Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Г. А. Маргулис, О некоторых мерах, связан- ных с У-потоками на компактных многообра- зиях, Функц. анализ и его прил., 1970, том 4, выпуск 1, 62–76
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 10:32:19
функциональный анализ и его приложения, т. 4, вып. 1, 1970, 62—76.
О НЕКОТОРЫХ МЕРАХ, СВЯЗАННЫХ С У-НОТОКАМИ НА КОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ
Г. А. Ма р г у л и с
Пусть на компактном римановом многообразии W"' задан У-поток^в^
смысле Д. В. Аносова. Как доказал Д. В. Аносов, яг. W"" существует две пары слосБИй, каждое из которых инвариантно относительно У-потока. Слои этих слоений называются соответственно сжимающимися и расширяющимися листами и сжимающимися и расширяющимися орисферами (подробнее см. § 1)..
В работе доказывается теорема о том, что на всех расширяющихся ли
стах можно одновременно ввести такую ст-конечную счетно-аддитивную меру,;
что 1) под действием У-потока эта мера умножается на константу, 2) меры канонически изоморфных множеств (см. [7]) совпадают (заметим, что в [71 канонический изоморфизм определяется только для У-диффеоморфизмов,.
но данное там определение, очевидно, переносится на случай У-потоков).
Аналогичные утверждения доказываются и для других слоений.
§ 1. Введение
I. Пусть /(ш)—гладкое векторное поле на компактном римановом мно
гообразии W^ (обычно будет предполагаться, что порядок гладкости равен 2).
Тогда с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений
J=fH!; (1.1>
at
на многообразий W^ задается поток {Т } (еслиш(/)—решение системы (1.1)^
с начальным значением w{Q)=w, то T^w = w{t)).
Касательное пространство к 1^"^ в точке w обозначим через R^, а каса
тельное векторное расслоение через Ш(Ш"'). Тогда динамическая система {Т^} порождает гладкую динамическую систему {Т^} на 91 iW^) (причем по
рядок гладкости как многообразия 91 (IF^), так и динамической системы Т на единицу меньше соответствующих порядков гладкости для IF" и {Т^]\- явный вид векторного поля, которое задает поток {Т }, ом. в [1] или [2])..
О п р е д е л е н и е 1.1. По1!ок{Т^} называется Y-потоком, если выполнены- следующие условия У:
У1. Фазовая скорость /(ш)=^0, т. е. поток не имеет положений рав
новесия.
У2. Пространство R2; при любом w разлагается в прямую сумму трех, подпространств Xi, Y^ я Zi,
Rl = Xi® FL e Zl (dim Xi==k=j= 0; dim FL = 1=^0),
где Zi; порождается вектором f{w), a при ItX^, ц^У^ справедливы
неравенства
\Т%\<:,а\1\'е-'^ для / > 0 , \f%\^b\l\e~'^ для / < 0 , (1.2)
\Т\\>а\г]\е'^ для ^ О, \Т^ц\^Ь\г]\е'^ для zf<0, (1.3) где константы а, Ь, с положительны и одни и те же для всех w^W"' я всех | 6 ^ ш , Ц^Уш, а длины
римановой структуры на W^,
всех | 6 ^ ш , Ц^Уш, а длины касательных векторов задаются при помощи
7J J.Z
т тт
Теорема 1 Замечание 3 Ч
Рис. 1. Непод'черннутые цифры обозиачают номера лемм, подчеркнутые — но
мера формул.
О п р е д е л е н и е 1.2. Слоением & многообразия W^ называется раз
биение W"' на связные гладкие р-мерные подмногообразия, называемые слоями, которое обладает следующими свойствами:
1) касательное поле слоения ©^ непрерывно;
2) каждая гладкая кривая, во всех своих точках касающаяся слоев, целиком лежит в некотором слое.
В [1] доказано, что поля Xt, У ID, ХШ Ф Z^ И K L © 2 i непрерывно за
висят от ш и являются касательными полями некоторых слоений © , @ , (g^+i^ (g^+i^ которые инвариантны относительно преобразований Т в том смысле, что под действием этих преобразований слой переходит в слой (вообще говоря, в другой). При этом оказывается, что каждый слой слоений
©^, ©^ ©^"^^ ©^"^^ имеет тот же класс гладкости, что и сама динамическая система {Т^}, и эта гладкость является (в естественном смысле) равномер
ной. (Например, равномерная гладкость класса С^ означает просто непре
рывность касательного поля слоений, а равномерная гладкость класда С^
означает, что, сверх того, нормальные векторные кривизны слОя в точке w будут непрерывно зависеть от ш*).) Слои слоений ©^, @ мы будем назы-
^) Подробнее см. [2], стр. 132.
6 4 Г. А. Маргулис
вать соответственно сжимающимися и расилиряющимися орисферами, а слои слоений (S^"^^, (В —сжимаюищмися и расилиряющимися листами.
П. Пусть на многообразий й^'^ задано некоторое слоение ©, причем каж
дый слой слоения © имеет класс гладкости С^, а эта гладкость является равномерной.
О п р е д е л е н и е 1.3. Будем говорить, что подмножество М многооб
разия Ц^^ принадлежит слоению @, и писать M d ® , если М целиком со
держится (в теоретико-множественном смысле) в каком-нибудь одном слое слоения ©, который мы в дальнейшем будем обозначать через ^(М).
