А. А. Карацуба, О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле, Изв. АН СССР. Сер. ма- тем., 1991, том 55, выпуск 3, 483–514

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Карацуба, О нулях специального вида функций, связанных с рядами Дирихле, Изв. АН СССР. Сер. ма- тем., 1991, том 55, выпуск 3, 483–514

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:51:52

СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 55, № 3, 1991

УДК 511

© 1991

А. А. КАРАЦУБА

О НУЛЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫХ С РЯДАМИ ДИРИХЛЕ

Доказаны теоремы о количестве нулей на промежутках критической прямой линейных комбинаций /,-функций Дирихле.

§ 1. Введение. Формулировки теорем

Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специаль- ных функций, к которым относятся дзета-функция Римана £ (s), функции Дирихле L (s, %), дзета-функции алгебраических числовых полей и др.

Эти функции задаются рядами Дирихле в полуплоскости Re s ^> а и име- ют функциональное уравнение. Например, дзета-функция Римана £ (s)

задаётся при Re s ^> 1 рядом Дирихле вида

| п -^в, (1)

п=1

продолжается аналитически на всю s-плоскость и удовлетворяет функ- циональному уравнению

l(s) = | ( 1 - *), I (s) = Я-/-Г (-f) I (s). (2)

Условия (1) и (2) очень жёсткие, они однозначно определяют Z, (s).

Имеет место следующая теорема (см. [1] или [2, с. 41]).

ТЕОРЕМА. Пусть G (s) — целая функция конечного порядка, Р (s) — многочлен, f (s) — G (s)P~^x (s), и пусть ряд

n=l

абсолютно сходится при Re s ^> 1. Пусть, далее,,

) *), (3) где ряд

g(i-s)=%b(n)n-^

n=l

абсолютно сходится при Re s <C —а < 0. Тогда

f (8) = Cl (S),

где С — постоянная.

Заметим, что соотношение (3) даже слабее, чем (2). Естественно возник вопрос: не будет ли функциональное уравнение типа (2) определять место-

положение нулей соответствующей функции? Оказалось, что это не так.

Простейшей функцией, которая даёт отрицательный ответ на поставлен- ный вопрос, является функция / (s), введённая Г. Дэвенпортом и Г. Хейль- бронном в 1936 г. в [3]:

/ (s) = ^ L (s,

X l

) + Ц ^ L (s, fo), (4)

1^10 — 2 / 5 — 2 , . -л г где х = — j ~ > Xi = Xi \п) ~ характер Дирихле по модулю 5Г

причём

%1 (2) = i, *² = - 1 , L(s,%1)= £ Xi(«)«"s. R e 5 > 0 .

n = l

Функция / (s) при Re s ^> 0 имеет представление в виде следующего ряда Дирихле:

1(*)=Ъг(п)п-\ (5)

7 1 = 1

где г (п) = г ( т ) , если ?г = /тг (mod 5), и г (1) = 1, г (2) = х, г (3) = —х, г (4) = — 1 , г (5) = 0. Кроме того, / (s) удовлетворяет такому функцио- нальному уравнению:

( ^ ) ~

^{S / 2}

( ^ ± i ) (

^S

) . (6)

Сходство (2) и (6) очевидно. Однако для / (s) аналог гипотезы Римана (все комплексные нули / (s) лежат на одной прямой) не выполняется.Что- бы удобно было формулировать результаты о нулях / (s), введём три функ- ции N (Т), JV⁰ (T) и N (ст, Т), которые соответственно означают количество нулей / (s) в полосе 0 < Im s <^ T, в той же полосе, но лежащие на пря- мой Re s = 0,5, и,? наконец, в той же полосе, но с Re s ^> о.

Следующие результаты были известны до 1989 г.

1) No (T) ^сТ, с > 0;

2) N(l, T)p>cJ, ^{C l}- > 0 ;

3) JV {a^lt T)-N (o², T) > c²7\ c² = c² (a^lt or²)>0; 0,5 < o^t < ст² < 1 ; 4) JV⁰ (Г) > с³Г exp (0,05T/loglogloglogr), c³ > 0;

5) N (T) - No (T) > cjKloglog Г, c4 > 0.

Утверждения 1) и 2) доказаны Г. Дэвенпортом и Г. Хейльбронном (см. [3], [2]), утверждения 3) и 4) доказаны С. М. Ворониным (см. |[4, 5, 6]), утверждение 5) доказано А. Сельбергом (об этом автору сообщил Э. Бомбьери в сентябре 1989 г., Амальфи).

Отметим также доклад Д. Хейчала [7], в котором сообщается, что

«Сельбергу был известен результат, аналогичный 4), когда он писал [8]», и статью Э. Бомбьери и Д. Хейчала [9], «которая проливает новый свет на нули арифметических рядов Дирихле, имеющих функциональное урав- нение, но не эйлерово произведение».

В 1989 г. автор в [10] разработал метод, с помощью которого доказал, что

N^o (Т) > Т (log Г)о.»-, где е > 0 — любое, Т > Т^о (е) > 0.

В настоящей статье метод из [10] применяется к оценке снизу количест- ва нулей, лежащих на отрезках вещественной прямой, класса функций, тесно связанных с упомянутыми выше классическими функциями теории чисел. Для формулировки основных результатов введем ряд новых обозна- чений и понятий.

