P. N. Vabishchevich, P. A. Pulatov, Numerical solution of a problem of potential field continuation, Matem.

Math-Net.Ru

All Russian mathematical portal

P. N. Vabishchevich, P. A. Pulatov, Numerical solution of a problem of potential field continuation, Matem.

Mod. , 2002, Volume 14, Number 6, 91–104

Use of the all-Russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use

http://www.mathnet.ru/eng/agreement Download details:

IP: 118.70.116.132

November 6, 2022, 02:06:58

УДК 519.63:517.958

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПРОДОЛЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ

© П.Н. Вабищевич, П.А. Пулатов

Институт математического моделирования РАН, Москва, Технологический университет Таджикистана, Душанбе

Рассматривается некорректная задача продолжения решений задачи Дирихле для уравнения Лапласа в область, прилегающую к части границы. Такая задача про­

должения потенциальных полей имеет важное значение в грави- и магниторазведке.

Используется итерационный метод, который основан на последовательном уточне­

нии граничного условия в расширенной области и решении стандартной краевой задачи на каждой итерации. Обсуждаются вопросы вычислительной реализации та­

кого подхода при продолжении потенциальных полей с криволинейной поверхности.

Представлены результаты расчетов при решении модельных задач с зашумленными входными данными.

NUMERICAL SOLUTION OF A PROBLEM OF POTENTIAL FIELD CONTINUATION

P.N. Vabishchevich, P. A. Pulatov

Institute for Mathematical Modeling RAS, Moscow, Russia, Technological University of Tajikistan, Dushanbe

An ill-posed problem is considered for continuation of solutions of the Dirichlet problem for the Laplace equation into the domain adjoining a part of the boundary. This problem of potential field continuation is of great importance in gravy- and magneto-exploring.

An iterative method is employed based on successive improvement of the boundary condition in an extended domain and solving the standard boundary value problem at each iteration. Issues of numerical implementation of this approach are discussed for the case of continuation of potential fields from a curvilinear surface. Predictions of model problems with perturbed input data are presented.

1. Введение

Среди некорректных задач для уравнений математической физики можно вы­

делить обратные задачи, в которых неустойчивость задачи обусловлена отсутстви­

ем необходимого (для того чтобы задача была корректной) краевого условия. В этой связи можно упомянуть задачу Коши для эллиптических уравнений (пример Адамара) [1]. Для эллиптических уравнений большое прикладное значение имеет задача продолжений решений краевой задачи в область, прилегающую к границе.

Задачи продолжения потенциальных полей (решений уравнения Лапласа) имеют важное прикладное значение в грави- и магниторазведке [2, 3].

Для приближенного решения задач продолжения решений эллиптических кра­

евых задач применяются различные подходы (см, например, [4]). Среди них отметим метод регуляризации А.Н.Тихонова, который основан на вариационной формули­

ровке задачи в виде задачи оптимального управления. Второй класс методов связан

с переходом к некоторой возмущенной краевой задаче, для решения которой уже имеется непрерывная зависимость от входных данных. Методы такого класса от­

носятся к методам квазиобращения [5]. При рассмотрении некорректных задач для уравнений с частными производными могут возмущаться как само уравнение, так и граничные и начальные условия. Примером может служить переход от начального условия к нелокальному краевому условию.

В настоящее время в теории приближенных методов решения некорректных задач сформировалось направление исследований, которое связано с использовани­

ем итерационных методов [6, 7]. При таком подходе в качестве параметра регуля­

ризации выступает число итераций, которое согласуется с погрешностью входных данных.

При решении обратных задач для уравнений математической физики широко используются градиентные итерационные методы при вариационной формулировке обратной задачи. В [8] рассматривается наиболее простой итерационный метод при приближенном решении ретроспективной обратной задачи для уравнения теплопро­

водности. Для поставленной обратной задачи итерационно уточняется начальное условие, т.е. на каждой итерации решается обычная краевая задача для уравне­

ния теплопроводности. На основе общей теории итерационных методов решения операторных уравнений [9] устанавливаются достаточные условия сходимости ите­

рационного процесса, проводится выбор итерационных параметров. В таких задачах оператор перехода на новое итерационное приближение позволяет выделить прибли­

женное решение искомого класса гладкости.

