Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Г. Кушниренко, Многогранник Ньютона и числа Милнора, Функц. анализ и его прил., 1975, том 9, выпуск 1, 74–75
Использование Общероссийского математического пор- тала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 07:04:17
Функциональный анализ и его приложения, т. 9, вып. 1, 1975, 74—75.
МНОГОГРАННИК НЬЮТОНА И ЧИСЛА МИЛНОРА А. Г. К у ш н и р е н к о
В этой заметке мы приведем без доказательства две формулы. Первая связывает число Милнора (кратность) особой точки ростка аналитической функции / : (С^, 0) —»
-^ (С, 0) и геометрические характеристики многогранника Ньютона этой функции.
В двумерном случае формула утверждает, что если ломаная Ньютона функции / кон
чается на координатных осях в точках (а, 0) и (О, Ъ) и вместе с отрезками координатных осей ограничивает многоугольник площади 5, то число Милнора особой точки О функ
ции / не меньше 28 — а — Ь + 1,а для почти всех / с данной ломаной Ньютона равно 2*^ — а — 6 + 1 . Вторая формула аналогична первой и связывает сумму чисел Мил
нора всех особых точек многочлена / : С^ ^ С и геометрические характеристики многогранника Ньютона этого многочлена.
Обозначим основное поле через ^ . Обозначим через N с ; К^ (Ц Я множества неотрицательных целых, неотрицательных вещественных и всех вещественных чисел соответственно.
1. Пусть / е ^ [[^1, . . ., х^]]. Положим
[X (/) = д^^ш^ ^ [[:Г1, . . ., х^^]У{д11дх^, . . ., д}1дх^^)
и назовем \х, (/) ]нислом Милнора ряда / (см. [2]). Пусть / = (^а-^х^ : тг ^ N^).
Положим зирр / = {?г е N^1 Лд =р 0} . Назовем ряд / удобным, если для любого
* от 1 до А; в / входит с ненулевым коэффициентом моном х^г, щ^ 1.
2. Пусть / е ^ [[х^, . . ., х^]]. Положим Г^ (/) = (выпуклая оболочка в К^
множества ({] {п -\- К^) : п ^ зирр / \ 0)). Ломаной Ньютона ряда / в нуле назовем полиэдр Г (/) = (объединение замкнутых компактных граней многогранника Г4. (/)).
Ломаной главной частью ряда / в нуле назовем многочлен /о = (^а.^х'^ : п ^ Т (/)).
Положим Г- (/)=(объединение всех отрезков с началом в О и концом на Г (/)).
Пусть .5' — компактный многогранник в К | . Определим число Ньютона мно
гогранника 6' : V (5) = к\ V^:^~ {к — 1)! V^_^ + ... + {~1)^-Ч\ г^ + (—1)^, где и^^ — /с-мерный объем многогранника 3 ж V^ — сумма д-мерных объемов пересечений *9 со 'всевозможными ^-мерными координатными плоскостями.
3. Пусть / — удобный ряд. Положим V (/) = V (Г^ (/)) и назовем V (/) числом Ньютона ряда /. Для произвольного ряда / ряд / + а^х^-^ + ... + а^^д;]^ является удобным (при т^ 1 ж подходящем выборе а^ ^ ^ , . . ., а^^ ^ ^ ) , и мы положим
•^ (/) = (зир V (/ + а^х^ + . . . + оцг^^) ' ^ ^ !)• Формулируемая ниже теорема I дает точную формулу для числа |л (/), если главная часть /о ряда / в О удовлетворяет формулируемому ниже в п. 8 условию невырожденности.
Т е о р е м а ! . (1) Число Милнора формального ряда / не меньше числа Ньютона:
И- (/) ^ 'V (/) {если V (/) = оо, то и \1 (/) = оо).
(II) Число Милнора удобного формального ряда равно числу Ньютона, если лома
ная главная часть /о ряда / в О невырождена в смысле п. 8. Если сЬаг ^ = О, т о число Милнора равно числу Ньютона для любого формального ряда с невыроженной ломаной главной частью в 0.
(III) Если сЬаг ^ = О, то множество вырожденных главных частей является соб
ственным алгебраическим подмногообразием в многообразии всех главных частей, от
вечающих данной ломаной Ньютона.
4. Пусть / е ^ [^1, • . ., х^]. Положим
71 (/) = (11т^ ^ [ л:1, . . ., х^,]/(д//дх^, . . ., д^/дх^,).
5. П р е д л о ж е н и е . Если поле Щ алгебраически замкнуто, то ^ (/) есть сум
ма чисел Милнора по всем особым точкам /.