Везде ниже буквами к, кх, . . . будем обозначать натуральные числа, X (п)' Xi (п)> • • • — примитивные характеры Дирихле го модулям соот-

ветственно к, ки . . .; х = % (п) — характер комплексно-сопряжённый %;

сумма т (%) — сумма Гаусса,

числу к = 1 отвечает тривиальный характер % (re)i тождественно рав- ный 1; в этом случае т (у) = 1.

Пусть, далее, число а = а (%) равно 0, если % (га) — чётный характер, и равно 1, если % (п) — нечётный характер, т. е.

(0, е с л иХ( - 1 ) = 1;

Для L-функции Дирихле L (5, у) с примитивным характером % по модулю /с,

оо

n=l

справедливо функциональное уравнение

£ (1 - s, х) = е (х) I (s, х), (7)

где}

(*'X). (8)

Введём ещё три функции:

1 —s к \i/2-s

(И) (12) Из (7) и (12) легко доказать (см. лемму 1), что Z (t, x) принимает веще- ственные значения при вещественных t и, следовательно, вещественные нули Z (t, x) являются нулями L (s, у), лежащими на критической прямой Re s = 0,5. Отметим, что если к = 1, то % = % (п) — i, L (s, у) = £ (s),

^1ри решении задач о нулях Z, (s), L (s, у), лежащих на критической прямой, решают соответствующие задачи для вещественнозначных функ- ций Z (t), Z (t, x)- Основой изучения нулей, скажем Z (t), служит идея

Харди — Литтлвуда — Ландау сравнивать интегралы 1^г и /², где

t+h t+h

/^{1 = =} J \Z{u)\du, /² = | \ Z{u)du

t t

Если I^x Ф 1², то Z (и) на промежутке (t, t + К) меняет знак, т. е. на (t, t + h) лежит нуль нечётного порядка Z (и). Эта идея впоследствии была дополнена важным соображением А. Сельберга, который стал рассматри- вать вместо Z (и) функцию F (и) = Z (и) | / (и) \ ², где / (и) выбирается так, чтобы F (и) «в среднем» была близка к константе; при выборе / (и) А. Сель- берг существенно пользовался тем, что £ (s) имеет эйлерово произведение (как подчеркивает сам А. Сельберг (см. [8, с. 5]), это соображение было впервые применено Г. Бором и Э. Ландау в их исследованиях, касающих- ся N (а, Т) для фиксированного о ^> 0,5).

Пусть теперь а^ъ . . ., a^m ~ произвольные вещественные числа. Рас- смотрим функцию Ф (s) следующего вида:

Ф (*) = S а, (р (*, ъ-)Г^1/2£ (в, XJ). (13) Полагая s = 0,5 + it, находим

т

G (t) = Ф (0,5 + £ 0 = 3 ajZ (t,

X

j). (Щ

i=i

Функция G (t) при вещественных t принимает вещественные значения, а вещественные нули G (t) являются нулями Ф (s), лежащими на крити- ческой прямой Res =0,5. Таким образом, G (t) является аналогом вве- дённых выше функций Z (t) и Z (t, у). Можно ставить вопросы о количестве нулей Ф (s) вида s = 0,5 + it, 0 < t <^ Т. Применение метода Харди — Литтлвуда—Ландау позволяет доказать, что Ф (0,5 -f it) на (0, Т) име- ет не меньше чем сТ нулей нечётного порядка, с ^> 0 — постоянная. За- дача состоит в том, чтобы получить более точный результат. Функция Ф (s), вообще говоря, не] имеет эйлерова прсизведения. Поэтому метод А. Сельберга изучения нулей Z, (s), L (s, у) на критической прямой, кото- рый существенно использует наличие у рассматриваемых функций эйле- рова произведения, в случае функции Ф (s) неприменим. Тем не менее, по- ставленная выше общая задача о количестве нулей Ф (0,5 + it) на проме- жутке 0 < t ^ T может быть удовлетворительно решена на основе уже упомянутого метода статьи [10].

Для G (t) существует / (t) такая, что G (t) | / (t) |² хотя и растёт «в сред- нем», но не «очень быстро». Это обстоятельство (аналог идеи А. Сельбер- га) и идея сравнивать «малые» положительные степени соответствущих аналогов интегралов /^х и /², т. е. II и 1%, а —*- + 0 , и даёт возможность получить результаты о нулях G (t) более точные, чем результаты типа Хар- ди — Литтлвуда.

Как обычно, символом [к^г, . . ., к^т] обозначаем наименьшее общее кратное натуральных чисел к^г, . . ., к^т. Справедливы следующие ут- верждения.

ТЕОРЕМА 1. Пусть т ^ 2, к^и . . ., к^т — произвольные натуральные

числа с условием К = [к^и . . ., к^т] > 3, %^и . . ., %^т — призволъные при- митивные характеры Дирихле по модулям соответственно к^г, . . ., к^т, и пусть, кроме того, характеры %i, • • •, %^т имеют одинаковую чётность.

Пусть, далее, а^г, . . ., а^т — произвольные вещественные числа и G (t) = a^xZ (t, ^{X l}) + • • • + a^mZ (t, ^lm).