В данной работе аналогичный подход применяется для приближенного реше­

ния некорректной задачи продолжения решений уравнения Лапласа. При решении задач продолжения с данными на плоской границе применяются различные подхо­

ды. Наиболее естественно и эффективно с вычислительной точки зрения использова­

ние подходов, основанных на аналитическом решении непрерывной или дискретной задачи (метод разделения переменных). Вычислительные алгоритмы в этом случае (см., например, [10]) фактически базируются на использовании регуляризирующих процедур суммирования рядов Фурье. В силу этого основное внимание мы уделяем задачам продолжения с данными на криволинейной границе.

Для упрощения изложения рассмотрена модельная двумерная задача в неогра­

ниченной области с краевыми условиями Дирихле на криволинейной границе. Вы­

числительный алгоритм базируется на итерационном уточнении граничного усло­

вия для задачи в полуплоскости. Для решения прямой краевой задачи проводится дискретизация по горизонтальной переменной, приближенное решение выписыва­

ется аналитически. В рамках квазиреального вычислительного эксперимента про­

ведены расчеты по решению задач с различным уровнем погрешности во входных данных. Расчеты демонстрируют высокую эффективность разработанного алгорит­

ма.

2. Постановка задачи

В грави- и магниторазведке, электроразведке постоянным током важнейшей является задача продолжения потенциальных полей с поверхности Земли вглубь.

Рис. 1. Многопластовая система

На основе решения такой задачи идентифицируются в той или иной степени по­

ложения аномалий гравитационного и электромагнитных полей. Мы ограничимся здесь формулировкой задачи продолжения гравитационных полей.

Обозначим через и гравитационный потенциал аномалии, расположенной в толще Земли. Пусть х — горизонтальная координата, ось Z направим вертикально вверх, причем на земной поверхности z = f(x). Рассматривается задача определения гравитационного потенциала при z < f(x) вплоть до аномалий, глубина залеганий которых есть Н.

Мы рассматриваем задачу продолжения гравитационного потенциала от воз­

мущающих масс (Di,Z)2 на рис. 1). Этот потенциал U(x,z) удовлетворяет уравне­

нию Лапласа в зоне вне аномалий, так что

д

и д

и

(1) На земной поверхности по данным натурных измерений (наблюдается верти­

кальная первая производная потенциала) ставятся условия

— =</?(x,z), z = f{x). (2)

Еще одно краевое условие имеет вид

С/(х,оо) = 0 . (3) На функцию ip{x,z) накладываются естественные ограничения на поведение при

|х| -> оо, обеспечивающие ограниченность решения.

Задача (1)-(3), рассматриваемая при z > /(ж), есть обычная краевая задача.

Ставится проблема продолжения решения этой корректной задачи в прилегающую область, в которой —H<z<f(x).

Задача продолжения (1)-(3) не совсем удобна для исследования из-за гранич­

ного условия (2) с косой производной. Ее можно переформулировать как задачу продолжения для и = ~^~: dU

oz

^ + а ? = ° ,

-

*

и(х, z) = <p(x, z), z = /(ж), (5)

гх(ж,оо)=0. (6) В случае (4)-(6) мы имеем задачу продолжения решения задачи Дирихле для

уравнения Лапласа. При плоской земной поверхности (/(ж) = const) для ее решения используются различные регуляризирующие алгоритмы, основанные прежде всего на использовании метода разделения переменных.

3. Итерационный метод

Будем ориентироваться на использование итерационных методов последова­

тельного уточнения условия на нижней границе расчетной области (при z = —Н).

Решение на каждой итерации краевой задачи в полупространстве z > — Н не пред­

ставляет проблем.

