физ., 1986, том 26, номер 2, 230–241

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Е. Трощиев, А. В. Шумилин, Разностная схема ре- шения двумерного уравнения переноса на нерегулярных четырехугольных сетках, Ж. вычисл. матем. и матем.

физ., 1986, том 26, номер 2, 230–241

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

3 ноября 2022 г., 00:01:50

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Том 26, 1986 ~~ " № 2

УДК 519.6:536.71

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА Р Е Ш Е Н И Я ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА НА Н Е Р Е Г У Л Я Р Н Ы Х Ч Е Т Ы Р Е Х У Г О Л Ь Н Ы Х СЕТКАХ

ТРОЩИЕВВ.Е.,ШУМИЛИНВ.А.

(Москва)

Д л я р е ш е н и я двумерного кинетического у р а в н е н и я переноса ч а с т и ц построена к о н с е р в а т и в н а я р а з н о с т н а я схема с треугольным р а з н о с т н ы м оператором переноса на н е р е г у л я р н о й четырехугольной сетке. Схема и с с л е д у е т с я на точность а п п р о к с и м а ц и и и устойчивость. Д л я п р а к т и ч е ­ ских расчетов п р е д л о ж е н особый к л а с с «пропорциональных»-сеток, и л и П-сеток, н а которых схема имеет второй порядок точности. Схема и л л ю ­ с т р и р у е т с я ч и с л е н н ы м и р а с ч е т а м и ; ее м о ж н о рекомендовать д л я р е ш е ­ н и я з а д а ч со сложной геометрией.

Введение

Построение разностных схем для решения двумерного уравнения пе­

реноса частиц на произвольных пространственных сетках представляет большой интерес прежде всего в связи с тем, что использование таких сеток при решении задач со сложной геометрией позволяет выбирать про­

странственную сетку весьма экономичным образом. Однако задача по­

строения достаточно хороших схем на произвольных сетках (а также ме­

тода решения получающейся при этом системы сеточных уравнений) весь­

ма сложна по сравнению с той же задачей для прямоугольных сеток..

В настоящее время для решения двумерного уравнения переноса час­

тиц на прямоугольных сетках широко и успешно применяются схемы типа Sn-метода [ 1 ] .

В [2] был сформулирован некоторый подход к построению консерва­

тивных разностных аппроксимаций двумерного уравнения переноса на многоугольных пространственных сетках. Важным свойством получаемых в этом подходе аппроксимаций является треугольность матрицы у системы сеточных уравнений. Это свойство делает возможным практическое при­

менение метода простых итераций по интегралу столкновений, а также облегчает применение методов ускорения итераций поправочного типа

[ 3 ] - [ 5 ] .

Другим важным направлением в решении двумерных задач переноса является подход, основанный на применении уравнений квазидиффузии

[6], [ 7 ] . Подходы [2], [6], [7] могут также совмещаться и дополнять друг друга.

В настоящей работе в рамках подхода [2] построена консервативная разностная схема для двумерного осесимметричного уравнения переноса на нерегулярной сетке, образованной произвольными выпуклыми четырех­

угольниками. Схема устойчива и имеет первый порядок аппроксимации на произвольных четырехугольниках и второй порядок на некоторых спе­

циальных сетках. На прямоугольниках схема превращается в 2)5п-метод [1], [8] для уравнения переноса в цилиндрической системе координат.

230

Построение схемы осуществляется интегроинтерполяционным методом [9]

и методом дополнительных соотношений [ 1 ] , [8], [10]. Практика пока1

зала работоспособность схемы при решении достаточно широкого круга прикладных задач.