Тогда функция G (t) имеет на промежутке (О, Т) не меньше чем

Т (log f)^aP-^s (15)

нулей нечётного порядка, где е ^> 0 — любое, Т ;> Т^о (е) ^> 0, |3ф (К) =

= 1, ф (К) — функция Эйлера.

ТЕОРЕМА 2. Пусть т ;> 2, А^х, . . ., к^т — произвольные натуральные числа, зс¹⁵ • • •, %т — произвольные примитивные характеры Дирихле по модулям соответственно k^t, . . ., k^m, а^ъ . . ., а^т — произвольные вещест- венные числа. Тогда функция

G (t) = a^xZ (t, ^{X l}) + . . . + a^mZ (t, ^%m) имеет на промежутке (О, Т) не меньше чем

Т (log Г)Р-Ё

нулей нечётного порядка, где е ^> 0 — любое, Т ;> Т^о (е), рф (А') = 1, К =

= [k^lt . . ., k^m].

Из теоремы 1 получаем

С л е д с т в и е . Пусть р ^ 5, р — простое число, %^х, . . ., %^т — чёт- ные (нечётные) примитивные характеры по модулю р. Тогда G (t) имеет на промежутке (О, Т) не меньше чем

Т (log Г)2/(Р-1)-8

нулей нечётного порядка, г ^> 0 — любое, Т ^> Т^о (е) ^> 0.

Отсюда при/) = 5 получаем аналог теоремы статьи [10] (см. также [11]), Ниже, кроме уже введённых, употребляются устоявшиеся теоретико- числовые обозначения. Буквами с, c^{l f} . . . будем обозначать положитель- ные постоянные. Отметим также, что теоремы 1 и 2 будут тривиальными следствиями более точных утверждений, содержащихся в теоремах 3 и 4 (см. § 3).

§ 2. Вспомогательные утверждения

В этом параграфе доказываются вспомогательные утверждения — лем- мы, необходимые в дальнейшем. Некоторые из них известны или близки к известным и приводятся здесь для полноты изложения. Считаем ниже к фиксированным' натуральным числом; таким образом, постоянные в зна- ках О и < ^ будут зависеть от [к, и это обстоятельство иногда не будет оговариваться.

ЛЕММА 1. При вещественном t функция Z (t, у), определённая равен- ством (12), принимает вещественные значения.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего докажем, что

8 (X) 8 (X) = 1- (16)

Действительно, из определения (9) функции 8 (х) следует, что

где т (х) — сумма Гаусса,

Следовательно,

(17)

Ш = 1

9ТТ2

-2ГО -г- _. т.

(X) = 2 ЗСИе * =5С(-1) S

m = l tn=l

2лг-

=хН)

Поэтому

к = I г (

^Х

) |

²

= т (х

= х (-1) т (х) т (%). (18) Если х — чётный характер, то х (—1) = X (—1) = 1, в соотношении (17) а = 0, и ввиду (18) получаем (16). Если же % — нечётный характер, то % (—1) = X (—1) ⁼ —1» ^в соотношении (17) а = 1, и ввиду (18) опять получаем (16). Пусть теперь t — вещественное число; надо доказать, что Z (t, ^X) = Z (t, x) = <r«> (0,5 - it, x). (19) Будем пользоваться (7), (10) и (11). Прежде всего из (11) и (10) находим

е(х)

Полагая в (7) s = 0,5 + if и пользуясь (8), будем иметь и г

ч

' 1 ' 1~Т +

Та а

~Y

+ - )

it \

it \

~~2~

-1/2

. (20)

или

2 2

r

(i+i + iMi

Отсюда следует, что

1

ы-т

⁽²¹⁾

Тем самым из (20) и (21) получаем, что правая часть (19) равна 1 , ..

ч

/

ч

1 1

а - ^— —а

т) и \

С другой стороны, в силу (10), (И) и (12) левая часть (19) равна

т)

Ч / Ч

а а

it \ '

+ -2"it \

-1/2

Так как е (%) г (у) = 1, то эти два выражения равны, что и доказывает лемму.

Рассмотрим теперь аналог функции F (t) из [10] — функцию F(t, %), F (t, y)=Z (t, x) I Ф (у + ») I², (22) где y(s)= 2i P (^v) ^v~^s. P (^v) — вещественные числа, | P (v) | ^ !•

числа Р (v), так и X выбираются некоторым специальным образом в за- висимости от решаемой задачи. Для F (t, у) важно знать её возможно более простое выражение. Таким выражением является формула, которую назы- вают приближенным уравнением F (t, %) и которая будет получена в сле- дующей лемме. Далее считаем Т ^> Т^о ^> 0. Предварительно сформули- руем два известных утверждения, которые потребуются при доказатель- стве приближенного уравнения F (t, у) (см. [12, с. 98 и с. 103]).

ЛЕММА А. Пусть вещественные функции f (х) и ц> (х) удовлетворяют на отрезке [а, Ъ] следующим условиям:

1) /<²) (х) и cpW (x) — непрерывные функции;

2) /<²> (х) > 0;

3) [/«(*) | < б < 1 ;

4) при некоторых положительных числах Н и Н^х выполняются нера- венства

ь Тогда справедлива формула

ь 2 Ф (х) e*ⁿⁱHx) = ^ ^ф

где постоянная в знаке О зависит только от б.

