С. В. Лексина, Задача граничного управления для системы волновых уравнений, Матем. моделирова- ние и краев. задачи, 2007, часть 3, 123–132

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. В. Лексина, Задача граничного управления для системы волновых уравнений, Матем. моделирова- ние и краев. задачи, 2007, часть 3, 123–132

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:11:49

(2)

1. Лежнев В. Г., Данилов Е. А. Задачи плоской гидродинамики. — Красно- дар: КубГУ, 2000. — 92 c.

2. Лежнев В. Г.Функция тока задачи плоского обтекания, потенциал Робе- на и внешняя задача Дирихле // ДАН, 2004. — Т. 394, № 5. — С. 615–617.

3. Лежнев М. В.Обтекание плоского профиля с точечными вихрями // Ин- новационные технологии в образовательном процессе: Материалы VIII межрегион. научно-метод. конф. — Краснодар: Изд-во КВАУЛ, 2006. — Т. 2. — С. 77–82.

4. Новиков П. С. Об единственности решения обратной задачи потенциа- ла // ДАН СССР, 1938. — Т. XVIII, № 3. — C. 165–168.

5. Лежнев М. В.Внутренние вихри с условием прилипания на границе //

Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Тр. II Всерос. научн. конф. молодых уч¨еных и студентов. — Краснодар: Изд-во «Просвещение–Юг», 2005. — Т. 2. — С. 114–115.

Работа поддержана грантом Российским фондом фундаментальных ис- следований(грант № 06–01–96648).

Кубанский государственный технологический университет, г. Краснодар

lezhnev@kubstu.ru; lzhnv@mail.kubsu.ru

УДК 517.956

С. В. Лексина

ЗАДАЧА ГРАНИЧНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим систему уравнений

u_{t t}−Au_xx=0, (1)

в областиQ_l,T=[0ÉxÉl]×[0ÉxÉT], гдеu=

µ u₁(x,t) u₂(x,t)

¶

;A=

µ p α β q

¶

— постоянная матрица.

Пусть

u(x, 0)=ϕ(x), u_t(x, 0)=ψ(x), 0ÉxÉl (2)

— начальные условия;

u(x,T)=ϕ₁(x), u_t(x,T)=ψ₁(x), 0ÉxÉl (3)

— финальные условия;

u(0,t)=µ(t), u(l,t)=ν(t), 0ÉtÉT (4)

— краевые (граничные) условия, гдеϕ,ψ,ϕ₁,ψ₁,µ,ν— вектор-функ- ции такие, чтоϕ(x), ϕ₁(x)∈C²[0,l],ψ,ψ₁∈C¹[0,l].

(3)

Отметим, что система (1) описывает продольно-крутильное ко- лебание длинной естественно закрученной нити [1].

Решение задачи граничного управления для системы (1) будем искать, как решение краевых задач с заданными начальными усло- виями (2) и краевыми условиями (4), которые обеспечивают выпол- нение финальных условий (3).

Известно [2], что в основе задачи управления колебанием стру- ны лежит решение задачи с начальными и финальными условиями для волнового уравнения.

ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ.Найтиu(x,t)∈C²(Q_l,T), удо- влетворяющую (1), (2), (4).

ЗАДАЧА С ФИНАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ. Найти u(x,t)∈C²(Q_l_,T), удовлетворяющую (1), (3), (4).

Рассмотрим задачу с начальными условиями.

ЗАДАЧА1 (УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ СТРУН В УСЛОВИЯХ ПЕР-

ВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ). Найти функции µ(t), ν(t)∈C²[0,T] такие, чтобы для решения u(x,t) первой краевой задачи с заданными начальными условиями (2) в момент времени 0ÉTÉ ^l

max{λ²₁,λ²₂} вы- полнялись финальные условия (3).

Рассмотрим две вспомогательные задачи.

ЗАДАЧА 2 (ЗАДАЧА О ГАШЕНИИ КОЛЕБАНИЙ). Найти функции µ(t), ν(t)∈C²[0,T] такие, что для решения u(x,t) первой краевой задачи с заданными начальными условиями (2) в момент времени t=T выполнялись нулевые финальные условия

u(x,T)=0,u_t(x,T)=0, 0ÉxÉl. (5) ЗАДАЧА3 (О ПЕРЕВОДЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНО ПОКОЯЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ СТРУН В ЗАДАННОЕ СОСТОЯНИЕ).Найти функции µ(t), ν(t)∈C²[0,T] такие, чтобы для решения u(x,t) первой краевой задачи с нуле- выми начальными условиями

u(x, 0)=0, u_t(x, 0)=0, 0ÉxÉl, (6) в момент времени t=T выполнились финальные условия (3).

