(1)Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. В. Любимов, Оценка вероятности захвата в резонанс при движении дина- мически несимметричного твердого тела в атмосфере, Вестн. Сам. гос. техн.

ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2007, выпуск 2(15), 110–115 DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu538

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 22:37:51

УДК 629.136 В. В. Любимов

ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ЗАХВАТА В РЕЗОНАНС ПРИ ДВИЖЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТВ¨EРДОГО ТЕЛА В АТМОСФЕРЕ

Производится оценка вероятности захвата в длительный резонансный режим при движении в атмосфере твёрдого тела с аэродинамической и инерционной асимметриями. Полученные выражения позволяют най- ти величины асимметрий в двух противоположных случаях: при реализации гарантированного захвата в резонанс и при вероятности захвата равной нулю.

При движении твёрдого тела с малой асимметрией в атмосфере возможна реализация дли- тельных резонансов. При этом, наблюдается совпадение характерных частот системы и проис- ходит увеличение угла атаки до 90^◦ и более. На практике такие условия полёта космического аппарата являются недопустимыми, так как они приводят к сбоям в работе парашютной систе- мы. Поэтому необходимо оценивать вероятность захвата в резонанс. Известно, что начальные условия движения, приводящие к захвату в резонанс и к проходу через резонанс, в общем случае, перемешаны на сепаратрисе [1], то в подобных случаях возникает необходимость под- счёта вероятности захвата в резонанс. Оценка вероятности захвата в резонанс для различных конфигураций динамически симметричных твёрдых тел (ТТ) производилась в работах [2, 3].

В данной работе рассматривается задача о вычислении вероятности захвата в резонанс при движении динамически несимметричного ТТ на атмосферном участке.

Квазилинейная система уравнений движения динамически несимметричного ТТ в этом случае имеет следующий вид:

dωx

d t =εm^∆ω²_1,2α²

I_x sin(2θ+ 2θ2), (1)

dα

d t =∓εm^∆ω1,2α 2ω_a

£2ωx−ω1,2¤

sin(2θ+ 2θ2)∓εm^A

2ω_acos(θ+θ1)−εωα 2ω²_a

dω

d t, (2)

dθ

d t =ωx−ω1,2±ε m^A

2αω_asin(θ+θ1)±εm^∆ω1,2

2ω_a

£2ωx−ω1,2¤

cos(2θ+ 2θ2), (3)

гдеω_x— угловая скорость тела относительно продольной оси; α— пространственный угол ата- ки;θ=ϕn−^π₂,ϕn— аэродинамический угол крена;ω=q

−¹_Imz1qSL;q— скоростной напор;S иL— характерные площадь и размер тела; m^A, m^∆, θ1, θ2— обобщённые параметры асимметрии;

m^A = q

¡m₁^A¢2

+¡ m₂^A¢2

; m^∆ = q

(Iy z)²+ (∆I)²; m₁^A =− h

m^ф_y0¡

1−¹₂α²¢

+m^ф_y2α²i

ω²

mz1; m₂^A =− h

m^ф_z0¡

1−¹₂α²¢ + +_m^ф

z2α²i

ω²

mz1;cos 2θ2=−_m^∆I∆;sin 2θ2=−_m^{Iy z∆};ωa= q1

4I²_xω²_x+ω²;ω1, 2=^Ix₂^ωx±ωa— частоты «прямой» и «об- ратной» прецессий;ωx−ω1, 2— резонансная расстройка частот;m^ф_y0,m^ф_z0,m^ф_y2,m^ф_z2,mz1— извест- ные коэффициенты разложения аэродинамических характеристик в степенной ряд по углу атаки (первые четыре коэффициента определяют аэродинамическую асимметрию формы те- ла);I=¹₂(I_y+I_z);^∆I=¹₂(I_z−I_y);^∆I=^∆_I^I; I_{y z}=^{Iy z}_I ;I_x=^I_I^x — инерционная (динамическая) асимметрия;

Iy, Iz— осевые моменты инерции относительно поперечных главных осей инерции.

