Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. М. Новикова, Стохастический квазиградиентный метод поиска максимина, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, том 17, номер 1, 91–99

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:11:40

В Ы Ч И С Л И Т Е Л Ь Н О Й МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Ф И З И К И Том 17 г Я н в а р ь 1977 Ф е в р а л ь № 1

УДК 51:330.115 СТОХАСТИЧЕСКИЙ КВАЗИГРАДИЕНТНЫЙ МЕТОД

ПОИСКА МАКСИМИНА

Ы.'М. НОВИКОВА

(Москва)

П р е д л а г а е т с я алгоритм поиска максимина, я в л я ю щ и й с я композицией метода ш т р а ф о в и метода стохастического к в а з й г р а д и е н т а . Д о к а з ы в а е т с я теорема о сходимости к м н о ж е с т в у р е ш е н и й с вероятностью единица.

Приводится АЛГОЛ-программа и р е з у л ь т а т ы просчета тестов.

1, Рассматривается задача определения (1) и°= шах min f(x, у)

хеХ у е У •

и наилучшей гарантирующей стратегии х°^Х:.

(2) mmf(x°,y)=u\

ye=Y

Мы считаем функцию~ f(x, у) непрерывной по х и у на Х<=Е

^Р

и YaE

^m

— замкнутых, ограниченных множествах евклидова пространства. В соот­

ветствии с ['*], данная задача эквивалентна отысканию max [и—

—а

^п

Ф

^д

{х, и)] по х, и на множестве ХХ[М

^и

М

²

] при a

ⁿ

t + ' ° ° , где

• Ф

^я

(х,и) = j \mm[0;f(x,y)-u]\

^q

o(dy), i<q<2,

М^ттЦх^у), М

²

= max/(а;, у).

XXY XXY

Обозначая F

^nq

{х, и) =и—а

^п

Ф

^д

{х, и), имеем

( 1 ^ и°= Km max F

^nq

(x, и) = lim F

^nq

{x

ⁿ

\ и

^й

°);

7 l - v o o XX[Mi,M²] n^-oo

вектор (x

ⁿ

°, Un) реализует max F

^nq

(x, u),

XX[M^UM²] ' ' ' ..

причем любая предельная точка последовательности {(х

^п

°, и

^п0

)} является решением задачи ( 1 ) , ( 2 ) . Другими словами, {(х

^п

°, и

^п0

)} сходится к Х ° Х Х&°, где Х°= {х

⁰

} — множество решений ( 2 ) .

В работе [

²

] при дополнительном предположении, что / ( # , у) удов­

летворяет по у условию Липшица для всех х<^Х, получена оценка скоро­

сти сходимости метода штрафов (1') :

0<и

^п

°-и°<П(1/а

^п

)

^и{т+

^\ . Z>=const,

9 2 Н. М. Новикова

для достаточно больших п. Учитывая также (см. [

²

] ) , что и

⁰

^

^F

^nq

(x

ⁿ

\ и

^п

°)<и

^п

°, получаем 0 < F

ⁿ

« ( *

^{n 0}

, u

ⁿ

")-u^D{i/a

ⁿ

Y

^nm

^ и так как Ф

^я

(х°, гг°) = 0 , то

(3) 0<F

ⁿ

*(x

ⁿ

\ u

ⁿ

°)-F

ⁿ

*(x\ и°)<1)(1/а

^п

)

¹

'<

^т+

*-

¹⁾

. Для поиска х

^п

°, и

^п

° обычно применяют градиентные методы * \

Чтобы избежать трудностей, связанных с вычислением интеграла в grad<D

⁹

(;r, и), воспользуемся методом стохастического квазиградиента

(см. [

³

] ) . Пусть Ja(dz/)=1 (соответствующая нормировка); например,

Y

пусть У есть га-мерный единичный куб, о — обычная мера Лебега. Тогда рассматриваемый интеграл интерпретируется как математическое ожи­

дание подынтегральной функции случайной переменной г/, подчиняющей­

ся равномерному закону распределения на У. Выбирая случайным обра­

зом y

ⁿ

^Y (с равной вероятностью), будем строить случайную последова­

тельность {{х

^п

, и

^п

)}, сходящуюся почти наверное (с вероятностью едини­

ца) к Х°Хи° — множеству решений задачи (1), (2).