Решение задачи 1 будем искать как сумму решений задачи 2 и задачи 3.

Рассмотрим случай, когда собственные значения матрицыA, λ²₁, λ²₂— действительны и различны.

Введ¨ем обозначениеw=S⁻¹u, гдеS=



 s₁₁ ^λ²²_β^−qs₂₂

λ²₁−p

α s₁₁ s₂₂



— мат- рица перехода при диагонализации матрицы A. Тогда система (1)

(4)

примет вид _½

w_{1t t}−λ²₁w_1xx =0,

w_{2t t}−λ²₂w_2xx =0. (7)

Начальные условия (2) запишутся в виде









w(x, 0)=S⁻¹u(x, 0)=ϕ(x)e =

µ ϕe₁₁(x) e ϕ₂₁(x)

¶

, 0ÉxÉl, w_t(x, 0)=S⁻¹u_t(x, 0)=ψ(x)e =

µ ψe₁₁(x) ψe₂₁(x)

¶

, 0ÉxÉl;

(8)

нулевые финальные условия —









w(x,T)=S⁻¹u(x,T)=ϕe₁(x)=

µ ϕe₁₂(x) e ϕ₂₂(x)

¶

=0, 0ÉxÉl, w_t(x,T)=S⁻¹u_t(x,T)=ψe₁(x)=

µ ψe₁₂(x) ψe₂₂(x)

¶

=0, 0ÉxÉl;

(9)

граничные условия —











w(0,t)=S⁻¹u(0,t)=eµ(t)= Ã eµ

1(t) e µ2(t)

!

, 0ÉtÉT, w(l,t)=S⁻¹u(l,t)=eν(t)=

µ eν₁(t) e ν₂(t)

¶

, 0ÉtÉT,

(10)

где0ÉTÉ ¹

max{λ²₁,λ²₂}.

Решение первой краевой задачи с начальными условиями для системы (7) имеет вид











w₁(x,t)=Φe₁₁(x+λ₁t)+Φe₁₁(x−λ₁t)

2 + 1

2λ₁

x+λZ 1t

x−λ1t

Ψe₁₁(z)d z+

+eµ

1

µ t− x

λ₁

¶ +νe₁

µ t+x−l

λ₁

¶ , w₂(x,t)=Φe₂₁(x+λ₂t)+Φe₂₁(x−λ₂t)

2 + 1

2λ₂

x+λZ ₂t

x−λ2t

Ψe₂₁(z)d z+

+eµ

2

µ t− x

λ₂

¶ +νe₂

µ t+x−l

λ₂

¶ .

(11)

Функции Φê₁₁, Ψê₁₁— неч¨етные продолжения функций ϕe₁₁, ψê₁₁ соот- ветственно на сегменты[−l; 0],[l; 2l]; функцииµe

1,eν₁удовлетворяют следующим условиям: eµ

1(t)=µe₁(t)на[0;T],µ(0)e =0,µ(t)e ≡0при t<0. Аналогичным условиям удовлетворяет функция eν₁. Функции Φ^e₂₁, Ψe₂₁ удовлетворяют тем же условиям.

(5)

Рассмотрим первое уравнение системы (11). Воспользовавшись нулевыми финальными условиями (9), получим











Φe₁₁(x+λ₁T)+Φe₁₁(x−λ₁T)

2 + 1

2λ₁

x+λZ ₁T

x−λ₁T

Ψe₁₁(z)d z+

+eµ

1

µ T− x

λ₁

¶ +eν₁

µ

T+x−l λ₁

¶

=0, fΦ⁰₁₁(x+λ₁T)−fΦ⁰₁₁(x−λ₁T)

2 +Ψe₁₁(x+λ₁T)+Ψe₁₁(x−λ₁T)

2λ₁ +

+1 λ₁µe⁰

1

µ T− x

λ₁

¶ + 1

λ₁νe⁰₁ µ

T+x−l λ₁

¶

=0.