ЛЕММА Б. Пусть вещественные функции f (x) и ф (х) удовлетворяют на отрезке [а, Ь] следующим условиям:

1) /W (х) и ф<²> (х) — непрерывные функции;

2) при положительных числах Н, U, А с условиями 1 ^ А ^ U, 0 <С

< Ъ — а <^ U выполняются неравенства]

c^xA-i < р) (х) < сЛ-¹; | /<³> (х) | < с^ъА^и~\

| /W (х) | < c^U-\ | ^Ф (х) | < Я;

Тогда, определяя числа х^п из уравнения /<^х> (а;^п) = п, будем иметь

где а = /<^х> (а), р = /W (&), с (га) = 1, если а < га < |3, с (га) = 0,5, если га = а млм га = р;

R = Н (Т^а + Т^ъ + log (p - а + 2)), (0, если ||/<Ч(,1)|| = 0,

ЛЕММА 2. Пусть / — примитивный характер по модулю k, L (s, %) — ряд Дирихле, отвечающий заданному %, Z (t, у) определяется равенством (12), Р (v) — вещественные числа, причём | Р (v) | ^ 1 при v ^ X, Р (v) =

— О при v >> X, Р (v) = О при v ф + 1 (mod к),

оо

Ф (в) = Ф* (в) = 2 Р (v) v-s = 2 Р (v) v-s.

gX l^{v = l}

туш Т < f < Г + Н, Н < у^Т⁷, 1 < X < Г⁰.⁰¹ справедлива сле- дующая формула:

Ф И г

(^Х) ^е-1Ф4 V - ^ Э - X^й + О (T~^ViX log²T) +0 (T~^3liH²X log² T),

кТ

( 2 3 )

А, — рациональные числа, знаменатель которых не превосходит X.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть N — натуральное число; тогда при Re s ^> 0, применяя формулу частного суммирования, найдём

N оо

£ (*. X) = 2 X И

^re

~

^S

+ * S С (а) а-

⁸

-Ш,

n = l JV

где С(м)= 21 х(^ге)- Так как С (и) = О (1), то при а ^> 0,5, s = а +

ЛГ<п<и

+ if, Г < t < 2 Г получаем

L(s,%)=%y. (п) п-° + О (7W-°). (24)

п=1

Из определения чисел р (v), тривиально оценивая каждое слагаемое q>{s), будем иметь

Возьмём в (24) s = 0,5 + it и умножим (24) на | ф (0,5 + it) |²; получим L (0,5 +it, %)\у (0,5+ it)\2 =

= V ^-%-^u + O(TN-»*X), (25)

где символом а^г (X) обозначена сумма

Заметим, что а^г (X) отличаются от а (X) только тем, что на переменную суммирования п в а^х (X) наложено ограничение п <Jl N. Обозначая левую часть (25) буквой 2 и полагая в (25) N = Т³Х², находим

ai(X) ^,-« i Q/y-o.5) ⁼

где

Из определения N и (26) видно, что при X^^!P¹MP¹<^X^^!Y ус- ловие на п вида п ^ N, входящее в определение а^г (X), лишнее, и, следова- тельно, а^г (X) = а (X). Оценим 2^{1 7}

1

Пользуясь определением А и ej (X), легко находим

fP(vi)P(v.) ( Л ) - " V -1М.„-«. (27) Займемся суммой 2² по п,

Полагая п = /сге^х + ^П2> получаем

К сумме по п^г применим лемму А, полагая в ней

f(^x) = —J-log(kx + n²), g(x) = (kx + n² находим

(N—n2) Тс—»

(JV.-n.) It-»<n,<(ff-n,) k-« (»i-n») »"

~ Л (0,5 —it) <• ²

R

Далее так как S ^(/г²) = 0,, то

2² = О (JVr°^l5) = О (У-о.5у²"°'Ч'^в). (28) Преобразуем теперь аналог суммы 2^а, именно сумму iS¹,

в том случае, когда а «не слишком» велико. Разбивая слагаемые S по про- грессиям с разностью к, приходим к соотношению

5 = 5 Ы 1 ) a (kx + l)-o*e-

^23li

^

^losVcx+l)

, (29)

1=0 afix^-bi

где а^г — кг¹ (а — I), Ъ¹ = /с"¹ {Ъ — I). Предположим сначала, что 2Ы ;>

^ а ^> ]/"£. Полагая в лемме Б

g (х) = (кх + /)-»•*, Я = (Лв)-о.в;

f(^x) = —

видим, что все условия леммы выполняются. Далее легко находим

tk . t . Ы

Применяя лемму Б и производя замену переменной суммирования вида п -v —га, получаем

^ ^ ^ _ /7*~Г \Н 1 \/_J \У ^c(^{r a}) "о г— tk 2 l t r e V " У ге>^2л \ V 2 л⁰'⁵ У1 <•> • * 1 tk , t ln\\ , ^{e x}P 2щ( Tj— log-s —= !-)) + ^s 2лге ' 2 л к // ' О (Н (Т^а + Т^Ь + log *)) = е*Р- V¹ с (и) д-°.5+« ехр f — 2лi -^-) &-»•• +

(30) где

_ ^ | - \ /A).

