, Ма- тем. заметки , 1985, том 38, выпуск 2, 201–

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. А. Шмелев, Совместные приближения некоторых чисел, связанных с показатель- ной функцией, элементами поля Q

₁

, Ма- тем. заметки , 1985, том 38, выпуск 2, 201–

207

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 10:33:00

(2)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

т. 38, № 2 (1985)

СОВМЕСТНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ, СВЯЗАННЫХ

С ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ, ЭЛЕМЕНТАМИ ПОЛЯ Qx

А. А. Шмелев

В 1948—1949 гг. А. О. Гельфонд [1, 2] разработал ана

литический метод в теории трансцендентных чисел, поз

воляющий доказывать наличие двух алгебраически не

зависимых чисел среди совокупности нескольких чисел, связанных с показательной функцией.

В [3, 4] приведена модификация метода А. О. Гель- фонда, с помощью которой получены результаты о сов

местных приближениях значений показательной функции рациональными дробями от одного трансцендентного па

раметра.

В этой работе осуществляется дальнейшее развитие идей [3, 4].

Пусть С, Q, А — соответственно поле комплексных, рациональных и всех алгебраических чисел, 0 ЕЕ С — фиксированное трансцендентное число, Qx = Q (0), Jx = Z [0].

Для т] <= /1 7

Л = BmQm + B^Q™-* + . . . + 5 x 0 + 50, Вт ф 0, Bt^Z (0 < i < m) положим

п (ц) = т , Н (ц) = max | Bt |, V (ц) = П (Г\) + In Н (Т]) + 1.

физико-математической литературы.

«Математические заметки», 1985

(3)

Если х = Z?! / i?2, Rt e / i , i = 1, 2,

# i = Bi,m$ l + • . • + B{t х0 + #i,o> Д , m^ =7^= 0, то будем считать, что ffj и i?2 не имеют общих делителей из /^{1 э} и положим

i ; » = i; (/?!) + v (R2).

ТЕОРЕМА. Пусть т (d — *> > ( w + d) (1 + + 2(5 — l)/w), числа Pi, . . ., Pd ЕЕ С, так же как и

zii . . . , zmG C , линейно независимы над Q и я/ш #сб#

#1, - • -, «dt 2/b • • ., J m ^ Z , S = |^i | + . . . + | Xd | > 0, 2/ ~ I 2/i I + • • • + I ут I ^> 0 справедливы неравенства

I SiPi + . . . + zdpd | > exp (—c±x), (1)

| 2/i^i + . . . + y^mz^m I > exp (—c²y), (2) где cx > 0, c2 ^> 0 — постоянные, не зависящие от х, у.

Пусть Pi = jxixi, . . . , pZl = fxxtyj fy1+1 = [x2X/1+i, - • •, P/, =

= [X2XZ2, . . . , P/ s_1 + 1 = (X8X/e_1+i, . . . , pd = P;s = | V ^ s ' Si = xi

(i = 1, . . . , d), 6fcd+i = « M (/ = 1, . . . , d\ k = 1,. Л , т).

Если rii, . . ., Ti(r»+i)d e Qi," W = max {v (r]i), . . .

• • •> ^(v+i)d)}» mo неравенство

2 £ Г 16, - Щ \ < exp {- W^ In W>, (3)

e = {m (d - 5) - ( 1 + 2 (5 - l)/m) (m + d)}/2 (m + *), К = m (d — s) — & (m + s) — (s — l)/m (m + d),

у = d2 (m + s)/K, y1 = 2 + d(m + s)IK,\

имеет лишь конечное число решений в г\^ъ . . ., T](^m4-i)d«

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что теорема неверна, т. е. неравенство (3) имеет решение при сколь угодно больших W. Пусть N = [WVe], N± = _ [Nd(m+8)/Kintf{m+8)/KN]4 р _ произвольное целое число из IN, iVj, Xt > 0 (i = 1, 2, . . .) — постоянные, не за

висящие от N, Nx, P. Обозначим

т тм г тм т тм

i=(h,...j

m

), Ц

= 0

и = П

/ 1 = 0

. . . П .

202

(4)

Если ф (ti, . . ., ts) — аналитическая функция s комплекс

ных переменных, то обозначим

фг19 ... , rg (h, • • • > ts) =

>" Ч " ' • ' , * > 0 , , > 0 .

д№ . . . dt s 1 48

Рассмотрим функции Fp(h,. . . ,ts) =

= SLo.

