Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Б. А. Щербаков, Особые точки двумерных линейных уравнений в полных дифференциалах с постоянными ко- эффициентами, Дифференц. уравнения, 1986, том 22, но- мер 9, 1633–1636

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

2 ноября 2022 г., 22:26:37

Рассмотрев вспомогательную задачу теории ветвления, найдем малые решения со­

ответствующего стационарного уравнения [ 8 ] . Полученные результаты позволяют по­

строить формальные решения уравнения (2) в виде некоторых рядов по степеням пара­

метра е1 У ( р - 1 ).

Доказательство существования соответствующих решений сводится к исследованию системы, состоящей из обыкновенного дифференциального уравнения и операторного уравнения в подпространстве Е°°-\ составленной для остатков построенных формаль­

ных рядов. Предположения, сделанные выше относительно операторов В и F, позво­

ляют свести полученную систему к эквивалентному операторному уравнейию в неко­

тором специально построенном банаховом пространстве функций. Существование не­

прерывно зависящих от е решений последнего операторного уравнения при достаточно малых 8 следует из теоремы о неявном операторе, сформулированной в [ 1 0 ] .

Таким образом, х(т, 8 ) может быть найдено в виде

х(%, е)= ^ ( т ) ^ - 1 * +0 ( 8 ^ + 0 / ( ^ 1 ) ) .

Здесь первый член разложения х¹( т ) = ( — х 1^{р 0})1 / ( Г" "/ , )ф ОХ | Р_ [ ( т ) , где (— x L^{p o})^{1 / ( p}- ~^{1 ) (}P — главный член разложения в решении соответствующей стационарной задачи, fl^,/?—1(^Т)=

= [1 + ехр ((1 —р) х т ) ]¹/ *^{1 -}^ , a xt(x) ( / > 2 ) таковы, что

sup (\\xi ( т р -2^ ! (т)) + sup ( | | Ба X i (%№*2p-t М) < + ~ • Возвращаясь к старым переменным, получим утверждение теоремы.

Литература

1. Б е л о л и п е ц к и й А. А., Т е р - К р и к о р о в А. М..//Докл. АН СССР. 1983.

Т. 269, № 6. С. 1296—1299.

2. К о л м о г о р о в А. Н., П е т р о в с к и й И. Г., П и с к у н о в Н. С . / / Б ю л . МГУ.

Сер. А. 1937. Т. 1, вып. 6. С. 3—28.

3. Х а к е н Г. Синергетика. М., 1980.

4. С в и р е ж е в Ю. М., Г и г а у р и А. А., Р а з ж е в а й к и н В. Н.//Нелинейные волны: Самоорганизация. М., 1983.

5. М а р р и Д ж . Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии: Лекции о моделях. М., 1983.

6. Б е л и н ц е в Б. Н.//Успехи физ. наук. 1983. Т. 141, вып. 1. С. 55—101.

7. Т р е н о г и й В. А. О решениях типа «перехода» для Д У в банаховом про­

странстве // ICM. Warsaw. 1983. Abst. IX. Ser. 11. P. 50.

8. В а й н б е р г M. М., Т р е н о г и й В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., 1969.

9. H o p p e n s t e a d t F., G o r d o n N . / / C o m . Pure Appl. Math. 1975. Vol. 28.

P. 3 5 5 - 3 7 3 .

10. Т р е н о г и й В. A.//Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущенных уравнений: Тез. докл. Алма-Ата, 1979. Ч. 1. С. 12—13.

Московский институт стали Поступила в редакцию и сплавов 20 февраля 1984 г.

УДК 517.936

Б. А. ЩЕРБАКОВ

ОСОБЫЕ ТОЧКИ ДВУМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

дг дг

равносильную линейному уравнению в полных дифференциалах

dz = Axzdtx + A2zdt2t , (Г)

al °1\ „ a2 °2\

где t^l9 t² £ R и А^г = 1 , Л² = I — действительные матрицы, для которых выполняется условие перестановочности А¹Л² = Л²Л^х. Решения системы (1) считаются действительными и определенными на всей евклидовой плоскости Т изменения независимых переменных t¹ и t².

Условие перестановочности матриц Л^ь Л² равносильно условию полной интегрируе­

мости системы ( 1 ) . Последнее означает следующее: какова бы ни была точка z фазовой плоскости R2, существует и притом только одно решение ф ( - , z) системы (1), удовлет­

воряющее условию ф(0, z) = 2 .

Общее решение ф : TXR2-+R² рассматриваемой системы является динамической си­

стемой в R² с двумерным временем t£T. Для этой динамической системы начало коор­

динат 2 = 0 является точкой покоя.

Уравнениям в полных дифференциалах посвящено большое число работ многих авторов. Основы теории такого рода уравнений систематически изложены в моногра­

фии [ 1 ] . В настоящей заметке изучается поведение решений системы (1) в окрестности ее точки покоя 2 = 0 . При этом данная система исследуется при изменении независимой переменной tdT вдоль лучей, исходящих из точки * = 0 . Такой подход к исследованию динамических систем с многомерным временем является естественным.

