Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. Ф. Потапенко, В. А. Чуянов, Полностью консерватив- ная схема для двумерного уравнения Ландау, Ж. вычисл.

матем. и матем. физ., 1980, том 20, номер 2, 513–517

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

3 ноября 2022 г., 15:15:11

Научные сообщения 5 1 3

Р е ш е н и е вспомогательной з а д а ч и осуществлялось м о д и ф и ц и р о в а н н ы м симплекс- методом (расчеты в ы п о л н е н ы А. И. Б е н и к о в ы м ) . Координаты xf ц е н т р а м а к с и м а л ь ­ ного куба и его р а д и у с г* получились р а в н ы м и

ж / = - 0 . 8 5 0 6 , / = 1 , 2 , 3 , 7 , а^=(Х8506, / = 4 , 5 , *6* = 0 . 7 5 3 5 , г*=0.1494.

П р и переходе к н е н о р м и р о в а н н ы м (натуральным) в е л и ч и н а м факторов производства м а к с и м а л ь н ы й куб т р а н с ф о р м и р у е т с я в параллелепипед.

В заключение автор в ы р а ж а е т признательность Н. П. Мокрецкому за интересный п р и м е р и А. И. Б е н и к о в у за полезное обсуждение работы.

| Поступила в редакцию 26.02.1979

• . j •

Цитированная литература

1. Д. Б. Юдин, Е. Г. Голъштейн. Линейное программирование. М., Физматгиз, 1963.

У Д К 519.6:533.9 ПОЛНОСТЬЮ КОНСЕРВАТИВНАЯ СХЕМА Д Л Я ДВУМЕРНОГО

У Р А В Н Е Н И Я ЛАНДАУ

И.Ф.ПОТАПЕНКО,В.А.ЧУЯНОВ (Москва)

Построена экономичная полностью к о н с е р в а т и в н а я ( с о х р а н я ю щ а я ч и с л о ! ч а с т и ц и энергию системы) р а з н о с т н а я схема д л я двумерного многокомпонентного у р а в н е н и я Л а н д а у с изотропными потенциалами

Розенбдюта. j ^v

' * i

1. Значительное количество работ, посв|ященных численному р е ш е н и ю у р а в н е ­ н и я Ландау^ появилось в с в я з и с и з у ч е н и е м д и н а м и к и плазмы, у д е р ж и в а е м о й в от­

к р ы т ы х м а г н и т н ы х л о в у ш к а х [*]. П р и н ц и п полной консервативности, в ы д в и н у т ы й в [²] , приобретает здесь большую п р а к т и ч е с к у ю ценность, т а к к а к использование не полностью к о н с е р в а т и в н ы х схем д л я кинетического у р а в н е н и я , т. е. схем, с о х р а н я ю ­ щ и х и л и число частиц, и л и энергию системы, не дает равновесного р е ш е н и я разност­

ной з а д а ч и в полном пространстве скоростей [³] . В [⁴] показано, что расчет по схе­

ме, где не с о х р а н я е т с я энергия частиц, приводит к ф и з и ч е с к и абсурдным р е з у л ь т а ­ там д л я магнитной л о в у ш к и с р а д и а л ь н ы м электрическим полем. Полностью к о н с е р в а т и в н ы е схемы дли пространственно однородного и изотропного т а з а построе­

н ы в [³'⁵] . ' В н а с т о я щ е й работе п р е д л а г а е т с я полностью к о н с е р в а т и в н а я р а з н о с т н а я схема д л я двумерного многокомпонентного у р а в н е н и я Л а н д а у с изотропными потен­

ц и а л а м и Ррзенблюта (именно в, такой постановке з а д а ч а п р е д с т а в л я е т основной п р а к т и ч е с к и й интерес д л я расчета м а г н и т н ы х л о в у ш е к [*» 4] ) .