^{(d) C}

*'

p 6XP { № +

' * *

^{+ kM h +}

'"

• . • + (VA-i+i + ' ' • + W'•>• CK P e C (4) Пусть

Фр - (Z) = Фр, rif ... , re (2) = (ХГ1 • • • j C ^ P , ru ... , r, (2, . . . , 2),

^ > 0, n e Z, 1 < i < s, г = (rx, . . ., r8),

^P f (PJ) — числа, полученные из Фр f (pj), pj =

= \zx + . . . + lmzm, 0 < h < [Pd/™ In H 1 < i < m, 0 < rx + . . . + rs < [p(m+d)/(m+S)]? заменой 6* числом v}i (1 <; i < (m + 1) d). Из (З) следует, что

| Ф Р f ( P i ) - ^p 7( pj) | < e x p ( - X1Pdl n ^ ) m a x | CF p| . (5) ЛЕММА 1. Существуют C^-^EE J г, не имеющие общего делителя из /1 ? такие, что

max i; (C^ -) < X2P(™^)/(™+*W (6) и; имеет место оценка

| Фр- (Р ;. ) | < eXp ( - ( V 2 ) Pdl n2P ) ,

Pi = lizi +... + Lzm, 0 < k < [X,P(^)/(««)], (7)

1 < I < m , 0 < П + . . . + rs < #0 f p = [P(m+dV(m+S)].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

T|t = 5к/Гк, fc = 1, . . ., (m + l ) d , Sk, TkEE / i , о.н.д. (5», Tk) = 1

(о.н.д. — общий наибольший делитель многочленов).

203

(5)

Положим

Т = T-L . . . 7(m+l)<b

ФР>7(р,) = 2'л'.Ул7(р,), (8)

М0 = max {i?„,p,P S™ tlt}.

ЕСЛИ 0 < Zf < [P(d-s)/(m+s)]t 1 ^ j ^ m ? 0 < rt + • • •

• • • + rs ^ R0t p, то имеет место представление

p

ФР, f (Pi) = 2*=o (d) CF, P H P (Pi)' причем

max i7 ( 5 ^ p (Pj)) < x4P(m+d)/(m+s)PF.

Согласно [5, лемма 2] существуют С^ р ЕЕ / I , в совокуп

ности отличные от нуля, такие, что

<PP|f(Pi) = Of 0 < / , < [ Я5^ -5 ) / ( 7 П +^ ] , (9) 1 < i < m, 0 < гх + . . . + rs < R0t p,

и справедлива оценка

max i; (С- р) < 3UP(m+dmm+s)W. (10) Если многочлены С^ p^J1 имеют общий делитель DP ЕЕ / i ,

то, разделив на него все С^ р, получим Z)^ p e / i , не имею

щие общего делителя из Ju такие, что

max v ( Z \^р) < ^P^^d)Km+s)W

и выполнены соотношения (9). Полагая Я2 = 9Я4, Я3 = Я5

и пользуясь неравенствами (5) и (10), получаем утвержде

ние леммы 1.

ЛЕММА 2. Имеет место оценка

max | ЧГр- (Pi) | > exp (-l6Pd ln*'*P), (11) Pj = hZx + • • . + £wzm>

0 < ; l- < L p == rp(d-s)/(m + s)+(5-l)(w + d)/m(m + s) ]nl/(4m) Ш

1 < i < m, 0 < r± + . . . + rs < i?1 ) P = [R0tP/2].

Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что оценка (11) не имеет места, т. е. при lu rk, удовлетворяющих

204

(6)

условиям леммы 2,

max | Wp- (pj) | < exp ( - hPd In^P). (12) Из (5), (10) и (12) следует, что функция

/Р (z) = FP (z, . . ., z) удовлетворяет условиям

| fP (ZA + . . . + lmzm) | < exp ( - ( W 2 ) Pd lns/2P), (13) 0 < lt < Lls p, 1 < i < ra, 0 < к < i?lf P.

Повторяя рассуждения, приведенные в [4] при выводе оценки (15), получим, что

| /Р (*) | < exp (-X1Pdln1/^P In In Р), (14)

\z\< !P^d~^x и, согласно лемме 2 [4],

max \C^p\< exp ((-А,7/2)РЛ1п1М,Р In In P),

что ввиду оценки (6) и взаимной простоты совокупности многочленов С}- р ЕЕ /х противоречит [3, лемма 2].

Оценим, пользуясь (5), (6) и (7), абсолютные величины чисел

Ур,г Ы > PJ = Z1Z1 + ' • • + lmZm: 0 < Z ^ < L1 ) P, l < i <

< m, 0 < rx + . . . + r8< ДХ,Р. Рассмотрим функции Фр - (z) п р и гь . . ., rs, удовлетворяю

щих (И). Если п ;> 0, п е Z, то

*S?

^f

w-rt-....C'(^- + ... + ^

^r

) " .

•Fp,ru ...,rs(Zl, . . o Ze) |Z l = =. . .= = 2 e = = z =

• г P, ri+ni, ..., rg+ns \Z, , , .) Z).

