В. А. Елеев, Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений, Дифференц. урав- нения, 1979, том 15, номер 1, 41–53

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Елеев, Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений, Дифференц. урав- нения, 1979, том 15, номер 1, 41–53

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 06:41:06

Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

Я Н В А Р Ь 1 9 7 9 г., Т О М X V , № 1

УДК 517.946

В. А. Е Л Е Е В

О Б О Б Щ Е Н Н А Я ЗАДАЧА Т Р И К О М И Д Л Я СМЕШАННЫХ Г И П Е Р Б О Л О - П А Р А Б О Л И Ч Е С К И Х У Р А В Н Е Н И И

В настоящей работе рассматривается обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений, когда линия из­

менения типа может быть как характеристической, так и нехарактери­

стической.

§ 1. СЛУЧАЙ, КОГДА ЛИНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА ЯВЛЯЕТСЯ НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ Рассмотрим уравнение

Lu=u^yy—k{y)u^xx+a(x^f y)u^x+b(x^} у)и^у+с(х, y)u=f(x, у), ( 1 ) где k(y) > 0 при у < 0 , k(y) = 0 при у^О.

Пусть Q — конечная односвязная область, ограниченная кусочно- гладкой замкнутой кривой Г = Го11Г1иГ2, где кривые Ть i = 0, 1, 2, опре­

деляются следующим образом: а) кривая То=АА⁰[)ВВ⁰[)АоВо, где А4о, ВВо, A0BQ — отрезки прямых х=0, х=1, * / = 1 соответственно и лежат в полуплоскости у>0\ б) Ti : y=—\i{x)—монотонная кривая, выхо­

дящая из точки ( 1 , 0 ) и расположенная внутри характеристического треугольника ABC, и имеющая единственную общую точку Ci(l, i/i)„

O ^ / ^ l , t / i < 0 , с характеристикой АС уравнения (1), выходящей из точки (0, 0 ) ; в) Гг — характеристика АС\\ fii и Q2 — параболическая и гиперболическая части области й.

Относительно коэффициентов предполагается, что k, b£C(Q), а, с&

GC4(Q).

З а д а ч а 1. В области Q найти решение и(х, у) уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям

" ! г „^чл л = ° > "1г⁴ = 0, (2) или

иу\г.\АА0шв0=°> " 1Г в\ л л0швв . = °> " l rt = 0. (3) Обозначим через W(B,) множество функций из класса C(Q)f|C2(Q)Q

(]W\(Q)(]Wi2(dQ), где ^ | (Й) — пространство Соболева, для которых Lu£L²(Q) и соблюдены краевые условия У = 2 , 3.

Имеет место следующая

Т е о р е м а 1. Если а(х, у)>0 У{х,у)Ш{, хп^0, y\—kx\^$

У{х,у)£Г1, то для всех и(х, y)eW(Bj) имеет место оценка

^ C | | L w | |⁺, где хп и уп — направляющие косинусы внешней нормали

4 2 В . А. Е Л Е Е В

л=(*п, Уп) к границе области Q, а || - Ц++, || • \\+ — некоторые позитив­

ные нормы, С — не зависящая от и положительная постоянная.

Справедливость этой теоремы доказывается по схеме, предложенной в [ 1 , 2 ] .

Из этого утверждения, в частности, следуют единственность сильно­

го решения задачи 1 и существование слабого решения сопряженной задачи.

Рассмотрим теперь уравнение

Q=== ( \х\™и^уу—и^хх, х < 0 , т > 0 ,

I ихх+а(х, y)uy+b(x, у)и, х > 0 , ( )

в односвязной области Q, ограниченной кусочно-гладкой замкнутой ли­

нией Y = Y O U Y I I I Y & где линии уь i=0, 1, 2, определяются следующим

образом: а) уо=АВ[)ВВ⁰[)АоВо, где АВ, BB^0j А⁰В⁰ — отрезки прямых у=0, .х=1, у=\ соответственно и лежат в полуплоскости х > 0 ; б) ли­

ния Y I вначале совпадает с куском AF характеристики АС уравнения ( 4 ) , а затем отходит от нее внутрь характеристического треугольника АСА0

и имеет единственную общую точку Н(хь I), X i < 0 , O ^ Z ^ l , с харак­

теристикой А⁰С уравнения ( 4 ) , выходящей из точки (0, 1); в) линия у² совпадает с куском А0Н характеристики Л0С; Q4 и как и прежде, па­

раболическая и гиперболическая части области й.

