Ю. Ф. Коробейник, Интерполяционные задачи, нетривиаль- ные разложения нуля и представляющие системы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1980, том 44, выпуск 5, 1066–1114

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. Ф. Коробейник, Интерполяционные задачи, нетривиаль- ные разложения нуля и представляющие системы, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1980, том 44, выпуск 5, 1066–1114

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразуме- вает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 22:01:36

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 44, № 5, 1980

УДК 517.9

Ю. Ф. КОРОБЕЙНИК

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ, НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ НУЛЯ И ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ

§ 1. Введение

В цикле работ, подытоженных монографией (*), А. Ф. Леонтьев ис­

следовал вопрос о представлении рядами экспонент функций, аналити­

ческих в выпуклых областях. В частности, им были получены такие ре­

зультаты:

ТЕОРЕМА I. Пусть

A) L(X) —экспоненциальная функция с индикатором &(ф) и просты­

ми нулями {Яи}^;

Б) G — ограниченная выпуклая область, содержащая начало коор­

динат, с опорной функций h (—кр).

Сопоставим каждой функции f(z), аналитической на G, ряд

ОО . Л П

в котором i|)A(0—функция, ассоциированная по Борелю с -

(X — Xk) U (kk)

а контур у содержит внутри себя G и лежит в области аналитичности функции f. Для того чтобы ряд (1) сходился в области G к породившей его функции f, какова бы ни была аналитическая на G функция f, не­

обходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

оо Хпг

В) у] — = 0 VZEEG.

(В монографии (*) указан набор других необходимых и достаточ­

ных условий, каждое из которых равносильно условию В).)

ТЕОРЕМА II. Пусть имеют место предположения А)—В) и, кроме того, З Л < о о , Э[х>1:

\L(re^)\^A-— V r > 0 .

1 rv>

Тогда любую функцию f из пространства аналитических в области G функций можно представить в виде ряда:

!(г)=У1апе* У г е С . (2),

При этом указывается способ определения коэффициентов ап по функции /.

Позднее Ю. И. Мельник (см. (2)) установил следующий результат, усиливающий теорему II:

ТЕОРЕМА III. Пусть выполнены условия А)—В). Тогда любую функцию из класса A{G) можно представить в виде ряда (2).

Следует отметить, что доказательство теоремы III существенно ис­

пользует теорему II.

Ряды экспонент являются частным (и, пожалуй, важнейшим) слу­

чаем представляющих систем, введенных в работах (3) — (5). Пусть Я — отделимое локально выпуклое пространство с определяющим на­

бором преднорм &>={р}. Последовательность {x^k} ненулевых элемен­

тов Я назовем представляющей (соответственно, абсолютно представ­

ляющей, или, коротко, п. или а. п.) системой в Я, если любой элемент

оо

ж из Я можно представить в виде суммы ряда * = ^ Ск%к" сх°Дяш*е~ гося (соответственно, абсолютно сходящегося) в Я.

В работах (3), (4) получены критерии того, что системы {хк} явля­

ются представляющими (или а. п.) системами в пространствах Фреше или сильных сопряженных к ним.

Приведем здесь один результат, который понадобится нам в даль­

нейшем. Пусть Я — пространство Фреше с определяющим набором пред­

норм {Рп}> хк^Н, хкФ0, Vk^l. Введем два координатных пространства последовательностей:

А2 = \c = {ck}: 2 \ck\pn(Xk) = Mr t< o o , п = 1, 2, . . Л ;

A2 = {d = {dk}:RA = A(d), 3/i = /i(d), \dk\^Apn(xk), k= 1,2, . . . } . Пространство А2 с набором преднорм {\с\п} является пространст­

вом Фреше, а его сопряженное А'2 можно отождествить с А2 (см. (3), стр. 196—197). Введем, наконец, операторы L и /:

оо

L : V с е А2 --> Lc = 2 c^xk e Я;

/ : У ф е й,- / ф = {ф(х4)}ёа1.

Легко установить, что L — непрерывный оператор из Аг в Я (см. (3), стр. 195) и что L'=l (см. там же, стр. 199, лемма 1).

Система {хк} будет а. п. в Я тогда и только тогда, когда L — эпи­

морфизм Аг на Я. Из общей теории двойственности следует такой ре­

зультат.

ТЕОРЕМА А (см. (3), стр. 201). Система {xk} является а. п. в Я тогда и только тогда, когда оператор I отображает W взаимно одно­

значно на слабо (или сильно) замкнутое множество в А':

П(0) = {0>, i(H') = TW).

Но, как известно, L'(H') = (L~l(0))0. Кроме того, по критерию Ба­

наха /_1(0) = {0}-4=^система {xh} полна в Я. Обозначим символом Я

оо

множество всех последовательностей d={dk} из Аг таких, что ^ dkXk=0.„

Теорему А можно перефразировать так:

ТЕОРЕМА А*. Система {xh} является а. п. в F-пространстве Я тогда и только тогда, когда она полна в Н и когда

/(^) = Ь = Ы е Л

: § d

c

= 0 Vde=/?1.