§ 1. Уравнение переноса и постановка задачи

Рассмотрим кинетическое уравнение переноса частиц для осесиммет- ричной геометрий в одногрупповом приближении. В цилиндрических ко­

ординатах уравнение в дивергентной форме [8] имцет вид ( l a ) LN+apN=9F,

(16) LN(г, z.ii^Y^^iNril-ix²)^ cos ф) + г дг

+

4гШ~Ы±

( 1 ^ - р²), / 28 тФ) ,

oz. дф ⁴ г I

(1в) F(r,z) = (2n)-l($n^+Q), + 1 Я

(1г) гг<°>(г,2) = J d^j '

- 1 0 '

Здесь г, z — цилиндрические координаты положения частицы в простран­

стве (третья пространственная переменная Ч1" — угол вокруг оси Z —в (16) отсутствует, так как задача осесимметрична); Q(\L, <р) — единичный вектор в направлении полета частицы; ]x=cos9; 0 — угол между Q и осью сим­

метрии Z; ф — угол между проекцией вектора й на плоскость, проходящую через точку (г, z) перпендикулярно оси Z, и вектором, соединяющим точ­

ки (0, z) и (г, z ) ; р(г, z) — плотность среды; а (г, z), [}(r, z) — коэффициен­

ты захвата и размножения частиц; N(r, z, р, <р) — поток частиц, летящих в направлении р,, ф, в единице объема; Q(r, z) — независимый источник частиц.

Систему (1) требуется решить в области

S > = { ( r , z ) e = 2 \ - 1 < | ы < + 1 , п>ц)>0}.

Область 3? заключена между образующей Г тела вращения и осью сим­

метрии Z и представляет собой сечение тела вращения плоскостью, про­

ходящей через ось Z (см. фиг. 1).

Граничное условие, на внешней поверхности задается при (Q, п ) < 0 в виде потока частиц, входящих в тело:

N (Г, Z, [X, ф) | ( Г | Г ) Е Г= # Г ( Г , Z, Щ ф) | ( г > 2 ) е Г.

Здесь п — внешняя нормаль к образующей Г. Если принять на Г направ­

ление обхода против часовой стрелки за положительное, то условие (Й, и ) < 0 принимает вид \idr- (1—|л2), / я cos ф dz<0, где dr и dz —прираще­

ния вдоль образующей Г. При г = 0 и ф = я из (1а, б) следует, что (2а) ^ 7 V ( r = 0 , z , щФ) = 0 ,

д д

(26) _ ( ^ ) - — [(1-ц*)*ЛГ] + а р Я = р Р .

231

Уравнения (2) можно трактовать как дополнительные граничные усло­

вия для системы (1).

§ 2. Построение схемы

Для получения аппроксимации системы строим сетку в области 3).

На интервале — K p i ^ g + l выбираются узлы р,^ш, со=1, 2, . . . , со, Для каж­

дого JLU на интервале я ^ ф ^ О выбираются узловые значения <pg, g = 0 , 1 , . . . . . . , 2д(со), причем фь=л, <p;( ( D4= :W2, ф2~( ( й )=0 являются узлами сетки.

Фиг. 1 Фиг. 2

Область i ? покрывается четырехугольниками. Сетка в 9? нерегулярна в том смысле, что каждая вершина данного четырехугольника может быть одновременно вершиной любого количества других четырехугольников, а каждая сторона может быть смежной для сторон других четырехуголь­

ников (см. фиг. 1). Произвольная стыковка выпуклых четырехугольни­

ков, образующих пространственную сетку, позволяет экономично выбирать сетку при решении уравнения переноса.

Для построения конечно-разностной схемы применим интегроинтерпо- ляционный метод [ 9 ] и метод дополнительных соотношений [1], [ 8 ] , [10].

Умножим уравнение (1а) на элемент фазового объема rdrdzdy и про­

интегрируем по счетной ячейке, представляющей собой прямую четырех­

угольную призму (см. фиг. 2). Переходя по формуле Гаусса — Остроград­

ского к интегрированию по граням и применяя теорему о среднем, полу­

чаем в счетной ячейке разностное уравнение

4

(3) ^%^lN^l+K⁶N⁶-K⁵Ns+aN⁰Am=FAm.