Обозначим через £ ( 0 , h) точку отрезка ЛЛ0, 0 < ^ < 1 . В характеристических координатах

2 m+2 2 m+2

уравнение (4) в Q² примет вид

щц+ (иъ—Щ\)=0> m = 2 ( m + 2) p . (5)

Пусть | = JLI(T}) —уравнение линии yi в характеристических коорди­

натах g, т). Область Q² преобразуется в Л с границей 6 = 6oU6iU:62Ufia, где б⁰ : 1 = 0, 0 < r ] ^ / i < l ; б± : ё=[л(г]), h^v\<^\, причем ц , ( А ) = 0 ,

\x(l)<Ch; предполагается также, что дуга 6i достаточно гладкая и d £ / d r ] > 0 на всем протяжении; б2 : т ) = 1 , р , ( 1 ) ^ £ ^ 1 ; 6з • ^ = 5 -

З а д а ч а 2. Найти функцию и(х, у) из класса С (Q) удовле­

творяющую уравнению (4) в области Q, хфО, и краевым условиям

и \уо\ввоил0в0 = (*). " 17 о Члвил0л0 = * i (»)• 0 < л:, у < 1, (6)

и|бо=фо(г))> "|б|=ф!(т1)» (⁷)

причем функция иу{0, у)=г'(у) при #-+0 может обращаться в беско­

нечность порядка меньше единицы;

фо(*), я М у ) б С ( 0 < * , у < 1 ) , Ф о( л) б С³( 0 ^ т ) < / 1 ) , ^Ф1( л) б

б С3( Л ^ г ] ^ 1 ) , фо(0) =фо(0) =4>i(0) = 0 , q)u(A)=q)i(A). (8) Чтобы найти функциональное соотношение между г (у) и v ( # ) , при­

носимое из гиперболической части Q2 области Й, найдем сначала, как и в [ 3 ] , выражение для значений и(х, у) на дуге характеристики х\=К 0 < £ < Л . Для этого запишем формулу Дарбу, дающую решение задачи Коши для уравнения (5) с начальными данными и(0, у) = т( у ) ,

• ^ =v(y) в виДе [ 4 ]:

О Б О Б Щ Е Н Н А Я З А Д А Ч А Т Р И К О М И 43

1 m + 2

и(х,у)= -Ш^- | т [</+ — ( - * ) . » (2t-\) }[t(\-t)]^dt+

+ 1 % ^ Г I v [ ( - * ) Г (2t-D ] [t{l-t)]-*dt. (9)

m + 2

Полагая в (9) h—y= — j j r - (—*) 2 , затем делая замену t>=y+

+ (h—y) {2t— 1), получим

h

и (А- У) =

4Ш-[

²

(

^{/ 1}

-^3

^{1 _ 2 Р}

I

(£-2у+А)Р-»(Л—£)P-*d£—

1 \P) 2y-h 4 ^{3 h}

- Tvu7ltl J v ( C ) ( C - 2 j , + / i ) - P ( A - E ) - W C . (10)

1 V1 Р/ 2y-h

Переходя в (10) к характеристическим координатам | , т] и обозначая значение а(х, у) при TJ==/I через получим

где

£⁰= Г (2р) / Г²( Р ) , ki=2-U(™+W ( 2 - 2 Р ) / Г² (1 - Р ) . Приравнивая (9) на характеристике б⁰ ксро(г)), имеем

v(t)dt о

где

7/

У

&2= й3( 4 / ( т + 2 ) )2е , &3= Г2( р ) sinnp/3tT(2p).

