Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Н. Бобочко, Сингулярно возмущенная задача Коши с нестабильным спектром, Изв. вузов. Матем., 1985, но- мер 9, 56–58

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 02:01:15

И З В Е С Т И Я В Ы С Ш И Х У Ч Е Б Н Ы Х З А В Е Д Е Н И Й

1985 ' ' . 'МАТЕМАТИКА № 9(280)

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

В. Н. Бобочко У Д К 517.927 С И Н Г У Л Я Р Н О В О З М У Щ Е Н Н А Я ЗАДАЧА КОШИ

С Н Е С Т А Б И Л Ь Н Ы М С П Е К Т Р О М

В теории сингулярно в о з м у щ е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений особый интерес п р е д ­ ставляют задачи с нестабильным спектром (один или несколько элементов спектра обращаются в н у л ь в некоторых точках, знакопеременны, задачи с точкам», поворота и т. п.). Для построе­

ния асимптотики р е ш е н и я таких задач разработаны различные методы, анализ которых дан в м о н о г р а ф и я х [I]—[3].

Данная работа п о с в я щ е н а построению равномерно пригодной асимптотики р е ш е н и я задачи Коши в случае, когда один из элементов спектра (корень характеристического у р а в н е н и я ) обращается в нз'ль в д в у х точках.

Рассмотрим задачу^

Le U(x, в) = вЮ"{х, е) + ва(х)и' (х, в) + b{x)U(x, е) = А(лг),

при s -> -f 0. П р е д п о л о ж и м , что выполняются с л е д у ю щ и е у с л о в и я •

- 1 ° . а(х), Ь(х), п(х)еС°° [0; 1]. >

2°. С п е к т р X — {\i(x)}, г' = 1, 2, задачи ( I ) у д о в л е т в о р я е т у с л о в и я м

А , ( х ) < 0 , xeJ^[0; 1]; l2{x) = x(x — l)k(x), . k(x)>0, xeJ; \(x) <.l2(x).

И з постановки задачи (1) видно, что изучается задача в случае, когда р е ш е н и е в ы р о ж д е н ­ ного уравнения Ъ (х) а (х) = h (х) имеет разрывы второго рода в точках х = 0 и х = 1.

1. Определение регуляризующих переменных. Н а р я д у с независимой переменной х, исполь­

з у я спектр задачи (1), введем регуЛяризующие переменные t = {ti, t2) по формулам х

*, = l / s | х , ( т ) Л ~^{9 1} ( * ) / . = © , ( * , e ) . 0 - 1 )

0

f j - T s W / V ^ M * . (1-2)

где функция с?2(х) подлежит о п р е д е л е н и ю . Тогда вместо функции 1Т(х, в) и оператора Le бу- дем изучать новую расширенную функцию U{x, t, в) и расширенный о п е р а т о р I^s, причем р а с ­ ширение производим таким образом, чтобы в ы п о л н я л о с ь условие U {x,t,B)= U(x, в) при Ь = Ф{х, в), где Ф \х, в) = {Ф[ (х, в), Ф²(х, в)}. Д и ф ф е р е н ц и р у я д а н н о е т о ж д е с т в о и учитывая (1.1), (1.2), для определения расширенной функции U(x, t, в) получим задачу '

4

L. U{x, t, в) == 2 V^kPkU(x, t, в) = h(x),

• . i w ) . (1-3) U(M⁰, в)=.А, dU(M⁰, t)/dx =• В/г,

где , k = 0 , 4 , — известные о п е р а т о р ы / я в н ы й вид которых при необходимости л е г к о выпи­

сать, М⁰ = (0, t (0)) — точка пространства R³, ц = У в.