Здесь средние значения N(r, z, р, ф ) на боковых гранях призмы обозначим через N^h 1=1, . . . , 4, на нижнем и верхнем основаниях призмы —через N^b

и N^E, B центре призмы —через N0\ коэффициенты и определяются фор­

мулами

1 • _

Ki=— ( г^г+ г^{г + 1}) [ ^ ( г^{/ + 1}- г О - ( 1 - р с о²)^{1 / 2}( ^⁺1 - ^ ) с о 8^{Ф д}] , 2 = 1 , 2 , 3 , 4 , . и

' X⁵= [ ( l - | X a >²) '^{, / a}S i n q )⁹- i ] ( ф д - ^ - ф д ) " ^ • • КЬ= [ ( 1 - р с а²) ^{7 2} Sin ф^д] ( ф^д- 1 - ' ф д ) ^{_ 1}А 5 ,

где

COS фд =

Г _ Sill фд —Sill фд-1

J cos ф а ф = — — — — -

As=.fJ*dniz — площадь счетной ячейки в плоскости (г, z), km=f Jprdrdz — элемент массы .ячейки, представляющей собой тор с осью симметрии Z, сечение которого в плоскости (г, z) является четырехугольной счетной ячейкой.

Граничные условия задаются для тех сторон четырехугольников, для которых %j<0, что эквивалентно условию (£2, п ) ^ 0 .

Для замыкания уравнения (3) применим дополнительные соотно­

шения

(4а) No=bNi+(l-6)Nl±i, 0 . 5 ^ 6 < 1 , (46) iV0=n 7V6+ (1—л) W5, 0 : 5 < 6 < 1 .

В формулах (4а) с весом б берутся те значения N^h для которых Х ; > 0 , т. е. применение конкретных дополнительных соотношений для значений на боковых гранях призмы зависит от освещенности ячейки.

Разностные уравнения (3), (4) аппроксимируют исходную систему (1а, б). При численном решении условие (2а) на оси Z заменяется усло­

вием N(r=0, z, р, ф ) =N(r=0, z, р, я — ф ) .

При ф = я уравнения (3), (4) аппроксимируют (26), если в них фор­

мально положить т]=1, %⁵=0, х⁶=(1—Pco²)^{1 / 2}As.

Для фиксированного значения параметра pw счет ведется для всех значений ф^д, д = 1 , 2, 2 д ( с о ) , т. е. уравнение решается каждый раз в плоскости (г, z), определяемой значениями р,©, фд. При решении в этой плоскости необходимо кроме граничных условий знать значения N⁵, полу­

ченные для Р а , фд-1. При ф = : я значения N5 рассчитываются по уравне­

нию (26).

Уравнения баланса (3) и дополнительные соотношения (4), рассмат­

риваемые для всех ячеек сетки совместно с соответствующими граничны­

ми условиями на освещенных гранях области 2D, образуют замкнутую систему уравнений. Согласно теореме, доказанной в [2], для каждого выбранного направления ,р, ф существует такой порядок счета призм, при котором граничные условия на освещенных гранях известны. Иначе го­

воря, матрица системы сеточных уравнений (3), (4) принимает треуголь­

ный вид, и решение такой системы при заданной правой части находится последовательно для всех ячеек сетки. . • .

Выражая N\ и N6 в формулах (4) через N0 и подставляя эти выраже­

ния в (3), получаем уравнение с одним неизвестным. В зависимости от выбранных направлений р^ш, ф^д возможны три различных^; типа освещен­

ности четырехугольной ячейки и, соответственно, три вида формул для

получения iV⁰. ' ' ' ¹

В и д 1. Освещены три, стороны, например АВ, ВС и CD (см. фиг. 3,&);

\ — проекция Q на плоскость г, z.

В этом случае значения Л^, N2 и N3- являются известными, а Л ^4- неиз­

вестным. В качестве (4а) используется формула

7V0=6Л^4+ (1 —б ) - - ' ••••••!

ш

) -

Уравнение для нахождения N0 принимает вид

-N³Ks+N⁵(^^ + yc⁵) + FAm.

: В и д 2. Освещена одна сторона, например АВ (см. фиг. 3 , 6 ) . В этом случае известно значение N^u a N^2l N³ и 7V⁴ не известны. В качестве (4а)

используются формулы N0=6Ns+(l-8)Nh

,. N²=N,=N³ либо

N2=N,=N0. '

Уравнение для нахождения N^Q принимает вид

(5")

w 0\ + — + аАт) =

4 о ц /

i[ ( х²+ х³+ х⁴) - XiJ Ч-

+ i V5( — ^ х6+ х5) + FAm

д

Ф И Г . 3

либо

(5"') ^

N⁰ \ х² + —- + х⁴ + — + а А яг) =

х О Т ] '

* / 1 - 6 \

= Nty • х3— xtj +.