Легко показать, что функция 6 (у) ограничена, причем с учетом (8) имеем

Ъ'{у)=уЩ,{у), в"(у)=у^-Щ²(у), в'"(у)=у^-Щ³(у), (14) где 6 i ( y ) , 6 2 ( у ) , 0з(у)—непрерывные и ограниченные функции в окрестности у=0 [ 5 ] .

Подставляя теперь (12) в (11)., после несложных преобразований получим

г

• (E) = * 2 J v( 0 ( Е- О- ^ Л- О^ Л + А о С Л - Е ) " ^ - о

X J 9( 0 ( ^ — ( 1 5 )

Положим теперь, что решение и{х, у) продолжено за пределы нашей области А до отрезка А < т ) < 1 характеристики 1=0 и принимает значе-

44 В. А. ЕЛЕЕВ

ние %(т)). Пользуясь известной формулой Римана, выразим значение искомого решения сро(т|) на дуге 6i через г|)(£) и Получим

Я * ( Ч ) = # ( | 1 , -п; A ) ^ ( | i ) + / ? ( | i , т|; 0, ч ) и( т | ) —r j ; О, А)*(0) —

d/?(|*. TI; Г , Л)_ +

_ j [ « ц ь ^ у э . _

^Р

« о - у

V ) ] „ ^{( l l W} , ^{(1 6>}

где

Я( Е , т к Г , л') =

= ( V — Г )

²

^ ^ — | ) - ^ ( т ] — Г ) ~ ^ [ Р , р, 1; ( Г - Ш л ' - ч ) / ( л - П ( л ' - 6 ) ]

— функция Римана уравнения (5).

Уравнение (16) представляет собой интегральное уравнение Воль- терра второго рода для определения функции х(г}). Его можно записать в виде

х (^Ч) = \ & { % 4 0 * ( 4 W = / M 4 ) , (17) л

где

f.(

⁴

) = ( ^ ) V w - ( ^ - ) % ( . ) + ( ^ - f х

На основании сделанных предположений относительно данных и свойств функции Римана R, можем обратить интегральное уравнение

(17) в виде

к (т,) = F . (т,) +

J

Г (ч, л') F . (т,') Aj'. (1⁸>

h

где резольвента Г (л, г/) и ее производные непрерывны и ограничены по обеим переменным г\, г\\

Выражая в уравнении (18) F*(T]) через о|)(5)> а я|)(|) — через v ( | ) по формуле (15), получим

и

X( T , ) = F * ( T⁾) +

J

^Q(ri,

Ov(0^t

^{( 1 9 )}

О

%

^{( я ) =}

( ^ ,

^{) +}

( А

^Г

, ( , м

^;

х . ^ )

⁺

^ f r ( , . ^ [ ( ^ ) V w .

⁺

( A y V ( M . . - .

О Б О Б Щ Е Н Н А Я З А Д А Ч А Т Р И К О М И 45

X

4=i)W

⁺

^t

¹

^{( J ! = U . Y}

^,

^f

^W

^{t n} . r № - r )

А — м- /J \ л / ¹

1-23

X

г

1-Р ^Л

(t-nf-'ih-tf-'x

X в(0Л + Ао [ г( Л , Л') |Л — | * ^{1 — 2 0} \ [ t - v W f ' ^ h - t f - 1 X ft ^{И Л ' )}

•xewdftft|' + *,Jr(

⁴

, ^{V ) [}

^V

^~

^{f i ( T ]}

^'

⁾

] j" A W , Г Р - Г ) ' -

^{2 р}

x

л о h

X j (* - rf"1 (A - О^'б (t) dtdt'dx\\ (!

Q (л> 0 = - К (JLzL-X*

^{( | i}

-1)-* (h - tr* +

л /

+ *

²

J - 0 ~

^p

(A - 0

^{_ s ?}

w (л, Г ) df - &

²

\ г (л, л') [и in') - х

X (ft — f)-*dr\' +кг j Г (л, л')

(Г(0

л'

X

Ц ( Г Г )

X ^{( 2 1 )}

— ^ + P — .

n(t)—обратная функция ц( л ) .