Прямая задача в полупространстве z > —Н формулируется как задача для определения решения u(x,z; v) уравнения (4), дополненного условием (6) и краевым условием

u{x,-H) = v(z). (7) В обратной задаче функция v(x) определяется из условия, чтобы удовлетворить

условиям (5) на земной поверхности.

Будем считать, что данные на земной поверхности Г известны с погрешностью S. В этом случае вместо <p(x}z) известна функция <^j(a;,z), причем, например,

\\tps{x,z)-tp{x,z)\\<8, (8)

где || • || — норма в Li (Г):

||ti|| = (и,и)1/2, (u,w) = / u(x)z)w(x1 z)ds.

г

При приближенном определении граничного условия (7) число итераций согласуется с оценкой (8).

Используемый итерационный метод уточнения граничного условия (7) опи­

сывается следующим образом. Пусть имеется некоторое приближение v^k(x) на fe-й итерации для v(x) {v°(x) задается). Переход на новое приближение реализуется в три шага.

1. Решается прямая краевая задача д2ик д2ик л

1 ^ + ^ ^{= 0} > * > - Я , (9)

u^k(x^y-H) = v^k(x), (10)

u * ( x , o o ) = 0 (11) для нахождения решения задачи в полупространстве при известном гранич­

ном условии при z = —Н.

2. Определяется итерационный параметр т*+1.

3. Уточняется граничное условие vk+l(x) -vk(x)

W V[X) + !**(*,/(*)) = W( x , / ( * ) ) . (12)

Вычислительный алгоритм решения прямой задачи (9)-(11) обсудим позднее.

Остановимся на проблеме выбора итерационных параметров. Здесь можно исполь­

зовать общие результаты теории итерационных методов [9].

Итерационный метод уточнения граничного условия на Г запишем в опера­

торном виде vk+l - vk

+ V = 0,

(13)

где (см. (12)) ф = (ps(x¹f(x)). С учетом (12) для вычисления Av^k = u^k(x,f(x)) решается краевая задача (9) - (11).

Для рассматриваемого класса задач (более содержательное обсуждение этого вопроса в [8]) будем ориентироваться на использование итерационного метода ми­

нимальных невязок или его обобщение — метод минимальных поправок, которые можно применять для задач с любым несамосопряженным невырожденным опера­

тором А Для итерационных параметров в методе минимальных поправок имеем

— < е т *-*••-• ^{, 1 4} »

где г* = Avk — ф — невязка.

В формуле (14) для вычисления итерационного параметра присутствует Лг*, что приводит к необходимости решения дополнительной прямой задачи. Решается прямая краевая задача

d²z^k d²z^{k Л}

а^

a?"

'

~

'

**(*, -Н) = г^к(х) = ч^к{х, /(*)) - ^W( x , /(*)), (16)

z * ( x , o o ) = 0 , (17) находится Лг^к = z^k(x,f(x)).

Число итераций п(6) в итерационном методе (9)-(12) выступает в качестве па­

раметра регуляризации. В соответствии с принципом невязки [1, 6, 7] итерационный процесс продолжается до выполнения условия

\\un^(x,f(x))-Mx,f(x))\\<S, (18)

которое согласуется с точностью входных данных (см. (8)).

4. Вычислительная реализация

При численной реализации основные проблемы связаны с решением прямых задач (9)-(11) и (15)-(17). Для приближенного решения этих задач будем использо­

вать простейший численно-аналитический алгоритм, основанный на полудискрети­

зации (методе прямых). Проведем дискретизацию по горизонтальной переменной, а по вертикальной задача останется непрерывной.

Будем считать, что аномалии локализованы (см. рис.1) вблизи х = L/2 и L достаточно большое. Это дает нам возможность вместо задач в полуплоскости z > —Н рассмотреть краевые задачи в полу полосе

Q = {(ж, z) | 0 < х < L, -Н < z < со}.