+ ^5( - ^ L x6+ x5) + F A m .

В и д 3. Освещены две стороны, например АВ ж ВС (см. фиг. 3, в ) . В этом случае значения Nt и N2 являются известными, а 7V3 и 7V4 — неиз­

вестными. В качестве (4а) используются формулы

iV⁰=6iV³+(l-6)iV.¹, N⁰=W,+ {l-b)N².

Уравнение для нахождения N⁰ принимает вид

( 5^{I V}) # ⁰( ^ Т ^ + — + « Д т о ) = ^ ( - ^ - « . - « . ) +

+ Ж² х_4^х^а) + #⁵ ( ^ - x⁶+ x⁵) + F A m .

В формулы (5) в качестве граничных условий входят те з н а ч е н и я ^ , для которых X z < 0 . Если освещаемая сторона имеет одного соседа, то зна^

чение Nt передается из соседнего четырехугольника; при наличии у сто­

роны двух или более соседей значение N^t рассчитывается по значени-

2 3 4

ям N на соседствующих сторонах и равно сумме этих значений, взятых с некоторыми весами. Весовые коэффициенты равны отношению длин отрезков, примыкающих к освещаемой стороне, к длине самой стороны.

Это обеспечивает консервативность (сохранение количества частиц, пере­

носимых через освещенные стороны) при передаче граничных условий.

В формулах (5) значения щ отрицательны для известных значений Ni и положительны для неизвестных Nt. Поэтому значение N0l опреде­

ляемое из формул (5), всегда является неотрицательным при неотрица­

тельных значениях начальных и граничных условий. Однако значения iV⁶ и Ni (для тех Z, для которых х*>0), полученные из дополнительных соотношений (4), могут оказаться отрицательными.

Для устранения отрицательных значений нейтронной плотности при­

меняются схемы первого порядка точности и метод балансного зануления [ 1 0 ] . Сущность метода балансного зануления состоит в том, что отрица­

тельные значения неизвестных зануляются, а положительные домножа-' ются на коэффициент, который определяется из условия выполнения ба­

ланса нейтронов в ячейке.

Формулы для расчета коэффициента балансного зануления для раз­

личных типов освещенности ячейки имеют вид

NsKb-NzXs-NzKz-NiKi+AmF X =

х2 =

N^-N^+AmF

• N²K²+N³K³+Njti±N^BK^e+aN⁰&m

Здесь отрицательные значения неизвестных Ni и N⁶ заменены нулями.

Плотность потока нейтронов в ячейке рассчитывается по квадратур­

ной формуле

to

2g(a)

(6)

«

⁽⁰⁾

=Е Z ^Л.ДМФ,.

co = i q=l

§ 3. Исследование аппроксимации схемы. Класс П-сеток

Рассмотрим для двумерного уравнения переноса погрешность аппрок­

симации разностной схемы с дополнительными соотношениями. Погреш­

ность аппроксимации правой части, очевидно, определяется типом ква­

дратурных формул, применяемых при счете интеграла, поэтому далее будем рассматривать уравнение cv правой частью, равной нулю.

Для упрощения выкладок исследование аппроксимации схемы ( 3 ) , (4) проведем для уравнения переноса в плоской геОметрии. Это уравне­

ние получается из (1а—в) предельным переходом при г-^°°:

dN dN

(7) ( l - | . i2), / 2c o s ( p + .+оАГ=0.

ox dz

Разностная схема (3) для уравнения (7) примет вид "\

; 4 4 • " ]

(8) ( 1 - ^²) ' с о з ф YⁱN^k(z^M-z^h)--^-2!ⁱN^k(x^h+i-x^h) + ^aN^o=0, 235

где # = 1 , .2, 3, 4 —номера вершин четырехугольника при движении про­

тив часовой стрелки, N^k(\i, <р) - средние значения z, ji, ф) на сто­

ронах четырехугольника, iV⁰((x, <р) - среднее значение N(x, z, \х, ф) в центре четырехугольника, As — площадь четырехугольной ячейки, х⁵=х^и

z⁵=Zi. Дополнительные соотношения (4) рассмотрим при 8=7]=7²: ( 9 ) 7² ( ^ Ч - Т У з ) = V² ( i V²+ 7 V⁴)

Рассмотрим порядок аппроксимации разностной схемы (8), (9) в точке

- 4 4

Легко видеть, что в этой точке равенства (9) аппроксимируют функцио­

нальное тождество N=N со вторым порядком.