2. Потенциалы Розенблюта в рассматриваемом случае имеют вид

h ~) j ^{1/2 dv} ' j^ ^{a {v,v} ' ^{)h {v} '' ^ °'

0 - 1

1

<fy'J fy.b(v,v')U{v';[L,t)

где /^А( У , |х, t) - функция распределения ионов сорта a, !jx=cos6, Z^a- з а р я д .иона, Л^ар — кулоновский логарифм, р^а — отношение массы электрона тп^е к массе иона m^a,

1 \ г A i v' \ 2 - 1

Суммирование проводится по всем сортам частиц, включая сорт а. В этих обозначе­

ниях уравнение Ландау запишем в виде

4 j t ( Zae )4 а* " У2 0i; [ \ 0i> 0* / J 1 д² i d²g^a \ 1 dg^a д г d /^a 1

2и² ди² \ du² ) du d]i 1 J

Далее будем употреблять сокращенные обозначения:

1 ^со

(V, t) = J /А (У, Ц, 0 dji, Р^а (У, |Х, t) = | /^а (у, Ц, 0 у dy,

- 1 v

СО Ю

(1) P a ( f , 0 = j * a N^a(v,t)= j F^a(y,t)y* dy,

V 0 !

*)- t)y2 dy. ' '

0

Как и в [⁵] , приведем уравнение к виду, удобному для составления разностной схемы, причем безразмерные скорость и время будем по-прежнему обозначать через v и £, а безразмерные функции распределения ч а с т и ц - ч е р е з /^a(i>, JA, £). Уравнение примет вид

dfa 1 д г 1 - ^ ( / » ; Р ) 1 _ _ * г i ) - ^ L ] (2)

где

W{fa, v)=Z^a2p^a /c^ap j J ^PpFp (у, 0 [ P^a (У, |i, 0 - (*>, Ц, t) ]y* dy-

P о

ip ^ ^p" —; •

Постоянная Ka определяется начальной плотностью числа частиц и безразмерной функцией распределения

оо 1 п* (0) = Ка J* v2 du

j

fa (v, p,, 0) dp,.

\

Научные сообщения 515

Д л я у р а в н е н и я (2) р а с с м а т р и в а е т с я з а д а ч а Щлш в двумерной области 0<v<Z«>^r

— K | i < l , £ > Р с условием ограниченности /а( у , |х, t) п р и у = 0 , р = ± 1 и с н а ч а л ь н ы м у с л о в и е м

(3) Л ( » , | А , 0 ) = /а° ( « ; , " и . ) .

П р и у-*°° ф у н к ц и я /а( у , pi, t) у б ы в а е т достаточно быстро, чтобы момент четвертого п о р я д к а о с т а в а л с я о г р а н и ч е н н ы м . В полном пространстве скоростей д л я з а д а ч и ( 2 ) ,

(3) с п р а в е д л и в ы з а к о н ы с о х р а н е н и я плотности | щ с л а ч а с т и ц и энергии системы:

ОО: 1

If^а J У² du J f^a (У, [X, t) dp = C O n s t , 'j

: о - i )

w : • • S .

\ oo

i ;;

— тпдКд J y⁴d y

j'/aCy,

^{p,, t)} dy,=const.

a 0 - 1 j! ». •

3. Введем п р о с т р а н с т в е н н о - в р е м е н н у ю

разностную

сетку со=солХсо^т={(У*, р * £п) г vⁱ⁺i=Ui+hi^⁹ \i^j+i=\ij+hj⁺i, tⁿ+i=tⁿ+x, i = 0 , 1, . . . / , / = 0 , 1, / , rc=0, 1, 2, . . .

y0= 0 , У}=Л/, ц .0= — 1 , ^o=0}. Н а м п о н а д о б я т с я т а к ж е п о л у ц е л ы е у з л ы v=0.5(Уг-fy^i), friV=0.b(hiv+hi+i). З н а ч е н и я сеточной ф у н к ц и и /<* в у з л е (уг, щ £п) будем обозначать ч е р е з / z jn= / t j = / , в у з л а х ( у ф ,

u.

