Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Е. Н. Долгов, Е. С. Никомаров, Транспортные свойства квазиодномерных систем, обусловленные мягкой фононной модой (аномалией Кона), Физи- ка твердого тела, 1990, том 32, выпуск 1, 133–145
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 17:01:42
1990 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 32, в. 1 1990 SOLID STATE PHYSICS Vol. 32, N 7
УДК 537.312.62
© 19Р0
Т Р А Н С П О Р Т Н Ы Е СВОЙСТВА К В А З И О Д Н О М Е Р Н Ы Х С И С Т Е М ,
О Б У С Л О В Л Е Н Н Ы Е М Я Г К О Й Ф О Н О Н Н О Й МОДОЙ ( А Н О М А Л И Е Й К О Н А )
Е. Н. Долгов, Е. С, Никомаров
Рассмотрены токовые состояния, возникающие в квазиодномерных соединениях с сильной зависимостью амплитуды рассеяния от передачи импульса, обусловленной мягкой модой. П о к а з а н о , что поправка к функции распределения может оказаться знакопеременной. Рассмотрены критическое поведение проводимости и магнитосоп- ротивление.
Н е с м о т р я на значительный интерес, в ы з ы в а е м ы й квазиодномерными соединениями в течение довольно длительного времени, на их кинети
ческие с в о й с т в а все еще не с у щ е с т в у е т единой точки з р е н и я . С и т у а ц и я , конечно, о с л о я ш я е т с я тем, что эти свойства н е л ь з я отделить от термоди
намических с в о й с т в , к о т о р ы е т а к ж е весьма с л о ж н ы и з - з а близости изучае
мых систем к р а з л и ч н ы м ф а з о в ы м переходам ( с т р у к т у р н о м у , или переходу Пайерлса, с в е р х п р о в о д я щ е м у , антиферромагнитному).
В р а б о т е одного и з а в т о р о в I1] была п р е д л о ж е н а интерпретация кине
тических с в о й с т в к в а з и о д н о м е р н ы х соединений в терминах г р у п п носите
лей, п р и о б р е т а ю щ и х под воздействием электрического п о л я существенно разные дрейфовые с к о р о с т и . Необходимым у с л о в и е м о б р а з о в а н и я т а к и х групп я в л я е т с я достаточно с и л ь н а я з а в и с и м о с т ь амплитуды р а с с е я н и я электрона от величины передаваемого и м п у л ь с а , и м е ю щ а я место при н а личии в системе м я г к о й фононной моды, я в л я ю щ е й с я предвестницей с т р у к турного ф а з о в о г о п е р е х о д а . С ф о р м а л ь н о й точки з р е н и я о б р а з о в а н и ю групп носителей отвечает с и л ь н а я з а в и с и м о с т ь функции распределения от р а с с т о я н и я от п о в е р х н о с т и Ф е р м и ( П Ф ) , причем особенности проводи
мости о б у с л о в л е н ы в осповном с л о ж н ы м перераспределением носителей по р а з л и ч н ы м г р у п п а м .
Е с л и исходить из в а р и а ц и о н н о г о принципа [2] , согласно которому в не
равновесном состоянии р е а л и з у е т с я минимум п р о и з в о д с т в а энтропии, то предлагаемая к а р т и н а может быть наглядно объяснена тем, что носители эффективно с т р е м я т с я п о к и н у т ь области наиболее сильного р а с с е я н и я , чтобы у м е н ь ш и т ь п р о и з в о д с т в о энтропии. Д р у г и м и с л о в а м и , т р а н с п о р т н ы е свойства будут о п р е д е л я т ь с я взаимодействием носителей с существенно отличающимися п о д в и ж н о с т я м и .
В р а б о т е f1] не было проведено количественное исследование и з - з а определенных в ы ч и с л и т е л ь н ы х трудностей, к о т о р ы е о т р а ж а ю т с л о ж н о с т ь физической с и т у а ц и и . В данной работе мы приводим р е з у л ь т а т ы т а к о г о исследования с и с п о л ь з о в а н и е м Э В М . Перед тем к а к перейти к ф а к т и ческому и з л о ж е н и ю , уместно с д е л а т ь некоторые з а м е ч а н и я .