Фиг. 4 Фиг. 5

Пусть длины сторон ячеек имеют порядок h. В этом случае все ли­

нейные размеры ячеек имеют порядок не ниже h, а площадь As имеет порядок h². Подставляя разложение функции N в ряд Тейлора относи­

тельно точки Хд, z⁰ в (8) и вычитая уравнение ( 7) , получаем невязку вида

(10) d=Cⁱ (х,+х³-х²-х,) +С² (Zi+zs-zz-z,) +0 (h²),

где константы d и С² являются комбинацией вторых производных в точ­

ке ^{XQ, ZQ. У}

В случае, когда счетные ячейки являются параллелограммами, коэф­

фициенты при C^v и С² в формуле (10) равны нулю. Следовательно, на параллелограммной сетке схема ( 8 ) , (9) аппроксимирует уравнение (7) с порядком /г², в случае произвольных четырехугольников имеет место аппроксимация только порядка h.

Рассмотрим класс П-сеток со специальным способом дробления пер­

воначально заданных четырехугольников, а именно в произвольном че­

тырехугольнике с координатами вершин (х^и Z i ) , (х², z²) , (х³, z³) , (х^ z⁴) будем дробить противоположные стороны пропорциональным образом, т. е. так, чтобы отношения длин отрезков противоположных сторон были равны (см. фиг. 4 ) :

P i , 5 • Р5,6 • Р б> 2 =Р 4 , 1 0 • Pl0,9 • р 9 , 3 , P l , t 2 • р 1 2 , 1 1 • P^i,4= = =P2.,7 • р 7 , 8 • Рв.З*

Допустим, что

pi,2-P5,6=ft, р^{1 | 4}: р1²⁾ц=т.

236

Тогда

x^p+x^s—x^r—x^t = (mn)'~ⁱ(x^l+x³—x²—x^k), •

Zp+Z^s—Z^r~Z^t = (mn)-1 ( Z j + Z a — Z²— Z^k) .'

Из этих формул следует, что при пропорциональном измельчении проти­

воположных сторон ячеек сетки невязка (10) имеет порядок /г², т. е. раз­

ностная схема (8), (9) аппроксимирует уравнение (7) на П-сетках со вторым порядком точности.

§ 4. Исследование устойчивости схемы на П-сетках Устойчивость схемы рассмотрим для простейшего уравнения

( 1 1 ) Ф fei]) = о ,

ац

которое при а = 0 получается для заданных р,, ф из (7) соответствующим поворотом осей координат. Уравнение ( И ) , будем решать $ области 3?.

'Сетка области состоит из выпуклых четырехугольников (см. фиг. 5 ) . .Локализуем один из четырехугольников сетки и запишем для него нашу

разностную схему:

(12а) фА+фА—фз^

³

—

^|

ф

⁴

^4=

^::

0,

v(126) ф ^ ф з ^ ф г+ Ф ^ — Ф о -

.Здесь введены обозначения

/г

^±

=^1—/г

²

='£

²

~~£з> h

³

=^—£

³

,

Очевидно, что

ht+h

²

=h

³

+h, h

³

—lfi^}i

²

—h

^k

.

Умножая (12a) на (126), по­

лучаем, что

(13) ^{ф1 2Й1 +} ф2²Й2

=

^{фз2^з+ф42^+ф1фз} {ht — hi) + ф²ф 4 ( h — h²) .