Введем %n

^q

(y\x, и) =и—a

ⁿ

|min[0; fix, у)— и]\

^q

— функцию случайной переменной г/, зависящую от х, гг, математическое ожидание которой

(4) M

^y

{

^%nq

(y\x, u)}=F

^nq

(x, и).

В дальнейшем мы будем опускать индексы при математическом ожида­

нии. Предположим, что X выпукло, f(x,y) вогнута по х, т . е . %

^nq

(y\x,u}

вогнута по (х, и). Вектор (я, и) обозначим через z\ множество Z=XX Х[М

^и

М

²

] выпукло. Определим 'С>п{у\х, и) как обобщенный градиент па х, и при фиксированном у функции %h

^q

{y\x, ц):

( 5 ) <1ПЧУ\*1),*-?><ХПЧУ№)^ПЧУ№) Yz\z^Z- .

(здесь <, > —скалярное произведение). Например в случае негладкого штрафа, взяв д = 1 , можно выбрать для р=1 компоненты вектора

£>п(у\х, и)=*(Ъ

^п

(у\х, и); ц

^п

(у\х, и)) следующим образом:

In (у | х, и) = — а

^я

^ [

^X

'

^V

^ sign [max (0; / (х, у)-и) ], дх

г\п{у\х, u ) = l + o s

ⁿ

sign [max (0; f(x, у)-и)],

так как вогнутая функция дифференцируема по любому направлению, то>

правая или левая частная производная (допустим, левая, df

⁺

(x, у)/дх или df~(x, у)/дх) существует. Так как множества У, Z ограничены, т а очевидна оценка для евклидовой нормы обобщенного градиента

\\Z>n

^q

(y\z)\\

²

<Ca

ⁿ²

, C=const (так как существует конечный обобщенный градиент /(х, у) по х).

В сделанных предположениях условие (4) позволяет применить ре­

зультат работы [

³

] к задаче ( I

⁷

) . Пользуясь им, можно построить случай-

Метод п р о е к ц и й г р а д и е н т а (обобщенного г р а д и е н т а ) .

ные последовательности

{ znh} ™=1,

сходящиеся почти наверное к множест­

вам {z

ⁿ⁰

} соответственно. Тогда

и°= lim lim %nq{ynh\znk)

n->- оо

h-+

оо ,

почти наверное; {у*}™^ — последовательности независимых, равномерна распределенных случайных величин для любого т г = 1 , 2 , . . . . Однако для практического счета использование повторного предела неудобно. Предла­

гаемый ниже метод, учитывая специфику задачи, позволяет избавиться от повторного предела.

Предположим, что для числовых последовательностей {а

^п

}, {а

^п

} вы­

полнены следующие условия:

оо

(6) а

^п

>0, aJO,

J \ⁿ= + Q Q ,

a

ⁿ

t + ° ° ,

1 Г 1 ^ I 1 \

1 / ( m +

« -

¹

>

(7) V . . • , . • < « . V , . ( - . )

n=l n=l

Зададимся произвольным z^Z и определим {z

ⁿ

}!°° так:

^v (8) Zn+^nizn+an^iynlzn)}, yⁿ^Y;

n{ }—проектирование на Z,

{yⁿ}i⁰⁰

— последовательность независи­

мых, равномерно распределенных случайных величин.

Т е о р е м а . В сделанных предположениях вероятность того, что {z

ⁿ

} сходится к Z ° = X ° X &

⁰

, равна единице, т. е. p ( z

ⁿ

, Z°) — расстояние между?

z

ⁿ

и Z

⁰

стремится к нулю почти наверное.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Учитывая (8) и (5), имеем

+2а

^п

<и

^я

{Уп^

^п

),г

^п

-^+аЛ^{Уп^

^п

)\\

²

<

^\\zn-z«)\

²

+2а

^п

[Xn

^q

{уи|z

ⁿ

)-%

^nq

(Уп|*°) ] +Са

^п2

а

^п2

- Следовательно, из произвольности z°^Z° получаем, что

min \\z

ⁿ⁺ⁱ

-z

⁰

\\

²

<mm\\zn-z°\\

²

+2a

ⁿ

[x

^nq

ly

ⁿ

\z

ⁿ

)-u

⁰

^ поскольку

%n^q(yn\zⁿ°)=u⁰ Vyⁿ^Y;

M { m i n \\z

ⁿ⁺

-zT\zu • • •, z

ⁿ

} < min | | z

ⁿ

- z ° | |

²

+ C a

^{n 2}

a

^{n 2}

+

z ° e Z ° ' z ° e Z °

+ 2 а

^п

[ а д * » ) - в

⁰

] < min \\z

ⁿ

-zY+2a

ⁿ

[F

ⁿ

«(z

ⁿ⁰

)-u°]+Ca

ⁿ²

a

ⁿ

\ так как

F

ⁿ

*(zn) <F

^nq

(z

ⁿ

°) = max F

ⁿ

« (z); '

z

использованы также предыдущие неравенства ( 4 ) и свойства условного*

математического ожидания [

³

] .