Из (20) легко видеть, что функция

/

⁷

*(л)

и ее производные ограни­

чены. В (21) в первом интеграле правой части вместо £' введем новую переменную s : (\i—t)s=%'—t, во втором интеграле — переменную'g:

Л'—M'Ci'). V—1

⁼

{\*-~~ОС. а

в третьем интеграле вместо переменных л' - п е р е м е н н ы е %, s': У

= £ ( 5 " ) ,

S " — ( | * — t ' - t = ( l " - t ) s ' . После этого дифференцирование как по л, так и по f может быть произ­

ведено под знаком интегралов. Тогда для ядра Q (л, t) имеем Q i f t . t) dQfo t) Q2( T I ,

0

dQfo t) _ Q a f o 0

at

( 2 2 )

46 В . А . Е Л Е Е В

И Л И

где

где Qi, Q3 ограничены и непрерывны по обеим переменным ц, t.

Таким образом, связь между %(у), v(y), ф0(л), <PiCn)> ^(rj) дается формулой

+ е д dy J P-*(y-t)» •

x ^ = ^{k 2} l ^ = $ T + y l - " - J y - j ^M ^ t)v(t)dt+P(y), (23)

P<u\-k^tA-t> ^d Г f 4*Wt f F*(t)dt 1 • P{y)-W '-dy-[\ ц-Щу-t)* +l t ^ { y - W \ '

M ( y , t ) = k^s] -^Q^ ^t)d ^ .

Аналогично, как в [ 5 ] , легко показать, что функция Р(у) ограничена и равна нулю при у=0. Для ядра М(у, t) с учетом (22) имеем

М (у, t) = [у-т ]*-**Mi (y^f t), ^{t ]} =

= AMft t) dM(y,t) M³(y,t)

[y-ii(t)]^ • dt [y-v(t)]** ' где Mi(y, t)9 M2(y, t), M3(y, t) непрерывны и ограничены.

Учитывая (24), из (23) окончательно получим, что соотношение меж­

ду %(у) и v ( y ) , приносимое из гиперболической части Q2 на линию # = 0 , имеет вид

Т(У ) _ * , ( ^ Й * + , - > ? ' У + > М . Р 5 )

о w 7 о

Решая в параболической части Qi области Q первую краевую задачу для уравнения (4) при а(х, r / ) = — 1 , получим соотношение между х(у) и v(y) на линии # = 0 в виде [6]

v<u\ =l t~a* f т ' ( ^ " ~3 / 2 \ Hy,t)x'(t)dt

V K y ) 2 J (4,-0 ^ 2 J ( г / - * )1'2

+ $<box(t;0,y)r(t)dt+P(y), (26)

0

где функции k(y, t), <3)ox(t; 0, г/), P(y) непрерывны по переменным y,t[6\.

Исключая v(y) из (25) и (26), после несложных преобразований по­

лучим интегральное уравнение Вольтерра первого рода у №)

\Жъ(у,

*К(0*+ J

Xi(y, t)x'(t)dt=q(y), (27)

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИКОМИ 47 где

Хо(у, t)£C(0^y, t^l), Xi(y, / ) б С ( 0 ^ у ^ 1 , O ^ ^ j x Q / ) ) ,

Х о ( 0 , 0 ) ^ 0 , Хо(у,у)фО, Xi(0,t)=09 Xi(y,\i{y))=Q и первые производные при y = t и \i(y)=t функций Ж⁰ и Ж\ соответ­

ственно могут обращаться в бесконечность порядка не выше 2 0 + 1 / 2 , a q(y)bC(0^y^i)f]Cⁱ(i)<.y^:l) и q' при у-+0 может обращаться в бесконечность порядка не выше 20.

И з свойств функций Жо(у, t), Xt(y, t) и q(y) заключаем, что урав­

нение ( 2 7 ) сводится к интегральному уравнению вида

у ViV)

Хо(У, У)*'(У) + J Х*у(У> t)x'(t)dt = q'(y)+ | X^iv(y. t)x'(t)dt. (28) о о Пусть Г* {у, t) — резольвента ядра Хоу(у, t) оператора Вольтерра в левой части уравнения (28).