Иначе говоря, {xh} — а. п. в Я система тогда и только тогда, когда;

интерполяционная задача

<?(**)= 0, * = 1 , 2 , . . . ,

имеет только нулевое решение в Я7 и когда для разрешимости в ЯЛ

задачи

Ф (xh) =ck, k = 1, 2, . . . , c e l2,

оо

необходимо и достаточно, чтобы у[ dkCk = 0 VdE R.

k=i

В настоящей статье в предположении, немного более общем, чем^

условие А), с помощью теоремы А* выводится критерий того, что си­

стема {exhz} является а. п. в пространстве A{G) функций, аналитиче­

ских в ограниченной выпуклой области G, содержащей начало коорди­

нат, с топологией равномерной сходимости на каждом компакте G.

Этот критерий в чуть упрощенном виде выглядит так (см. § 3, след­

ствия 2, 3 и 5 теоремы 12):

ТЕОРЕМА Б. Пусть имеют место условия А)—Б). Тогда:

1) для того чтобы система {еЧг}™=1 была а. п. в A (G) (или п. в /1(G)), необходимо и достаточно, чтобы в классе [1, 0] нашлась функ­

ция со (Я) такая, что Э и „ ^ 1 :

2) если функцию f(z)—z или f(z)=e%\ ХФК, п=1, 2, . . . , можно разложить в ряд вида (2), сходящийся в A(G), то {eXk*} — а. п. в A{G) система.

Теорема III является непосредственным следствием теоремы Б (о>(Л) = 1). Опишем вкратце метод, использованный при доказательстве теоремы Б.

В случае, когда И = A(G), Xk = eXkZ, Xk->- оо, пространство W отождест­

вляется с классом [1,/z) экспоненциальных функций v(z) таких, что lim ⁿ\^vv^e Л < h ( ф ) У ф е [0, 2я], а интерполяционная задача принимает

такой вид:

у(К)=Сп, л = 1 , 2, . . . . (3>

гдеу€=[1,А), {ся}^Л»= \c={ch): 1 й [-Ц^п 1 с*\ —Л(argX*)l\<0] (см.

С), стр. 11).

Далее, если числа Я„ возрастают не слишком медленно:

l i m l E ^ 0, (4>

п~>оо Ап

то, как показано в (6) на стр. 333,

Л2 = /с = {ск}^г: Пт, f j - In | с* |,+ ft (arg ХЛ)1^0

Согласно теореме А*, {eV} — а. п. система в A (G) тогда и только тогда, когда из соотношений у{Хп)=0, м=Л, 2, . . . , у е [ 1 , ft), следует, что t / = 0 , и когда задача (3) разрешима для любой последовательности {сп} из Ж2 такой, что

00 ( ОО ^

2 c * d f c = 0 V d e = / ? = Ы е = Л2: 2 di/1* = 0 V z e G . Таким образом, мы приходим к исследованию разрешимости интерпо­

ляционной задачи (3) в пространстве [1, h) при условии, что в 71(G) существует нетривиальное разложение нуля по системе {е%кг}^г\

^ Ь ^ - О VZEEG. (5)

£ = i

Соответствующий критерий разрешимости, имеющий, на наш взгляд, са­

мостоятельный интерес, получен в § 3. Из этого критерия и вытекает теорема Б.

В связи с тем, что нетривиальные разложения нуля вида (5) игра­

ют особую роль в настоящей работе, они систематически исследуются в §§ 2 и 4. В частности, здесь устанавливаются критерии существова­

ния нетривиальных разложений (5) (теоремы 3, 4). На основе этих критериев в § 5 получено такое обобщение теоремы I А. Ф. Леонтьева:

ТЕОРЕМА В. Пусть выполнены условия А) — Б ) . Для того чтобы любую функцию f, аналитическую на G, можно было представить в виде сходящегося при всех z из G ряда

f (z) = 2 о (Хп) ± Г h (t) % (t) dt • Лг,

П=1 у

где функции i|)ⁿ(/) и контур у — те же, что и в теореме I, с {К) — не за­

висящая от f функция из класса [1, 0] такая, что о(Хп)Ф0 хотя бы при одном n^l, a fi — любое решение из класса A(G) аналитических на G функций уравнения (с(D)у) (z)i=f(z), {Dy==y')y необходимо и доста-

точно, чтобы

2 F

/ 1 = 1

«W

(К)

Этот результат является типичным для всего содержания § 5. Имен­

но, здесь рассматриваются разложения в ряды (2), в которых коэффи­

циенты ак вычисляются определенным способом.

Наконец, в § 6 изучаются разложения функций, аналитических в

00

круге |z|:<7?, 0 < 7 ? < o o , в ряды вида g(z) = yj Cjf(Xhz), где / — целая функциях определенными свойствами. Исследование проводится по той же схеме, что и в случае систем экспонент (описание нетривиальных разложений нуля по системе {f(Xkz)}; получение критериев разрешимо­

сти задачи (3) в классах целых функций [р, а) и, наконец, примене­

ние теоремы А*).