Теперь воспользуемся тем, что % — примитивный характер по моду- лю к, и, следовательно,

( 4 ) 1 ) ^ - . (31)

Учитывая сказанное, из (30), (31), (29) находим

s =

х(-1)т(х)

^е

,

^ф0

у

^{с (ге)}

-

^{( n ) ra}

_

0>5+i/ +

2яЬ 2ла

+ О (а-о.5 (Г^а + Г^{ь +} log Г)). (32) При выводе формулы (32) мы пользовались предположением, что а ^

> |/7. Ниже нужна будет подобная формула, но также и при а < У!.

Получим ее сейчас. Для этого воспользуемся простой формой (32), заменяя с (га) на 1, а возможно появившиеся при этом дополнительные слагаемые внесём в остаток (они имеют порядок Н ]^А); величины Та и Ть также оценим простейшим образом:

Т

а

< VA;

ТЬ

< VI.

Вместо (32) получим

2лЬ "^"

+ O((ia-V5)- (33)

или, переходя к комплексному сопряжению,

2 J

¹⁽

^

^п

°'

5+г<

?_

+ О ((ia"1)-0'5).

Сделаем в этой формуле переобозначения вида

<tk . tk , , tk tk

и заметим, что

х(-1)т(х) У*

будем][иметь

У

^ _

~~ 2 я а^г

(34) Формулы (33) и (34) имеют один вид, но если в (33) требуется выполне- ние неравенства а ^ 1/7, то уже в (34) величина а2 может не превосходить УХ При «больших» а, именно при а ;> Ыя~1, сумму 5 оценим сверху по абсолютной величине подобно тому, как была оценена сумма S2. В этом случае в формуле (29)

< " Г ' 2,(fa+ 0

и к сумме по х применима лемма А. Считая только, что Ъ ^> а, т. е., не ог- раничивая себя условием Ъ <^ 2а, будем иметь

ь,

ид; _[- Z)-O.B-« dx -|- О

= 0 , 5 - й <6°' ~ a ' ) +

5 = 0 (a"0-5) = О (Г«.*). (35) Преобразуем теперь S3,

2 a (X) &,-*•»-«,

пользуясь (32), (34) и (35). Имеем

VI V*

ZJ >^V7

W

2 J

V,, V2 PiV,/Vi<n<y V,/Vt

Сумму по и представим в виде суммы слагаемых, каждое из которых будет суммой S = S {а, Ь). Для этого разделим промежуток (PiVavl\ Yv^l на промежутки /ц точками ап,

где натуральное число ц0 определяется неравенствами

Получим fi0 + 2 промежутка 1^, причём

I

^th

/

⁰

= (a

⁰

, r v

²

v

^{1 1}

] (

^¥

, J

/ц+1 = («ji+l, Лц], [Л = 0, 1, . . ., | i0 — 1,

Заметим, что У = ЫХп'1, Yv^vi1 ^ tkn"1, и промежуток 10 может ока- заться пустым. Согласно произведенному разбиению, сумма по п разобьёт- ся на (А0 + 2 суммы S^,

2 ] ( ( « ) « -<'M (= S ^ (36) где

К JS0 применим (35): 50 = (t 0 > 5) . Пусть теперь 1 <^ \х, ^ [Ао,

Будем пользоваться либо (32), либо (34) в зависимости от того, как вели- ко ац, dp. > V~i и л и ац < V~i- Полагая в (32), (34) а = а^, Ъ = a^-i, на- ходим

tit IK о|Х—1 г\ С, tfC л|Д, л р ^

£(„) n-o.w« + о (о^0'5 log T),

Фо

= — tlog -^- + t + -J-.

Наконец, к 5^+1 также применим либо (32), либо (34):

=

-( л ) п_„>в+« + Q ( а-о-о,Б

Подставляя найденные выражения для S^ в (36), приходим к следующим соотношениям:

z *<»»

' v ^¹ log Г);

Vi,V2

О (7-0.25X 1 ( ) g2 T ) = 1 ( ) g2

Тем самым из (26), (28) и последнего равенства получаем

w "

^х

"

^{й 0'}2 5 z l o g 2

где

Далее, из определения (11) функции 9 (t, у) находим

•р | I I 1 I 4 + ~2~ + 2

1 a it

Поэтому

>х) =

V I а (А,) ^_и Г° /_к_\И/2

1 ( /. + "2" + -у

^

⁺

^ - 4 )

1/2

X

1 а

Т + ~

1 а

+

X

Пользуясь формулой Стирлинга, легко найдём асимптотическую фор- мулу для ф, где

±

a it 1 a it

Действительно, логарифмируя обе части этого равенства, а затем при-

+

меняя формулу^Стирлинга (см., например, [12, с. 137]), получаем

, а it

( а i J . U \\ПГ.( 1 _1_ a _L U \ ( i -L й _L ' M

ее

l a it \ С fpi (и) du

~T~T~~2 T)~) -L_L— H ⁼

' ° 1 a it 2

a \z t*

j +

= i[a ^r -о- — arctg⁸ ^

М г,, -Д Pi (и) ^и

Таким образом,

Поэтому

где

•• = i - l o -^- + -^я ^- ¹ ^ ' *

»Ф1 2 ° я <

kt . t

Обозначая через ф³ число

г t , to t п I • 1

l + l

^a

видим, что

Ф1 = Фз + О (Г»), Ф2 = -Фз + О (Г1),

+ / e (Y) e~P> V -^R- A," + О (Т'^Х log^{i( 2}r).