О п р е д е л е н и е ! . 4. Пусть на многообразии W^ задана функция /.
Будем говорить, что / принадлежит слоению @, и писать / d ® , если / обращается в нуль вне некоторого слоя ^(/) слоения @.
Так как каждый слой слоения ©локально является гладким подмно
гообразием многообразия W^\ то на нем естественно индуцируется риманова метрика, которая, в свою очередь, индуцирует на этом слое топологию и меру. Поэтому если M c i @ , то к М применимы основные топологические и метрические понятия (открытость, замкнутость, компактность, измеримость и т. д.). Точнее, то, что М является ©-открытым (©-компактным, ©-зам
кнутым, ©-измеримым и т. д.) множеством, означает, что М открыто (ком
пактно, замкнуто, измеримо и т. д.) в топологии (по мере) слоя ^ (М). Если М
©-измеримо, то через fX(g (М) обозначим меру множества М как под
множества слоя й(Л1).
Аналогично, если функция / принадлежит ©, то мы будем говорить, что / является ©-непрерывной (©-финитной, ©-измеримой и т. д.), если / непрерывна (финитна, измерима и т. д.) как функция, заданная на слое
^(/). Если / ©-интегрируема, то через Г/Ф© обозначим интеграл / по тому слою, на котором она не обращается в нуль.
III. В § 2 изучается поведение меры T^\i^iJ^i{M) = \^^i-\-i(r^M) и ин
теграла СГ/ф^^+х» когда t-^oo. Основными леммами в § 2 являются леммы 2.9 и 2.13. Результаты § 2 автоматически переносятся на случай, когда вместо слоения ©^"^^ берется слоение © ^^, только тогда t надо устремлять к —оо.
В § 3 сначала осуществляется построение на слоях слоений ©'"^^ и
©^"^^ некоторых специальных мер, основным свойством которых является равномерное сжатие под действием потока {Т^} (см. теорему 1 и замечание 3).
При построении этих мер существенно используется теорема Тихонова о неподвижной точке. После этого, используя уже построенные меры, на слоях слоений ©^ и & определяются меры с аналогичными свойствами и о них доказываются некоторые утверждения.
В § 4 на многообразии W"' строится мера, которая, грубо говоря, являет
ся произведением мер на слоях слоений ©^"^^ и ©^, определенных в § 3. Ока
зывается, что для этой меры сохраняют свою силу классические теоремы мет
рической теории У-потоков (см. [1], [2] и [6]; подробнее см. теоремы 2 и 3).
Теорема, аналогичная теореме 1, в случае У-диффеоморфизма была до
казана Я. Г. Синаем в работе [7] методами принадлежащей ему теории марковских разбиешй.
Автор благодарит Я. Г. Синая за внимание к работе.
IV. Начиная с этого места, мы будем дополнительно предполагать, что У-поток {Т^} сохраняет риманов объем и не имеет непрерывных собствен
ных функций.
В [1] доказана
Л е м м а 1.1. Любой слой любого из слоений ©^ ©^ (g^+i^ gz+i всюду плотен в многообразии W"'.
Если w^W"', то ©-окрестностью точки w назовем любое ©-открытое множество, содержащее w. Через U(^ (ш, г) обозначим множество таких то
чек uQ^{w), что Р(5(ш, и)<^г (^(ш)—слой слоения ©, на котором лежит ш, р(5—расстояние в метрике этого слоя).
Из леммы 1.1 сразу следует
Л е м м а 1.2. Для любых w^, w^^^W"' и для любого г > 0 слой слоения
©^, проходяи{ий через w^, пересекает U^i^iiw^, г).
Из неравенства (1.3) следует
Л е м м а 1.3. Если / — неотрицательная, ненулевая и (В^^^-интегрируе- мая функция, то для любого / > О
^T'fdii^i+,>bect^fdii^i+,. (1.4)
§ 2. Лебеговские меры на листах и орисферах
О п р е д е л е н и е 2.1. Два множества М^ и М^, принадлежащих слое
нию © , будем называть s-эквйвалентными, если существует такое непре
рывное отображение Ml X/—> IF" (/—единичный отрезок), что 1) для каж
дого m(^^Mi множество h{m, I) принадлежит ©^ и является гладкой кривой, длина которой меньше е, 2) h{m, 0) =^ m, h{m, 1)бМ2, и отображение Mi^^Mg, при котором m^Mi переходит в h{m, 1), является гомеоморфиз
мом (при этом предполагается, что топология на Mi и Mg индуцируется топологией слоев ^^"^^(М^) и ^^"^^(Мд).
З а м е ч а н и е 1. Понятрш е-эквивалентности тесно связано с понятием канонического изоморфизма, введенным Я. Г. Синаем в работе [7]. В част
ности, если два множества канонически изоморфны, то они е-эквивалентны для некоторого 8 > 0 . С другой стороны, если два ©^"^^-открытых множе
ства 8-эквивалентны, то их можно разбить на канонические изоморфные под
множества.
Пусть М—любое ©'"^^-открытое множество.