§ 2. Нетривиальные разложения нуля

п. 1. Пусть {kk}kLi — произвольная последовательность конечных попарно различных комплексных чисел и G— область комплексной плоскости, не со­

держащая бесконечно удаленной точки. Будем говорить, что система {e^%kZ} допускает нетривиальное разложение нуля в A (G), если существует числовая последовательность {dk}kLi такая, что хотя бы одно число dk отлично от нуля

оо

и ряд ^ dk^ сходится к нулю в A (G).

k=i

Как известно (см. например, (³), теорема 9, стр. 211), система {e^}£L, никогда не составляет базиса в A (G); поэтому если {eXkZ} — п. система в A(G), то эта система допускает нетривиальное разложение нуля в A (G).

Последний результат можно усилить с помощью такой леммы:

ЛЕММА 1. Если функцию z можно представить в виде ряда

оо

z=2

*

*> (

)

k=l

сходящегося в /1(G), то система {ekkZ}kLi допускает нетривиальное раз­

ложение нуля в A(G).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Дифференцируя соотношение (6), получим 1 = S bk%ke%b\

Очевидно, что 3.k0^l : Ь^К^ФО и подавно к^фО. Вновь дифференци­

руя, приходим к нетривиальному разложению нуля в A (G):

k=i

2 >Л*

Возникает естественный вопрос: будет ли наличие нетривиального разложения нуля достаточным для того, чтобы система {е *2} была представляющей в A(G), где G — выпуклая область. В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Чтобы убедиться в этом, предва­

рительно заметим, что если бы ответ был положительным, то тогда лю­

бая представляющая в выпуклой области G система экспонент была бы представляющей в любой ее выпуклой подобласти. Рассмотрим те­

перь, следуя (1), такой пример. Пусть А —правильный треугольник с центром в начале координат. Выберем последовательность {кп} так, чтобы каждое число К лежало на одной из трех нормалей к сторонам А, проведенных через их середины. Как показано А. Ф. Леонтьевым (см.

(*)), числа кп можно подобрать так, чтобы система {е **} была абсо­

лютно представляющей в А (А). При этом числа {лп} являются нулями экспоненциальной функции L(k) с индикатором Мф), где h(—ф) — опорная функция А. Предположим, что система {e^%kZ} является пред­

ставляющей в ^ ( G i ) , где Gt — некоторая выпуклая подобласть А. Если провести три опорные прямые к Gu параллельные трем соответствую­

щим сторонам А, то область G4 впишется в треугольник Дь подобный А, причем каждая сторона Д4 имеет пересечение с границей G4. Из ха­

рактера расположения точек {кк} нетрудно вывести (см., например, (*),

оо

стр. 7), что если ряд вида ^ а^е п* сходится в Gu то он сходится

А 1 = 1

равномерно внутри А4. Отсюда следует, что система {eKkZ} будет пред­

ставляющей в A (G4) тогда и только тогда, когда G1 = A1.

Из сказанного следует, что класс последовательностей экспонент, до­

пускающих нетривиальное разложение нуля в A(G), шире класса си­

стем {e%kZ}9 являющихся представляющими в A(G).

Приведем один важный пример систем экспонент, допускающих не­

тривиальное разложение нуля.

Пусть h(ф)—ограниченная тригонометрически выпуклая функция.

Назовем /i-интерполирующей экспоненциальную функцию L(X) с про­

стыми нулями %п и индикатором й(ф), обладающую тем свойством, что любую функцию f e [ l , h) можно представить в виде ряда Лагранжа:

HX)

-2

,

_

• (7)

сходящегося при всех кфкп, п=1, 2, . . . . Если Я=ЯП, то правая часть соотношения (7) полагается равной f(Xn), так что равенство (7) спра­

ведливо при всех конечных значениях X.

Ряд условий, каждое из которых необходимо и достаточно для того, чтобы функция L(X) с простыми нулями Хп и индикатором А(ср) была ft-интерполирующей, получен в монографии (*). В частности, там пока­

зано, что одним из таких условий будет условие В) (см. ниже, теоре­

ма 4). Следовательно, если кк — нули /i-интерполирующей функции, то система {е k*} допускает нетривиальное разложение нуля в A{G).

п. 2. Если система {еk*} обладает нетривиальным разложением нуля, то она имеет ряд весьма специфических свойств. Приведем один результат в этом направлении, справедливый в самой общей ситуации.

ТЕОРЕМА 1. Пусть G— выпуклая область с опорной функцией h(—<р) такая, что OeG, ooQzG. Пусть, далее, {Xh}, k=l, 2, . . . , — произ­

вольные попарно различные комплексные числа. Пусть, наконец, неко-

00

торая подпоследовательность {SJn^y-}/Li частных сумм ряда ^ fye ^/Z , в котором не все Ъг равны нулю, сходится в A(G) к нулю. Тогда систе­

ма {е^} полна в A(G).

Прежде чем доказывать эту теорему, условимся называть некото­

рое множество Q^Gi точек комплексной плоскости множеством един­

ственности для подкласса Т множества A{Gi)1 если из соотношений J / Е Г , у (а) = 0 V a ^ Q , следует, что у (z) = 0 .