Для о п р е д е л е н и я расширенной функции U(x, t, в) получено у р а в н е н и е в частных произ­

водных с точечными начальными условиями, чего в общем случае недостаточно для о д н о з н а ч ­ ной разрешимости задачи (1.3). О д н а к о нами будет описано пространство, в котором задача (1.3) имеет единственное р е ш е н и е . О п и ш е м пространства функций

У г = {Ur (х, t): (У, (х, t) = а,, (лг) ехр £, + а2г (х) ехр {— р (t2, v)} + 56

+ у г С*. У ; у г <*, У -

2

f^ri <*> ( У ; <v (*). (*) б с0 0 [7]},

/ = - 1 (1.4)

оо

(х, 0 : £/, (х, Q = ^ Ur (х, t), Ur (х, t) 6 У,}, Г = Ф .

З д е с ь — р ( £2, (i) = ^ ( ( j f2/ 3 — ср(1)/2), функции 1Г/(£2), — 1, представимы в виде р е к у р ­ рентной формулы

h

ЧГ, ( У = ехр { - р

(t

^{2 , н))}

J

(*) ехр {р (т,

у)}

^{dz, ¥ _2 (*) г 1,} ( 1. 5 ) о

т . е . функции ЧГДУ целые по t3 и имеют известное поведение при £2- > о о . Введенные нами пространства назовем пространствами безрезонансных р е ш е н и й . Д л я полного о п р е д е л е н и я переменной t = {t^it t²] необходимо е щ е определить компоненту t², которую до этого в р е м е н и мы считали и з в е с т н о й , т. е. определить функцию <р²(х). С этой целью изучим д е й с т в и е опера- ратора Ze на функцию

U

^{r (х,}

t)eY

^r

.

Д л я удобства записи в в е д е м обозначения = t² = — р (t², JJ.). Имеем

2 2

Lt 2 air (*) ехр 2 t f<M) + F2 Dt + i>* д*/дх*]Чг ( x ) ехр (1.6) 2=1 Z=l

г д е

/ ( X j ) = \ \ + a{x)\i + b(x) = 0, = ( - 1)< ( X , — X,)rf/tfx + X J( x ) , 1 = 1,2. - (1.7) При получении тождества (1.6) введено обозначение —

^'

²

d^{t

²

, y)/dt

² = l²(x) при

t

² = Ф²( х , е), откуда получим задачу для определения функции <?2(х):

<?2<P2L>2 — ъ(1)\ = Ы*)> <р2(0) = 0. ( 1. 8 )

О п р е д е л и в гладкое решение задачи ( 1 . 8 ) , однозначно определим переменную t={tlt t2}.

2. Построение формального асимптотического ряда решения. Изучая д е й с т в и е о п е р а ­ тора Ь^г на функцию y^r(x, t²) и учитывая (1.6), получим

4

L

^t

U

^r

(х, 0 = 2 I

^х

* U

^r

(x, t), U

^r

(x, t)er

^r

, (2.1)

£ = 0

где

Ли ^ ( v . 0 = P⁰« i r ( x ) e x p £ + [*„ (x) exp £ + 2 Л* (^x) ^wi ( У . (2.2)

Л , £ / Л х , 0 = 2 ?² [«(*) - S - i >-² (x)] fn ( x ) ЧГ,_, ( У . (2.3)

! — 1 , если I—1 = — 2;

I - 2 , если I — 1 > — 1 . (2.4) О п е р а т о р ы , & = 2, 4, в их действии на функции U^r ( х , 0 £ * / ч /" > — I. ^ПР^И необходимости л е г к о выписать.

Таким образом, в пространстве Г,., г > — 1 , п р о и з в е д е н о р а с щ е п л е н и е оператора Z.e на несколько операторов R^, k = б, 4. Р а с щ е п л е н и е произведено таким образом, что простран­

ство Yr инвариантно относительно нового главного оператора R0 (см. (2.2)).