В о - п е р в ы х , мы следуем работе [3] во в с е м , что к а с а е т с я у с л о в и й п р и менимости кинетического у р а в н е н и я в к в а з и о д н о м е р н ы х системах. К р о м е т о г о , к а к будет я с н о и з д а л ь н е й ш е г о , многие в ы в о д ы [3] о с т а ю т с я в силе
при умеренной з а в и с и м о с т и амплитуды р а с с е я н и я « н а з а д » .
В о - в т о р ы х , мы пренебрегаем в последующих вычислениях поперечной зависимостью амплитуды рассеяния, что э к в и в а л е н т н о пренебрежению по
перечной дисперсией моды. К а к у ж е упоминалось в I1] , это обстоятель
ство не п р е п я т с т в у е т рассмотрению окрестности с т р у к т у р н о г о фазового перехода и з - з а того, что кинетическая з а д а ч а не сводится к задаче о наи
более смягченных фононах, определяющих термодинамику фазового пе
рехода. Д л я кинетики существенны все фононы, эффективно взаимодей
ствующие с электронами, поэтому введение небольшой (по сравнению с продольной) поперечной дисперсии не изменит существенно н а ш и резуль
таты, но сделает применимыми теории типа Г и н з б у р г а — Л а н д а у [3] , ц0з- воляющие р а с с м а т р и в а т ь окрестность точки перехода. Конечно, воз
можны и ситуации, в которых наиболее существенна поперечная дис
персия.
В разделе 1 будут пзучены различные т о к о в ы е с о с т о я н и я (далее на
зываемые квазиодномернымп токовыми состояниями) на основе вариа
ционного принципа, а в разделе 2 в качестве примера п р о я в л е н и я свойств этих состояний будет рассмотрено магнптосопротпвление т а к и х систем.
К р а т к о полученные р е з у л ь т а т ы можно с у м м и р о в а т ь т а к : п о п р а в к а к функ
ции распределения будет весьма сложной и знакопеременной, поэтому при включении магнитного поля возникнет сильное «смешивание» носите
лей, очевидным о б р а з о м приводящее к б о л ь ш о м у магпитосопротивлению даже при наличии в системе одних л и ш ь о т к р ы т ы х орбит.
Н а м к а ж е т с я в е с ь м а существенным тот ф а к т , что д а ж е в нашей упро
щенной модели р е з у л ь т а т ы сильно о т л и ч а ю т с я от обычного ^-приближе
ния. Количественной мерой этого отличия м о ж е т с л у ж и т ь величина о/оь где ах — проводимость, к о т о р а я п о л у ч и л а с ь бы в р е з у л ь т а т е расчета с од
ной пробной функцией Ф = 1 . Эта величина в с ю д у с у щ е с т в е н н о больше 1, а ее максимальное значение ^ 2 0 . Н е с м о т р я н а у с л о в н о с т ь этой оценки, к о т о р а я не всегда к о р р е л и р у е т с величиной м а г н и т о с о п р о т и в л е н и я , она, возможно, поможет преодолеть определенные трудности, связанные с оценками кинетических коэффициентов в к в а з и о д н о м е р н ы х соедине
ниях. Не о с т а н а в л и в а я с ь н а этом, отошлем ч и т а т е л я к р а б о т е [4] (оценки д л я семейства т р и х а л ь к о г е н и д о в МХ3), а т а к ж е к о б з о р у [б] .
Смягчение определенных фононных мод, я в л я ю щ е е с я общим для од
номерной физики я в л е н и е м , очевидным о б р а з о м у в е л и ч и в а е т амплитуду рассеяния и у м е н ь ш а е т значение проводимости, тогда к а к обнаруженный нами эффект перераспределения носителей у в е л и ч и в а е т проводимость по сравнению с обычным т-приближением. И н а ч е г о в о р я , н а ш и резуль
таты п о к а з ы в а ю т , что уменьшение проводимости при смягчении моды мо
ж е т быть не с л и ш к о м б о л ь ш и м . Поэтому проводимости р е а л ь н ы х (даже родственных) квазиодномерных соединений о т л и ч а ю т с я д о в о л ь н о сильно.