Величину угловой скорости ωx при главном резонансе нетрудно получить из уравнения (3), приравнивая к нулю резонансную расстройкуωx−ω1, 2= 0:

ω^p_x=± ω q

1−Ix

. (4)

Для описания движения в резонансной области уравнения (1)–(3) приводятся к «маятнико- вой» форме. С этой целью вводится замена переменных ωx→ρ=p^∆ε=p¹ε(ωx−ω1, 2) и изменяется масштаб времениτ=p

εt. В результате этих замен получаем

Оценка вероятности захвата в резонанс при движении . . .

dσ

dτ =µE(σ, 0,θ, 0) +µ², (5) dρ

dτ =∆P(σ, 0,θ, 0) +µa+µ², (6)

dθ

dτ=ρ+µΦ₁(σ, 0,θ, 0) +µ², (7)

гдеµ=p

ε,σ= (α,ω),εP=_∂ω^∂∆

x

dωx

d t +^∂_∂ω^∆dω_{d t} ³

∂∆

∂α= 0´ ,E=n

dα dτ,^dω_dτo

. Функции E, P,D также периодичны по фазеθ с периодом 2π.

Уравнения движения (5)–(7) при µ= 0 можно представить в виде d²θ

d t² =a(σ) +c(σ) sin (2θ+ 2θ2) , (8)

где a(σ) = ^∂_∂ω^∆dω_dτ, c(σ) =−_∂ω^∂∆_x^m

∆ω²_1,2α²

Ix . Уравнение (8) описывает движение маятника с постоянным крутящим моментом a(σ).

Под вероятностью захвата будем понимать так называемую вероятность по начальным усло- виям [1]. Определение вероятности захвата в резонанс по начальным условиям движения ос- новывается на использовании величины полной механической энергии, отсчитываемой от се- ператрисы H^˜. Данное определение предусматривает ряд вводных замечаний. В пространстве переменных (θ,ρ,σ) выделяется точка, для которой H^˜ = ˜H(θ0,ρ0,σ0)>0 (θ0, ρ0, σ0— начальные значения переменных). Пусть R— её малая δ-окрестность. В R выделим подмножество ^∆R то- чек, которые захватываются в колебательную область.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Вероятностью по начальным условиямназывается вероятность захвата точ- ки M в колебательную область, которая (вероятность) равна (см. [1])

Pr(M) = lim

δ→0lim

µ→0

mes(∆R)

mes(R) , (9)

гдеmes(R)— объём в пространстве(θ,ρ,σ).

Определение вероятности по начальным условиям (9) является формальным. По данному определению нельзя, например, вычислить вероятность захвата в резонанс для конкретных уравнений задачи движения ТТ в атмосфере.

Для оценки вероятности захвата по начальным условиям при движении ТТ в атмосфере могут быть использованы следующие выражения [1]:

Pr = I

C

³

−^d_{d t}^H˜´ d t 2π|a|+¹₂

I

C

³

−^d_{d t}^H˜

´ d t

, если I

C

µ

−dH˜ d t

¶

d t<2π|a|+1 2

I

C

µ

−dH˜ d t

¶ d t;

Pr = 1, если I

C

µ

−dH˜ d t

¶

d tÊ2π|a|+1 2

I

C

µ

−dH˜ d t

¶

d t; (10)

Pr = 0, если I

C

µ

−dH˜ d t

¶ d tÉ0,

где интегралы берутся по сепаратрисеC; ^d_{d t}^H˜ — полная производная энергии «невозмущённого»

маятника (8), вычисленная в силу возмущённых уравнений (5)–(7). Величины, стоящие в чис- лителе и знаменателе первого из выражений (10), имеют тот же смысл, что и соответствующие им члены в соотношении (9).

Предположим, что постоянный крутящий момент в «невозмущённом» уравнении маятни- ка (8) является малым: a(σ) =O(µ). Так как производная интеграла энергий по времени также

мала ^{d H}_dτ =O(µ), то вероятность захвата, согласно первому выражению (10), имеет в этом случае порядок единицы. Таким образом, используя данное допущение можно оценить критические значения параметров асимметрии, при которых вероятность захвата равна единице.