И з (12) следует, что

h³—h² h^k+h² h^t+h³ h^—hi

(14a)

^ i ^ f h S ^ ~ п л н

²

\

^{М з}

^ т

^{+ ф 1}

" ^ Г '

h³—h²

,(146) ^{ф1ф3- ф2ф4 = ( ф3- ф 4 )2 7 , 7}

Подставляя (146) в (13), получаем равенство

^ 1 (h³-h²) (ht-hj

ф^{1 2}/ г¹ + ^{ф2 2Й2 = ф3 2Й3 + ф 42^ 4}

+ — [

^{(фз-ф4)2 + ( ф 2- ф 0} 'I ^г которое справедливо для любого четырехугольника с двумя освещенны­

ми сторонами. Для других случаев освещенности также верны соотно­

шения типа (15). Будем проводить дробление четырехугольников по за­

кону П-сеток. Используя (16), получаем, что в формуле (15) множи­

тель

(16) ^ - у < * ' - ^ ,

^{0 ( У >}

,

•hfrh²

т. е. является величиной второго порядка малости относительно А, где

к — максимальный диаметр четырехугольника. Если обозначить (pi²hi+

+ | ф2 2А2= | | ф | |2, а ф з²^ з+ ф 4²^ 4= | | ф 1 |², то из равенства (15) следует оценка

<i7)

,11Ф^

^{; ;}

, 237 •

Согласно лемме, доказанной в [11, с. 147], оценка (17) означает устой­

чивость рассматриваемой схемы на П-сетках в норме Цф|[, Устойчивость имеет место и на любых других сетках, для которых выполнено усло­

вие (16). • * '

§ 5. Численные расчеты , Приведем некоторые результаты численного решения стационарного

уравнения переноса. ' ' , ' З а д а ч а I. Рассматривается однородная сфера радиуса R с пара­

метрами

(18) а = 1 , р=1.5, <?=1, р = 1 .

Поток частиц извне отсутствует. Требуется по уравнениям (1) рассчи­

тать распределение частиц в сфере.

Четырехугольная пространственная сетка задачи строилась следую­

щим образом: по углу Ф полусфера разбивалась равномерно на 18 секто­

ров радиусами, выходящими из центра сферы; по радиусу R выбраны узлы

i?^{f t}=0.15&, & = 0 , . . . , 8 , Я⁹=1.332572,

д^{1 0 = =}1 . 4 1 0 6 9 , Д^{1 1}= 1 . 4 5 6 7 2 2^г i?^{1 2}=1.485846,. Л^{1 3}= 1 . 5 . Для того чтобы во всех расчетах масса шара и тела,, порождаемого двумерной сеткой, совпадали, указанные радиусы R^k домножались на со­

ответствующий множитель, после чего сферические координаты /?, ф узлов сетки пересчитывались в цилиндрические координаты г, z\ тре­

угольники в центре сферы рассматривались как четырехугольники, у ко­

торых две вершины совпадают.

По направлениям полета нейтронов р, ф сетка построена по правилу/

предложенному в [1], и состоит, из 24 равных по площади телесных углов. .

В сферических координатах задача I одномерна. Для проверки схемы сферически-симметричные задачи очень удобны, так к а к они являются существенно двумерными для цилиндрической системы координат и по­

зволяют провести сравнение результатов, полученных цо двумерному и одномерному расчетам.

В одномерном расчете задачи I решалось сферически-симметричное уравнение переноса

» WM >

⁺

тт»

⁽⁽¹

~^>

⁺

«ря - \

pa™ . + - ! ' • +1

n^(Q) (R) = J N(Rr ix)dii, 0^R<$, - K ^ + l , с теми же параметрами (18).

В табл. 1 приведено распределение плотности потока частиц (6) по некоторым секторам в двумерном расчете и значения плотности потока для одномерного расчета с совпадающей сеткой по радиусу; по направ­

лениям полета нейтронов в одномерном расчете выбрано 12 равных по р интервалов.