ЛЕММА 2. Если условия теоремы 1 выполнены, то {Xk}T=i — мно­

жество единственности для класса [1, А) (в данном случае Gi =

= {z: | z | < o o } ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы . Рассуждая от противного, допу­

стим, что в классе [1, h) существует отличная от тождественного нуля функция v(X) такая, что v(Xk)=0, k=l, 2, . . . . Пусть Ь1офО при не­

котором /0^ 1 . Рассмотрим функцию vl(X)=v(X) (X—Я0)~р, где р — кратность нуля Xio функции v(l^p<.oo). Очевидно, что v±^[l, h) и Vi(Xs) =£0<=^s=£l0, 5 = 1 , 2, . . . . Пусть w(t) —функция, ассоцииро­

ванная по Борелю с ^1 (Л). Можно выбрать замкнутую жорданову спрямляемую кривую Г в G настолько близко к dG, что w(t) регулярна на множестве ext Г. Тогда (полагая /п0 = 0) получаем:

оо Щ

Полученное противоречие и завершает доказательство леммы.

Что же касается самой теоремы 1, то она является очевидным след­

ствием леммы 2 и известного критерия Банаха полноты системы в A(G).

п. 3. Займемся дальнейшим исследованием свойств системы {^z}S=i»

допускающей нетривиальные разложения нуля в A{G), и, в частности, вопросом об общем виде таких разложений.

Пусть Л = {Xk}T=i — последовательность попарно различных комп­

лексных чисел таких, что lim | ^ | = oo. Как известно, можно всегда по- строить целую функцию L(X), для которой L(^A) = 0 , k=l, 2, . . . . Мно­

жество всех таких целых функций обозначим символом М(Л). При этом функция L из М(А) может иметь и другие нули, кроме {Xh}> a сами нули Xk могут быть и кратными. В дальнейшем изложении важ­

ную роль будет играть

,0 = — [w(t)

1 г

" оо "Ч

S 2 ^ь„>?*

ЛЕММА 3. Пусть числа X^h удовлетворяют условию (4). Предполо- жим, что ряд У dk^^kZ сходится к нулю равномерно внутри ограни-

ценной выпуклой области G^v с опорной функцией hⁱ(—ф), причем 0 <

< ^ 1 ( ф ) . Пусть, далее, L((X) —произвольная функция из класса Л1(Л).

Тогда при всех z из Gt и всех конечных X справедливо равенство

^ dneKzL (X) л ~ хп

где D(X)—целая функция, для которой имеет место оценка сверху:

VG-€=(0, 1) З В⁶< о о :

1D(X) | <С BQe~^^W \L(K)\, X&U. (9)

При этом исключительное множество U не зависит от выбора функции L ( 1 , ) G M ( A ) и является объединением кружков с центрами в точках X^h

оо

и радиусами rh такими, что У] rk < оо.

k=i

В доказательстве этой леммы существенно используется метод, при­

меняемый в монографии (*) (см. (*), стр. 292 и 295). Зафиксировав ХфХ^п, я = 1 , 2, . . . , рассмотрим вспомогательную функцию

Ф х ( 2 ) = ^ 4 . « ^ W ,

оо

В силу условия (4) ряд У dne%nZ сходится абсолютно в Gx; отсюда следует,

0 0 л т n \ Kz

^ dnL (X) е

что ряд >j ^:— при любом фиксированном X=f=Xⁿ, п = 1, 2, . . . , схо-

/ 2 = 1 ^ /vAl

дится равномерно (и абсолютно) внутри G^v и ф а , ( г ) е ^(G^x), причем

~ dJLL (Ь) e%nZ

n = i a

Но тогда фа, (г) = D (X) e%z, и мы приходим к соотношению (8). При этом

°1 dⁿL(X)

D{X)=y целая функция, так как У | d^{r t}| < o o . Оценим рост

—> х — Х^п ' -^

/ г = 1 п п—Х

функции

Выберем последовательность положительных чисел е^п так, чтобы e^{r t}| 0 и У е~еМ = М< оо. Положим

Л = 1

Ua*=*{X:\K — К\<е~г"ы), л = 1,2, . . . ;

ОО

l / = U £/».

/ 1 = 1

4 Серия математическая, № 5

Пусть BGE (0, 1) и Хфи. Тогда

| D ( A ) | < | L ( A ) | inf he-**

dJ*

k=l X~X:

L(K)l У [^[expl^lte/z^arg^ + e,],

sup exp Re Xz J

и мы приходим к неравенству (9).

Прежде чем рассматривать различные следствия, отметим один су­

щественный факт, вытекающий из доказанной леммы. Допустим, что система {е k*} обладает нетривиальным разложением нуля в A(G) и числа Xh удовлетворяют условию (4). Тогда при некоторых (описанных в лемме) целых функциях Ь{Х) и D(X) справедливо соотношение (8).

Из него следует, что если X — произвольное число, не принадлежащее дискретному множеству {\im} нулей D(X) (не имеющему предельных

00

точек на конечном расстоянии), то eXz = 51, bk(X)e%kZ Yz^G. Но

п

тогда любая функция / вида 5] akeTkZ, aht tke C , хкф{\лт}, &=1,2,..»

k=i

. . . , /г; Ai=l, 2, . . . , также представляется в виде ряда (1), сходяще­

гося в A(G), Обозначим символом Т множество функций / из A(G)r

представимых в A (G) рядами вида (1).