9 4 Н. М. Новикова

Таким образом, из (3) имеем

M { p

²

( z

^{n + 1}

, Z°) \z

^u

..., z

ⁿ

}^p

²

(z

ⁿ

, Z°)+Ca

ⁿ²

a

^nz

+ +20а

^п

(1/а

^п

у

^/(т+

«-<\

значит, последовательность { р

²

( я

^п

, Z

⁰

)}^ сходится с вероятностью еди­

ница. Действительно, так как (см. [

³

] ) последовательность

0 0

« n + i , ^ « = - p²( 2 » , Z⁰) -

V [2Ва

^к

(1/а

^к

У'<

^п+

*-»+Са

^к2

^]

образует полумартингал (что видно из ( 7 ) ) , то нужная сходимость сле­

дует из свойств полумартингалов (см. [

⁴

] , гл. VII, § 4, теорема 4.1 ( 1 ) ) . После этого, взяв безусловное математическое ожидание от обеих ча­

стей предыдущих неравенств и произведя суммирование, очевидно, по­

лучим

п

V^z° e Z ° 0 < М { | |

z

ⁿ⁺¹

-z° ||

²

} < ||

^{Z l}

- z °

||²+ С ^

a

^h

W+

п

+ 2 ^ a

^{f t}

M { F

^{f t}

« ( z

^{f t}

) - ^

^?

( z

⁰

) } , « = 1 , 2 , : . . .

Это следует из свойств математического ожидания (безусловное от услов­

ного равно безусловному). Отсюда

0 0

ft=i

так как

оо

По определению, F

^nq

(z°) =и° для

^{z°^Z°;}

таким образом,

0 0

^ianM { Fn4Z n) - u( ,} > - o c .

п = 1

Следовательно,

*a

ⁿ

m\F

^nq

{z

ⁿ

)-u«\«x>,

1

так как, вдобавок к предыдущему неравенству,

а

^п

М {шах [0; F

^nq

(z

ⁿ

) -и

⁰

]}<«>, поскольку

М { т а х

[0; Р

^п

*(г

^п

)-и

⁰

]}<О(1/а

^п

У'.

^ы+

*-

¹

\

что, в свою очередь, вытекает из (3) (мера У равна 1 ) . Тогда из усло­

вий (6) на последовательность {а

^п

} следует, что

limM{|F

ⁿ

4zn)-tt°l}=0.

П-> оо

Значит, существует подпоследовательность {Fn

k

(,z

n)i

)}

h

li, которая сходит­

ся к и° почти наверное.

Теперь мы можем доказать, что {z

ⁿ

} сходится почти наверное к Z

⁰

, т.е. p{z

ⁿ

, Z°)->0 почти наверное при тг-^°°. Действительно, обозначим че­

рез А множество

{©={tf»}» = il^»V^

k->- оо

Из доказанного ранее следует, что вероятностная мера этого множества Р { Л } = 1 .

Для всех со^4 последовательность {z

^nk

(a))} имеет (из ограниченно­

сти Z) сходящуюся подпоследовательность { ^ й р ^

^{0 0}

) } ' в.. дальнейшем обозначаемую { z

^{n p}

( c o ) } :

s »

p

( < o ) z ( c o ) , Fn

p

(z

np

((d)) и°т(©)=и

0

.

p - > оо p-*-oo

Другими словами,

и

^п

(со)—а

^п Ф³( 2^П

(со)) и

⁰

.

р->- оо

Значит, а

^П

рФд(2пр(со)) ограничена (из ограниченности и

^пр

и Z ) , Фд(^п

^р

(со)) 0 VcoeA, так как а п р - ^ - й

^{0 0}

.

р - > о о

Тогда из непрерывности Ф

^д

( г ) следует, что Ф

^д

( £ ( с о ) ) = 0 для всех со^Л.