Пусть на фазовом портрете системыθ^˙= ˙θ(θ)имеется кроме области вращения ещё и колеба- тельная (резонансная) область. Ограничимся рассмотрением случая, когда на периоде колеба- ний πрасполагается одна устойчивая точка типа «центр». Фазовый портрет системы разделя- ется на области сепаратрисой. По аналогии с работой [1] будем считать, что фазовая траектория пересекает сепаратрису с ненулевым углом, а доля начальных значений, при которых фазовая траектория «сливается» с сепаратрисой, асимптотически мала.

Первым интегралом уравнения маятника (8) является интеграл энергий:

H=ρ²

2 +Π(σ,θ), (11)

гдеΠ— аналог потенциальной энергии системы (5)–(7) приµ= 0: Π=−

Z

∆P dθ=1

2c(σ) cos 2θ=1

2c(σ)(2 cos²θ−1), θ=θ+θ2.

Вид функции потенциальной энергии определяет фазовый портрет системы (5)–(7) приµ= 0. Данный фазовый портрет содержит на интервале [0,π] два типа особых точек: соответствую- щих минимуму (центр) и максимуму (седло) потенциальной энергии системы, удовлетворяю- щих условиям:

∂Π

∂θ(θ^∗_{0, 1, 2}) = 0, ∂²Π

∂θ²(θ^∗₀)>0, ∂²Π

∂θ²(θ^∗_{1, 2})<0. (12) гдеθ^∗₀ иθ^∗_{1, 2}— особые точки типа центра и седла.

Полученное выражение для потенциальной энергии позволяет вычислить её величину на сепаратрисе. Приθ_∗1иθ_∗2равным0илиπпотенциальная энергия на сепаратрисеΠ_∗(σ,θ_∗1, 2) =^c₂. Найдём полную механическую энергию системы (5)–(7) при µ= 0, отсчитываемую от неустой- чивого положения равновесия при условии малости крутящего моментаa(σ):

H˜=ρ²

2 +Π(σ,θ)−Π_∗(σ,θ_∗1, 2) =ρ²

2 −csin²θ. (13)

Условие равенства нулю функции (13) позволяет найти уравнение сепаратрисы ρC=ρC(θ). ПриH^˜ = 0имеем: ^ρ₂^2C ₋csin²θ= 0. Отсюда находим:

ρ_C^±=±p

2csinθ. (14)

Здесьρ_C⁺ иρ_C⁻— верхняя и нижняя части сепаратрисы.

Для вычисления интеграла ^I

C

³

−^d_{d t}^H˜

´

d t найдём производную полной механической энергии

dH˜

dτ. Продифференцируем функцию H^˜ в силу возмущенных уравнений (5)–(7). Полная произ- водная энергии H^˜ с учётом (6) и (7) будет равна

dH˜

dτ =µaρ+µd c

dτsin²θ∓µcdsin 2θsin(θ+θ₁−θ₂)∓µc

2esin 4θ. (15)

Здесьc=^2m∆ω2α2

Ix(2−Ix),e= ^m∆ω

(2−Ix)(1−Ix)^1/2, d=^{mAω(1−Ix)1/2}

α(2−Ix) , ^{d c}_dτ=_∂α^{∂c dα}_dτ+_∂ω^{∂c dω}_dτ. Интеграл ^I

C

³

−^d_{d t}^H˜

´

d t вычисляется по участкам сепаратрис l1 и l2, показанных на рисунке.

При вычислении интеграла I

C

³

−^d_{d t}^H˜´

d t реализуется замена переменных:

dτ=± dθ p2csinθ,

где знак «+» и «₋» соответствуют интегрированию по участкамl1 иl2, соответственно.

Оценка вероятности захвата в резонанс при движении . . .

Фазовый портрет приa(σ)>0

При интегрировании по участку сепара- трисыl1нижний и верхний пределы интегри- рования соответственно равны 0 и π. В итоге получим:

I

l1

µ

−dH˜ d t

¶

d t=I1(σ) +I2(σ) +I3(σ), (16)

где I1(σ) =−µπa, I2(σ) =p^µ 2c

Z_π

0 d c

dτsinθdθ, I3(σ) =

=_±^µcd_p

2c

Zπ 0

2 cosθsin(θ+θ₁+θ₂)dθ±^µ

pce 2p

2

Zπ 0

sin 4θ sinθdθ.