Л е м м а 2.1. Найдутся такие положительные константы г(М) и г{М), что для любой точки w^_W^ множество U^i-^i{w, г (М)) Е{Муэквивалентно некоторому подмножеству множества М.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из леммы 1.2 сразу следует, что для любой точки w(^_W"' найдутся такие положительные константы s{w) к г (w) и такая окрестность U(ш) этой точки в W^, что если w^^U{w), то [/^r+i(tc^o' ^(^)) будет 8 (ш)-эквивалентно некоторому подмножеству множества М.
Рассмотрим теперь покрытие компактного многообразия W"' открытыми множествами U {w). Из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие множествами U{wi), . . . , U{wi), где ш^ . . . wc^W"'. Пусть &{М) =:maxG{wk), а г{М) =тз.х r{wi,). Тогда очевидно, что Р (М) и г{М) являются искомыми константами.
Лемма доказана.
5 Функц. анализ, т. 4, вып. 1
66 г. А. Маргулис
Из неравенства (1.2) следует
Л е м м а 2.2. Если множества М^ и М^ г-эквивалентны, то множества T^Mi и Т^М^ являются ae-^h-эквивалешпными для / > 0.
В [2] фактически доказа^на
Л е м м а 2.3. Для любого б > 0 найдется такое г ^^0, что если Mi и М^^ —любые два г-эквивалентных S -измеримых множества, мера кото
рых не равна нулю, то
f^@/+i(^2) •1 < й . (2.1)
З а м е ч а н и е 2. Лемма 2.3 связана с абсолютной непрерывностью слое
ний ©^"^^ и ©^ и с абсолютной непрерывностью канонического изоморфизма.
Из лемм 2.1, 2.2 и 2.3 следует
Л е м м а 2.4. Если г(М) — константа, фигурирующая в лемме 2.1, то найдется такая константа а {М), зависящая только от М, что для лю
бой точки w(:W^ и любого / > О
^ ^ — < а ( М ) . (2.2) Пусть оу —некоторая точка многообразия W"^. Поставим в соот-ветст-
вне W функцию /^, определяемую следующим способом:
[[1 + i^r^i-\-i{^c^i+i(:^^ 9(^i+ii^^ ^^Ш~~^ если we^^^^w),
/ ш ( ^ ) = с с с ^2.3) О — в остальных случаях,
где W (: W"', P^j+i — расстояние по слою ^^"^^ (ш).
Пусть [//,ш, где i — целое неотррщательное число, — множество всех таких W (5 ^^"^' (w), что i < |i^/+i (t/^z+i {w, р^ц_1 (w, w))) < i* + 1.
Л е м м а 2.5. Для любого i верно, что
\h^i-vi{Ui,^)<,\. (2.4) Д о к а з а т е л ь с т в о . Из определения Ui,^ видно, что существуют та**
кие числа п и г/+1, что Ui,w =-U^i-^i{w, ri^i) ~U^i.j^i{w, ri). При этом, если Ui,w непусто, то [x^/+i (f/^/+i {w, n)) = i, a [x^z+i (f/^;+i {w, r/+i)) < i + L Поэтому \^^i-Yi{Ui,w)<iA' Лемма доказана.
Л е м м а 2.6. Для любой точки wkiW"'
J/^(Si)(i[x^/+i<2. (2.5) Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что
со
Но так как из (2.3) следует, что на Vi,^ функция f^ (w) принимает значе- ния не большие, чем -— —, а в силу леммы 2.5, i^^i-\~i{Ui,w)^h то при
любом i
p . H d j X g / + , < ^ - ^ . (2.7)
Из (2.6) и (2.7) следует, что /ш (^)^P'^/+i < 2 ("^ <^2' '^'^^ ^ '^Р^"
бовалось доказать.
Пусть М — произвольное @^"^^-открытое множество, а г (М) — константа, фигурирующая в леммэ 2.1. Для любого w^W^ определим функцию
KWM{^){^(I^'') следующим способом: 1) Д"ш,м (^) = О, если pgz+i(t£^, ш)>
^г(М), 2) KW,M{^) == h если р i^i{w, w)^r{M). Далее, положим
fwM (^i) = I Kw,M (w^) fw (^2) dii^i-^i (w^). (2.8) Очевидна
Л е м м а 2.7. При любом w^^W^ функция fw,M{^i) является (В^^^-не- прерывной функцией, принимающей во всех точках ^'^^{w) положительные значения.
Л е м м а 2.8. Существует такая положительная константа с{М), что для любой точки w^ f W^ и любого ^ > О
1 ® < с (М). (2.9) Д о к а з а т е л ь с т в о . Из формулы (2.8), теоремы Фубини и лемм 2А
и 2.6 следует, что
< а ( М ) /»{w^) • d\i^i+^< 2а(М).
Поэтому с (М) = 2а (М) является искомой константой. Лемма доказана.
Обозначим через Т множество функций, которые одновременно являют
ся @^~^^-непрерывными и (S^"'"^-финитными.
Из лемм 2.7 и 2.8 следует
Л е м м а 2.9. Для любой неотрицательной и ненулевой функции f^T и любого (^^'^^-компактного множества U существует такая константа.
C{U, / ) ^ 0 , что если ограниченная ^S^'^ ^-измеримая функция g обращается в нуль вне и, то для любого / > О
® - < c ( t / , /)|ig||, (2.10)
^ 7 Ф ^ / + 1 где ||g|l = sup vrai|g"(^)j.