После обращения интегрального уравнения Вольтерра уравнение (28) примет вид

У

r'{y)+]Q*{y,t)T'(t)dt=g{y), (29)

О

где

п*(и t)-= Ж 1 у { У' ^{t ]} 1

f

^Г

*

^{( У > t i ) X i u{ t} h t ) d t i (30)

Поскольку резольвента Г* (у, t) в квадрате О^у, ведет себя так же, как ядро Хо^у(у, t), то в силу (31) правая часть уравнения (29) обладает теми же свойствами, что и q'(y). Далее, из (30) очевидно, что Q*(y, t)GC(Q^y,

Таким образом, задача 2 эквивалентно редуцировалась к интеграль­

ному уравнению Вольтерра второго рода (29), которое безусловно и однозначно разрешимо в классе С(0, 1].

§ 2. СЛУЧАЙ, КОГДА ЛИНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ТИПА ЯВЛЯЕТСЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ Рассмотрим уравнение

0=Lu=

{ J ^ m ^ L ^ %

^{< 0}

,

^{m ^ O . {32)}

Пусть Q — конечная односвязная область плоскости хОу, ограничен­

ная кусочно-гладкой замкнутой линией a = a o l M l f e где линии оь t = 0 , 1, 2, определяются следующим образом: а) OO=AAO\JBBO\JAQBQ9 где АА0, ВВ0 и АоВо — отрезки прямых х=0, х=\ и у=\ соответственно и ле­

жат в полуплоскости у>0; б) at — монотонная кривая y=—yil(x)y

0^x^.1, расположенная внутри характеристического треугольника АСВ, jut(0) = 0 , /+(х(/) = 1; 3xdy—2ydx^0 на ai; в) a2 — характери­

стика CiB:

m + 2

m + 2

(-у) ² = 1 , Z ^ x ^ l ,

4 8 В . А. ЕЛЕЕВ

уравнения (32); Qi и Q2 — параболическая и гиперболическая части Q.

З а д а ч а 3. Найти функцию и(х, у) со следующими свойствами:

1) и(х, (/)6C(Q)f|C1(Q); 2) и{х, у) является решением уравнения (32) при у¥=0; 3) и удовлетворяет краевым условиям

и\ААо=Ч>о(у), tt|^Mo=<pi(#), ti\^ai=yp(x), (33) ф о Ы , q H ( | / ) 6 C ( 0 < y < l ) , i | ) ( x ) 6 C³( 0 < x ^ / ) ,

Ф о ( 0 ) =^{ф 1}( 0 ) = ^ ( 0 ) = 0 . (34) Доказательство единственности задачи 3 проведем при т = 1 , а су­

ществования — в случае т=0.

Т е о р е м а 2. Решение и(х, у) уравнения (32) в области Q тож­

дественно равно нулю, если

W | A A O U J B B O U < J I = 0 . (35)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а{х, у), $(х, у) и у(х, у)—достаточ­

но гладкие функции. Тогда по формуле Грина

J (аи + fiux + уиу) LudQ = f (axx + ay) u2dQt — j f(2a + + $x — У.у) ul + 2Уи1 + 2 (P + Yx) ы^х«д dQ^t + \ {yaxx + a ^ ) x X u4Q² + f [ ( - 2 J , Yx - 2py) a , ay - {2ay + j,px + ЭТу - у) и* + + ф^х - 2a - y^y) u\\ dQ² + J (2auu^x - axa2 + pu2 + 2yu^xu^y) dy +

+ (auz + y a2) -f- j (a^u2 — 2auuy — 2$uxuy + GiUa²

+ — dx + (2a#aax — ax*/a2 + y$u\ — p^2 + 2yyuxyy) dy.