Если система {ekf*} обладает нетривиальным разложением нуля в A (G), то множество Т содержит span{eTsZ}£Li,TsgE{|Lim}. Поэтому оно достаточно

«густо» (по набору элементов) в A(G) и, в частности, плотно в A(G).

Однако, как мы убедились выше, Т может быть собственным подпро­

странством A (G), и соотношение T=A(G) имеет место лишь при не­

которых дополнительных предположениях.

ЛЕММА 4. Если в условиях леммы 3 Ь{Х) —функция конечного порядка р, то и D(X) —целая функция порядка ^ р ; если L(X) — функция порядка р и типа а, то £>(А)е[р, а ] ; наконец, если Ь(Х) — экспоненциальная функция с индикатором g(cp) = (Ind L)-(.<р), то D(X)^[\, oo), причем индикатор функции D не превосходит разности g(<p)—М<р).

Первые два утверждения леммы 4 получаются, если заметить, что YX$zU \£>(Х) \ ^B\L(X) |, а затем оценить рост D(X) в кружках исклю­

чительного множества U, воспользовавшись теоремой о максимуме мо­

дуля и только что приведенным неравенством на границе U. Чтобы до­

казать последнее утверждение леммы, выводим из (9), что V0e(O, 1)

Iim

Я->оо

te£U

Отсюда

lim

te£U

4 > IZ) (Я) | - - j - I n | L (Л) | + е/^ (arg Я) sCO.

rf l n | D ( b ) | - - 4Tl n | L ( b ) | + A1(arg*)

[ A | | A |

и, следовательно, VcpeLO, 2я]

Нт JL in 1 в (Г£*Ф) | <g Um ln 'L (гв'Ф)' — ftt (Ф).

r-*x> Г г—к» ^

Но тогда

(Ind D) (Ф) < (Ind L) (ф) — ftt (ф).

п. 4. Всюду далее /i(q>) —ограниченная положительная тригономет­

рически выпуклая функция. Введем класс МЛ(А)=Л1(Л)П[1, М'6)] и будем говорить, что выполняется условие А4), если этот класс непуст.

Если l i m — = • 0, то класс M^h{A) непуст. Оказывается, что функции

/г~*>о kk

класса ЛГ1(Л) обладают особой правильностью роста.

ЛЕММА 5. Пусть выполнено условие Aj) и в выпуклой области G

£ опорной функцией Й(—ф) существует нетривиальное разложение нуля (5). Пусть, далее, L(X)^Mh(A) и D(k) —соответствующая функция из представления (8). Тогда:

а) D(X)€=[1,0];

б) L(X) —функция вполне регулярного роста с индикатором й(ф).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Утверждение а) прямо следует из леммы 4.

Чтобы доказать утверждение б), заметим, что так как D ( X ) e [ l , 0], то существует множество W нулевой линейной плотности, или С(0)-множе-

ство (см. (7), стр. 119—120) такое, что V e > 0 3 6 > 0 :

| D ( J i ) | > b e x p ( — е | Ь | ) V7&W.

Пусть Wi=W\JU\ Wi — также множество нулевой линейной плотности.

Из неравенства (9) при hx = h получаем: V e > 0 , V'8e(0, l)

ЭБ = Б(8, Э ) > 0 : \L(K) \ >B exp[— e + 9 h (arg A) l,Л,| ] YK^W, и, следовательно, L(K) —функция вполне регулярного роста с индика­

тором Мф).

Будем говорить, что выполнено условие А2), если в классе [1, h]

существует функция L(X) такая, что Кк — простые нули L(X), k=\, 2, . . . (функция L(>w) может иметь и другие нули, кроме K^k).

Очевидны импликации А)=^А2)=^А1).

Из леммы 5 получаем:

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполнено условие At) и L(X)^Mh{A). Пусть, далее, в A(G) существует нетривиальное разложение нуля (5). Тогда:

1) L(%) —функция вполне регулярного роста с индикатором Мф);

2) функция 3o(k)= 4J ^ принадлежит классу [1,0] и

ГС=±1 ^П

оо %пг

VZZEG, Vbe=C ^S3(X) = 2 r L^)-

Кроме того,

bn = h m , лг = 1 , 2 , я—хп L (К)

Если еще выполнено условие А²) и L — функция из этого условия, то

h

& (К)

К = , п = 1, 2, . . . .

С л е д с т в и е . Пусть выполнено условие A J и {e^kk*} — п. в A(G) система. Тогда функция L в условии А⁴) является функцией вполне ре- гулярного роста с индикатором h(cp).