Уточним рассматриваемую задачу. В качестве направления изменения времени t£T в системе (1) выберем направление любого единичного вектора в плоскости Т с нача­

лом в точке t=0. Каждый такой вектор будем называть направлением времени, или просто направлением. Множество К всех направлений будем отождествлять с окруж­

ностью {(k^b k²)£T: k\+k\= 1}.

Каждому направлению k£K поставим в соответствие линейную динамическую си­

стему Ф А ; # Х # 2 - > # 2 , определенную условием ФА(Т, z) = y(xk, z)Y(x, z)£RXJR². Для каждой из этих динамических систем, как и для системы ( 1 ) , начало координат 2 = 0 является точкой покоя. Характер расположения траекторий в окрестности этой точки, т. е. тип точки покоя 2 = 0 , динамических систем ФА будет, вообще говоря, изменяться при переходе от одного направления к другому.

Поставим задачу: описать изменение типа точки покоя 2 = 0 динамической системы ФА При изменении направления k вдоль окружности К. При такой постановке задачи оказывается возможным построить классификацию изолированных точек.покоя системы ( 1 ) , подобную известной классификации А. Пуанкаре для линейной системы обыкно­

венных дифференциальных уравнений.

Направление №К будем называть обыкновенным, если точка покоя 2 = 0 динами­

ческой системы ФА является изолированной. В противном случае это направление на­

зовем особенным.

Будем говорить, что обыкновенное направление k£K определяет данный тип точки покоя (центр, фокус, седло, узел, дикритический узел, вырожденный узел), если такого типа является точка покоя 2 = 0 динамической системы ФА.

Два направления назовем подобными, если оба направления являются особенны­

ми, или оба направления являются обыкновенными и определяют один и тот ж е тип точки покоя.

Введенное отношение подобия между направлениями является отношением эквива­

лентности. Задача состоит в описании возможных для системы ( 1 ) разбиений множе­

ства К на классы подобных направлений. Кроме этого, для каждого из этих разбиений укажем в терминах матриц Л^} и Л² условия, при которых оно осуществляется.

Каково бы ни было направление k£ K^f динамические системы ф^ и ф_&. переходят одна в другую при замене t на —t, т. е. при изменении направления движения вдоль траекторий на противоположное. Что ж е касается траекторий, то для этих динамических систем они являются общими. Следовательно, любые два противоположные направления k и — k являются подобными. Поэтому поставленная задача сводится к описанию возмож­

ных для системы ( 1 ) разбиений на классы подобных направлений какой-нибудь полуок­

ружности из Ку например полуокружности К+ • = {(&i, k²) £ Т : k\ + &2 = U ^£[0, 1], h£[-1, Щ.

Всюду в дальнейшем через Я/, jij (/ = 1, 2) будем обозначать собственные числа, матрицы Aj (не исключается случай кратных собственных чисел, когда Я/ = При этом, не налагая никаких дополнительных ограничений на матрицы Аг и Л2, а учитывая лишь их перестановочность (см. [2, 3]), будем считать, что для каждой из пар чисел Хъ Х2 и

№2 существует в комплексном пространстве С2 собственный вектор, общий для матриц А^г и Л², которому соответствуют собственные числа матриц А¹ и Л², составляющие эту пару.

Пусть дано направление (k^l9 k²) £ К. В силу определения особенного направления и оговоренной связи между матрицами А^х и Л² данное направление является особенным тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих двух равенств:

M,i + fc^aA,² = 0, (2)

biV>i + k2li2 = 0- (3)

Из этого следует, что все направления являются особенными тогда и только тогда, когда числа K^lt Я², ц-i, JLI² действительны и

(%] + А|)

(И? +

1634

Предположим теперь, что не все направления множества К+ являются особенными.

Если матрицы Лх и А2 простые (т. е. каждая из них имеет в С² собственный базис) их собственные числа действительны, то выполняется одна из следующих систем соотношениий

Xl\X2 ^ ^2^1»

fa%± + k2%2) fail! + k2ix2) < 0 у fa, k²) e K+, (5)

^ 1 ^ 2 = ^2^1»

fa%! + k2l2) fay,! + fc2|l2) > О V ( ^ 1 . k2) £ K.+ , (6)

^ 1 ^ 1 + ^ 2 ^ 2 Ф ^ 1 ^ 1 +

= fxb Я2 = fx2, (7)

Aifx2 X2ui. (8)

Если собственные числа хотя бы одной из матриц Аъ А2 являются мнимыми, то соб­

ственные числа другой являются комплексно сопряженными. При этом выполняется одно из следующих соотношений:

РхЯъ = P2Q1 и р\ + р\ Ф 0, (9)

Pi = P a = 0 , (Ю)

РхЯг^РЯъ О1)

где pj —действительная часть, a qj — мнимая часть собственных чисел матрицы Д | ( / = 1 , 2).