Необходимо сформулировать приближенные (искусственные) граничные условия на фиктивных границах (при х = 0 и х = L). Ограничимся простейшим вариантом с использованием граничных условий первого рода.

Это соответствует тому, что вместо (4)-(6) будем решать краевую задачу

и(х, z) = <p(x, z), z = f(x), 0 < х < L, (20)

и(0,г) = ^(0,/(0)), u(L,z)=<p(L,f(L)), - Ж к о о , (21) u(x,oo) = ^ip(LJ(L)) + ^j^<p(0,f(0)), 0<x<L. (22) Аналогично формулируются аналоги краевых задач (9)-(11) и (15)-(17), которые

решаются на каждом итерационном шаге.

По переменной х введем равномерную сетку Х{+\ = Х{ + Л, х$ = 0, i —

= 0 , 1 , . . . , N - 1, Nh = L с шагом h и пусть yi = yi{z) = y(xi,z). После дис­

кретизации по переменной х от (19)-(22) приходим к дифференциально-разностной задаче

Уг+1 ~ 22/г + Z/i-1 d²yi Н ^ * ^ ™ , ' - 1 9 М 1 Ю1\

72 + -<Г2 = °> - Я < z < со, г = 1 , 2 , . . . ,7V - 1, (26)

yi(zi) = (p(xuzi), Zi = f{xi), г = 1 , 2 , . . . , Л Г - 1 , (24)

yo(z) = <p(0,f(0)), yN(z) = <p(LJ(L)), - t f < * < o o , (25)

»^J(oo) = ^ ( L^J/ ( L ) ) + ^ i^V» ( 0 , / ( 0 ) ) , « = 1,2 АГ-1. (26) Решение краевых задач в полуполосе Q ищется методом разделения перемен­

ных с разложением решения задачи с однородными граничными условиями при Х = 0ИХ = ЬПО собственным функциям разностного оператора второй производной.

Реализация такого подхода основывается на применении быстрого преобразования Фурье [9]. Для задач с горизонтальной поверхностью наблюдения (/(ж) = const) вы­

числительные затраты оцениваются в 0(N log² N) арифметических действий. Необ­

ходимо специально отметить, что при решении задач с произвольной поверхностью наблюдений затраты существенно возрастают — 0(N2 log2 N).

5. Результаты расчетов

Приведем некоторые примеры решения задачи продолжения (1)-(3), выпол­

ненных в рамках квазиреального эксперимента. Рассматривается модельная задача с L = 2 и двумя аномалиями кругового сечения с центрами (х1,^1) = (0.8,-0.3), (x2,z2) = (1.1,-0.4). Точное решение задачи (4)-(6) имеет вид

/ ч Z- Z\ Z - Z2

U{X,Z) = С\- тх ггг + С2 7 7^ -/ v 7 -

{x-xi)2 + (z-zx)2 *{x-x2)2 + {z-z2)2

В приведенных ниже расчетах с\ = 0.3, с2 = 1.2, т.е. более глубокая аномалия имеет в четыре раза большую мощность.

Точное решение задачи на различных глубинах Н показано на рис.2. При Я = 0 и Я = 0.1 по данным измерений плохо идентифицируются два источника возмущений гравитационного потенциала. При больших глубинах (при приближе­

нии к источникам) происходит разделение аномалий (при Н = 0.2 и особенно при Н — 0.25). Именно с этим обстоятельством связывается необходимость продолжения потенциальных полей в сторону аномалий.

Неровность земной поверхности существенно усложняет идентификацию. В этом случае накладываются дополнительные трудности, которые затушевывают картину аномальных полей. Иллюстрацией служит рис.3, на котором показаны точные решения задачи (4)-(6), когда не очень сложный рельеф поверхности земли задается функцией

z = f(x) = as'm(irx).

Представим сначала результаты расчетов при условии, что погрешность во входные данные не вносится. При этом приходится достаточно долго вести вычис­

ления — итерационный процесс сходится плохо. В представленных ниже примерах с точными входными данными выход осуществлялся при выполнении 500 итераций.