п. 5. Докажем теперь такой критерий существования нетривиально­

го разложения:

ТЕОРЕМА 3. Пусть выполняется условие А²). Для того^ чтобы си­

стема {e^XkZ} допускала нетривиальное разложение нуля в A(G), необ­

ходимо и достаточно, чтобы в классе [1, 0] нашлась функция с{%) та­

кая, что Э.п⁰ : с(1^По) фО и

« с (Хп) L(l)en

cM<**=Vj , ; / ^w, , , VzeC, УХфХ^п. (10)

я= 1L ( V (Л — AJ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д о с т а т о ч н о с т ь . При любом фиксиро­

ванном К¥=К ряд в правой части (10) сходится равномерно по «г внут­

ри G. Дифференцируя (10) по г и вычитая из полученного равенства равенство (10), предварительно умноженное на Я, получим нетривиаль­

ное разложение нуля в A (G):

П=1

i^(K)

Н е о б х о д и м о с т ь . Если Vz^G имеет место равенство (5), то по теореме 3 .

0] :

оо %пг

"W«

= . i - : :—;

п — 1 /- — А„

при этом с (X) = у — , а Ьп = — , п = 1, 2 , . . . . Т а к к а к (5) —

ni^-K .

(К)

нетривиальное разложение нуля, то Я/г⁰ : Ь^ПоФО, а значит, и о(Х^По)фО.

Заметим, еще, что функция с{%) однозначно определяется условиями c{K)L^/{lⁿ)=bⁿⁱ / г = 1 , 2 , . . . .

ТЕОРЕМА 4. Пусть L—h-интерполирующая функция с простыми нулями Х^п. Тогда У с ( Л ) е [ 1 , 0], Yz^G

у ^ М ^ М

. (И)

n—i п/

Д о к а з а т е л ь с т в о . Зафиксируем произвольно z<=G и с(Х)е[ 1, 0]

и рассмотрим функцию Ф(%)=с(Х)е%г из класса [1, h). Тогда Ф (Хп) L (I)

ф(Ь) = У, или

с(^)еЯ г= >i .

n==1U(Xn)(X-Xn)

Отсюда, как при доказательстве теоремы 3, приходим к соотношению (11).

Отметим еще другой набор необходимых и достаточных условий, обеспечивающих наличие разложений вида (5) в A (G).

ТЕОРЕМА 5. При выполнении условия А2) система {е k*} обладает нетривиальным разложением нуля в A(G) тогда и только тогда, когда:

1) L(X)—функция вполне регулярного роста с индикатором й;

с (К) 2) Яс(Х)бЕ [1, 0], Я п0> 1 :lim In

L' (К) + h (arg К) ^{:0,с(К0)фО.}

Необходимость следует из теорем 2 и 3. Для доказательства доста­

точности рассматриваем при фиксированном z^G интеграл 1Г(Х):

c(t)e4(k)dt _ „ п ч ^ ^ е П сКг (К) ^ (Я)

v 2m J L(t) (t—X) „•f _vU L(t)(t-X) ^<rV(Xn)(X-Xn) и, как в (7) на стр. 259, показываем, что /Г(Я) стремится к нулю, когда

г-^оо, не принимая значений, быть может, из некоторого множества ну­

левой относительной меры. Учитывая, что в силу условия 2) теоремы ряд ^ ° п _ сходится в G при любом фиксированном Хф'кп, приходим к равенству (10).

п. 6. При некоторых дополнительных предположениях можно полу­

чить полное описание последовательностей коэффициентов нетривиаль­

ных разложений.

ТЕОРЕМА 6. Пусть L—h-интерполирующая функция с нулями {kh}.

Общий вид нетривиальных разложений нуля по системе {e%kZ} в A(G) дается формулой (5), в которой

и с(Х) — произвольная функция из класса [1,0].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как в данном случае выполнено усло­

вие А2), то по теореме 2 коэффициенты любого нетривиального разло­

жения (5) нуля в A{G) по системе {e%k2} записываются по формуле (12), в которой с{Х) —некоторая функция из класса [1, 0]. Обратно, если с ( Я ) е [ 1 , 0], то по теореме 4 имеет место равенство ( И ) .

§ 3. Исследование интерполяционной задачи (3).

Приложения к представляющим системам

п. 1. Пусть, как и выше, G — ограниченная выпуклая область, со­

держащая начало координат, с опорной функцией h(—ф). Пусть, да­

лее, /г4 (ф)—тригонометрически выпуклая функция такая, что О^А^ф) < й ( ф ) Уф^1[0, 2я], и пусть d — замкнутое выпуклое под­

множество G с опорной функцией /ц (—ф) ^ 0 , a Gt — внутренность Gi (случай G1 = 0 не исключается).

Относительно чисел Хп предположим, что они попарно различны и удовлетворяют условию (4).

Допустим, что интерполяционная задача (ин. з.) (3) имеет реше­

ние v(X) в классе [1, /г4]. Тогда, очевидно,

1 lim

п—юо

\п\сп\ — M a r g ^ ) ;0. (13)

Возьмем какую-нибудь последовательность комплексных чисел {dk}, удовлетворяющую условиям

dki=0, k= 1,2, . : . ; lim 1

h

k=i k=i Cudu °° du

CW = ^ , DW = ^ *

. A — Au •' Л — Au k=i R k=l R

сходятся при всех Х=£Хп, п=\, 2, . . ., пркчем С(Х) и D(X) — мероморф- ные функции с простыми полюсами Xk (некоторые из чисел ск могут равняться нулю, и функция С(Х) будет аналитична в соответствующих точках Xk). Функция v(X):

t ^ W - ^ J , ЬФЬ, Л = 1 , 2 , . . . ; o(^) = l i m ^ f , fe=l,2

...