^{i ±}

i,

tⁿ⁺ⁱ) - ч е р е з / г±1, j±i. Б у д е м использовать б е з ы н д е к с н ы е в ы р а ж е н и я [6] i : # л я производной в п е р е д

./«

⁼

(/*+i,

j —

~fij)/hi+u ДДЯ производной н а з а д f—ifa-fi+i, и д л я производной по времени

И н т е г р а л ы в (1) а п п р о к с и м и р у е м по ф о р м у л е т р а п е ц и й . Тогда д л я сеточной ф у н к ц и и Wtj" и м е е м

при этом

TPoJ=0.

II

У р а в н е н и е (2) р а с щ е п и м н а два и а п п р о к с и м и р у е м к а ж д о е из н и х с п о м о щ ь ю интегроинтерполяционного метода [6] . Получим н е я в н у ю р а з н о с т н у ю схему

/ — / 1 / 1 \ . • ' ii

(6)

• V

^L

=

¹

:

²

-

^{[ d - H2) / - V}

Введем (фиктивные и н т е р в а л ы ho=hi+i==h,i]+i=0^ Тогда интегральное с о о т н о ш е - ние, я в л я ю щ е е с я р а з н о с т н ы м аналогом з а к о н а с о х р а н е н и я числа ч а с т и ц (4), п р и ­ мет вид

! j= 0 1 = 0 3=0

Д л я п о л у ч е н и я такого с о о т н о ш е н и я нацо п р о с у м м и р о в а т ь у р а в н е н и я (5) и (6) по всей сеточной области. В с и л у дивергентной! с т р у к т у р ы схемы, п р и с у м м и р о в а н и и по i и ; слагаемые, о т н о с я щ и е с я ко в н у т р е н н и м т о ч к а м сетки, в з а и м н о у н и ч т о ж а ­ ются. П о л о ж и м fi, j= 0 и з а п и ш е м у р а в н е н и я (5) и (6) в г р а н и ч н ы х т о ч к а х с л е д у ю -

1 /²9 ШВМ и МФ, № 2 :'

щ и м образом:

i = 1, / = 0, 1 , . . . , V ,

(7) , = m - ^ g , i - l A . . . , / - 1 , / = 0f |

1-f d

( 1 - j l / )

f-fu-i . .

^{9 y}

. .

— = . • ; , l = l , 2 , . . . , / - l^t / = / . x Vi2 fif

В у р а в н е н и я ( 5 ) - ( 7 ) не входит /⁰Д п о с к о л ь к у W i j^a= 0 . И з м е н е н и е ч и с л а ч а с т и ц н а ш а г е по в р е м е н и имеет в и д

Z^{a 2}p^a J-^

Ana=Kax — у HfiW^-Wj-u)

• i=o

и пропорционально И н т е г р а л ь н ы й б а л а н с энергии д л я всей м а с с ы газа н а про­

м е ж у т к е в р е м е н и tⁿ<t<tⁿ⁺ⁱ в ы п о л н е н в виде

1 -

ЬЕ = — ШаКа ^ ^ hi*vi?ft = • , a j= 0 i = t

, я- J

1

" a

^{i = 0}

п р и этом

j«=o a

4. Приведем з а п и с ь схемы в удобной д л я расчетов форме. П о л о ж и м

i i

ft=i ft=i

Я

^{г а}

= — — V /c

^a

p(p

^a

H/-

¹

+0.5ppi;^i

^,

'iv/_

¹

),

г1 + 1Л/ + 1 p

и з а п и ш е м у р а в н е н и я (5), (6) с л е д у ю щ и м образом:

f-t Za²Pa X Vi²H^{v

1 = 2 , 3 , . . . , / - ! , / = 1 , 2, . . . . 7 - 1 .