Эта ситуация совершенно нетипична для реальных обратных задач с погрешнос­

тями во входных данных. В последнем случае приближенное решение находится за несколько первых (достаточно 4-6) итераций используемого итерационного процес­

са. Расчеты выполнены на сетке N = 127. Какого-то заметного отличия результатов при использовании различных расчетных сеток не наблюдается.

10.0-

8.0-

6.0-

4.0-

2 . 0 -

0.0-г—i—т —г—1—1 1 1 1 1 | i 1\

Л/ 1

1/у^

Л' У

//

у

1 — 1 — 1 — I — 1 1 1 1 1

/ \

л

/"\

i i >

Л

1 1 1

Ч!v

\

1 1

4

н -~о! 1

H « 0.2 Н - 0.25 |

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

»

;

-

L

\

Рис. 2. Решение прямой задачи на различных глубинах

5.0-

-

4.0-

3.0-

. _•

2.0-

-

1.0-

0.0-

' —и

_-atf^"

*ЮТ^-

—г—т—г

'

'if///

и / / /

!///

//•'' /г"/' :

<г* ' sy/ /

•r?S' /

ё^~"'„.*'''

i i i i i i i—i i i i — i — i i i — i —

i . . . . . . . . . i i

/.. \

\ ч \ ч

\ ч« \V

\ \ч\\

л \

\ VV

1—г—1—т—1—1—т—г—1—1—1

а - Ъ ! а - 0.1 а - 0.2 а - -0.1 а - -0.2 1

ч ^ «

о^>

V V 4 4 .

, , , , . , , ,

"

* \

L [ L

г

г 1-

:

1.0 X

Рис. 3. Решение прямой задачи на криволинейном рельефе

numerical solution (z = — Н) ( * - о ) numerical solution input data (z = 0) - — exact solution (z — — H)

Рис. 4. Решение обратной задачи при продолжении на глубину Н = 0.1

На рис.4 представлено решение задачи на плоском рельефе при продолжении на глубину Н = 0.1. В этом случае решение достаточно точно восстанавливается по данным на земной поверхности (при z = 0). Аналогичные данные для боль­

шей глубины (Н = 0.2) показаны на рис.5. На этой глубине точное решение имеет характерную двугорбую структуру.

Возможности продолжения при использовании данных с криволинейной по­

верхности представлены на рис.6 (возвышенность, а потом впадина), рис.7 (впади­

на - возвышенность). Результаты принципиального различия не имеют — точность восстановления остается одинаковой: такой же, как и для плоской земной поверхнос­

ти (см. рис.5). Необходимо также отметить неточность вблизи концов расчетного интервала (при х — 0 и х + L), что вполне объяснимо неточностями в задании искуственных граничных условий (21).

Погрешности в задании входных данных моделировались тем, что точное ре­

шение в узлах сетки возмущалось:

W

(s, /(*))

ф, /(*))

где а(х) — нормально распределенная от 0 до 1 случайная величина. Выход из итерационного процесса проводится по невязке.

На рис.8 показано решение задачи продолжения с уровнем погрешностей S — 0.05. Продолжение проводится с земной поверхности f(x) = 0.1sin(7rx) на глубину Н = 0.2. Аналогичные данные при вдвое большем уровне погрешностей представлены на рис.9. В этом случае двугорбая структура точного решения пере­

дается уже слабо.