D (X) x-^%k D (A)

будет целой, причем v(Xn)=cn, n=\y 2, .. . . Сформулируем полученный результат:

ТЕОРЕМА 7. Пусть выполнены условия (4) и (14). Тогда *ш. з. (3) разрешима в классе [1, / i j , если имеют место неравенство (13) и со- огяоше/-ш£

^ e [ l , ' U (15)

D(X) v V ;

oo J oo .

ateC(X) = 2 -±±-, С(Я) = ^ - * - .

t A — Au и A — Ли

k—\ R k=l K

Напомним, что условие (13) необходимо для разрешимости задачи (3) в [1, ht]. Покажем, что при некоторых дополнительных предполо­

жениях будет необходимым и условие (15).

Всюду далее в этом параграфе будем предполагать, что система {ekkZ} обладает нетривиальным разложением (5) нуля в A(G). Из ус­

ловия (4) следует тогда (см., например, (*) или (6)), что соответству­

ющие числа Ьп (коэффициенты нетривиального разложения нуля в A(G)) удовлетворяют условию

lim

п-ххэ

In \bn\

I * * .

0.

При этом ряд SJ bnenZ сходится абсолютно и равномерно внутри G (см. (*)). Зафиксируем произвольное ХФК, / 1 = 1 , 2, . . . , и рассмотрим функцию

я==1 А — к^п

Легко заметить, что q)k(z)^A(G) и ф/(г) =Хфч(г), откуда q>x(z) =

=ф(к)е%г. Таким образом,

00 %п2

Ф(Ь) = е-**2 ^{Г - Г}

^ ^ *= 1,2, .... ^VZEG.

оо *

В частности, полагая z = 0, находим, что Ф(Х) = V, —-— » и Ф(Х) —ме-

- X — А„

я = 1 л

роморфная функция с простыми полюсами А,п, п= 1 , 2 , . . . .

Допустим, что задача (3) имеет решение v(K) в классе [1, h{]. Тогда числа cn = v(An) удовлетворяют условию (13). Образуем (при фикси­

рованном ХФК, / 1 = 1 , 2, . . .) ряд

со \пг

п = 1 л — А/г

Пусть G2 — выпуклая подобласть с опорной функцией 0 < / г2( ф ) <

<Мф)—^i('cp). Возьмем число г ] > 0 настолько малым, чтобы /г2(ф) + +Л1(.ф) + 3т)</г(ф) У ф ^ [ 0 , 2л]. Если Q — произвольное выпуклое мно­

жество и K&={z: ] г | ^ б } , то символом Q6 будем обозначать выпуклое множество Q + Л'б. Пусть C = d ( G i ) , тогда

2ш J с

где W(t) — ассоциированная по Борелю с v(X) функция, и Vz<=G^

0 0 С h P^nZ ° ° h p ^n Z

ВД = V

^— = V,

^—±-. \*>W№t =

J A — A„ A — A„ 2 ш J rt=l П / 2 = 1 " Q

С 1 = 1 " %

Ф (А,) е*Ч> (А,) = / ; ' ( Х ) е Ч

Полагая z = 0 , получим:

оо КСп

и, следовательно,

| ^ = 0( X) e[ l , / y . (16)

Мы пришли к такому результату:

ТЕОРЕМА 8. Пусть числа {Kk} удовлетворяют условию (4) и систе­

ма {eKfzZ} обладает нетривиальным, разложением нуля (5) в содержа­

щей начало координат ограниченной выпуклой области G с опорной функцией А(—ф). Пусть, далее, АДф)—тригонометрически выпуклая функция такая, что 0 ^ А1( ф ) < А ( ф ) У ф ^ [ 0 , 2я]. Образуем ряды:

« W - i r r ,

(

) = 2 г Ч - ^ ^ ' *=1.2, /.,).

Для разрешимости ин. з. (3) в классе [1, AJ необходимо выполнение условий (13) и (16).

п. 2. Накладывая на числа {hk} и функцию А4(ф) дополнительные, более жесткие, ограничения, можно получить из теорем 7, 8 более точ­

ные результаты.

Будем говорить, что система {е kZ) обладает существенно нетриви­

альным разложением нуля в области G, если существует сходящийся

оо

к нулю в A(G) ряд У, bneKnZ, у которого Ьпф0, / г = 1 , 2, . .. . Из теорем 7, 8 непосредственно следует

ТЕОРЕМА 9. Пусть числа Кп удовлетворяют условию (4), функции Мф)> АДф) и область G — те же, что и в теореме 8, и пусть система

оо

{е kZ) обладает существенно нетривиальным разложением нуля ^bne%nz^

= 0 в области G. Образуем, как в теореме 8, функции Н(Х) и Ф(Я).

Для разрешимости задачи (3) в классе [1, AJ необходимо и достаточ­

но, чтобы выполнялись условия (13) и (16).

