М. Г. Крейн, О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости, УМН , 1948, том 3, выпуск 3(25), 166–169

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. Г. Крейн, О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости, УМН , 1948, том 3, выпуск 3(25), 166–169

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 10:24:08

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ. СВЯЗАННЫХ С КРУГОМ ИДЕЙ ЛЯПУНОВА В ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

М. Г. К р е п н

Д л я построения общей теории устойчивости механических систем с бесконечным числом степеней свободы необходимо ввести в рассмотре­

ние—вместо обычных систем дифференциальных уравнений—-дифферен­

циальные уравнения в общем пространстве Б а н а х а .

В дальнейшем Е обозначает некоторое комплексное банахово про­

странство, S[t(rj > 0) — гипершар |[х ;; < р этого пространства, ffi — норми­

рованное (обычным образом) кольцо всех линейных непрерывных опера­

торов, отображающих Е в свою часть.

Мы будем рассматривать уравнения вида

% = F(x,t), (*) где F (х, t)~- некоторый оператор со значениями из Е, определённый

и непрерывный на топологическом произведении S^?xT (Г —положитель­

ная полуось: 1> 0).

Условимся говорить, что уравнение (*) обладает свойством L (v, N) ( Лг> ( ) . v^O), если всякое решение x = x(t) уравнения (*) удовлетво- ]>яот не равенству

! > ( 0 ! : KNe-^^-^y; x{t⁰)^

каковы бы ни были значения t > t0, принадлежащие интервалу сущест­

вования решения x = x(t).

Нас будет интересовать тот случай, когда F (x, t) имеет вид F(x, t) = A(t)x + R(x, t),

где A (t) ( 0 < t < оо) — некоторая непрерывная оператор-функция со зна­

чениями из 9t, a R(x, t) удовлетворяет неравенству

\\R{x, t)\,<q^x\- ( ж б 5?, t>0). (lq) Имеют место теоремы

Т е о р е м а 1. Если уравнение первого приближения

%-A(t)x (!) обладает свойством L(v,N), то полное уравнение (*) при выполнении

условия (lq) будет обладать свойством L(v^lf Л^г), где v^l = v — Nq.

О Н Е К О Т О Р Ы Х В О П Р О С А Х Т Е О Р И И У С Т О Й Ч И В О С Т И 167 Т е о р е м а 2. Для того чтобы уравнение (!) с непрерывной ограни­

ченной оператор-функцией A(t) обладало при некоторых N, у > 0 свойст­

вом L (у, N), необходимо и достаточно, чтобы всякой ограниченной непре­

рывной вектор-функции f (t) ( 0 < £ < о о ) со значениями из Е отвечало ограниченное решение x = x(t) (0 < t < <x>) дифференциальной системы

[*jL-A(t)x = f(t),

{ s ( 0 ) = 0.

Непрерывную оператор-функцию A(t) ( ( ) < £ < со) со значениями из Ш. будем называть компактной, если множество всех её значений компактно в 9ft. Еслл пространство Е конечномерно, то компактность оператор-функции A (t) эквивалентна её ограниченности.

Оператор С 6 91 будем называть («-предельным, для оператор-функ­

ции A(t) ( 0 < . £ < о с ) , если найдётся последовательность tn—> оо т а к а я , что в смысле сходимости в ffi

C = limA(tⁿ).

n->co

Наконец, оператор-функцию A(t) ( 0 < £ < o o ) назовём стационарной па бесконечности, если для любого сколь угодно малого г > 0 и сколь угодно большого L > 0 найдётся такое Т, что

lA(s) — A{t)\\ < s при s,t>T, \s—t\<L.

Таковой будет, например, всякая оператор-функция A(t), которая при достаточно больших t дифференцируема и при этом

dt * ^П1^Ш * ""^ °° *

Оператор-функция, для которой существует предел A^m = limA(t),

очевидно, компактна и стационарна на бесконечности, а Д ^ — её един*

•ственный («-предельный оператор.

Т е о р е м а 3. Пусть A(t) (О < t < ос) — компактная оператор-функ­

ция, стационарная на бесконечности. Тогда, для того чтобы уравнение (!) обладало свойством L (у, N) при некоторых TV, у > 0, необходимо и доста­

точно, чтобы при некотором а > 0 спектры всех ^-предельных операто­

ров для A(t) содержались* бы в полуплоскости R e / , < — a.

Напомним, что под спектром оператора С понимают множество всех тех л, для которых оператор С -— У J не имеет обратного элемента в кольце 91.

Р> частности, если уравнение (!) стационарно, т. е. A(t)=~C ( 0 < £ < оо), то она будет обладать свойством L(y, N) при некоторых N, у > 0 в том и только в том случае, когда весь спектр оператора С лежит внутри левой полуплоскости. Сочетание этого факта с теоремой 1 -.приводит к признаку устойчивости решения # = 0 уравнения

%- = Cx + R(x,t), (!!)

являющегося непосредственным обобщением классического к р и т е р и я , установленного Ляпуновым для случая конечномерного Е.