Асимптотику решения расширенной задачи строим в виде

- J - c o

U(x, t, Е) = 2 И6 ( 7 Л х , 0 . Ur(x, t ) 6 YR. (2.5)

r = - l

Подставим (2.5) в задачу (1.3). Учитывая (2.1), для о п р е д е л е н и я коэффициентов ряда (2.5) получим следующие задачи:

До tV_i ( х , t) = 0, £/_, (Л!„) - # 7 _ , (M0)ldt{ - 0, (2.6) До tV⁰ ( х , 0 = А ( х ) — Д ,

г/_,

( х ,

о,

и„{м0) = л , ^ди0(м0)/д^ =

в-<1'

²

ди-лм

^й

)т

²

,

(2

'

⁷⁾

4 А-372 57

4

— частичная сумма ряда (2.5), « > 0 . С у ж е н и е пространств Y^r, Y^r,r>—1, и Y при { = Ф ( х , е) л

л ~ л ~ обозначим соответственно через YT,Yrw Y. С у ж е н и е частичной суммы Utm(х, t) и остаточ­

ного члена асимптотики £ ( х , t, в) при t = Ф (х, в) обозначим соответственно ч е р е з U%m (х, Ф ( х , е)) и £ (х, Ф (х, в), в). Имеет место

Л е м м а . Если выполнены условия 1°—2°, то в пространстве Y (Y) частичная сумма U^em(x, t) (соответственно U^Bm(x, Ф(х, в)) является формальным т-решением задачи (1.3) (задачи (1)) относительно параметра в.

Представим р е ш е н и е задачи (1) в виде

U(x, в) в U( к, Ф (х, в), е) = U^sm (х, Ф (х, в)) + g (х, Ф ( х , • ) , • ) . (3.3) Подставив (3.3) в задачу (1) и учитывая вышесформулированную лемму, м о ж н о п о к а з а т ь , что

при достаточно малых е > 0, получим о ц е н к у

|| 5 (х, Ф ( х , 0 ) !^с< Кв^т+¹, (3.4)

где постоянная К не зависит от х и е.

С п р а в е д л и в о предельное соотношение

lim U(x,

s)

^{= h}

(x)jb

(x)

s>

и ( x ) , x 6 ]0; 1 [. (3.5)

e - + 0

Таким Образом, сформулируем в виде общей теоремы полученный р е з у л ь т а т .

Т е о р е м а . Пусть выполнены условия 1°—2°. Тогда при достаточно малых в > 0:

а ) в пространстве Y единственным образом может быть построен ряд (2.5), сужение кото­

рого при ( = Ф ( х , Е) есть асимптотический ряд решения задача (1); б) имеет место пре­

дельное соотношение (3.5).

Л И Т Е Р А Т У Р А 1. Н а й ф э А. X. Методы в о з м у щ е н и й . М., 1976. 455 с.

2 . Л о м о в С. А. Введение в общую теорию с и н г у л я р н ы х в о з м у щ е н и й . М . , 1981. 398 с.

3. Ф е д о р ю к М. В . Асимптотические методы для линейных о б ы к н о в е н н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь ­ ных у р а в н е н и й . М., 1983. 352 с.

г. К и р о в о г р а д Поступили полный текст—03.04.1984

краткое с о о б щ е н и е — 2 3 . 0 1 . 1 9 8 5

5 8

П0 Uk ( х , 0 = - 2 Л» Uk—s (х, t), keM,

J- I (2.8)

U^k (M⁰) = 0, ⁹; dU^k

(m/dti

= - 92 ( Л 10) / й « - (Afo)/dJf.

Здесь t 7^m ( x , t) = 0 при /и < — 1.

Таким образом, нами построен формальный асимптотический р я д (2.5) р е ш е н и я р а с ш и р е н ­ ной задачи (1.3). Н е т р у д н о п о к а з а т ь , что серия задач (2.6)—(2.8) асимптотически к о р р е к т н а , т. е. каждая из этих задач однозначно разрешима в пространстве Yr при последовательном р е ш е н и и всей серии задач (2.6)—(2.8).

3 . Оценка остаточного члена асимптотика решения. Представим ф о р м а л ь н о е р е ш е н и е U (х, t, е) в в и д е

U (х, t, в) = U^%m (х, t) + 5 (х, t, в ) , (3.1) где

2m+l

: u^m{x,t)~ 2 \fu^rix,t) (3.2)

/•=—i