(12)

После дифференцирования первого уравнения системы (12) по x имеем

fΦ⁰₁₁(x+λ₁T)+fΦ⁰₁₁(x−λ₁T)

2 +Ψe₁₁(x+λ₁T)−Ψe₁₁(x−λ₁T)

2λ₁ −

− 1 λ₁µe⁰

1

µ T− x

λ₁

¶ + 1

λ₁νe⁰₁ µ

T+x−l λ₁

¶

=0. (13) Сложим уравнения (13) и второе уравнение системы (12), получим

νe⁰₁ µ

T+x−l λ₁

¶

=λ₁ 2

µ

−fΦ⁰₁₁(x+λ₁T)−Ψ(xe +λ₁T) λ₁

¶

. (14)

Вычитая уравнение (13) из второго уравнения системы (12), нахо- дим

µe⁰

1

µ T− x

λ₁

¶

=λ₁ 2

µ

fΦ⁰₁₁(x−λ₁T)−Ψ(xe −λ₁T) λ₁

¶

. (15)

Так какeµ(t)≡0,eν(t)≡0при tÉ0, то получаем следующие условия:

( ϕe⁰₁₁(x)−^ψ^e¹¹_λ^(x⁾

1 =0, 0ÉxÉl−λ₁T,

ϕe⁰₁₁(x)+^ψ^e¹¹_λ^(x⁾

1 =0, λ₁T ÉxÉl. (16)

В уравнении (15) воспользуемся свойством продолжений функ- ций Φ^e₁₁, Ψ^e₁₁ относительно точкиx=0. Сделаем замену z=T−_λ^x

1 и, проинтегрировав от0доt, находим

e µ1(t)=eµ

1(0)+ϕe₁₁(λ₁t)+ϕe₁₁(0)

2 + 1

2λ₁

λ1t

Z

0

ψe₁₁(z)d z. (17)

(6)

В уравнении (14) воспользуемся свойством продолжений функций Φe₁₁,Ψ^e₁₁ относительно точки x=l. Сделаем заменуz=T+^x−l_λ

1 и про- интегрировав от0доt, получим

e

ν₁(t)=eν₁(0)+ϕe₁₁(l)+ϕe₁₁(l−λ₁t)

2 + 1

2λ₁ Zl

l−λ1t

ψe₁₁(z)d z. (18)

Учитывая условия согласования e

µ(0)=ϕ(0)e =0, eν(0)=ϕ(le )=0,

получаем окончательные выражения для управляющих функций e

µ1, eν₁:

e

µ1(t)=ϕe₁₁(λ₁t)

2 + 1

2λ₁

λ1t

Z

0

ψe₁₁(z)d z. (19)

e

ν₁(t)=ϕe₁₁(l−λ₁t)

2 + 1

2λ₁ Zl

l−λ1t

ψe₁₁(z)d z. (20)

Проведя аналогичные рассуждения можно выписать выражения для e

µ2, eν₂:

e

µ2(t)=ϕe₂₁(λ₂t)

2 + 1

2λ₂

λ₂t

Z

0

ψe₂₁(z)d z. (21)

e

ν₂(t)=ϕe₂₁(l−λ₂t)

2 + 1

2λ₂ Zl

l−λ₂t

ψe₂₁(z)d z. (22)

Для записи выражений для управляющих функцийµ(t),ν(t)введ¨ем дополнительные обозначения:

e

ϕ(x)=S⁻¹ϕ(x)= 1

|S|



 s₂₂ ^q−λ_β²²s₂₂

p−λ²₁

α s₁₁ s₁₁



·

µ ϕ₁₁(x) ϕ₂₁(x)

¶

= µ l₁

l₂

¶

·ϕ(x), (23)

ψ(x)e =S⁻¹ψ(x)= 1

|S|



 s₂₂ ^q−λ_β²²s₂₂

p−λ²₁

α s₁₁ s₁₁



·

µ ψ₁₁(x) ψ₂₁(x)

¶

= µ l₁

l₂

¶

·ψ(x). (24)

(7)

Используя обозначения (23), (24), запишем

e µ(t)=

Ã eµ

1(t) e µ2(t)

!