Пользуясь тем, что Т ^ t ^ Т + Н, Н <^ >-'Г, ещё несколько упростим /• (<, х)- Полагая

» _£_, _М^ _Т_

легко находим

- J _ . t t —Т t , I л , Т — t \ , IT — t

Опять пользуясь тем, что

V

V

n V, v ^ VTX ' m < / Г X 2

получаем

У _±р_ к^и +'р (Т-°'²⁵Х log²?⁷) + О (Т-*мН^гХ log²?⁷).

Наконец, заменяя Рх на Р = У кТ/(2л), приходим к утверждению леммы.

Ниже потребуется асимптотика суммы S = S (Y; 0),

где а (X) задаются формулой (23),

Г0-1 < Y < Т, 1/4 < 9 < 1/2. (38)

ЛЕММА 3. Для суммы S, определённой равенством (37), при условиях (38) справедлива следующая асимптотическая формула:

S = S (Y; 9) = aYl-^W (0) + o^W (I - 29) + О (Г~2 еХ2 log2 X), где

V"9 Р М X"(vi) P (^) X Ы Р (УЗ) X (Уз) Р (vt) X (V4) v,,v^z,v,,v⁴

= (vxv4, v2v3), a = -^W. . _ J _ t -ai = a o Д (! _ р-2 б ) >

1 ' pifc

if со

o = - ГГ20 2"1 + 2 6i+ 20 J p (u) u-i-«edu, p (u) = ^ {u}.

5 o,:.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пользуясь определением % ж а (^), из (23) и (37) находим »

V2V4

i, V,, V,, V4 « , V j V4= n V V ^ r v V 1 2

( 4 0 )

Обозначим символом Sx внутреннюю сумму в этом равенстве и найдём асимптотическую формулу для S\. Пусть q = (viV4, v2v3); v1vi = qa, v2v3 =

= qb, (a, b) = 1. Тогда из соотношения rciViV⁴ = ra²v²v³ <; Yv²v⁴ следует,

•что

n^qa = n²qb < Yv²v⁴; пф = n²b < Fv²v⁴g'~¹;

re^x = mfr, re² = ma; m < yv²v⁴ (abq)'¹ = Fv^v^g = ilf.

Тем самым S^t перепишется так:

с _ V¹ K N K N _ Х(&)%(а) V

26

X (a) X (b) \ 1 1 X (a)

Применяя известное свойство функции Мёбиуса, для ^г получаем

d | (m, ft) d | К J

m=o(modd)

S l ( ) S ( ¹ ) S li^d-^{2 6} 2

d | ft m^Afd-1 d | ft

S n ( ) - * 5^s. (42)

[d | It

К £3 применим формулу суммирования Эйлера:

Met-* Md-t

*S³= $ w-^2edii + p(Md-¹)(Md-¹)-^2e + ²9 $ p (и) u~i-»edu.|

0,5 0,5

Пользуясь тем, что 1/4 < 0 < 1/2, | p (u) | ^ 1/2, для 5³ находим асимп- тотическую формулу:

S

+ 26 С p (u) и+

0,5

где введено обозначение

» ) + о

W1 2 9

29

0,5

Следовательно, из этой формулы, (42) и (41) последовательно получаем

d | ft

" ^ * r S j +

^a

» П (IHP-

p | R

где

Pi fti ft

Подставим|теперь получившееся выражение для Si в (40), помня, что

= + 1 (mod к); j = 1, 2, 3, 4, g = (v^xv⁴, v²v³), x² (з) = 1, о =

J; находим

_ V~l P (У1) P (Уг) Р (Уз) Р (У4) _ X (УдУ4?-1) X Ы*зч ~r 2 9

Vj,V2, V3,V, 1 2 3 4

X

P (vi) X (vi) P (У2) X (vi) P (УЗ) X (УЗ) Р (v«) X Ы V,, V,,V,,V4

P (УД) X (Уд) P (vi) X Ы Р (Уз) X (Уз) Р (v«) X (v«) V,, V,, V,, Vt

Лемма доказана.

Отметим, что сумма W (0) — прямой аналог соответствующей суммы А. Сельберга. В следующих двух леммах оцениваются такие суммы при определённой реализации чисел |5 (v).

ЛЕММА 4. Пусть к ;> 3, % — примитивный характер по модулю k^f числа a (v) и (3 (v) определяются соотношениями

-ЗР- п (i-

v = l p = + l (mod k)

Тогда для суммы W (0), определённой равенством (39), при 0 <; 0 ^

<; 1/2 справедлива оценка]

W (0) = О (X2 6 (log X)-2P), г<9е Рф (к) = 1, ф (А) — функция Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения Р (v) и вида W (0) следует, что

V (

^q _У2У4

Vi, V», Vs, Vt

где

log v _iJ

0, v > X.

