ u^ij(T⁰-Tⁱ+xⁱ + t^u)+ ViiPi-Tt+Tt + U)..

А н а л о г и ч н ы м о б р а з о м из (6) с л е д у е т

п $ п т ш

(П.З) • ^ ^ b ^j { T ^t + t)<J^J^^u^t,(T^t+t)+vⁱ,(T^(t+l).

j = l f = o j = l г = 1 f=0

С у м м и р у я n o i и п о / (П.2)' и с р а в н и в а я с (П.1) и (П.З), п о л у ч и м у с л о в и е (9) т е о р е м ы . У с л о в и е (10) д о к а з ы в а е т с я аналогично.

Достаточность. П у с т ь т е п е р ь в ы п о л н я е т с я у с л о в и е ( 9 ) , ( 1 0 ) . П о л о ж и м

m Ti~ti п

X i s (Т⁰+1) = >П ^ai (^то-Тг +п) - ^ bj ( Г » ) ;

г=1 x^t=0 j= l

m n

x^iB(T⁰ + t+l) = ^ aⁱ( J^,o - t i + . t ) - ^ b^j( r⁰+ * ) + V ( n + 0 , ^ [ 1 , Г - 1 ] ; г= 1 j = l

Я, -А( Г0- Г г+ Т, * ) = = 0 , T, - S [ 0 , Г г - * г + Г ] ;

^ •в( Г0+ 0 = 0 , / = 2 , 3, /г, * e [ 0 , Т].

Из (10) и (П.4) с л е д у е т Xi^B{T⁰+T)=0.

П о с т р о и м т р а н с п о р т н у ю з а д а ч у п р и к а ж д о м ^ [ 0 , Т - 1 ] . Для э т о г о п р е д п о л о ж и м , ЧТО Uij = 0, tij^tiy 8i Uij(T⁰+t)=Vij(To + t), tij = ti,

n

^ ^ j ( y⁰ + Q = f l < (T⁰+t-tt)^t

m

. ^ i ( r⁰+ 0 = 6 i ( n + 0 - « i^B( ^ o + 0 + * i^B ( Z \ > + * + i ) ,

m

^ 1 Я , ( Г⁰+ 0 = Ь 1 ( Г⁰+ « ) , 7 = 2 , 3 , . . . , п.

i = i

У с л о в и е баланса в ы п о л н е н о . П о э т о м у на п р о и з в о л ь н о м ш а г е t с у щ е с т в у ю т д о ­ п у с т и м ы е р е ш е н и я . М н о ж е с т в о о г р а н и ч е н и й задачи е с т ь о г р а н и ч е н н о е м н о ж е с т в о . П о э т о м у с у щ е с т в у е т о п т и м а л ь н о е р е ш е н и е . Т е о р е м а доказана.

Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Форд Л., Фалкерсон Д. П о т о к и в с е т я х . М.: М и р , 1966.

2. Майкина Е. А л г о р и т м ы о п т и м и з а ц и и на с е т я х и г р а ф а х . М.: М и р , 1981.

3. Мило видов С. П., Козлов П. А. Д и н а м и ч е с к а я т р а н с п о р т н а я задача с з а д е р ж к а м и в с е т е в о й п о с т а н о в к е . — Т е х н и ч е с к а я к и б е р н е т и к а , 1982, № 1, с. 211—212.

Мило вид о в С. П., Козлов П. А. О п т и м и з а ц и я с т р у к т у р ы т р а н с п о р т н ы х п о т о к о в в д и н а м и к е при п р и о р и т е т е потребителей.— Э к о н о м и к а и мат. м е т о д ы , 1982, т. X V I I I , в ы п . 3, с. 5 2 1 - 5 3 1 .

5. Чуйко А. С. Об о д н о м с п о с о б е р е ш е н и я л и н е й н о й д и н а м и ч е с к о й задачи т р а н с п о р т ­ н о г о типа.— Т е х н и ч е с к а я к и б е р н е т и к а , 1976, № 6, с. 11—20.

6. Литвак Б. Л. А л г о р и т м р е ш е н и я д и н а м и ч е с к о й т р а н с п о р т н о й задачи— В кн.: Си­

с т е м ы м н о г о с в я з н о г о у п р а в л е н и я . М.: Ин-т п р о б л е м у п р а в л е н и я , 1977, с. 59—68.

7. Кривоножко В. Е., Пропой А. И. О м е т о д е р е ш е н и я д и н а м и ч е с к и х т р а н с п о р т н ы х з а д а ч . — А в т о м а т и к а и т е л е м е х а н и к а , 1979, № 12, с. 133—145.

8. Костюкова О. И., Тонев П. Т. П р я м о й и д в о й с т в е н н ы й м е т о д р е ш е н и я д и н а м и ч е ­ с к о й т р а н с п о р т н о й з а д а ч и . — В кн.: П р о б л е м ы о п т и м а л ь н о г о у п р а в л е н и я . М и н с к : Н а у к а и техника, 1981, с, 2 8 8 - 3 0 5 .

9. Голъштейн Е. Г., Юдин Д. Б. Задачи л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я т р а н с п о р т н о г о типа. М.: Наука, 1969.

П о с т у п и л а в р е д а к ц и ю 15.Х. 1932 A DYNAMIC TRANSPORTATION PROBLEM W I T H D E L A Y S

B L Y U M I N S. L . , K O Z L O V P. A . , M I L O V I D O V S. P.

A dynamic transportation problem is formulated where the time of flow from the suppliers to the customers is a variable criterion is proved for existence of an optimal solution which minimizes the transportation expenses and the penalty for unsatisfied demand.

161