Из (7) следует, что при п <; i?0 ) P — [i?0,p/2], p7- =

= / ^ + . . . + lmzm, 0 < Zj < L0 j P, 1 < i < га

I Ф ^ (Pi) I < exp ( - ( V 3 ) Pd In2 P). (15) Повторяя рассуждения, приведенные в [4] при выводе

205

(7)

оценки (15), получим

| Фр f (z) | < e x p ( - ^ ™ ( ^ > / ( ^ H ( m + d ) / ( m+ S) jn p^

\z\< p(d-5)/(w + s)+(s"1)(m + d)/m(m + s) ln2/(3m)p

Из (16) следует, что

I ФР, r (Pi) I < e xP ( - XsPm(d-smm+s)Hm+d)/(m+s) In P) (17) при p7-, удовлетворяющих условиям (И). Из (17) и (5) получим

| Yp- (Pj) | < e x p ( - ( У 2) pm(d-s)/(m+s)Hrn+d)Km+S) ^ p^ ^щ

Перейдем к величинам фр - (pj), определенным соотноше

нием (8) при 1г, . . ., 1т, гг, . . ., rs, удовлетворяющих (И).

Для фр - (pj) имеют место оценки

I ФР - (Pi) \1< ехр ( - ( V3) Pm^d-s^m+s)^m+d)^m+s) In Р), (19) v(v _(p.))<^A, P( 1 + ( s _ 1 ) / m ) ( m + d ) / ( m + s )^ln l / ( 4 w )^-

По лемме 6 [2, с. 183] существует Uр - (pj) ЕЕ Ji — дели

тель фр - (pj), являющийся степенью неприводимого над Q многочлена от 0, такой, что

| и (р ) | < exp ( - (X8/4)Pm(d-5)/(mfs)+(w+d)/(m+s) In Р), (20) V (Upj(Pj)) < 2k9P{lHS'1)/m)(m+d)Km+S)W lnl/(4m) p.

Если при каком-либо Р среди С/р - (р7) имеются степени двух различных неприводимых многочленов, то по [2, с. 184, лемма 5] оценки (20) противоречивы. Аналогичная ситуация имеет место, если числа Uр - (pjt i) и Up+1 - (pj, 2) являются степенями различных неприводимых много

членов. Следовательно, при всех Р величины Uр - (р;) являются степенями одного и того же неприводимого многочлена (N^ Р <; Nx). Пусть U (0) — неприводимый многочлен из Ju степенями которого являются много

члены (20). При Р = Nx получим, что

| U (0) | < exp ( - K10 Ndln*-W™)N). (21)

206

(8)

Так как ф^ - (р;-) делятся на U (9) и

v (ФN,-r (Pi)) < X9iV(1+(s'1)/m)(m+d)/(m+s)+£ lni/(^> ЛГ, то

I Tw.7 (Pi) I < е хР ( ~ ( W 2 ) ^Vd ln«-i/<«»W). (22) Перейдем к числам YN - (ру) = Г""м»ф№ - (р,). Так как

| 6*/2 | < | St/Tt | < | Збг/2 |,

Su Tt ЕЕ / i , взаимно просты, то по [2, с. 184, лемма 5]

min ( | 5 „ \Т, |) > ехр (-16ЛГ*) и поэтому

\Т~М° | < exp ( 1 6 W ( т + 1) iV(1+(s-1)/mKm+d)/(mfs)+28 •

•lnV(4m)iV). (23)

Из (22) и (23) следует

I 4N, r Ы I < е хР ( - M3)Nd ln'-i/ttmw). (24) При N, большем некоторого фиксированного N0l не

равенства (24) и (11) при Р = N противоречивы.

ВНИИ Советского Законодательства Поступило

МЮ СССР 15.07.83 СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Г е л ь ф о н д А. О. Об алгебраической независимости транс

цендентных чисел некоторых классов.— Успехи мат. наук, 1949, т. 4, вып. 5, с. 14—18.

[2] Г е л ь ф о н д А. О. Трансцендентные и алгебраические чис

ла.— М.: Гостехиздат, 1952.

[3] Ш м е л е в А. А. Совместные приближения экспонент много

членами от заданного трансцендентного числа.— Укр. мат.

журн., 1975, т. 27, № 4, с. 5 5 5 - 5 6 3 .

[4] Ш м е л е в А. А. Совместные приближения экспонент эле

ментами поля Qx.— Математические заметки,^ 1981, т. 30, вып. 1, с. 3—12.

[5] Ш м е л е в А. А. К вопросу об алгебраической независимости экспонент.— Математические заметки, 1975, т. 17, вып. 3, с. 4 0 7 - 4 1 8 .