Докажем теперь такое дополнение к теореме 8:

ТЕОРЕМА 10. Пусть область G и функции А(<р), А4(ф) —те я/ее, ^то г/ в теореме 8, система {е kZ) обладает нетривиальным разложением нуля (5) в области G. Если задача (3) разрешима в [1, AJ, то

00

3 c A eV= 0 У г е С „

/ г = 1

где G2 — любая выпуклая подобласть G с опорной функцией 0<А²(—<р)<А(—<р)—A^t(—<р).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть сначала А2(<р) <М<р)— Мф)> Ф^

s [ 0 , 2я]. Найдем г ] > 0 такое, чтобы

С; + Й С С G ? c G .

Тогда если C = d ( £ i ) и v(K) —решение задачи (3) из [1, Л4], то

Сл = v (К) = т1-. Г e^V (0 d/, Г ЕЕ Л0 (ОД.

2ш J с Для любого T G G J имеем:

У b„pj*x = 2 V V — e%ntW{t)dt = — ИГ (0 ^ bne^^dt = 0.

Если же А2( ф ) ^А( ф ) — М ф ) , Ф^[0, 2я], то V<7&(0, 1), Уфе=[0, 2я]

оо

^/г2(ф):</г(ф)—А4(ф) и, по доказанному, ^ Ьпспе пХ = 0 Vz^-qG2, от-

П = = 1

куда следует, что последнее соотношение выполняется всюду в G2. Аналогично можно усилить и теорему 9:

ТЕОРЕМА 11. Пусть имеют место все предположения теоремы 9 и, кроме того, выполнено условие Ai) и функция /12(ф)=Мф)—^(ф) TPW~ гонометрически выпукла. Тогда для разрешимости ин. з. (3) в классе

[1, / i j необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (13) и чтобы

^ - ^ е Л о о , (17) OiW

оо

2 6„cne*»z=0 V z e G8, (18)

/ z = l

где Hi(X)=H(K)L(k), Ф1(\К)\=.Ф'(к)Ь(!К), А^ — пространство всех це­

лых функций и G2 — подобласть G с опорной функцией А2(—ф).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость следует из теорем 8 и 10.

оо

Докажем теперь достаточность. Так как ряд ^ bne>mZ сходится к ну-

/1=1

оо

лю в области G, а ряд ^ bncn ехр knz — в области G2, то, в силу

/z=i

лемм 3, 4, Ф Д ^ Е Е П , 0], Я ^ я у & П , К]. Далее, Н1/Ф1^АС09 и по теореме о категориях (см. (7)) R(X) = Я1( Я ) / Ф1( Я ) е [ 1 , оо), причем индикаторы функций #4(Я) и /?(Я) совпадают. Следовательно, /?(А,)е[1, Ai], и оста­

ется сослаться на теорему 9.

З а м е ч а н и е . Если числа {сп} удовлетворяют условию (13), то

оо

ряд ^ bncne nZ сходится равномерно внутри G2. Поэтому в формули- ровке теоремы 11 можно потребовать, чтобы равенство (18) выполня­

лось лишь в некоторой окрестности начала координат. В свою очередь

последнее требование можно заменить еще более слабым (по форме) условием:

у ь

сХ = о,

С л е д с т в и е 1. Пусть G — содержащая начало координат огра­

ниченная выпуклая область с опорной функцией h{—ф). Пусть, далее, выполнено условие А4) и система {e%kZ} обладает существенно нетриви­

альным разложением нуля в A(G). Тогда для разрешимости задачи (3) в [1, Л) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение (17), равенство (18) имело место в некоторой окрестности начала координат

и, наконец, чтобы

(19) lim / In| сп\ •A(argA„)W0.

С л е д с т в и е 2. Если {Хп} — нули h-интерполирующей функции L(X), то для разрешимости задачи (3) в классе [1, AJ, где 0^fti(<p):<

!<Л(ф) и Л4(ф), Л(Ф)—hi(4>) —тригонометрически выпуклые функции, необходимо и достаточно, чтобы

J^nz

у —

—

«* = о

где G2 — выпуклая подобласть G с опорной функцией h{—ф) — ht(—<р).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как мы знаем, У = 0 V ^ G G И система {e%nZ} обладает существенно нетривиальным разложением нуля в A (G) (Ьп =

= l/L'(Kn), я - 1 , 2 . . . ) . Далее, так как 1е=[1,Л), то 1 = у L(k) , и в данном случае Ф{Х) = Ф{'к) L{X) = 1. Поэтому функция R(X) =

= #1(^)/Ф1(Я) всегда будет целой. Далее, из соотношения (20) следует:

Но lim

Аг-чюо

lim

rt-XXD

rfr In | !'(**)

"-Lin

— h (ar^ lK) ^<

lim

л->оо

•\n\Cn

+ h2(arg%n) 0, откуда - h± (arg A,„)

:0.

:0, и условие (13) выполнено.

С л е д с т в и е 3. Если {hk} — нули h-интерполирующей функции L(X), то для разрешимости ин. з. (3) в классе [1, Л) необходимо и до­

статочно, чтобы в некоторой окрестности начала координат