Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. В. Фалалеев, Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в бана- ховых пространствах, Известия Иркутского государственного университета.
Серия Математика, 2010, том 3, выпуск 1, 126–132
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 01:21:28
2010. Т. 3, № 1. С. 126—132 Онлайн-доступ к журналу:
http://isu.ru/izvestia
государственного университета
УДК517.954
Абстрактная задача прогноз-управление с вырождением в банаховых пространствах
∗М. В. Фалалеев
Иркутский государственный университет
Аннотация. В работе рассматривается обратная задача для вырожденного диф- ференциального уравнения в банаховых пространствах. В терминах свойств опера- торных пучков получены достаточные условия ее разрешимости.
Ключевые слова: жордановы наборы; обратная задача; нетеров оператор; бана- ховы пространства; спектральная ограниченность.
1. Постановка задачи
ПустьE1, E2, P0- банаховы пространства,B, A- замкнутые линейные операторы из E1 в E2, D(B) ⊂ D(A), D(B) = D(A) = E1, B - необ- ратим, G(t) ∈ L(P0, E2) достаточно гладкая оператор-функция, µ(t) - вещественная функция ограниченной вариации на[0;T].
Рассматрим задачу нахождения пары u(t) ∈ C1([0;T], E1) и q ∈ P0
удовлетворяющих уравнению
Bu(t) =˙ Au(t) +G(t)q+f(t), (1.1) начальному условию
u(0) =u0, (1.2)
и условию интегрального наблюдения (или переопределения)
L(u(t))≡ ZT
0
u(t)dµ(t) =uT ∈E1, (1.3)
∗ Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы
«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.
АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРОГНОЗ-УПРАВЛЕНИЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 127 где u0 ∈ E1, f(t) достаточно гладкая функция со значениями в E2. Следуя терминологии работы [1] будем называть задачу (1.1)-(1.3) вы- рожденной абстрактной задачей прогноз-управление.
2. Случай фредгольмова оператора при производной Пусть в уравнении (1.1) оператор B - фредгольмов, т.е. dimN(B) = dimN(B∗) =n,и выполнены условия:
A)imB =imB и операторB имеет полный A−жорданов набор [2], состоящий из элементов {ϕ(j)i , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi} ∈ E1, где {ϕ(1)i , i= 1, . . . , n}- базис ядраN(B),тогда операторB∗ имеет полный A∗−жорданов набор [3] элементов{ψi(j), i= 1, . . . , n, j= 1, . . . , pi} ∈E2∗;
B) область значений оператор-функцииG(t) такова, что DG(t)·, ψi(j)E≡0, i= 1, . . . , n, j= 1, . . . , pi.
Введем следующие обозначения:
cij =−DAx0+f(0), ψ(j)i E−Df′(0), ψ(ji −1)E−. . .−Df(j−1)(0), ψi(1)E, (2.1) ξij(t) =−
pXi−j k=0
Df(k)(t)−f(k)(0), ψi(pi−j+1−k)E, (2.2)
i= 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi, Q=
Xn i=1
pi
X
j=1
D·, ψi(j)EAϕ(pi i+1−j),
u0(t) =u0+ Xn i=1
pi
X
j=1
ξij(t)ϕ(j)i + Zt
0
Γ expAΓ(t−s)[I−Q](Au0+f(s))ds, (2.3) здесьΓ - оператор Треногина-Шмидта [2], тогда, как было доказано в работе [3], при выполнении условий A), B) и cij = 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi задача Коши (1.1)-(1.2) имеет единственное решение вида
u(t) =u0(t) + Zt
0
Γ expAΓ(t−s)G(s)qds. (2.4) Подставив представление для решения (2.4) в условие интегрального наблюдения (1.3), получим относительно искомого элемента q ∈ P0 интегральное уравнение
Dq≡ ZT
0
Zt
0
Γ expAΓsG(t−s)dsdµ(t)q =uT − L(u0(t)).
Таким образом доказана следующая
Теорема 1. Пусть операторB фредгольмов, выполнены условия A), B), cij = 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi и существует оператор D−1, тогда задача (1.1)-(1.3) однозначно разрешима относительно парыu(t) и q∈P0 по формулам (2.3)-(2.4) и
q=D−1uT − L(u0(t)).