Наконец, если хотя бы одна из матриц А1у А2 не является простой, то их собствен­

ные числа являются кратными. При этом выполняется одно из следующих соотношений:

fa + d^x) Ь² - (а² + d²) Ь^г = (а^г + d^x) с² - (а² + d²)4P^x = 0, (12)

[ ( « 1 + di) b2 - (а2 + d2) bxp + Ifa + dx) c2-(a2 + d2) erf Ф 0. (13) Каждому из соотношений (5) — (13) соответствует определенный тип точки покоя z~0 системы (1). Используя перестановочность матриц Аг и Л2, убеждаемся, что спра­

ведливы следующие предложения.

Т е о р е м а . Все направления времени в системе (1) являются особенными тогда и только тогда, когда собственные числа матриц А\ и А2 действительны и выполняется равенство (4). Если не все направления особенны, то возможны притом только следую- щие случаи разбиения множества К+ на классы подобных направлений.

1.1. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет седло. Этот случай осуществляется при выполнении соотноше­

ний (5).

1.2. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет узел. Этот случай осуществляется при выполнении соотноше­

ний (6).

1.3. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет дикритический узел. Этот случай осуществляется при выполнении соотношений (7).

1.4. Существуют ровно два различных особенных направления и ровно одно обык­

новенное направление, определяющее дикритический узел. Любое другое обыкновенное направление определяет либо седло, либо узел. При этом если дуга 3? полуокружности К+, заключенная между особенными направлениями, не содержит направление, опреде­

ляющее дикритический узел, то седло определяют те и только те обыкновенные направ­

ления, которые принадлежат этой дуге. В противном, случае седло определяют те и.

только те обыкновенные направления, которые не принадлежат дуге 3?. Случай 1.4 осуществляется при выполнении соотношения (8).

2.1. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет фокус. Этот случай осуществляется при выполнении соотноше­

ния (9).

2.2. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет центр. Этот случай осуществляется при выполнении соотноше­

ния (10).

2.3. Все направления являются обыкновенными. Из них ровно одно определяет центр и ровно одно — дикритический узел. Все остальные направления определяют фо­

кус. Этот случай определяется при выполнении соотношения (11).

3.1. Существует ровно одно особенное направление, а каждое обыкновенное на­

правление определяет вырожденный узел. Этот случай осуществляется при выполнении соотношения (12).

3.2. Существует ровно одно особенное направление и ровно одно обыкновенное направление, определяющее дикритический узел. Все остальные направления опреде­

ляют вырожбенный узел. Этот случай осуществляется при выполнении соотноше­

ния (13).

В каждом из перечисленных в теореме случаев описан определенный тип точки

покоя z = 0 системы (1). В случаях 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2 и 3.1 исследуемую точку покоя естественно назвать соответственно седлом, узлом, дикритическим узлом, фокусом, центром и вырожденным узлом. Что же касается случаев 1.4, 2.3 и 3.2, то они описы­

вают неоднородные типы точки покоя, специфические для системы (1),

Литература

1. Г а й ш у н И. В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравне­

ния. Минск, 1983.

2. Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., 1967.

3. Л а н к а с т е р П. Теория матриц. М., 1982.

Кишиневский государственный университет Поступила в редакцию им. В. И. Ленина 27 апреля 1984 г.

УДК 517.968.78

X. ЭШМАТОВ

МЕТОДЫ ЗАМОРАЖИВАНИЯ И УСРЕДНЕНИЯ Д Л Я НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ

ИНТЕГРб-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений

t

х = еХ ^ t, х, J фх (t, s, x (s))ds, о

О)

j* j* j* Фз(Л s i , s2, s3, x ( s i ) , x(s2), x(ss)) dsxdstds^

О О О

с краевым условием

j* A (s) x (s) ds = B, T = L/e, L = const, (2) 0

где e > 0 — малый параметр; х={х

и фз — век­

тор-функции; функция-матрица A(t) определена и непрерывна на отрезке [0, оо).

Как известно, исследования различных динамических задач, учитывающих эффекты наследственности в виде суммы кратных интегралов по главным кубичным теориям вязкоу пру гости [1], сводятся к изучению систем интегро-дифференциальных уравнений вида (1).

В работах [2—6] А. Н. Филатов обосновал методы замораживания и усреднения в системах интегро-дифференциальных уравнений с начальным условием.

В данной работе результаты, полученные в работах [2—6], обобщаются для систем интегро-дифференциальных уравнений (1) с краевым условием (2).

Наряду с системой интегро-дифференциальных уравнений (1) с интегральным крае­

вым условием (2) будем рассматривать систему дифференциальных уравнений

| = е * ( / , | ,

с краевым условием

j A(s)l(s)ds = Bi (4)

1636