Полное число нейтронов в системе равно 151.2 для двумерного расче­

та и 148.2 для одномерного. Точное значение полного; числа частиц равно

238

Таблица 1

Номер точки по R

Двумерный расчет

Одномерный расчет Номер

точки

по R 0°—10° 20°—30° 40°—50° 60°—70° 80°—90°

Одномерный расчет

1 21.54 20.96 20.67 20.51 20.31 19.177'

4 18.63 18.19 17.92 17.99 • 17.88 17.495

7 13.64 13.24 13.03 13.07 13.01 ' , 12.846

10 7.57 7.33 7.26 7.23 7.21 * 7.149

13 5.29 . 5 04 5.03 4.96 5.00 . 4.923

Таблица 2

Номер

точки по R 0°—10° 20°—30° 40°—50° 60°—70° 80°—90°

1 6.55 6.37 6.29 6.21 6.17

4 5.67 5.56 5.54 : 5.55 5.56

7 ,4.19 4.13 4.16 4.26 4.29

10 2.321 2.322 2.4.38 2.568 2.634

13 1.557 i 1.576 1.713 1.816 1.940

Таблица 3

Число ячеек

Тип сеток Число

ячеек

прямоугольные пропорциональ­

ные неортогональные

7X7 14X14 21X21' 28X28 3 5 X 3 5

0.15190 0.15480 0.15535 . 0.15555

0.15565

0.1285 0.1520 0.1546 0.1552 0.1554

0.1285 0.1387 0.1429 0.1454 0.1470

Таблица 4

Способ Ко

1 0.1558-0.2/Z²

2 0 . 1 5 5 8 - 0 . 5 / ^2, К>21

г 0.1558-0.375/Я+2.35/Я2

142.3; оно получено путем измельчения сетки п о т и р в одномерных расчетах.

Так как рассматриваемая задача близка к критической, то для полу­

чения лучшей точности требуется в расчете ставить больше точек по пе­

ременным р, <р. Расчет с 40 точками по р, ф и с 13X18 интервалами по г, z дает значение полного числа нейтронов 147.3.

З а д а ч а I I . Рассматривается эллипсоид, полученный вращением вокруг оси эллипса с большой полуосью, равной 1.5 (большая полуось находится на оси Z ) , и с малой полуосью, равной 1.125. Значения а, •[}, Q, р и граничные условия те же, что и в задаче I .

Двумерная сетка выбрана, как и в задаче I , т. е. взято. 18 равных секторов и узлы сетки лежат на эллипсах с длинами полуосей, равными R^k и (1.125/1.5)Дь, /с=Ю,..., 13. Для сохранения массы длины полуосей умножены на соответствующий множитель. ' ^:

В табл. 2 для этой задачи приведены значения плотности потока частиц по некоторым секторам. ; ;

239

Полное число частиц в системе по данному расчету равно 27.82. Зна­

чение, полученное путем уменьшения ^пространственной сетки вдвое,, равно 27.85.

Отметим, что в качестве алгоритма решения системы разностных урав­

нений применялся м^тод простых итераций [2] по интегралу столкнове­

ний, а для ускорений сходимости простых итераций — метод поправок:,, построенный на оснбве метода оценки итерационных отклонений [3] и метода постоянных поправок [4J.

З а д а ч а I I I . Рассматривается цилиндр с параметрами O ^ r ^ l ,

= 0 , 0 ^ z < 2 , а = 1 . 3 4 , [}=2.25, р = 1 . Требуется определить собственный параметр Я⁰ — постоянную времени [ 12].

Сетки по пространственным переменным выбирались тремя спосо­

бами.

В способе 1 границы r = 0 , r = l , z=0; z=2 разбивались равномерно на 7, 14, .21, 28 и 35 интервалов каждая и противолежащие узлы соединя­

лись прямыми линиями, т. е. получалась прямоугольная сетка.

В способе 2 применялись П-сетки, т. е. сначала строилась неравно­

мерная неортогональная сетка из четырехугольников 7X7 (см. фиг. 6 )^г а затем стороны каждого четырех­

угольника равномерно измельча­

лись в 2, 3, 4 и 5 раз и про>- тивоположные узлы соединялись прямыми. Отметим, что начальная сетка из четырехугольников 7X7 была выбрана «плохой» в том смыс­

ле, что для большого числа направ­

лений полета нейтронов вместо до­

полнительных соотношений (9) при­

ходилось применять дополнительные соотношения (4) первого порядка аппроксимации с б = г | — 1 .