О п р е д е л е н и е 2.2. Будем называть две функции /i и /а из Т с но
сителями*) /C(/i) и /((/з) г-эквивалентными, если существует такое непре
рывное отображение K{fi)xl-^W, где / — единичный отрезок, что 1) для
*) Здесь под носителем функции подразумевается замыкание множества, на ко
тором она не обращается в нуль.
68 Г. А. Маргулис
каждого u^^Kifi) множество h{u, I) припадлежит ©^ и является гладкой кривой, длина которой меньше е, 2) h{u, 0)==u,h{u, 1)6 i( (/2)» и отобра- жение K{fi)-^K{f2)y при котором и б Kih) переходит в h{u, 1), является гомео
морфизмом, 3) /а (/^ (^)) ^ /i (^)-
Зафиксируем непустое б^^^-открытое и (З^^^^-компактное множество М^, Положим fw (w) =fw,Mo{^) i^^W"', a fw,Mo задается формулой (2.8)).
О п р е д е л е н и е 2.3. Две функции U, f2^T назовем г-близкими, если существуют такие функщш / j , /267" и такие w^.w^^W"', что 1) Д и Д S"
эквивалентны, 2) | Д (ш) — Д (ш))< efw, {^) и | Д (w) — Д (t^J))< г%,^ (w) для любой точки oy^Il^'^.
Из леммы 2.3 следует
Л е м м а 2.10. Для любого б > . 0 найдется такое 8 > 0 , что если Д а f2^ —любые две г-эквивалентные неотрицательные и ненулевые функции из Ту
то
< ^ (2.11)
Л е м м а 2.11. Для любого 6 > 0 найдется такое 8 ^ 0 , что если Д и f^ —любые две г-эквивалентные функции из Т {не обязательно неположи
тельные) ^ то
' Д d fx^/+i — J /2 rf M'cgHi \<^\\fi\d fx^/H-i. (2.12) Д о к а з а т е л ь с т в о . Для f^T положим f^
/ + ( / (
2 • 2> r
\f\-fПусть теперь дано 6 > 0 . Тогда, в силу леммы 2.10, существует такое 8 > О, что для любых двух 8-эквивалентных неотрицательных функций вы
полняется неравенство (2.11). Но тогда, если Д и Д эквивалентны, то I j / i ( i fx^/+i — j Д d fx^/+i I =
< б J /t d [x^/+i + б J /I <i fx^;+i = S J IДI d fx^/+i.
Лемма доказана.
Из неравенства (1.2) следует
Л е м м а 2.12. Если Д, f2^T г-эквивалентны, то T^f^ и T^f^ ае-^Ч-эк- бивалентны.
Пусть Д—некоторая функцт'^я из Т такая, что Д.>>Х(Мо) (М^ — уже встречавшееся @^"^^-открытое и ©^"^^-компактное множество, с помощью которого определялось понятие е-близости (см. определение 2.3), а X (М^) — характеристическая функция М^). Тогда из лемм 2.8, 2.9, 2.11 и 2.12 сле
дует
Л е м м а 2.13. Для любой неотрицательной функции f^T и любого 6 ^ 0 суи^ествует такое s (б, /) > О, что если функция gU3T г (б, (ублызка 1С Д то
< ' (2.13)
§ 3. Построение специальных мер на листах и орисферах
О п р е д е л е н и е 3.1. Будем говорить, что семейство функционалов /s, определенных на множестве Т {s пробегает некоторое множество S), удов
летворяет свойству R, если выполнены следующие условия:
R1. Если ffT, то найдется такая константа ^ i ( / ) > 0 , что для любого s^S имеем | h (/) | <с^(/).
R2. Если /— неотрицательная и ненулевая функция из Т, то найдется такая константа c^{f)y>0, что для любого s^S имеем |4(/) | ><^2(/)-
R3. Для любой функции / 6 Т и любого б>>0 найдется такое 8 > 0 , что если функция g т Т е-близка к /, то для любого s g S имеем
\ts(f)-ls{g)\<6.
Пространство L всех функционалов на Т естественно изоморфно Д Xf, где каждое множество X/ совпадает с множеством вещественных fer
чисел. Поэтому в L можно ввести топологию, являющуюся тихоновским произведением топологий в Х/^.
Из теоремы Тихонова о бикомпактности произведения бикомпактов сле
дует
Л е м м а 3.1. Если множество функционалов Is (s^S) удовлетворяет свойству R, то оно относительно бикомпактно в L.
Очевидна
Л е м м а 3.2. Если множество функционалов 1^ (s^S) удовлетворяет свойству R, то его замыкание в только что введенной топологии также удовлетворяет свойству R.
О п р е д е л е н и е 3.2. Функционал h на пространстве Т будем назы
вать линейным, если 1) для любого f^T ^ для любого вещественного числа X верно, что h(ijf) = 'kh{f), 2) для любых / j , f^^T таких, что f, + f,^T, имеем h{f, + f,)=h{h) + hiU).
Обозначим пространство всех линейных функционалов на Т через Г*.
Очевидна
Л е м м а 3.3. Как подмножество пространства L, Т* замкнуто.
Для любого / > 0 определим функционал tf^L следующей формулой:
tt(f) = ^T'fdii^t+u (3.1) очевидно, что //(/) —линейный функционал.