Рис. 5. Решение обратной задачи при продолжении на глубину Я = 0.2

numerical solution Сг — — Н) numerical solution (z — f(x)J input data (z = f(x)) exact solution (z — - H)

Рис. 6. Продолжение с земной поверхности f(x) — 0.1sin(7rx) на глубину Я = 0.2

1 0 . 0 I • • ' ' ' • ' > I > I I I I I I I I I I I 1 1 1 . I I

numerical solution (z = — H) numerical solution (z *• f(x)) input data (z = f(x)) exact solution (z = — H)

Рис. 7. Продолжение с земной поверхности f(x) = -0.1sin(7r:r) на глубину Н — 0.2

Рис. 8. Решение задачи с уровнем погрешности S = 0.05

Рис. 9. Решение задачи с уровнем погрешности <5 = 0.1

Для выделения более гладкого решения (без явного зашумления результатов как на рис.8,9) можно использовать различные процедуры. Первый подход связан с обработкой входных данных. С этой целью могут использоваться методы сглажива­

ния, фильтрации и т.д. Вторая интересная возможность базируется на применении более сложных итерационных процедур (см., например, [8]).

Вместо (13) используется более общий неявный итерационный метод В-^„*+1

Тк + 1 + Av^k = ф, (27)

где В = В* > 0. Для итерационных параметров (метод минимальных поправок) используются следующие расчетные формулы:

Тк+1 =

(Awk)wk)

{B-^lAw^k,Aw^ky 4 = 0 , 1 , . . . , (28) где wk = B~lrk — поправка.

Отметим некоторые особенности выбора оператора В при решении некор­

ректных задач. В обычных итерационных методах (27), (28) выбор оператора В подчинен исключительно ускорению скорости сходимости итерационного метода.

При решении некорректных задач итерационный процесс обрывается до достиже­

ния невязки, величина которой определяется погрешностью входных данных. Для нас важно не только с какой скоростью сходится итерационный процесс на этом участке убывания, но и в каком классе гладкости этот итерационный процесс схо­

дится, в какой норме необходимый уровень невязки достигается. Принципиальная

Рис. 10. Решение задачи неявным итерационным методом при 8 = 0.05

особенность приближенного решения некорректных задач итерационными метода­

ми состоит в том, что выделение приближенного решения из необходимого класса гладкости достигается выбором оператора В.

Для выделения решения из класса №^(0, L) можно использовать оператор /?, для которого

Bv =

dx2 + Pv c/3>0.

В ниже приведенных расчетах использовался неявный итерационный процесс, в котором /? = 0.005. На рис.10 представлено решение задачи со сглаживанием решения задачи продолжения при уровне погрешностей S = 0.05. Как и на рис.8 решение продолжается с земной поверхности f(x) = 0.1 sin(7rx) на глубину Н = 0.2.

Данные расчетов при S = 0.1 (другие условия неизменны) приведены на рис.11. За счет оператора сглаживания В происходит выделение более гладкого решения без какой-либо предварительной обработки входных данных.

Проведенные расчеты демонстрируют возможности приближенного решения задач продолжения при использовании итерационного метода (9) - (12) для задач с произвольным рельефом земной поверхности. Точность восстановления при этом остается такой же, как и при решении задач с плоской земной поверхностью.

numerical solution (x * — H) numerical solution (2 = f(x)) input data (2 = f(x)) exact solution (2 = — H)

Рис. 11. Решение задачи неявным итерационным методом при S = 0.1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.

2. Гравиразведка. Справочник геофизика. - М.: Недра, 1981.

3. Магниторазведка. Справочник геофизика. - М.: Недра, 1980.

4. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения обратных задач мате­

матической физики. / / Фундаментальные основы математического моделирования. - М.: Наука, 1997, с.5-97.

5. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970.

6. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев СВ. Экстремальные методы решения не­

корректных задач. - М.: Наука, 1988.

7. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных за­

дач. - М.: Наука, 1989.

8. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Васильев В.И. Итерационное решение ретроспек­

тивной обратной задачи теплопроводности. / / Математическое моделирование. 1997, т.9, № 5 , с.119-127.

9. Самарский А.А., Николаев Е.С Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978.

10. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко О.И., Мелихов В.Р. О продолжении потен­

циала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации. / / Известия АН СССР. Физика Земли. 1968, № 12, с.30-48.

Поступила в редакцию 26.10.2000.