3. Случай нетерова оператора при производной
Пусть в уравнении (1.1) оператор B - нетеров, т.е. n = dimN(B) 6= m= dimN(B∗) и l= min(n, m). Рассмотрим случаи положительного и отрицательного индексов нетерова оператора B.
Пустьn > m и выполнены условия:
A1) imB =imB и существуют полные жордановы наборы [3]{ϕ(j)i , i= 1, . . . , n, j = 1, . . . , pi} ∈E1 и{ψi(j), i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , pi} ∈E2∗;
B1)область значений оператор-функцииG(t)"ортогональна"A∗−жор- данову набору оператораB∗,т.е.
DG(t)·, ψi(j)E≡0, i= 1, . . . , l, j = 1, . . . , pi;
C1) числа (см. формулу (2.1)) cij = 0, i= 1, . . . , l, j= 1, . . . , pi. Введем проектор
Q˜ = Xl i=1
pi
X
j=1
D·, ψi(j)EAϕ(pi i+1−j),
и функции
˜
u0(t) =u0+ Xl i=1
pi
X
j=1
ξij(t)ϕ(j)i + Xn k=m+1
ξk1(t)ϕ(1)k +
+ Zt
0
B+expAB+(t−s)hI−Q˜iAu0+f(s) + Xn k=m+1
ξk1(s)ϕ(1)k ds, (3.1) здесь B+ - псевдообратный оператор [4], функции ξij(t) строятся по формуле (2.2), функцииξk1(t) - свободные.
При выполнении условийA1), B1)иC1)решение задачи Коши (1.1)- (1.2) имеет вид [3]
˜
u(t) = ˜u0(t) + Zt
0
B+expAB+(t−s)G(s)qds (3.2)
АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРОГНОЗ-УПРАВЛЕНИЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 129 и является, вообще говоря, многопараметрической функцией. Отсюда, как при выводе теоремы 1, получаем
Теорема 2. Пусть оператор B нетеров, n > m, выполнены условия A1), B1), C1), оператор
D˜ = ZT
0
Zt
0
B+expAB+sG(t−s)dsdµ(t) (3.3) обратим, тогда задача прогноз-управление (1.1)-(1.3) разрешима от- носительно пары (u(t), q) по формулам (3.1)-(3.2) и
q= ˜D−1uT − L(˜u0(t)). (3.4) Если нетеров операторB имеет отрицательный индекс, т.е. n < mи l=n, тогда дополнительно к условиямA1), B1), C1) введем условие D1)
Zt
0
DexpAB+(t−s)Au0+f(s), ψjEds≡0, j =n+ 1, . . . , m.
Теорема 3. Пусть оператор B нетеров, n < m, выполнены усло- вия A1), B1), C1), D1), оператор D˜ из формулы (3.3) обратим, тогда задача (1.1)-(1.3) однозначно разрешима относительно пары (u(t), q), причем параметр q ∈P0 восстанавливается по формулам (3.3)-(3.4), а функцияu(t) по формулам (3.1)-(3.2), в которых уже отсутствуют свободные функции (т.е. ξk1(t)≡0).
4. Случай спектральной ограниченности операторного пучка В этом пункте будем предполагать, что необратимый операторB огра- ничен, а оператор A – замкнут. Следуя терминологии работ [5] и [6]
будем называть оператор A спектрально ограниченным относительно оператораB(или(B, σ)-ограниченным), если операторный пучок(λB− A) непрерывно обратим вне круга радиуса a > 0. В этом случае пара операторов
P1 = 1 2πi
I
CR
(λB−A)−1Bdλ, Q1 = 1 2πi
I
CR
B(λB−A)−1dλ,
гдеCR≡ {λ∈C:|λ|=R > a}являются проекторами в пространствах E1иE2,порождая их разложения в прямые суммы видаE1=E10⊕E11=
kerP ⊕imP, E2 = E20⊕E12 = kerQ⊕imQ. Действия операторов B и A при этом расщепляются таким образом, что A0 : E10 → E20, B1 : E11 → E21 непрерывно обратимы, A1 : E11 → E12 ограничен и Q1B = BP1, Q1A=AP1.