Определим теперь в Т* два подмножества Т1 и Т1 следующим обра
зом: 1) ItTl, если существуют такие / г > 0 и с / > 0 ( l < t < m ) , что
т
I = 2 aU., 2) I^TI, если/^Т^, и, кроме того, /(f^) = 1, где /^ —функция, фигурирующая в лемме 2.13. Через Та обозначим замыкание Т^.
Л е м м а 3.4. Множество Т^ обладает свойством R.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим % = h/U (/о). Обозначим, через AdT^^
множество, элементами которого являются U (как и прежде, / > 0 ) . Из лемм 2.9 и 2.13 следует, что А обладает свойством R. С другой стороны, легко видеть, что Т\ является выпуклой оболочкой множества А. Но легко проверить, что выпуклая оболочка множества, обладающего свойством R, сама обладает свойством R. Поэтому Т\ обладает свойством R. Но тогда из леммы 3.2 следует, что Та также обладает свойством R. Лемма до
казана.
70 Г. А. Маргулис
Поток {Т^} естественно индуцирует на Г* группу преобразований {Т^}, а именно, если l^T'' я f^T, то T4(f) ^l{T^f). Очевидно, что Т1 инвари
антно относительно Т^ при любом t > 0 . Поэтому, если ^ > 0 , то преобра
зование Tt, которое ; 6 Т* переводит в f I == ТЧ/ТЧЦо), отображает Т1 в себя (это следует из непрерывности преобразования Т , которая очевидна).
Л е м м а 3.5. Существуют такой линейный функционал 1^Т\и такая конс/панта d^z+i > 1, что при любом вещественном t
fn = dy+j. (3.2) Д о к а з а т е л ь с т в о . Из лемм 3.1, 3.3 и 3.4 следует, что Т* является
локально выпуклым линейным топологическим пространством, а Та—его бикомпактным выпуклым подмножеством. Поэтому, в силу теоремы Тихо- нова о неподвижной точке (см. [3]), существует такой /(^Та, что Т1 = 1 при любом / > 0. Отсюда следует, что существует такая положительная константа d^z+i, что ТЧ = df^i^il при / > 0 . Но тогда легко видеть, что ТЧ = й^^1^гТя при / < 0 .
Докажем теперь, что d ^ z + i ^ l . Действительно, пусть /(^Т—неотри
цательная и ненулевая функция. Тогда из леммы 1.3 следует, что для лю
бых неотрицательных /^ и t^
т%л!) = илт'1)>ье^%лп. (3.3)
Цв (3.3) и ТОГО, ЧТО / принадлежит замыканию выпуклой оболочки множе
ства, элементами которого являются U, следует, что
тЩ^Ье^Щ, (3.4) если / > 0 . Но из (3.4) сразу видно, что d ^ ^ + i ^ l - Лемма доказана.
Л е м м а 3.6. Если f^, f2,^T г-эквивалентны при каком-то е, то
Ш) =Т(/,).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала лемму в случае, когда Д и f2 неотрицательны. Тогда из лемм 2.10 и 2.12 следует, что
rm[tt{h)/lt{h)] = l. (3.5) Из (3.5) вытекает, что для любого а > - 0 найдется такое Т ( а ) ^ 0 , что
если / > Т ( а ) , то
\lt{fi)-lt{h)\<alt{h). (3.6)
т
Пусть теперь / = V ^t^^r ^Д^ ^ i > 0 и / ^ > 0 при любом i. Тогда, если / ^ Т ( а ) , то, используя (3.6), имеем 1=1
т
\ тч (д) - тч т<2'^\ ^'^*i (h) - ^'''г ^f^) I =
m m I m ^
= 2 CiIIh^t(/,) - / . , + . ( / 2 ) K « 2 1 U,vt(/.) = «7^42 hih) = «7^^/(/.)-
/ • = 1 / = 1 \ / - - 1 / V i = l
В итоге получаем, что если ^^Т{а), то
\ri{U)~ri{f,)\<:ari{f,). (3.7) Так как функционал I является элементом множества Т1, а поэтому при-
т
ближается суммами вида ^ ^i^t^y то из (3.7), переходя к пределу, полу- чаем, что если t^T{a), то
Из (3.8) вытекает, что
| Г Т ( / 0 - Г ' Т ( / , ) ! < аГТ(/,). (3.8)
\miriif,)/T'l(f,)] = l. (3.9)
t-^oo
Но, С другой стороны, из (3.2) следует, что
Urn Ц ^ ^ lim f ^ = - 4 Д ^ . (3.10) Из (3.9) и (3.10) вытекает утверждение леммы в разбираемом случае, когда
/i>o и и>о.
Пусть теперь/i и /з—любые 8-эквивалентные функции из Г. Тогда ясно, что / t и /2 , а также /i и Д попарно е-эквивалентны (f^ ==\J-LIlL ^ f- ^ Ш—L j . Но тогда, как только что мы доказали, l{f'^) = Щ^) и Т(/7)>=Т(/0. Поэтому Г ( / 1 ) ^ Г ( Д ^ ) + Т ( Д ) ^ Г ( / : ) + Г ( / ; ) - ! ( / , ) , что и требовалось доказать.
О п р е д е л е н и е 3.3. Будем говорить, что функционал /(^L удовлет
воряет свойству R, если семейство функционалов, состоящее из одного функционала /, удовлетворяет свойству R.