=





 D

l₁·ϕ(λ₁t) E

2 + 1

2λ₁

λ₁t

Z

0

D l₁·ψ(z)

E d z D

l₂·ϕ(λ₂t) E

2 + 1

2λ₂

λ₂t

Z

0

D l₂·ψ(z)

E d z







, (25)

e ν(t)=

µ eν₁(t) e ν₂(t)

¶

=







− D

l₁·ϕ(l−λ₁t) E

2 + 1

2λ₁ Zl

l−λ₁t

D l₁·ψ(z)

E d z

− D

l₂·ϕ(l−λ₂t) E

2 + 1

2λ₂ Zl

l−λ₂t

D l₂·ψ(z)

E d z







, (26)

где〈a·b〉— скалярное произведение векторов.

Управляющие функции в условиях первой краевой задачи при- мут вид

µ(t)=S·µ(t),e ν(t)=S·eν(t) (27) УТВЕРЖДЕНИЕ1.Для любого 0<T<_max{λ¹

1,λ2} и для любых фун- кций ϕ, ψ, удовлетворяющих следующим условиям:

1) ϕ(x)∈C²[0,l], ψ(x)∈C¹[0,l]; 2) ϕ(0)=ϕ(l)=0;ψ(0)=ψ(l)=0; 3) справедливы тождества











³D l₁·ϕ(x)

E´₀

−

D l₁·ψ(x)

E

λ₁ ≡0, 0ÉxÉl−λ₁T,

³D l₁·ϕ(x)

E´₀ +

D l1·ψ(x)

E

λ₁ ≡0, λ₁TÉl,

³D l₂·ϕ(x)

E´₀

−

D l₂·ψ(x)

E

λ2 ≡0, 0ÉxÉl−λ₂T,

³D l₂·ϕ(x)

E´₀ +

D l₂·ψ(x)E

λ₂ ≡0, λ₂TÉxÉl,

(28)

то граничные управления u(0,t)=µ(t) и u(l,t)=ν(t), гасящие коле- бания, имеют вид (27).

Условия (28) в случаеα=β=0совпадают с условиями, изложен- ными в [2].

Найд¨ем решение задачи 3. Решение краевой задачи для финаль-

(8)

ных условий (7), (9), (10) имеет вид:











w₁(x,t)=Φe₁₂(x+λ₁(T−t))+Φe₁₂(x−λ₁(T−t))

2 −

− 1 2λ₁

x+λZ1(T−t)

x−λ₁(T−t)

Ψe₁₂(z)d z+eµ₁ µ

t+ x λ₁

¶ +eν₁

µ t+l−x

λ₁

¶ ,

w₂(x,t)=Φe₂₂(x+λ₂(T−t))+Φe₂₂(x−λ₂(T−t))

2 −

− 1 2λ₂

x+λZ₂(T−t)

x−λ2(T−t)

Ψe₂₂(z)d z+eµ₂ µ

t+ x λ₂

¶ +eν₂

µ t+l−x

λ₂

¶ .

(29)

Воспользуемся тем, что в начальный момент времени струна поко- илась. Относительно первого уравнения системы (26) получим











Φe₁₂(x+λ₁T)+Φe₁₂(x−λ₁T)

2 − 1

2λ₁

x+λZ ₁T

x−λ₁T

Ψe₁₂(z)d z+

+µe₁ µx

λ₁

¶ +νe₁

µl−x λ₁

¶

=0, fΦ⁰₁₂(x−λ₁T)−fΦ⁰₁₂(x+λ₁T)

2 +Ψe₁₂(x+λ₁T)+Ψe₁₂(x−λ₁T)

2λ₁ +

+µe⁰₁ µx

λ₁

¶ +νe⁰₁

µl−x λ₁

¶

=0.