Поэтому

й ( с о ) < т т / ( д ; ( ф ) , у ) .

Кроме того, гг(со)^&° • (ибо

иПр(со)

-^й(со), w,np(co)—

а п р Ф д ( 2 п р ( о ) ) ) - > 1 г °^г

а

П

р Ф

д

( z

n p

( с о ) ) ^=0). Таким образом,

min / (х (со), у) ^и (со) ^ и

⁰

= max min / (я, г/)

и, так как z (со) ^ Z (замкнутому), ± (со) = £ ° ( с о ) , гг (со) =гг°, т.е., z ( c o ) ^ Z

^{( h}

для всех со^Л. Значит, p ( z

^{n p}

( c o ) , Z

⁰

)->0 ^при

^и

^p

²

^(z

ⁿ

(co), Z°) сходит­

ся; теперь окончательно имеем - p(z

ⁿ

(co),Z°) -+0 Yco^A.

Так как Р { Л } —1, то теорема полностью доказана.

Очевидно, можно следующим образом переформулировать теорему:

{и

^п

} сходится к и

⁰

почти наверное и любая предельная точка последова­

тельности {х

^п

} является некоторым х°^Х° с вероятностью единица.

2. Сделаем теперь некоторые общие замечания по поводу предложен­

ного метода. Его достоинствами являются простота реализации, понижен-

96 Н. М. Новикова

ные требования гладкости и устойчивость относительно погрешностей вычисления. Действительно, для выполнения условий теоремы достаточ­

но, чтобы

оо

(9) M{t,

ⁿ

"(yJzn)\y

ⁿ

,z

ⁿ

} = gT3Ld

z

%

nq

(y

n

\z

n

)+r

n

,

J ^ a « l r „ | < o o

n=i

(здесь grad

^z

означает обобщенный градиент по z ) , что позволяет приме­

нять приближенные методы вычисления обобщенного градиента, напри­

мер для нахождения g r a d

x

/ ( ^

n

, у

п

) пользоваться f

x

(x

ni

у

п

):

Щ1х{хп,Уп)\х

п

,у

п

} =gT8Ld

x

f(x

n

,y

n

)+s

n

, Yji

anan

^

s

^

<CO

' Полученные условия аналогичны требованиям [

3

] .

Что же касается скорости сходимости, то, как показал просчет тесто­

вых примеров, сравнительно быстро достигается первое приближение к и

0

и достаточно близкая окрестность х°; уточнение и

0

происходит доволь­

но долго, тщ что для практического ускорения сходимости рекомендуется использовать различные мрдификации алгоритма (см. Приложение). Тре­

буемое машинное время, понятно, увеличивается пропорционально уве­

личению размерности задачи.

Рассмотренный метод, естественно, применим не только при поиске максимина, но и к задачам на максимум вогнутой функции с ограниче­

ниями общего типа:

(10) ./(z

^e

) = m a x / ( z ) , G={z<=Z\g(z, у)^0 Vy^Y},

если относительно функции g(x, у) предположить вогнутость по z^Z, где Z — выпуклый компакт.

В этом случае функция

F

^nq

(z) = / ( z ) - c c

ⁿ

j |min[0; g{z,y) ]\*dy

T - '

является вогнутой no z. И если z

n

° реализует max F

n 9

( z ) , то из метода

z

штрафов (см. [

⁴

] ) следует l i m F

n

4 < ) = / ( z ° )

П - > оо

и любая предельная точка последовательности { z n

⁰

} ^ оказывается не­

которым решением задачи (10). Пользуясь оценками из [

2

] (которые по­

лучены для конечного Y при жестких условиях на gi{z)), можно подоб­

рать а„, а

п

таким образом, чтобы алгоритм (8) сходился с вероятностью единица к множеству {z

⁰

} в условиях, требуемых [

²

] . Можно также поль­

зоваться и другими оценками сходимости F

nq

(z

n

°) к f(z°).

Алгоритм (8) можно, очевидно, исцользовать в случае, когда У —ко­

нечное множество. В частности, если Y состоит из одной точки, т. е. в

обычной задаче на условный экстремум, допуская погрешности типа ( 9 ) ,

получим сходимость с вероятностью единица (в отсутствие погрешностей сходимость гарантирована). Это утверждение перекликается с результа­

том из [

⁵

] для штрафов другого вида, при более жестких требованиях гладкости.