Из леммы 3.4 и того, что Г^ Га, следует
Л е м м а 3.7. Функционал I удовлетворяет свойству R.
Пусть теперь U—некоторое ©^"^'^-oTKpbiTqe и ©^"^'"-компактное множе
ство. Обозначим через С (U) пространство всех функций, принадлежащих Т и обращающихся в нуль вне U, и введем на нем норму ||/|| == supf{u).
^ _ иеи _ Л е м м а 3.8. Для любого U ограничение 1и функционала I на C{U) является линейным непрерывным функционалом.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Линейность функционала I очевидна. Непрерыв
ность же следует из леммы 2.7 и того, что / удовлетворяет свойству R
(а точнее, свойству R.3). __
Обозначим через и замыкание множества [/, а через С ([/) пространство непрерывных функций яа U с обычной нормой. Из теоремы Хана — Банаха, теоремы Рйсса об общем виде линейного функционала на С (X), где X — бикомпакт, и того, что C{U)CZC (f/), следует, что на U существует такая счетно-аддитивная мера yk/, определенная на сг-алгебре, порожденной пере
сечениями ©^"^ ^-открытых множеств с (У, что для любой функции f^C{U)
k r{f)^^fdiiu. (3.11)
72 Г. А. Маргулис
Мера \1и выбирается, конечно, неоднозначно. Разность двух возможных мер сосредоточена на границе U\U..
Пусть теперь U^ я и^ — лвз. ©^"^^-открытых и ©^"^^-компактных множе
ства и UiCZU^. Тогда ясно, что. существует,такая неубывающая последо
вательность неотрицательных функций Д, . . . , /«, . . . , что 1) Д- C1C{U^ при любых /, 2) последовательность Д- поточечно сходится к X((/i) (X((/i)—ха
рактеристическая функция множества U-^. Из счетной аддитивности меры
\1и^ и формулы (3.11) вытекает, что
V^u.iU^ = TuAt (U,)) = lini7(/,). (3.12)
i=oo
Из (3.12) следует
Л е м м а 3.9. Если UQ — произвольное ^В^^^-открытое и (В^^^-компакт- ное множество, то существует такое число yi IJ^I{UQ), что для любого
В)''^^-открытого и @ -компактного множества U, содержащего UQ, и любой счетно-аддитивной меры \iu, удовлетворяющей (3.11), имеем
f^^(t/o)=?@m(t/o)- (3.13) Пусть 21^/-|-1 — совокупность всех подмножеств многообразия W"', явля
ющихся одновременно ©^"^^-открытыми и ©^"^^-компактными. Через 2(^^'^^), где ^^'^^ — слой слоения @'^\ обозначим множество, элементами которого являются подмножества, целиком лежащие в слое ^^^^ и в то же время являющиеся элементами множества 2^/+1. Тогда из формулы (3.12), лемм 3.5, 3.6 и 3.9 и того, что I удовлетворяет свойству R.2, следует
Т е о р е м а 1 *). На 2^/+i существует вещественная функция jnw+i такая, что
1) для любого i^^^ ограничение \i^ij^i на Z {^^'^^) продолжается до счет
но-аддитивной меры на ^^"^\ определенной на а-алгебре, порожденной под
множествами из 2(^^'^^);
2) существует такая константа d ij^i'^ 1, что для любого t/fS^z+i и любого t
iig,+,(T't/) = 4 ' + i ? © ' + i ( ^ ) ; (3.14) 3) если UcZ^^i+i ^ непусто, то
o < i I g , + i ( ^ ) < < ^ ; (3.15) 4) если Ui, U2^.Ii^i+i ^-эквивалентны, то
ilg,+l(t/x)=ll@;+l(^2)- (3.16) З а м е ч а н и е 3. Нетрудно видеть, что утверждение теоремы 1 оста
нется верным, если вместо слоения @^"^^ взять слоение ©^+\ Только в этом случае d^^+i будет не больше, а меньше единицы. Впоследствии мы покажем, что d^tj^i- d^k-\-i= 1- Через 2^/, 2^^, 2^^4-i обозначим множества, которые
*) Теорема 1 почти эквивалентна теореме 5, анонсированной в заметке [4].
определяются аналогично множеству S^^+i- Очевидно, что если f / f S ^ r {U б 2^;^), то для любых таких /i и t^^, что /^ < 4» имеем
Легко доказать следующее утверждение.
Л е м м а 3.10. Существуют такие положительные константы г^ и t^^
что если f / e 2 ^ / (2^;^) и, кроме того, UCZU^i{w, г^) {UdU^ki^, г^)) для некоторого w g W"', то для любых ti и t^, удовлетворяющих неравенству О ^ ^1 <С 4 ^ ^0' имеем
T^OT^'U =^0. (3.17>
Пусть и б 2^г (2^^), а также U с t/^/ (г:^, г^) {U е f/^fe (^, /-Q)) для неко
торого w(^W"'. Тогда положим
^ t{U) = ^ 1+,{ и т^(/) (^i^((;)^il^,+i( и T'u)). (зл8>.