Из выражения (15) следует, что интегра-

лы I2 и I3, так же, как иI1, берутся в элементарных функциях.

Аналогичным образом находим значение данного интеграла на границе областей G2 и G3. Нижний и верхний пределы интегрирования в этом случае соответственно равны πи 0. В ре- зультате выражение для интеграла

I

l2

³

−^d_{d t}^H˜´

d t приобретает следующий вид:

I

l2

µ

−dH˜ d t

¶

d t=I4(σ) +I5(σ) +I6(σ), (17)

гдеI4(σ) =−I1(σ),I5(σ) =I2(σ), I6(σ) =I3(σ). Учитывая (16) и (17), значение интеграла

I

C

³

−^d_{d t}^H˜´

d t, вычисленного по всей сепаратрисе, примет вид

I

C

µ

−dH˜ d t

¶

d t= 2I2+ 2I3. (18)

Рассмотрим движение маятника с положительным малым крутящим моментом a(σ). По соотношениям (10) оценим вероятность захвата в резонанс для этого случая. Случай отрица- тельныхa(σ) рассматривается аналогично.

Пусть крутящий момент a(σ)>0, тогда фаза θ на нерезонансных участках движения воз- растает. Фазовый портрет в этом случае (с учётом того, что a(σ) =O(µ)6= 0 принимает вид пока- занный на рисунке.

Вероятность перехода траектории из области вращенияG2 в колебательную областьG3 (ве- роятность захвата) в этом случае будет равна

Pr(G2→G3) = 2I2+ 2I3

µπa+I2+I3

. (19)

При a(σ)>0 кроме перехода G2→G3 возможен также переход G2→G1 (проход). Вероятность прохода ищется аналогичным образом. Она равна

Pr(G2→G1) =µπa−I2−I3

µπa+I2+I3

. (20)

Окончательно, при малых углах атаки α и положительном постоянным крутящем моменте a(σ)>0для вычисления вероятности захвата (10) получаем соотношения

Pr = 2I2+ 2I3

πa+I2+I3

, если I2+I3<π|a|;

Pr = 1, если I₂+I₃Êπ|a|; (21)

Pr = 0, если 2I2+ 2I3É0, где I2+I3=± ^2π

p1−Ix

pIx(2−Ix)^3/2ω²p

m^∆m^Acos(θ1−θ2) + ^4α

dω d t

pm^∆

pIx

p2−Ix

³

1−₍₂²⁽¹_−I^−Ix)

x)^3/2

´, a =∓²⁽¹₂⁻₋^I_I^x)1/2

x

dω

d t. Отметим, что I2+I3 выражено через углы: sin 2θ2=_m^∆I∆,cos 2θ2=−_m^{Iy z∆}.

Проанализируем соотношение для определения вероятности (21), полученное для малых углов атаки. Вероятность захвата в этом случае, как и для динамически симметричного ТТ, максимальна тогда, когда производная ^dω_{d t} минимальна. Из выражения (21) также следует, что величина вероятности захвата приcos(θ1−θ2)≈ −1увеличивается с ростом параметров асиммет- рии^pm^∆,m^A. При малых углахαвлияние второго слагаемого в выраженииI2+I3 на величину вероятности захвата Prне существенно по сравнению с влиянием первого члена, поэтому при анализе (21) в этом случае можно ограничиться рассмотрением лишь первого слагаемого. Из соотношения (21) также следует, что максимум вероятности захвата по параметру θ1−θ2 на- блюдается, в частности, приθ1−θ2=πв случае малых начальных значений продольной угловой скорости ω_x(0) =O(µ)>0 и малых углов атаки. При асимметрии вида θ₁−θ₂=^π₂ или θ₁−θ₂=^3π₂ первое слагаемое в I2+I3 равно нулю и вероятность захвата определяется величиной второ- го. В этом случае вероятность захвата, вычисляемая по (21), будет расти с увеличением угла атакиαи обобщённого параметра асимметрии ^pm^∆.