ПРИЛОЖЕНИЕ АЛГОЛ-ПРОГРАММА Ж Т Е С Т Ы

П р и в о д и м а я н и ж е программа, о ф о р м л е н н а я в виде п р о ц е д у р ы н а я з ы к е АЛГОЛ 60 (procedure a p p r o x ) , р е а л и з у е т алгоритм (8) ( п р е д у с м а т р и в а я возможность модифи­

к а ц и й п р и 0 < / < 1 ) в случае, когда X есть ^ - м е р н ы й к у б , У есть яг-мерный куб,

е[ 0 , 1], i = l , 2 , р , #je=[0, 1 ] , / = 1 , 2 , . . . , m, и / (я, у) и з м е н я е т с я в п р е д е л а х от 0 до 2. П а р а м е т р ы п р о ц е д у р ы и соответствуют т е к у щ е м у з н а ч е н и ю х^щ и^п, п е р е д о б р а щ е н и е м к процедуре им д о л ж н ы быть п р и с в о е н ы н а ч а л ь н ы е з н а ч е н и я . У п р а в ­ л я ю щ и е к о н с т а н т ы Ю1 И - н а ч а л ь н о е и конечное з н а ч е н и я д л я п; j0 - ш а г по п.

Ч е р е з ]1 ш а г о в производится в ы д а ч а н а п е ч а т ь я , и п р и п о м о щ и п р о ц е д у р ы output (х, и), которую м о ж н о з а м е н и т ь какой-либо другой (в зависимости от к о н к р е т ­ ного вида ЭВМ) стандартной процедурой вывода. К о н с т а н т ы г, s задают порядок у б ы ­ в а н и я а^щ а^па^п (например, г = 1 , 5 = 0 . 6 ) . П р о ц е д у р а - ф у н к ц и я func (р, m^t х, у) имеет з н а ч е н и е f(x, у). П р о ц е д у р а grad(p, m, х, у , g) д о л ж н а в ы ч и с л я т ь обобщенный гра­

диент / ( я , у) по х и п р и с в а и в а т ь его g. П а р а м е т р е , 0 < / < 1 , с л у ж и т д л я р а з л и ч н ы х м о д и ф и к а ц и й метода, з н а ч е н и е />7г и с п о л ь з у е т с я после п о л у ч е н и я первого п р и б л и ­ ж е н и я п р и достаточно б о л ь ш и х Ю, К д < 2 . П р о ц е д у р а - ф у н к ц и я rand в теле п р о ц е д у р ы я в л я е т с я датчиком с л у ч а й н ы х чисел, равномерно р а с п р е д е л е н н ы х н а отрезке [0, 1 ] ; д л я к о н к р е т н ы х т р а н с л я т о р о в она м о ж е т быть з а м е н е н а стандартной (например, р1147 (al, rand) д л я ТА-1М); в т а к о м случае н а ч а л ь н о е п р и с в а и в а н и е п е р е м е н н ы м аО, al следует з а м е н и т ь н а ч а л ь н ы м о б р а щ е н и е м к с т а н д а р т н о й п р о ц е д у р е (pll47(al) д л я ТА-1М).

П р о ц е д у р у approx р е к о м е н д у е т с я п р и м е н я т ь несколько р а з , и с п о л ь з у я п о л у ч а е ­ м ы е п р и б л и ж е н и я в к а ч е с т в е н а ч а л ь н ы х , у в е л и ч и в а я i0, il, / 7 , п о к а в течение доста­

точного количества ш а г о в в е р х н я я г р а н и ц а к о л е б а н и й д л я и не с т а б и л и з и р у е т с я и не у с т а н о в я т с я *> с н у ж н о й точностью з н а ч е н и я х. П р и р е з к и х к о л е б а н и я х и м о ж н о у в е ­ л и ч и в а т ь j0.