Предположим теперь, что ос!аточный член R {х, t) при х—>0 есть бесконечно-малая выше первого порядка, т. е. что за счёт уменьшения г>

величина q в условии (±q) может быть сделана сколь угодно малой.

Повидимому, в этом случае в обобщение известного критерия неустойчивости Ляпунова [1] можно утверждать, что, если хоть одна точка спектра оператора С лежит внутри правой полуплоскости, реше­

ние х = 0 уравнения (!!) неустойчиво, т. е. найдётся такое г⁰ > 0, что д л я любого о > 0 будет существовать решение x = x(t) ( £ > 0 ) у р а в н е ­ н и я (!!) такое, что Ц ж ( 0 ) | | < 8 , a sup ||s(J) || > г^{0 х}).

Однако это предложение нам удалось доказать только лишь в пред­

положении существования прямой Re X = а (а > 0), не пересекающей спектра оператора С и по правую сторону от которой находятся точки этого спектра. При доказательстве этого предложения приходится преодоле­

вать ту трудность, что для операторов в бесконечномерных простран­

ствах Бахана отсутствует теория элементарных делителей и, если про­

странство неизоморфно гильбертову, то принципиально невозможно развить аппарат квадратичных форм, аналогичный тому аппарату, кото­

рым пользовался Ляпунов в своих исследованиях.

Возможно, что даже для случая конечномерного пространства Е теорема 1 является новой, хотя она в этом случае очень близка к неко­

торым результатам К. П. Персидского [За, Ь] и И. Г. Малкина [2а].

Теорема 2 для этого случая представляет собой некоторое усовер­

шенствование одной теоремы К. П. Персидского [Зс].

Наконец, для конечномерного Е теорема 3 является следствием некоторых результатов Перрона [4] и И. Г. Малкина [2Ь].

Однако наши методы существенно отличны от методов названных авторов —методов, которые теряют смысл при переходе к бесконечно­

мерным пространствам (как, например, преобразование Перрона уравне­

н и я (!), при котором матрица A (t) принимает треугольный вид; исполь­

зование функций Ляпунова в виде квадратичных форм и др.).

Другой цикл исследований возникает при изучении дифференциаль­

ного уравнения вида

<gL + P(t)x-0, ( + )

где Р (t) ( — оо < t < оо) — непрерывная периодическая оператор-функция со значениями из 9$.

г) Здесь предполагается, что для уравнения (1!) имеет место надлежащая теорема су­

ществования решения х~x(t) с произвольно заданным начальным значением x(t0)=x^

(^вб^р) ^в произвольный момент г⁰ > 0. Такую теорему существования (и единственности) можно будет, например, утверждать для уравнения (•), если, как обычно, предполо­

жить, что его правая часть удовлетворяет условию Липшица в следующем смысле:

любому положительному г < р и Т > 0 отвечает число А (г, Г) такое, что

\\F(x^vt)-F(x²,t)\\^A(r,T)\\x^l-Xtl\ при x^lfx^S^rr 0 < t < Г,

О Н Е К О Т О Р Ы Х В О П Р О С А Х Т Е О Р И И У С Т О Й Ч И В О С Т И 169 Даже для случая конечномерного пространства Е не установлен признак ограниченности всех решений уравнения ( + ), аналогичный известному признаку Ляпунова (см. [1], стр. 213 — 217), д л я с л у ч а я скалярного уравнения (случая одномерного Е).

Если уравнение ( - f ) стационарно; Р(£) = Г, то общее решение урав­

нения ( + ) может быть записало в виде

х - cos j / T tx (0) + ^{s i n}- ^ Д . x' (0) (— со < t < оо), где символически

- ^ - , *2ПГП e in l / Г / ^г-t /2/7 + 1Г77

со. ^ч /г^2 (-1)" w " птт^=2 (-^-(kw-

В этом простейшем случае можно утверждать:

Для того чтобы любое решение уравнения

было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы оператор-функция

sin Yf t , ^ ^ч

J r ( - °

^ ^ <

)

была ограниченной. В гильбертовом пространстве последнее условие экви­

валентно тому, что оператор Г представим в виде V=--S-XHS,

где S — обратимый оператор кольца Ы (S"1 £ Ш), а Н £ ffi ~- равномерно положи тельный оператор.

Поясним, что линейный непрерывный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве Е, называется равномерно-положительным, если ему отвечает положительное т > 0 такое, что

(Нх, х) > т(х, х) (х£Е).

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] А. М. Л я п у н о в , Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, 19:5 г.

|2| И. Г. М а л к и н , а) ДАН, т. XVIII, № 3, 1938 г.

Ь) Сборник научных трудов Казанского авиац. ин-та, № 3, 1935 г., и № 7, 1937 г.

[:>] К. П. П е р с и д с н и й , а) Матем. сб., т. 4 0 : 3 , 1933 г.

b) Изв. Физ.-матем. об-ва при Казанском ун-те, ч. J, т. VIII, сер. 3, 1936 — 1937 гг.

c) ч. II, т. XI, сер. 3, J938 г.

[41 О. P e r r o n , Math. ZtSchr., Bd. 34, H. 3, 1930г., и Bd. 32, Н. 5, 1930 г.