Многочлен / назовем удобным, если для любого г от 1 до /с в / входит с ненулевым коэффициентом' моном Х;^^, щ^ 1,
6. Пусть / = 2^п^^ — удобный многочлен. Положим: Г_ (/) — выпуклая обо
лочка множества О и з и р р / , Г+ (/) — замыкание (К^ \ Г_ (/)). Ломаной Ньютона многочлена / на бесконечности назовем полиэдр Г (/) = Г_ (/) П ГФ (/). Ломаной глав
ной частью многочлена / на бесконечности назовем многочлен/о = (^а-^х^ : п ^Т (/)).
Определим число Ньютона многочлена / : V (/) = V (Г_ (/)).
Многогранник Ньютона и Числа Милнора 75 Т е о р е м а П. Пусть / ^ ^ [х^, . . ., Ху^] — удобный многочлен. Тогда:
(I) Если поле % алгебраически замкнуто и имеет, характеристику О, то сумма чисел Милнора изолированных особых точек / не превосходит V {/).
(II) Если главная часть /о многочлена / на бесконечности невырождена в смысле п, 8, то И* (/) ^^ "^ (/) (^ частности [л, (/) <; оо).
(III) Если сЬаг *^ = О, т о множество вырожденных главных частей является соб
ственным алгебраическим подмногообразием в многообразии всех главных частей^ от
вечающих данной ломаной Ньютона.
7. З а м е ч а н и е . Теорема, аналогичная теореме II, доказана нами и для многочленов Лорана.
8. Ф о р м у л и р о в к а у с л о в и я н е в ы р о ж д е н н о с т и . Пусть А — выпуклый компактный ^-мерный многогранник в К | , вершины которого принадлежат
^ ^ (О < д < /г — !)• Обозначим через Соп (А) выпуклый конус с вершиной О и основа
нием А, т. е. объединение всех замкнутых полупрямых в К^, начинаюш;ихся в О и пе
ресекающих А. Положим Р (А) = N'^ П Соп (А). Очевидно, что Р (А) является под
полугруппой полугруппы К'^. Рассмотрим множество
^ [Р (А)] = {/ е ^ [х^, . . . , х^,]: зирр / е Р (А)}.
Оно является подкольцом с единицей в ^ [х^, . . ,, х^^]. Очевидно, что дифферен
цирования х^д/дх^^ . . ., х^д/дх^ кольца ^ [х^^ . . ., х^^] переводят подкольцо
^ [Р (А)] в себя. Для / = У^тг^ положим /д = (^а^^х'^: п е А). Многочлен / назовем невырожденным на многограннике А, если элементы х-^д1^/дх^^ . . .^ х^д{^^/дх^ко:1Ъ- ца ^ [Р (А)] порождают в ^ [Р (А)] идеал конечной коразмерности над ^ .
Ломаную главную часть /о (соответственно /о) ряда / в нуле (соответственно мно
гочлена / на бесконечности) назовем невырожденной, если многочлен /о (соответственно
%) невырожден на любой грани ломаной Ньютона Г (/) (соответственно Г (/)).
9. З а м е ч а н и е . Если грань А ломаной Ньютона является симплексом и з^ФР /А ^^'^Ь множество всех вершин А, то условие невырожденности выполнено.
10. Во время работы над текстом статьи [1] В. И. Арнольд сообщил мне гипотезу о независимости числа Милнора «типичной» двумерной функции с фиксированной ломаной Ньютона от изменения коэффициентов при мономах, лежащих выше ломаной Ньютона, и привел пример «нетипичной» функции. В. И. Арнольд предположил также, что при выполнении каких-то условий тина невырожденности эта гипотеза верна и в многомерном случае. Теорема I доказывает эту гипотезу для удобных рядов при выпол
нении условия невырожденности п. 8. Я благодарен В. И. Арнольду за постоянное внимание к настоящей работе.
После того, как я рассказал О. В. Ляшко теорему I, последний показал мне при
меры вычисления суммы чисел Милнора для полиномиальных представителей ростков двумерных унимодальных функций, что, вместе с интересом, проявленным В. И. Ар
нольдом, привело меня к формуле для |Ь1. Я благодарен А. М. Габриэлову, О. В. Ляш
ко и Д. Б . Фуксу за полезные обсуждения.
Московский государственный Поступило в редакцию университет 30 сентября 1974 г.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А р н о л ь д В. И., УМН XXIX вып. 2 (1974), 11—49. 2. М и л н о р Дж.^
Особые точки комплексных гиперповерхностей, М., «Мир», 1971.