Кроме м о д и ф и к а ц и й , п р е д у с м о т р е н н ы х в п р о ц е д у р е (при 1^0), в н е к о т о р ы х за­

дачах, т р е б у ю щ и х большей точности п р и о п р е д е л е н и и ы°, м о ж н о д л я п о с л е д у ю щ и х у т о ч н е н и й вводить п е р е м е н н у ю верхнюю г р а н и ц у и. В н а ч а л ь н ы й момент ей п р и ­ с в а и в а е т с я з н а ч е н и е Л/², д а л е е в ц и к л е ей п е р е п р и с в а и в а е т с я и, которое н е удовле­

творяет о г р а н и ч е н и я м (при & < 0 ) , и сравнение и п р о и з в о д и т с я н а к а ж д о м ш а г е не с М² (в п р о ц е д у р е М²—2), а с введенной переменной. П р и этом надо следить, чтобы в е л и ч и н а и з м е н е н и я х не в ы х о д и л а за п р е д е л ы з а д а н н о й точности, в противном с л у ч а е г р а н и ц е д л я и снова п р и с в а и в а е т с я з н а ч е н и е М². Однако в з а д а ч а х , не тре­

б у ю щ и х точности в ы ш е 5 % , обычно нет смысла у с л о ж н я т ь п р е д л о ж е н н у ю п р о ц е д у р у . Некоторые п р и м е р ы р а ц и о н а л и з а ц и и п р о ц е д у р ы д а н ы вместе с тестами,

p r o c e d u r e approx (р, m, x^t u^t iO, il, / 0 , / 7 , r, s, /, q, func, grad);

v a l u e pt m; u n t e g e r p , m, W, i i , / 0 , / 7 ; a r r a y x;

r e a l и, r, s⁹ /, q; r e a l p r o c e d u r e func; p r o c e d u r e grad;

b e g i n i n t e g e r i, /, k; r e a l a0^y al, /, h, hi; a r r a y g [1: p), y[l: m];

r e a l p r o c e d u r e rand; • b e g i n r e a l a; a: = aO -{- al\ a0 : = al;

if a ^ 4 t h e n a: = a — 4; al: = a; rand : = a/4 e n d rand;

*> В случае X°, состоящего более ч е м из одной точки, п р о в е р я е т с я ц и к л и ч н о с т ь и з м е н е н и я х.

4 ЖВМ и МФ, № 1

И. М. Новикова

аО: = 3.14159265; al: = 0.542101887; h: = 0;

for i,: = iO step /7 u n t i l i2 — /7 do b e g i n for / : = 1 step fO u n t i l /7 do

b e g i n for k: = 1 step 2 u n t i l m do у [/с] : = rand;

f: =func (p, m, xy y);

W : = if / > и t h e n 0 else — (и — / ) \ (q — 1);

•if /*2 < /г t h e n h: = hi else Л: = I X u + (1 — Z) X W;

u: = u + l l(i +

Jnr

^{+ hi(i +}

j)W,

if w < 0 t h e n и: = 0; if к > 2 t h e n и: = 2;

grad(p^r m, x, y, g);

for k: = 1 step 2 u n t i l do

b e g i n = g[k] x W / ( i + / ] f s ; if a: [/с] < 0 t h e n a; [/c] : = 0;

if t h e n x[k]: = 1 e n d

e n d ; output (x, u) e n d

e n d approx

Тестовые п р и м е р ы с ч и т а л и с ь н а м а ш и н е БЭСМ-4 д л я п а р а м е т р о в ап=1/п, ап= г а2 / 5

(для ап=а/п и м е е т смысл в ы б и р а т ь а п о р я д к а М2). Р е з у л ь т а т ы счета п р и в е д е н ы в т а б л и ц е .

В

п р и м е р е

I: /(#, у)

Н 1 +

(х-

¹

/

²

) (у-Чг),

точное р е ш е н и е

х°=

¹

/

²

,

и ° = 1 .

В

п р и ­ м е р е

II:

/ ( я , i / ) = e x p ( — ( я1— у )2) + е х р ( -

(х

²

-у)

²

);

здесь

х=(х

¹

, х

²

)

- д в у м е р н ы й в е к ­ тор, x⁰=(^l/^2l V2), и°—1.55. В примере III: х=(х\ я²) , у=(у\ у²), /(*, у) =

= ехр (~&-УУ-(Х*-УУ), * ° = ( 7 2 , V 2 ) , и°=0.606.

З а т р а ч е н н о е м а ш и н н о е в р е м я в м и н у т а х п р и в о д и т с я в столбце t.

У к а з а н ы т а к ж е и с п о л ь з о в а н н ы е п р а к т и ч е с к и е м о д и ф и к а ц и и п р о ц е д у р ы

approx.