Остановимся подробнее на двух противоположных случаях: случае прохода через резонанс (Pr = 0) и случае гарантированного захвата в резонанс (Pr = 1).

Величину асимметрии, при которой вероятность захвата равна нулю, также можно найти из необходимого условия существования внутренне устойчивого резонансаP(σ,θ) = 0. В резуль- тате получаем уравнение для определения предельных значенийm^∆, при которых появляется сепаратриса (см. рис.):

|a| b =

2Ix

³ 1−Ix

´3/2

2−3Ix

¯

¯

¯

dω d t

¯

¯

¯

ω²m^∆α²= 1. (22)

Для оценки величины параметра асимметрииm^∆ необходимо учесть переменные α, ω, ^dω_{d t} вы- численные на сепаратрисе в виде [2]:

α=α₀

à I²_xω²_x0 4ω²+I²_xω²_x0

!^1/4

, ω²=ω²_x0(1−I_x), при ^dω d t =εωλ˜

2 , λ˜=1 q

d q

d t. (23)

Индекс «0» у переменных обозначает их начальные значения. При оценке критических зна- чений параметров асимметрии предлагается учитывать также максимальную величину ам- плитуды угла атаки α, вычисленную при проходе через резонанс ^∆αmax, которая определяет максимальное отклонение амплитуды относительно её нерезонансного значения.

В итоге величина параметра асимметрии m^∆ при вероятности захвата, равной нулю, опре- деляется следующим образом:

m^∆= 2−3Ix

Ix

³ 1−Ix

´3/2

α²_maxω

λ˜ . (24)

Здесьα_max=α+∆α_max, гдеαвычисляется согласно (23).

ЕслиPr = 1, то происходит гарантированный захват в резонанс и тогда согласно (21) с учётом приближённого равенства ωx≈ω^r_x получаем условие гарантированного захвата:

2π q

1−Ix

2−Ix

¯

¯

¯

¯ dω

d t

¯

¯

¯

¯É ± 2π q

1−Ix

q

Ix(2−Ix)^3/2 ω²p

m^∆m^Acos(θ₁−θ₂) + 4α^dω_{d t}p m^∆ q

Ix

q 2−Ix

Ã

1− 2(1−I_x) (2−Ix)^3/2

!

. (25)

В условии (25) α,ω, ^dω_{d t} вычисляются по (23).

В случае, если влияние параметра m^Acos (θ₁−θ₂) существенно больше влияния, которое оказывает изменение скоростного напора q на величину ^dω_{d t}, то условие (25) принимает вид

m^∆³ m^A´2

cos²(θ₁−θ₂)Ê Ix

³ 2−Ix

´

ω²_x0

µdω d t

¶2

.

Итак, вероятность попадания траектории в резонансную область определяется величиной параметра^pm^∆m^Acos (θ1−θ2), что следует из (21).

Оценка вероятности захвата в резонанс при движении . . .

Таким образом, для движения динамически несимметричного твердого тела в атмосфере получена оценка вероятности захвата в резонанс и определены параметры асимметрии, при- водящие к гарантированному захвата и захвату с нулевой вероятностью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Нейштадт, А. И. Прохождение через сепаратрису в резонансной задаче с медленно изменяющимся парамет- ром [Текст] / А. И. Нейштадт // Прикладная математика и механика. — 1975. — Т. 39, № 4. — С. 621–633.

2. Бобылев, А. В.Оценка условий захвата в режим резонансного вращения неуправляемого тела при спуске в атмо- сферу [Текст] / А. В. Бобылев, В. А. Ярошевский // Космические исследования. — 1999. — Т. 37, № 5. — С. 515–

523

3. Белоконов, В. М.Оценка вероятности захвата в резонансный режим движения космического аппарата при спус- ке в атмосферу [Текст] / В. М. Белоконов, М. Ю. Заболотнов // Космические исследования. — 2002. — Т. 40,

№ 5. — С. 1–12.

Самарский государственный аэрокосмический университет им. ак. С. П. Королева, г. Самара

vlubimov@mail.ru

Поступила 13.02.2006