V - — r j l (d - W } .Л. 1 1

j+1 У

\

Научные сообщения 517

Н а ч а л ь н ы е у с л о в и я имеют вид fif==f°(vi, .. Г р а н и ч н ы е у с л о в и я (при jx=A±l) д л я магнитной л о в у ш к и с т а в я т с я аналогично [⁷] . Отметим, что п е р е м е н н ы е (и, |Х) удоб­

н е е п е р е м е н н ы х (i?, 0 ) . В t¹-⁷] использовались б е р е м е н н ы е (и, 9 ) , поскольку было- неясно, к а к ставить г р а н и ч н ы е у с л о в и я п р и р = - 1 и р = 1 ( 0 = 0 и 0 = з х ) . Здесь э т о з а т р у д н е н и е преодолевается естественным образом: г р а н и ч н ы е у с л о в и я при р = ± 1

•автоматически следуют из т р е б о в а н и я полной ^консервативности. При построении численного метода р е ш е н и я , з а д а ч и (2), (3) бесконечный и н т е р в а л и з м е н е н и я скоро­

сти з а м е н я е т с я к о н е ч н ы м отрезком [0, М ] , a vi =±М, вообще говоря, зависит от сорта частиц. Порядок у б ы в а н и я ф у н к ц и и р а с п р е д е л е н и я п р и больших и можно оценить

по распределению Максвелла. ' ' '•) •

Поступила в редакцию 26.02.1979

'' Цитированная литература

1. / . Rilleen. Computer models of m a g n e t i c a l l y confined p l a s m a s . Nucl. Fusion, 1976, 16, 841-864. I ; 2. Ю. П. Попов, А. А. Самарский. Полностью консервативные разностные схемы. Ж.

вычисл. матем. и матем. физ., 1969, 9, № 4, 953-958.

3. А. В. Бобылев, В. А . Чуяно в. О численном р е ш е н и и кинетического у р а в н е н и я Л а н ­ дау. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1976, 16, № 2, 407-416.

4. В. И. Волосов, М. С. Пеккер. О точности ч и с л е н н ы х р е ш е н и й у р а в н е н и й Фоккера — П л а н к а . Препринт И Я Ф СО АН СССР, 1977, № 7 7 - 1 0 8 .

6. И. Ф. Потапенко, В. А. Чуянов. О полностью1, к о н с е р в а т и в н ы х разностных схемах д л я системы у р а в н е н и й Л а н д а у . Ж. вычисл. матем. .и матем. физ., 1979, 19, № 2.

4 5 8 - 4 6 3 . ^! J

6. А. А. Самарский. Теория разностных схем: М., «Наука», 1977.

7. Дж. Киллин, К. Д. Маркс. Р е ш е н и е у р а в н е н и я Фоккера - П л а н к а д л я п л а з м ы в л о ­ в у ш к е с м а г н и т н ы м и пробками. В сб. «Вычисл. методы в ф и з . плазмы». М., «Мир», 1974,4171482. I

У Д К 517.958 О З А Д А Ч Е У П Р А В Л Е Н И Я П У Ч К А М И З А Р Я Ж Е Н Н Ы Х ЧАСТИЦ

С УЧЕТОМ СОБСТВЕННОГО^: З А Р Я Д А .

М. II. ЛЕТАВИII (Ленипград)

Сравниваются задачи у п р а в л е н и я п у ч к а м и з а р я ж е н н ы х частиц с уче­

том и 'без учета в л и я н и я собственного объемного з а р я д а пучков на дина­

м и к у их д в и ж е н и я . П р и в о д я т с я основные р а з л и ч и я м е ж д у этими д в у м я т и п а м и задач с точки з р е н и я построений последовательности у б ы в а н и я . 1. В изучались вопросы у п р а в л е н и я п у ч к а м и траекторий. Однако во мно­

гих з а д а ч а х э л е к т р о д и н а м и к и , [5] , в которых необходимо у ч и т ы в а т ь в л и я н и е соб­

ственного з а р я д а у п р а в л я е м ы х пучков на д и н а м и к у их д в и ж е н и я , у р а в н е н и я дви­

ж е н и я у с л о ж н я ю т с я , что одновременно у с л о ж н я е т исследование з а д а ч у п р а в л е н и я . Иногда используются эвристические методы построения последовательности у б ы в а ­ н и я в з а д а ч а х у п р а в л е н и я п у ч к а м и Н а р я ж е н н ы х частиц с учетом собственного з а р я ­ да, однако н а м неизвестны работы, в к о т о р ы х / п о с т р о е н и е последовательности убы­

в а н и я в т а к и х з а д а ч а х было бы описано математически.

9*