Оценка W (0) в основных чертах повторяет оценку А. Сельберга соот- ветствующей суммы (см. [8, 2, 10, 13]). Введём функцию у (d),

2 Y ( ) ?

¹

~

^e

. (44)

d i e k '

По формуле обращения Мёбиуса имеем

У(п)=}у (d) (-^-j'

^e

= п^ Д (1 - Р'

^{и е}

)-

d | n p | п

Следовательно, 0 < у (п) <^ ге¹"⁶. Подставим q^l~^e из (44) в (43) и поменяем местами порядок суммирования:

V,,VS,V,,V4 1 2 3 4

D ^ V Pi foP Pi Ы V¹ Pi (V2) Pi (V⁸) Y W

2 Z 2-J ^ 4 Zj

v,v,=o (mod d) 1 v2v3=o (mod d)

ViV⁴=o (mod d) ¹

Внутреннюю сумму последней формулы обозначим символом V (d); таким образом,

V(d)=

v,V4=o (mod d) 1 I

2 > (46)

штрих в сумме означает суммирование по таким d, простые делители ко- торых сравнимы с + 1 по mod к.

Преобразуем V (d). Пусть 6^t и б⁴ — натуральные числа, простые де- лители которых совпадают с простыми делителями d. Тогда каждую пару чисел v^{l t} v⁴, которая удовлетворяет сравнению v^xv⁴ ^ 0 (mod d), можно записать^в виде v{Si, v⁴ б⁴, где (v[, d) = (v⁴, d) = 1 и, кроме того, б^хб⁴ ^

= 0 (mod d). Таким образом, каждой паре чисел Si, б⁴ с указанными ус- ловиями отвечает пара v^1? v⁴ решений сравнения v^xv⁴ E= 0 (mod d) вида v^ = vi6i, v⁴ = v⁴6⁴, (vi, d) = (vi, d) = 1, и наоборот. Поэтому для V (d) получаем равенство:

= у hM^pi

⁼

4-1 v^^ev⁴1

VtVjSO (mod d) x I

(v[,d)=l (V4,d)=l

где штрих в сумме означает, что суммирование ведётся по числам 6^{l t} б⁴, простые делители которых совпадают с простыми делителями d.

к Из определения fa (v) находим

Так как простые делители 6i, б⁴ являются делителями \d, a (v[, d) = (vl, d ) = l , то (6i, vi) = (6⁴, v⁴) = 1, и в силу мультипликативности a (v) получаем

a (6xvD = а (6i) а (vi); а (S⁴v⁴) = а (б⁴) а (vi).

Следовательно,

6164=0'(mod d) *

A" log r) • (47)

6iV⁴<X (v⁴, d)=l

Введём сумму К следующего вида:

к

= У, ^ й - i o g ^ - (

⁴⁸

)

(v!d)=i

Отметим, что две последние суммы в (47) как раз являются суммами К.

Оценим сверху \ К \. Для этого при Re s ^ 6 рассмотрим производящую функцию g (s) последовательности чисел а (п)/п^-в, п — 1, 2, . . ., (п, d) = 1;

. , ч <» а (п) 1 g

У\ и

1

"

9

' "^" ~~

(n, d)=lп=1

р = + 1 (mod It) p I d p = + l (mod 1

= П

P=±l (и

Пользуясь тем, что

;1 (' x^s ,

2пГ J I5" S =

log x, если x^i, 2ni ) s² "''""IQ,. если 0 < х < 1 , легко находим

1+гоо

Будем считать, что log Y > 4. Возьмём Г ]> 10 и рассмотрим контур Г прямоугольника с вершинами 1 + if, 9^г + i?⁷, 9i = 0 + (log У)"¹. По теореме Копта имеем равенство

$ * < * ) £ * = 0. (49)

г

При s = a + i r , G i ^ a ^ l , легко находим оценку верхней грани моду- ля подынтегральной функции:

\ё («) К П У1 + P~°-1+Q < / £ ( ! + ^{l o}

р

| g (S) у»,-2 | = О (У Поэтому из (49) при Т -> 4- оо получаем

-j-oo -(-оо

i S ^ ( S

(50)

Оценим сверху | g (9i + it) |. Имеем

\g(Q¹+it)\ = \g¹(Qi + it)\\ П (1 - p-i\

p | d

р=±1 (mod К)

где

»w=n(i+-f)

^v

". *w= П

Р I d ^ ' P=±l (mod к)

Величину | gi (0! + it) \ оценим двумя разными способами в зависимо- сти от того, «велико» или «мало» t. Пусть t > 0. Полагая, для краткости, а = (log У)"¹, тривиально находим

ki(9i + ^)l< П h + -D

^m

=A; (52)

р=±1 (mod 1с) ^ Р I

Р=±Х (mod k)

Пусть it! (я) равняется количеству простых чисел, не превосходящих х и сравнимых с + 1 по модулю к. Тогда из (53), применяя также частное суммирование и асимптотический закон распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, находим

2 Y

A < ^{C l} (log Г)!/Ф(*> = ^{C l} (log У)Р. (54>

Пусть теперь 0 •< £ <^ 1/4. Прежде всего, при Re s ^> 1, б (%) = 1 + + x (—1) справедливо тождество

П (l — - т - )