В способе 3 начальная неравномерная сетка (фиг. 6) измельчалась с сохранением «плохой» формы ячеек (сохранялись углы четырехуголь­

ников).

По направлениям полета нейтронов всегда бралось 24 интервала.

В табл. 3 приведены значения К⁰, полученные при трех способах по­

строения сеток.

Значения параметра Я⁰ для каждого способа построения пространст­

венных сеток с хорошей точностью удовлетворяют формулам, сведенным в табл. 4 (К — число интервалов по г и по z).

Из табл. 4 видно, что для прямоугольных сеток и П-сеток имеет место сходимость второго порядка, а для сеток, сохраняющих «плохую» форму четырехугольников, имеет место сходимость только первого порядка.

Отметим, что при пропорциональном измельчении плохой сетки всего лишь в 2 раза результат существенно улучшается, хотя как минимум четвертая часть полученных ячеек сохранила плохую форму. ^

Заключение о

Опыт использования предложенной схемы для решения уравнений пе­

реноса на нерегулярных неравномерных сетках показывает, что схема обладает удовлетворительной практической точностью при решении

240

сложных задач. Использование П-сеток, на которых схема имеет второй порядок точности, особенно эффективно. Достоинством схемы является то, что матрица системы сеточных уравнений треугольная, поэтому для:

ее решения можно использовать в явной форме метод простой итерации и некоторые итерационные методы поправок.

Для устранения возможных немонотонностей в сеточных решениях:

достаточно эффективным средством для широкого круга задач является локальное применение метода балансного зануления и схем первого по­

рядка точности.

Построенная схема легко обобщается на нестационарный случай.

ч . Литература

1. Carlson В. G. T h e n u m e r i c a l t h e o r y of n e u t r o n t r a n s p o r t . Methods in computational' physics. Vol. 1. N. Y.: Acad. Press, 1963.

2. Трощиев В. E. О к л а с с а х сеток, д о п у с к а ю щ и х консервативные аппроксимации:

двумерного оператора переноса треугольным разностным оператором.— Ж. в ы ­ числ. матем. и матем. физ., 1976, т. 16^№ 3, с. 793—797.

3. Морозов В. Н.О р е ш е н и и кинетических у р а в н е н и й с помощью ^п-метода.— В кн.:

Теория и методы расчета я д е р н ы х реакторов. М.: Госатомиздат, 1962, с. 91—117.

4. Трощиев В. Е., Юдинцев В. Ф., Федянин В. И. Об ускорении сходимости и н т е р а - ц и й п р и р е ш е н и и кинетического у р а в н е н и я . - Ж . вычисл. матем. и матем. физ..

1968, т. 8, № 2, с. 4 5 2 - 4 5 8 .

5. Марчук Г. И., Лебедев В. И. Ч и с л е н н ы е методы в теории переноса нейтронов., М.: Атомиздат, 1981. ,

6. Голъдин В. Я. К в а з и д и ф ф у з и о н н ы й метод р е ш е н и я кинетического уравнения.—

Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т. 4, № - 6 , с. 1078—1087.

7. Аксенов Н. Н., Голъдин В. Я. Расчет двумерного стационарного у р а в н е н и я п е ­ реноса нейтронов методом к в а з и д и ф ф у з и и . — Ж . вычисл. матем. и матем. ф и з .^г 1979, т. 19, № 5, с. 1341-1343.

8. Трощиев В. Е. "О м а т е м а т и ч е с к и х свойствах £^п- м е т о д о в р е ш е н и я к и н е т и ч е с к и х уравнений.—Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, т. 15, № 5, с. 1209—1221.

9. Самарский А. А. Т е о р и я разностных схем. М.: Наука, 1977.

10. Е'лесин В. А. и др. Ч и с л е н н а я методика и о р г а н и з а ц и я программы д л я р е ш е н и я многогруппового нестационарного кинетического уравнения.— В к н . : К о м п л е к с ы программ матем. ф и з . Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972, с. 1 8 - 2 3 .

11. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы р е ш е н и я к р а е в ы х задач. М.: Мир,.

1972.

12. Дэвисон Б. Т е о р и я переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960.

Поступила в р е д а к ц и ю 16.VI 1.1984

/ ²⁴¹