Принимая во внимание (32), (35) и соотношения u^xdx+u^ydy=0 на

<У!; u^x=xⁿuⁿ, u^y=yⁿuⁿ на ЛЛ011£Во; dx=^—ydy на a2, придем к ра­

венству

О = J" К, + а^у) u4Q^t - j [(2a + рж - у,) + ' 2Y^ + + 2 (р + Т я) и^хи^у] dQ, + j* (</ax3C + a , , ) u4Q² -f f [(-2yy^x - 2py) ujiv - {2ay + Урж - yyv - 7 ) иJ + (P* - 2a - Y„) w2.] dQ2 +

+ j P t # f c + j p ^ d y + j ( a « 2 ^{+ ? U}2^{} d x +} AA^Q BB⁰ A⁰B⁰

10

+ uy)4y+ f (2 K = R + 2ay + ~) иЧх == 2 Ji- { Щ

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИКОМИ 49 Теперь выберем функции а(х, у), ${х, у), у(х} у) таким образом, чтобы все интегралы J р / = 1 , 2, 10, в (36) были неотрицательны.

Для этого достаточно, чтобы выполнялись следующие неравенства:

р(*, у ) ^ 0 на АА0[)ВВ0, а{х, у), у(х, y)^z0 на Л0В0; (37)

ахх+ау^О, ( Р + У х )²^ ~ 2 у ( у^{г /}- р^х- 2 а ) , у < 0 , Yi/—Р*—2а^0 в Q⁴; (38) fidy—ydx^O на ои P + Y Y — F ^ O , 2ах]/—~у + 2 а ^ + а / 2 * / ^ 0

на а²; Р х — 2 а —уу^ 0 , —2ay—fixy-\-(yy)y^0, уахх+ауу^0, (УУх+$у)2^(-2ау-$ху+(уу)у)($х-2а-уу) в Q2. (39) Выбирая в Qi а = 0, Р = 0, y=y—l, а в Q2 a = ao = c o n s t < 0 , р = 6хао, у —4г/ао, легко убедиться, что все неравенства (37) — (39) вы­

полняются.

Таким образом получили, что все интегралы в равенстве (36) неот­

рицательны, а их сумма равна нулю. Следовательно, все интегралы J^р j = l , 2, 10, в отдельности равны нулю. Из равенства / ю = 0 следует, что и(х, у) = 0 на а2. Далее, принимая во внимание, что и{х, у) = 0 на ai, получаем и(х, 0 ) = 0 в £22. Так как решение задачи 3 ищется в классе C(Q), то и(х, 0 ) = 0 , O ^ x ^ l . В силу известного принципа экстремума для параболических уравнений [7] легко показать, что первая краевая задача для уравнения (32) с нулевыми данными на AA0[)BBo\jAB имеет только нулевое решение в Qi. Отсюда следует, что и{х, г / ) = 0 в Q.

Доказательство существования решения задачи 3 будем проводить для случая, когда линия о\ содержит в себе часть характеристики урав­

нения (32).

Пусть m = 0 ; E(h, 0 ) — т о ч к а отрезка АВ\ F(\/2h, —1/2Л) и G ( l / 2 / i + l / 2 , 1/2/1—1/2) —точки пересечения характеристик уравнения (32), выходящих из точки Е, с характеристиками АС и СВ соответствен­

но; Н(\—1, — / ) , 1— Л ^ 2 / ^ 1 , — точка на характеристике ВС.

Соединим точки F и Я линией y =—\i(x), / 1 ^ 2 x ^ 2 ( 1 — / ) , где

\х(х) —однозначная дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Обозначим теперь через oi кривую: у = —х при O^Ux^h, y=—ix(x) п р и / * < 2 х ^ 2 ( 1 — / ) .

Функциональное соотношение между х(х) и v ( x ) , принесенное из параболической части Qi на линию у=0> можно получить как решение двухточечной задачи %" (х) = v ( x ) , т( 0) = т( 1 ) = 0 в виде [8]

X 1

т(*) = J (x—t)v(t)dt+xj (t-l)v(t)dt. (40) о о

Из гиперболической части Q² области Q соотношение между т(л:) и у(х) на линии у=0 имеет вид [4]

т' ( д г ) _^у( * ) = 2 - ^ - т | ) ( - | - ) , O^x^h, (41)

т' (х) _ ^v (х) ⁼-2v[X(x))-fL%(x)+2-£__q[8 (х) ] -

Х ^ ] , / i s C x s C l , 0 < Э Д = б ( х ) - ц [ 6 ( л : ) ] ^ 1 - 2 / ,

d Дифференциальные уравнения № 1

(42)