В предположении(B, σ)-ограниченности введем условия:
A2) существует натуральноеp, такое что (A−01B0)p 6= 0,но (A−01B0)p+1≡0 (т.е. операторA−01B0 нильпотентен);
B2) оператор-функцияG(t) такова, что(I−Q1)G(t)≡0;
C2) начальное условие u0 и функция f(t) выбраны таким образом, что
(I−P1)u0+ Xp k=0
(A−01B0)kA−01(I−Q1)f(k)(0) = 0.
Введем следующие обозначения:
U(t) = 1 2πi
I
Γ
(λB−A)−1Beλtdλ
вырожденная разрешающая полугруппаU(0) =P1 [5];
u01(t) =U(t)P1u0+ Zt
0
U(t−s)B1−1Q1f(s)ds− Xp k=0
(A−01B0)kA−01(I−Q1)f(k)(t), (4.1) D1q=
ZT
0
Zt
0
U(s)B1−1G(t−s)qdsdµ(t).
При выполнении условийA2), B2), C2)задача Коши (1.1)-(1.2) имеет решение вида
u(t) =u01(t) + Zt
0
U(t−s)B1−1Q1G(s)qds. (4.2) Таким образом доказана
Теорема 4. Если оператор A спектрально ограничен относитель- но B, выполнены условия A2), B2), C2), оператор D1 обратим, тогда задача прогноз-управление (1.1)-(1.3) разрешима относительно пары (u(t), q),причем
q=D−1uT − L(u01(t)),
а функцияu(t) восстанавливается по формулам (4.1)-(4.2).
Замечание 1. Утверждение теоремы 4 можно обобщить на случаи секториальной и радиальной ограниченности [5] - [6] оператораAотно- сительноB.
АБСТРАКТНАЯ ЗАДАЧА ПРОГНОЗ-УПРАВЛЕНИЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ 131 Замечание 2. Случаи, когда в правой части уравнения (1) f(t) ≡ 0, G(t)q =qg(t), g(t) : [0;T]→ R, q ∈E2,а оператор A сильно (B, σ)- секториален или(B, σ)-ограничен рассмотрены в работах [7] и [8].
Замечание 3. Задачи прогноз-управление можно ставить и решать для различных типов вырожденных интегро-дифференциальных урав- нений в банаховых пространствах, причем условие (1.3) может иметь вид точечно-интегрального наблюдения
L(u(t))≡Xαku(tk) + ZT
0
u(t)ω(t)dt, X|αk |<+∞,
гдеαk, tk, ω(t)заданы, tk∈[0;T].
Список литературы
1. Прилепко, А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклас- сических задач. Прогноз-управление и прогноз- наблюдение эволюционных уравнений. I /А.И. Прилепко //Дифференц. уравн. – 2005. – Т. 41, № 11. – С. 1560–1571.
2. Вайнберг, М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М.
Вайнберг, В.А. Треногин – М. : Наука, 1969.
3. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при ре- шении дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров, О.А.
Романова // Дифференц. уравн. – 1983. – Т. 19, № 9. – С. 1516–1626.
4. Nashed, M.Z. Generalized Inverses and Applications / M.Z. Nashed – N. Y.: Academ.
Press, 1976.
5. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов /Г.А. Свиридюк //
Успехи матем. наук. – 1994. – Т.49, № 4. – С. 47–74.
6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/ G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov – Utrecht; Boston: VSP, 2003.
7. Федоров В.Е. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гид- родинамики / А.В. Уразаева, В.Е. Федоров // Дифференц. уравн. – 2008. – Т. 44,
№ 8. – С. 1111–1119.
8. Федоров, В.Е. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений / А.В. Уразаева, В.Е. Федоров // Матем. заметки – 2009. – Т. 85, № 3. – С. 440–450.
M. V. Falaleev
Degenerated abstract problem of prediction-control in Banach spaces
Abstract. The inverse problem for degenerated differential equations in Banach spaces is considered in this article. In therms of properties of operators sheaves the sufficient conditions of solvability are obtained.
Keywords:Jordan sets; inverse problems; Fredholm operator; Banach spaces; spec- tral boundedness
Фалалеев Михаил Валентинович, доктор физико-математических на- ук, доцент, Институт математики,экономики и информатики, Иркут- ский государственный университет, 664003, Иркутск, ул. К. Маркса, 1 тел.: (3952)242228 (mihail@ic.isu.ru)
Mikhail Falaleev, doctor, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003 Phone: (3952)242228 (mihail@ic.isu.ru)