Из определения констант Гд и /^ нетрудно вывести, что для любого w^W функция Ti^iiU) (^^k{U)) индуцирует на U^(w, г^ {U^(w, ф счетно-аддитивную меру. Заметим теперь, что, как следует из (3.18), если два множества U^i{w^, г^) и U^t{w^, г^ {и^к{Щу г^) и U^k{w.^.r^)) пересека
ются, то меры, которые получаются при ограничении мер с каждого из них на их пересечение, совпадают. Поэтому ясно, что на каждом слое ^^ {wy (й^ (ш)) функцию \i^i (|ig^) можно продолжить до счетно-аддитивной меры, определенной на ст-алгебре, порожденной всеми множествами из 2^/ {^ыг).
Из формулы (3.18), теоремы 1 и замечания 3 следует, что для любого^
непустого и б 2^/ (2^^) и любого /
i^i{tU)=d^i^,^^i{Uy (3.19)
iI^,.(T^[/)=4^+ifI^,((;), (3.20).
Q<\%i{U)<oo ( 0 < > ^ , ( / 7 ) < с х . ) . (3.21).
Используя классические методы меры и равенство (3.14), нетрудно доказать следующую лемму.
Л е м м а 3.11. Если U g 2^г (2^^) ^> кроме того, U С V^i (ш, г^*
(U CZU^k{w, г^^)), то для любых t^ и t^, удовлетворяющих неравенству О ^ ^1 <С ^2 ^ ^0 (''о ^ ^0 — константы из леммы 3.10), имеем
о
fI^.+,( и T^=^^f^—^^,{U), (3.23>
&
о
74 Г. А. Маргулис
Следующее определение аналогично определению 2.1.
О п р е д е л е н и е 3.4. Два множества М^ и М^, принадлежащие слое
нию @^ (©^), будем называть г-эквивалентными, если существует такое непрерывное отображение M^xl -^ W"', что 1) для каждого m^Mi мно
жество / ( т , /) принадлежит ©^"^^ (@^"^^) и является гладкой кривой, длина которой меньше е, 2) h{fn, 0) = т, /i(m, 1)6^2 и отображение М^—>М2, при котором m^Mi переходит в h{ni, 1), является гомеоморфизмом.
Л е м м а 3.12. Для любого б>>0 найдется такое 8 > 0 , что если мно- жестза М^ и М^, принадлежащие слоению @^ (© ), г-эквивалентны, то
(3.24)
(3.25) Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко доказать, что существует такое е^^О, что если два ®^ (©^измеримых множества Mi и Mg 81-эквивалентны, то ikfi можно разбить на ©^ (@^)-йзмерймые подмножества Mi, а Mg — на Мз , причем при любом i 1) существуют точки wi и ^2, ДЛЯ которых M i d ef/e/(2:^b /-о) (^^iCf/@fe (^1, Го)), М^е^©^ {wl Го) (M^ci/(3^ (2:^2, г^)), где г^ — кон
станта из леммы 3.10; 2) Мз и М^ 81-эквйвалентны. С другой стороны, легко видеть, что для любого 8>>0 найдется такое 82>0, что если два множества, принадлежащие слоению ©^ (8^), 82-эквивалентны и Mi d U^i {w^, r^)
<Mi d U^k (^b ^o))> ^ 2 С ^ g / (^2, ^0) (^2 CZ U^k (^'2, ^0)) Д'^я некоторых Wi,w^^ W"', To 1) множество U 7 Mi содержит множество, 82-эквивалентное
множеству и Т'Ма, 2) множество U Т^М^ содержит множество,
^2-эквивалентное U T^Mi. Из сказанного, леммы 3.11 и пункта 4) теоре- мы 1 следует утверждение леммы.
Из леммы 3.12 легко следует
Л е м м а 3.13. Для любого г > 0 найдется такое a ^ l , что если мно
жества Ml и Мз, принадлежащие слоению г-эквивалентны, то - < - < а .
— < < а.
(3.26)
(3.27)
§ 4. Построение специальной меры на многообразии Пусть г я I
и свойства потока {Т^} с этой мерой
соответственно k- к I + 1 -мерные открытые единич
ные кубы, Я1 — естественная проекция гх1 -Л/ , Яд — естественная про скция I^I^-^'%I^^\
О п р е д е л е н и е 4.1. Будем говорить, что открытое подмножество U многообразия W"' обладает свойством А, если существует такой гомеомор
физм и-^Йх1^^^, что 1) для любого XQ(:I^ множество g~^ixQ,f^^) при
надлежит слоению ©^'^\ 2) для любого у^ (^ /^^^ множество g~~^ (/^, у^) принадлежит слоению &.
Легко видеть, что для каждой точки t£)G IF'^найдется окрестность/7(ш), обладающая свойством А. Пусть U—открытое подмножество многообразия W^, целиком лежащее в U{w). Зададим на /^~^^ функцию fu следующим образом: если i^I^'^^, то
fuii) = \^Qk{g-\n-'(i)^U)), (4.1) тде g — гомеоморфизм U (w) Л- /^ X /^'^\ фигурирующий в определении
свойства А.