5 0 В. А. Е Л Е Е В

я = 6 ( | ) , O ^ ^ ^ l , — известная функция, которая однозначно опреде­

ляется из уравнения x-\-\i(x) = | , 0 ^ x ^ : 1 . Из (40) имеем

X 1

%'{х)= J v(t)dt+ J (t—l)v(t)dt. ( 4 3 )

и о

Исключая %'' (х) из ( 4 1 ) , (42) и ( 4 3 ) , получаем

v ( x ) - J (t-l)v(t)dt=F(x), ( 4 4 ) где

X

F(x)= j v(t)dt-2-^^(^-) , 0<x^h,

X

F ( * ) = J v ( < ) * + 2 v [ 4 * ) ] ^ M * ) +

Пусть T(x, t) —резольвента ядра t—l оператора Фредгольма в ле­

вой части уравнения ( 4 4 ) . После обращения интегрального оператора Фредгольма, уравнение (44) примет вид

X

v{x)-jv(t)dt=f(x)+fW, (45) о

где

1 1

f{x)= J V,(x, U)v(h)dU, f-(x) = - 2 J T{x, dt-

i ¹

f(x)=$V0(x, U)v(U)dU+\Vx{x, t)v[l(t)\dt+2v[X(x)]~k(x)r

0 0 1

/* (x) = 2 ~ [* (*) / 2 ) - * ( e W ) l +2 J Г 0 * [ - A r ^ - ] Л ~

1 i

- 2 J r ( * , 0 - ^ - * [ 8 ( 0 1 ^ й < * < 1 , V o ( ^ 0 = J r ( ^ 0 ^ - Обозначив через R(x, t) резольвенту уравнения ( 4 5 ) , обратив его как интегральное уравнение Вольтерра второго рода, получим

1

v(x)— \ж(х, t)v(t)dt=Fi(x), (46) о

Fl(x)=F0(x)=f*(x) + $ R{x, t)f*(t)dt, 0<x^h;

где

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИКОМИ 51

Fⁱ(x)=F⁰(x)+2v[X(x)]k'{x) + J Х*{х, t)v[l(t)]K'(t)dt+

U

X X + j R(x, t)\[X(t)]K'(t)dt, Ж(х, t) = V⁰(x, 0 + j R{x, ti)V⁰(t^b t)dt^b

X

X*(x, t)=T{x, t) + \R(X, h)T(t^h t)dU.

0

С п о м о щ ь ю р е з о л ь в е н т ы T(x, t) у р а в н е н и я ( 4 6 ) , з н а ч е н и е v(x) з а ­ п и с ы в а е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м :

v(x)=F²{x)+

J

^{Л ( х ,}

*НМ0]^'(0^

0 < x < A ; (47)

h 1

v ( x ) = F 2 ( x ) + |л(*, 0 v[ X( / ) ] ^ ( 0 ^ + h

X

+ \R(x, t)v[k(t)p/(t)dt+2v[K(x)]k'{x), h^x<\, (48) h

где

F²(x)=F⁰(x)+ J Г(*, t)F⁰(t)dt,

• • • • ; • l •

A(x, t) =2T(x, t)+M*{x, t)+ J T(x, U)X*(U, t)dU+ ^t h

1

+ J T{x,U)R(U, t)dU,

п р и ч е м и м е е т м е с т о п о л н а я э к в и в а л е н т н о с т ь м е ж д у з а д а ч е й 3 и у р а в н е ­ н и я м и ( 4 7 ) , ( 4 8 ) .

П р е о б р а з о в а н и е м п е р е м е н н о г о

h(t)=l, А < * < 1 , 0 ^ £ < 1 — 2 / , (49) у р а в н е н и е (47) п р и н и м а е т в и д

1-2Z

v ( x ) - J А[х, <*(l)]v(Z)dl = F²(x), 0 < x < A , (50) о

где ф у н к ц и я / = со(?) о д н о з н а ч н о о п р е д е л я е т с я из у р а в н е н и я , ( 4 9 ) . Е с л и О ^ х ^ 1—2/, то у р а в н е н и е (50) я в л я е т с я и н т е г р а л ь н ы м у р а в ­ нением Ф р е д г о л ь м а в т о р о г о р о д а , р а з р е ш и м о с т ь к о т о р о г о н е п о с р е д ­ с т в е н н о с л е д у е т из е д и н с т в е н н о с т и р е ш е н и й з а д а ч и 3 .