Т а к , п а р а м е т р I м о ж н о о п и с ы в а т ь н е к а к п о с т о я н н у ю , а к а к п е р е м е н н у ю r e a l p r o c e ­ d u r e Z и з а д а в а т ь в т е л е п р о ц е д у р ы

approx

с л е д у ю щ и м образом:

(11) r e a l p r o c e d u r e Z; b e g i n l:—i/(i+l) end;

А н а л о г и ч н о м о ж н о м о д и ф и ц и р о в а т ь о п и с а н и е jl д л я переменного к о н ц а ц и к л а по / : (12) r e a l p r o c e d u r e jl; b e g i n / 2 : = i / 2 0 0 e n d ;

п р и этом ш а г n o i д о л ж е н , естественно, остаться п о с т о я н н ы м и либо з а д а в а т ь с я с р а з у числом, либо о б о з н а ч а т ь с я н о в ы м и д е н т и ф и к а т о р о м . Удобно т а к ж е и с п о л ь з о - Приме­

ры ^Ui 10 и jo jl; шаг

no i l t Модифи­

кации'

ч

^{1/2 0 1 0 10* 0 10104 5 10 1 500 50 7 2 7 2 0.500 0.500 1.007 1.002 5 5}

(0,0) и 0 10* 1 50 _{7 2}

i

0.504 0.504

1.66 10

(0,0) 0 0 105 10 500

7 2

i 0.497 0.497

1.58 13

(ID

(0,0) 0 0 105 10 500

i + 1 0.497 0.497

1.58 13

(ID

II < 1

^{( 7 2 , 72) 1 0 104 1 50 1}

i

0.494 0,494

1.57 10

( 7 2 , 7²) 1.56 105 200

1 i

0.4999 0.4999

1.56 20

(ID

( 7 2 , 7²) 1.56 105 5 200

i + 1 0.4999 0.4999

1.56 20

(ID

( 7 2 , 7 2 ) 1.56 105 106 5 i/200;

5000

1 0.5000 0J5P00

1.55 45 (12)

(0,0) 0 0,104 104, 105

5 20O; 50, 500

i 0.50 0.62 25 (13), ( И )

ш f

^{(0,0) 0,104 10105 4, 20O; 50, 500 i + 1 0.49}

ш f ₁

( 7², 7 2 ) 0.61 105 10е 5 i/200;

2000

1 0.49999 0.50000

0.608 45 (12)

в а т ь с л о ж н ы й ц и к л по i т и п а • . , (13) for i:=0 s t e p 50 until i⁰4 , ⁱ⁰4 s t e p 500 u n t i l N>5 • •

А в т о р б л а г о д а р е н Ю . Б . Г е р м е й е р у з а п о с т о я н н о е в н и м а н и е к р а б о т е ж п р и з н а т е л е н В . В . Ф е д о р о в у з а р у к о в о д с т в о и п р а к т и ч е с к и е с о в е т ы .

Поступила в редакцию 24.04.1975 Переработанный вариант 10.11.1975

Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а

1. Ю. Б. Гермейер. П р и б л и ж е н н о е сведение с помощью ш т р а ф н ы х ф у н к ц и й з а д а ч и о п р е д е л е н и я м а к с и м и н а к задаче о п р е д е л е н и я м а к с и м у м а . Ж . вычисл. м а т е м . и матем. физ., I960, 9, № 3, 7 3 0 - 7 3 1 .

2. В. В. Фёдоров. О методе ш т р а ф н ы х ф у н к ц и й в з а д а ч е о п р е д е л е н и я м а к с и м и н а . Ж . в ы ч и с л . матем. и матем. физ.,' 1972, 12, № 2, 3 2 1 - 3 3 3 .

3. Ю. М. Ермольев. О методе обобщенных стохастических градиентов и стохастиче­

с к и х к в а з и ф е й е р р в с к и х последовательностях. К и б е р н е т и к а , 1969, № 2, 7 3 - 8 3 . 4. Дж. Дуб. В е р о я т н о с т н ы е процессы. М., Изд-во ин. лит., 1956.

5. V. Fabian. S t o c h a s t i c a p p r o x i m a t i o n of c o n s t r a i n e d m i n i m a . T r a n s . 4-th P r a g u e Conf.

Inf. Theory, Statistic. Decis. F u n c t i o n s , R a n d o m P r o c , 1965. P r a g u e , P u b i s House

1 Czechosl. Acad. Sci., 1967, 2 7 7 - 2 9 0 .

40