^{1 / 2}

= П (L(s, x))~

e ( x ) / ( 2 4

'

⁽

'

^{c ) )}

^(s), (55)

p=±l(mod!c) X (mod It)

где H (s) = О (1). Действительно, логарифм левой части (55) равен

p s ± l (mod !е) * р=±1 (mod"J()

Е^х (s) = О (1);

логарифм произведения по % правой части (55) равен

Д(Х) V¹1 ™ ^ Х"(Р) Г (mod К)

X (mod It)

p=±l"(mod Те)

Из (56) и (57) следует (55). Поэтому имеем

• ТТ 1л ^ W²

glV>l~rl4== 11 М- l++a+it I ^{= =} р=±1 (mod К) \ г '

= П (£ (1 + a + И. х))-б.«)/(2ф(")) Я (1 + a + «).

3C(mod К)

где, как и раньше, a = (log У)"¹;

X(mod)c)

Если X = Хо — главный характер по модулю к, то

| L (1 + a + И, Хо) Г1 = О (I £ (1 + a + it) Г1). (59) При Re s > 0 справедлива следующая формула (см., например, [12, с. 84]):

оо

1 1 (• 1 1

Отсюда, полагая s = 1 + a + it, находим

> _ ^> t,

^ 2\a+it\\ 2 ^ .i\a + it\ ^

если только a² + f² <^ 1/4. Но по условию a = (log Y)~^l ^ 1/4, 0 < t

^ 1/4; поэтому

1С (1 + a + it) Г = О (l/^a2 + j2) = O(a + t). (60) Если же x — неглавный характер по модулю к, то в области Re s =

= а ;> 1 — с², с² ^> 0 — абсолютная постоянная, | Im s \ = \ t \ ^ 1/4, нет нулей L (s, %) (см., например, [14, с. 139]), т. е. при х^=Хо. 0 < t <

<1/4

| L (1 + a + it, X) Г = О (1). (61) Следовательно, из (58), (59), (60), (61) при 0 < t ^ 1/4 получаем

I ft (6i + tt) I = О ((a + t)WW) = О ((a + 0^p). (62) Из (50), (51), (52), (54), (62) последовательно находим

= O(Y

!/4 +°°

1/4

так как

о х о

и, кроме того, ср (к) ;> 2. Итак, для величины К получили оценку:

К = О (т (d) Гб (i^Og y)i-^P)^{f ( 6 3}) где Рф (А) = 1 И постоянная в знаке О абсолютная. Эта оценка тривиаль-

но справедлива и при log Y < 4.

Подставим теперь (63) в (47), полагая, соответственно Y = Х&1¹ и 7 =

= ХЬ^¹', Э = 0; получаем

« « ^ N « ^ 1

^т

(d) (XSft (logX)^m(d) x

d) 1 4

X (log Z)i"P) = О (^m* (d) X6 (log Z)"^P 4

= О (d-!m⁴ (d) Z^e (log Z)"²P), (64) так как

Pi d

Подставим теперь (64) в (46); вспоминая, что 0 <с у (d) <; d¹'®, нахо- дим

W(Q) = o(y' y{d)d-²m⁸(d)X*4logX)-^) =

£ d+e Д (l + -f Л • (65)

Оценим последнюю сумму по d, помня, что простые делители d сравни- мы с + 1 по модулю к. Очевидна следующая цепочка соотношений:

P\d

1

p\d d^X' n\d

d=o(modn) d X2

(66) К сумме по d применим частное суммирование:

Хг

V ^ < 1 + \ С(и)и~Чи + С(Х²).

где С (и) = 2i' 1£Но для С (м) справедлива следующая асимптотическая

d <u

формула (см. [15] или [16, с. 166]):

С (и) ~ и (log и)"¹ поэтому

Из (65), (66) и полученной оценки приходим к утверждению леммы:

W (6) = О (Z26 (log J)-2P), р^Ф (к) = 1.

Так же доказывается следующая лемма.

ЛЕММА 5. Пусть к !> 3, числа а (v) м f (v) определяются соотноше- ниями

v=J. p = l (mod It)

10,

Тогда для суммы W (9), определённой равенством (39), при 0 <^ 0 ^

^ 1/2 справедлива оценка

W (9) = О (jpe (iOg Z) - p) ? рф ( А) = 1.

Следующая лемма об оценках тригонометрических сумм специально- го вида — аналог леммы 4 из [10, с. 310] и леммы 2 из [13, с. 37—41]. По- этому здесь приводится только формулировка утверждения, его доказа- тельство дословно повторяет доказательство упомянутой леммы 2.

ЛЕММА 6. Пусть числа К, а (К), Р определены равенствами (23), е^ъ 8², h — положительные числа с условиями г^г <;0,01, е²<;1» Л <; 1, г — натуральное число, Н = Т^21/Шгк При j = 1, 2, 3 рассмотрим следующие тригонометрические суммы Wji

i

_ у

где В (Я) = ((Pl-t)^ih - l )^r (log

\Г\ a (Ai) a

Тогда для Wj справедливы оценки

\Wi=O (Г-⁸'); W³=O {Т- W² = O {{гГ (log T)-*^r + еГА^г (log Г П постоянные в знаках О абсолютные.