Далее, если V d /^'^\ 1^1^ и множество g"^ (я7^ {V) П ^Г^ (0)
^©^"^^измеримо, то положим
lit(V) = ^^t+,{§-'(щ'(V) n яГ(/))). (4.2) Из пункта 4) теоремы 1 следует, что существует такое число fx' {V),
^то при любом / б /^
\x'{V)^lxi{V). (4.3) Нетрудно понять, что ji' является счетно-аддитивной мерой, определен
ной на (Т-алгебре, порожденной открытыми подмножествами куба /^"^\
Л е м м а 4.1. Функция fu{i) полунепрерывна сверху.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть /^ — некоторая точка из /^"^^. Тогда из счетной аддитивности меры |л^;^ на ^~~^(^ГЧ^о)) следует, что для любого
^18 > О найдется такая окрестность U^ точки i^ в /^"^^ что если iQ.U\ то У'с^к [^"' (^Г' (^1 (^Г ^) П ^)) П s~' (^'о))]
— ^ ^ > 1 — 8 . (4.4)
^ig^ {Г^ (^7' (^'о) П ^))
Из (4.4) и леммы 3.12 следует утверждение доказываемой леммы.
Так как всякая ограниченная полунепрерывная сверху функция интег-
|рируема по любой счетно-аддитивной мере, определенной на а-алгебре, поро- хжденной открытыми множествами, то \fu{i)dii' существует, и можно положить
^{U)^i^fu{i)dii\ (4.5) Из формулы (4.5) легко следует что мера [i допускает продолжение до
'Счетно-аддитивной меры, определенной на сг-алгебре, порожденной открытыми подмножествами окрестности U (w). Далее, нетрудно доказать, что если U принадлежит пересечению двух окрестностей U {w-,) и U (w^), то значение }i(f/) не зависит от того, подмножеством какой из этих двух окрестностей мы будем считать U. Поэтому ji допускает продолжение до счетно-аддитив
ной меры, определенной на сг-алгебре, порожденной открытыми подмножест- :вами многообразия W"', причем р. (W^) <^ ос .
З а м е ч а н и е 4. Если слоение ©^"^^ заменить на слоение © '^\ а ©^ — ша @, то аналогично тому, как строилась мера [х, можно построить меру [г.
7 6 Г. А. Маргулис
При ЭТОМ имеет место формула, аналогичная формуле (4.5). Нетрудно дока-^
зать, что меры [л и \х совпадают.
Л е м м а 4.2. Мера \х инвариантна относительно потока {Т^}.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из пункта 2 теоремы 1, равенств (3.20) и (4.5):
легко вытекает, что для любого открытого множества U czW^
^{T'U) = dy^,dy^,^{U), (4.6>
Применим (4.6) к U=W"'. Тогда из того, что yi{^"')<^oo, следует
^@Г+1 • ^@/е+1 == 1- ( 4 . 7 )
Из (4.6) вытекает утверждение леммы.
Используя лемму 3.13 нетрудно доказать такую лемму.
Л е м м а 4.3. Для любого r^Q и любого ^^ {&)-измеримого {относи
тельно II I (ii^k)) множества М верно, что множество Мг^ [j U^^^i (w, г}
^ ^ _ тем ^-^
(Mr = и и i^i{w, г)) измеримо относительно меры [х и тем ^
iI(M,)<a(r)iIgHM) {^.{Mr)<air)^^kiM)), (4.8>
где а (г) — некоторая константа, зависящая также от г. — Т е о р е м а 2. Слоения @^+^^ @^+\ В^ и & метрически транзитивны
относительно меры |i, т. е. для любого измеримого {относительно |i) мно
жества и, являющегося объединением некоторой совокупности слоев одного из перечисленных еыиле слоений, либо \x{U) = О, либо \i{U)= \x{W^).
Теорема 2 доказывается аналогично известной теореме о метрической транзитивности слоений ©^"^^ ©^"^\ ©^ и ©^ относительно лебеговской меры (см. [1]), только при доказательстве надо использовать леммы 4.2 и 4.3^
равенства (3.14), (3.19), (3.20) и (4.5) и замечания 3 и 4.
Аналогично тому, как доказывается теорема о том, что {Т } является /С-потоком относительно лебеговской меры (см. [6]), при помощи теоремы 2^
а также равенств (3.19) и (3.20) доказывается
Т е о р е м а 3. Поток {Т^} с мерой \i является К-потоком.
Из известных результатов о /(-потоках (см. [5]) и теоремы 3 вытекает С л е д с т в и е . Поток {Т*} с мерой \к обладает перемеилиеанаем всех:
степеней.
Москов'ский Росу1дар1стве1Нный Поступила в редащию^^
университет 2'2 'сентября '1969 г..
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А н о с о ; в Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях:
отрицательной кривизны, Труды Матем. ин-та им. В. А. Стекло'ва 90 (.1967).
2. Ал о со в Д. В. и С и н а й Я. Г., Некоторые гладкие эргодические -системы, УМН XXII, вы1П. 5 (1967), 107—(172.
3. Х и л л е и Фили/П'С Р., Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ, 1962, 4. ,М а р г у л и с Г. А., О некоторых применениях эргодической теории к изучению мно
гообразий отрицательной кривизны, Функц. анализ 3^ вып. 4 (1969), 89—90.
•5. Р о х л и н В. А., Лекции по энтрооийной теории 'Преобразований с инвариантной мерой, УМН ХХИ, ;вы>п. 5 (il967), 3—56.
6. С и п а й Я. Г., Классические динамичеокие системы со счетно-кратным лебеговскиш спектром. П, Изв. АН OGCP, серия IM а тем. 30 (1966), 15—68.
.7. С и н а й Я. Г., Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы, Функц. анализ 2, вы/п. I (1968), 64—89.