П у с т ь Л*(х, 0 , - 0<:-х, ^ I — . 2 / , — р е з о л ь в е н т а у р а в н е н и я (50). Р е ­ ш е н и е этого у р а в н е н и я м о ж н о п р е д с т а в и т ь в в и д е

1-21 -• • .< • г /

v(x)=F²(x)+ J Л * ( х , t)F²(t)dt. ' (51) о • '

П о д с т а в л я я п о л у ч е н н о е в ы р а ж е н и е (51) д л я v(x), 0^x^Z\—2l в ф о р м у л у (50), п о л у ч и м ' '^?; ' ^ ^!"

52 В. А. ЕЛЕЕВ

1-21 1-21

v(x)=F²(x)+

j

[А(х, со(/)) +

j

^А(х,

co(g))A*a,

t)dl\F²{t)dt, (52) 1— 2 / ^ х ^ А .

Заменяя в (51) х на Ц х ) , A ^ j t ^ l , имеем

1-21

v[l(x)]=F²[h(x)] + j А*[Цх), t]F²{t)dt, А < х < 1 . (53) о

Для определения v{x) при A ^ x ^ l l нужно теперь (53) подставить в (48). Имеем

1 - 2 Z

v(x)=F2(x)+2F2[k(x)]X'(x) + J { 2Х'(х)А*[Х(х), /] +

1—2? v ж

+ Л [ х , ©(*)] + J Л[*, o ( g ) ] A * ( g , /)</£+ J* 6) X

О h

х

хл*[М£), }^

^{JR(x, t)F2(t)dt. (54)}

С учетом (51), (52) и (54) окончательно получаем 1-21

v(x)=F**(x) + { G(x, t)Fz(t)dt, где'

F**(x) =

Ft(x), x € ( 0 , h),

X

F2 (x) + 2 F2 [X (X)] X' (x) + [R (X, t) F2 (t) dt, x f (h, 1), h

G(x,t)=A*(x, t), x, №(0, 1 - 2 / ) ;

1 - 2 *

G(JC, f) = A [ * ,

©(*)] + j

^A[*, <»(g)]A*(5, O^S.

0

*G(1—2/, A), / 6 ( 0 , 1—20;

l—2г

G(JC, / ) = 2 ? / ( л : ) Л * [ Э Д , / ] + A [ J K ,

©(/)] + j

Л [ х , < о ( Б ) ] Х - о

XA*(g,

I Ж*, 1)Л*[М£), ^Ф-'Ш4, '«б(А,

^1),

h

/ 6 ( 0 , 1 - 2 / ) .

Таким образом доказано существование решения функционального ур-авнения (46). Отсюда, очевидно, следует существование решения исходной задачи 3.

Имея v (х), можно найти х(х) по любой из формул (40), (41) или (42), затем искомое решение и(х, у) можно найти как решение первой краевой задачи для параболической части области Q и как решение задачи с начальными данными для гиперболической части области Q.

Существование и единственность решения задачи 3, когда в уравне­

нии (32) тфО, 1, можно получить аналогично, как в [ 3 ] .

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИКОМИ 5 3 Литература

1. Нахушев А. М. Дифференц. уравнения, 8, № 1, 1971.

2. Нахушев А. М. Д А Н СССР, 235, № 2, 1977.

3. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М., «Наука», 1973.

4. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М., 1959.

5. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.—Л., Гостехиздат, 1947.

6. Елеев В. А. Дифференц. уравнения, 13, № 1, 1977.

7. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М., 1976.

8. Бжихатлов X. Г., Карасев И. И., Лесковский И. П., Нахушев А. М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик, 1972.

Поступила в редакцию 27 июня 1978 г.

Кабардино-Балкарский государственный университет