(30)

Продифференцировав первое уравнение системы (30) поx, находим fΦ⁰₁₂(x−λ₁T)+fΦ⁰₁₂(x+λ₁T)

2 +

+−Ψe₁₂(x+λ₁T)+Ψe₁₂(x−λ₁T)

2λ₁ +e

µ⁰₁ µx

λ₁

¶

−e ν⁰₁

µl−x λ₁

¶

=0. (31) Сложим второе уравнение системы (30) и уравнение (31), получим

Φf⁰₁₂(x−λ₁T)+Ψ(xe −λ₁T) λ₁ + 2

λ₁ µe⁰₁

µ x λ₁

¶

=0,

µe⁰₁ µ x

λ₁

¶

= −λ₁ 2

µ

fΦ⁰₁₂(x−λ₁T)+Ψ(xe −λ₁T) λ₁

¶

. (32)

Вычитая из (31) второе уравнение системы (30), имеем:

Φf⁰₁₂(x+λ₁T)−Ψ(xe +λ₁T) λ₁ − 2

λ₁ νe⁰₁

µ(l−x) λ₁

¶

=0,

(9)

νe⁰₁ µl−x

λ₁

¶

=λ₁ 2

µ

fΦ⁰₁₂(x+λ₁T)−Ψ(xe +λ₁T) λ₁

¶

. (33)

Посколькуµ(t)=0,ν(t)=0, tÊT, то получаем следующие условия на функцииϕe₁₂,ψ^e₁₂:

( ϕe⁰₁₂(x)+^ψ^e¹²_λ^(x)

1 ≡0, 0ÉxÉx−λ₁T,

ϕe⁰₁₂(x)−^ψ^e¹²_λ^(x)

1 ≡0, λ₁TÉxÉl. (34)

В уравнении (32) воспользуемся свойствами продолжения функ- цийΦ^e₁₂,Ψ^e₁₂ относительно точкиx=0. Сделав заменуz=_λ^x

1, проин- тегрируем от tдо T, получим

µe₁(t)=eµ₁(T)+ϕe₁₂(λ₁T−λ₁t)−ϕe₁₂(0)

2 − 1

2λ₁

λ₁TZ−λ₁t

0

ψe₁₂(z)d z.

В уравнении (33) воспользуемся свойствами продолжения функ- цийΦ^e₁₂, Ψ^e₁₂относительно точкиx=l, сделаем заменуz=^l_λ^−x

1 и про- интегрируем отt доT:

eν₁(t)=eν₁(T)+ϕe₁₂(l−λ₁T+λ₁t)−ϕe₁₂(l)

2 − 1

2λ₁ Zl

l−λ₁T+λ₁t

ψe₁₂(z)d z

Учитывая условия согласования, получаем:











eµ₁(t)=ϕe₁₂(λ₁(T−t))

2 − 1

2λ₁

λ₁Z(T−t)

0

ψe₁₂(z)d z,

eµ₂(t)=ϕe₂₂(λ₂(T−t))

2 − 1

2λ₂

λ2Z(T−t)

0

ψe₂₂(z)d z.

(35)











eν₁(t)=ϕe₁₂(l+λ₁(t−T))

2 − 1

2λ₁ Zl

l+λ₁(t−T)

ψe₁₂(z)d z,

eν₂(t)=ϕe₂₂(l+λ₂(t−T))

2 − 1

2λ₂ Zl

l+λ2(t−T)

ψe₂₂(z)d z.

(36)

Введ¨ем дополнительные обозначения:

e

ϕ₁(x)=S⁻¹ϕ₁(x)= 1

|S|



 s₂₂ ^q−λ_β²²s₂₂

p−λ²₁

α s₁₁ s₁₁



·

µ ϕ₁₂(x) ϕ₂₂(x)

¶

= µ l₁

l₂

¶

·ϕ₁(x), (37)

(10)

ψe₁(x)=S⁻¹ψ₁(x)= 1

|S|



 s₂₂ ^q−λ_β²²s₂₂

p−λ²₁

α s₁₁ s₁₁



·

µ ψ₁₂(x) ψ₂₂(x)

¶

= µ l₁

l₂

¶

·ψ₁(x). (38) Используя обозначения (37) и (38), выражения (35), (36) перепишут- ся так:

µ(t)e =µ eµ₁(t) eµ₂(t)

¶

=





 D

l₁·ϕ₁(λ₁(T−t)) E

2 − 1

2λ₁

λ₁Z(T−t)

0

D

l₁·ψ₁(z) E

d z D

l₂·ϕ₁(λ₂(T−t)) E

2 − 1

2λ₂

λ₂Z(T−t)

0

D

l₂·ψ₁(z) E

d z





 , (39)

ν(t)e =µ eν₁(t) νe₂(t)

¶

=





 D

l₁·ϕ₁(l−λ₁(T−t)) E

2 − 1

2λ₁ Zl

l−λ₁(T−t)

D

l₁·ψ(₁z) E

d z D

l₂·ϕ₁(l−λ₂(T−t)) E

2 − 1

2λ₂ Zl

l−λ₂(T−t)

D

l₂·ψ₁(z) E

d z





 . (40)

Используя данные обозначения, управляющие функции можно записать в виде

µ(t)=S·µ(t),e ν(t)=S·eν(t). (41) УТВЕРЖДЕНИЕ2.Для любого 0<T<_max{λ¹

1,λ₂} и для любых фун- кций ϕ₁, ψ₁, удовлетворяющих следующим условиям:

1) ϕ₁(x)∈C²[0,l], ψ₁(x)∈C¹[0,l]; 2) ϕ₁(0)=ϕ₁(l)=0, ψ₁(0)=ψ₁(l)=0; 3) справедливы тождества











³D

l₁·ϕ₁(x) E´₀

+

D l1·ψ1(x)

E

λ₁ ≡0, 0ÉxÉl−λ₁T,

³D

l₂·ϕ₁(x) E´₀

+

D l2·ψ1(x)

E

λ2 ≡0, λ₁TÉl,

³D

l₁·ϕ₁(x) E´₀

−

D l₁·ψ₁(x)

E

λ₁ ≡0, 0ÉxÉl−λ₂T,

³D

l₂·ϕ₁(x) E´₀

−

D l2·ψ1(x)

E

λ₂ ≡0, λ₂TÉxÉl,

(42)

то граничные управления u(0,t)=µ(t) и u(l,t)=ν(t), переводящие покоящуюся струну в заданное состояние u(x,T)=ϕ₁(x), u_t(x,T)= ψ₁(x), имеют вид (41).

Условия (42) в случаеα=β=0совпадают с условиями, изложен- ными в [2].

(11)

Решение общей задачи управления получается как сумма ре- шений задач гашения колебаний и перевода покоящейся струны в заданное состояние. Следовательно,

µ(t)=S·(eµ(t)+µ(t)),e ν(t)=S·(eν(t)+ν(t))e (43) УТВЕРЖДЕНИЕ3.Для любого 0<T<_max{λ¹

1,λ₂} и для любых функций ϕ, ψ [ϕ₁,ψ₁], удовлетворяющих следующим условиям:

1) ϕ(x), ϕ₁(x)∈C²[0,l], ψ(x), ψ₁(x)∈C¹[0,l];

2) ϕ(0)=ϕ(l)=0, ϕ₁(0)=ϕ₁(l)=0; ψ(0)=ψ(l)=0 ψ₁(0)=ψ₁(l)=0; 3) справедливы тождества (28), (42),

то граничные управления u(0,t)=µ(t) и u(l,t)=ν(t), переводящие струну из состояния u(x, 0)=ϕ(x), u_t(x, 0)=ψ(x) в заданное состо- яние u(x,T)=ϕ₁(x), u_t(x,T)=ψ₁(x), имеют вид (43).

Результаты, полученные в работах [2, 3] для волнового уравне- ния, полностью совпадают с результатами, изложенными в данной работе приα=β=0.

1. Горошко О. Ф., Чиж А. А.К вопросу о продолно-крутильных колебани- ях упругой естественно закрученной нити (каната) переменной длины с концевым грузом, движущимся по ж¨естким направляющим / В кн.:

Стальные канаты — Киев: Техника, 1964. — Т. 1. — С. 56–64.

2. Знаменская Л. Н.Управление упругими колебаниями. — М.: Физматлит, 2004. — 176 с.

3. Ильин В. А.Волновое уравнение с граничным управлением на двух кон- цах за произвольный промежуток времени // Дифференц. уравнения, 1999. — Т. 35, № 11. — C. 1517–1534.

Самарский государственный университет, г. Самара lesveta@rambler.ru

УДК 517.95

И. Д. Макарова

W¹₂-УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЧТИ ЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

НА ПЛОСКОСТИ

Введение.Рассмотрим в полуполосе Π=[0, 1]×[0,∞)гиперболи- ческую систему

∂u

∂t +A(x)∂u

∂x+B(x)u+f(x,u)=0. (1)