К р о м е того, мы в п р а в е ожидать, что к в а з и о д н о м е р н ы е т о к о в ы е состояния р е а л и з у ю т с я и в соединениях, не п р о я в л я ю щ и х с т р у к т у р н о г о перехода, но обладающих м я г к и м и модами, к а к это п р е д п о л о ж и л и а в т о р ы [в] для интерпретации свойств T a S e3.
Т а к и м образом, н а м п р е д с т а в л я е т с я вполне р а з у м н о й интерпретация кинетических свойств различных к л а с с о в к в а з и о д н о м е р н ы х соединений в терминах специфических квазиодномерных т о к о в ы х состояний, возни
к а ю щ и х в системах с м я г к о й фононной модой. Этому д о л ж н о предшество
в а т ь решение термодинамической з а д а ч и , к о т о р о е определит детали но
вого фононного с п е к т р а , зависимости р а з л и ч н ы х п а р а м е т р о в от магнитного п о л я (для изучения г а л ь в а н о м а г н и т н ы х явлений) и т . д. Очевидно, что т а к о е исследование д а ж е в простых моделях в е с ь м а затруднительно и требует применения Э В М . В с е в ы ш е с к а з а н н о е относится и к низкотемпе
р а т у р н о й ф а з е . Н а н а ш в з г л я д , г л а в н а я т р у д н о с т ь состоит в т о м , что не
в о з м о ж н о п р е д л о ж и т ь прямой эксперимент, к о т о р ы й подтвердил бы иди опроверг п р е д л а г а е м у ю интерпретацию, п о с к о л ь к у , о б р а з н о выражаясь, йа трудности, с в я з а н н ы е с термодинамическим описанием, накладывается еще один «слой» трудностей кинетического о п и с а н и я .
1. П р о в о д и м о с т ь . К в а з и о д н о м е р н ы е т о к о в ы е с о с т о я н и я
К а к у ж е г о в о р и л о с ь , мы будем п о л ь з о в а т ь с я в а р и а ц и о н н ы м принци
пом I2J . В о б о з н а ч е н и я х [2] кинетическое у р а в н е н и е
^ ( - ^ ) Р - ' . „ . ( Ф > ,
ч Ч - ^ Ь » №
запишется в виде
* ( Р ) = ^ Ф ( Р ) . (2) Е с л и в ы б р а т ь б а з и с из пробных функций Ф , , а функцию распределения
искать в виде
•
то в а р и а ц и о н н ы й п р и н ц и п дает систему линейных уравнений д л я коэф
фициентов 7jt.
а величины Ptj, Zt. о п р е д е л я ю т с я следующим о б р а з о м
*ч = 5 W
ф*
( р ) РЬ
(Р). =J X
(Р) Ф , ( Р ) . ( 5 )Проводимость о п р е д е л я е т с я по величинам щ. (в величинах X. надо положить Е==1)
Мы в ы б е р е м б а з и с и з п я т и нечетных по с т о р о н а м П Ф функций:
1, t cos* {npjb), t* cos {npjb). (7) Здесь t — п р о д о л ь н ы й и м п у л ь с , отсчитанный от фиксированного с е
чения з о н ы Б р и л л ю э н а , р± — поперечный и м п у л ь с (мы р а с с м а т р и в а е м двумерные э л е к т р о н ы ) , 2Ъ — поперечный р а з м е р П Ф .
Столь с л о ж н ы й н а б о р функций о т р а ж а е т сложность з а д а ч и , и з п о следующего будет я с н о , что в с е функции в нем существенны. Н а и б о л е е важен с физической точки з р е н и я в о п р о с о выборе эффективной а м п л и туды р а с с е я н и я . Н а п о м н и м , что мы пренебрегаем н е у п р у г о с т ь ю р а с с е я ния, а с т р у к т у р н ы й ф а к т о р моды Г / с о2 ( к ) аппроксимируем п а р а б о л о й Электронный с п е к т р в о з ь м е м в приближении сильной с в я з и : е± (р) =
= ±vFt—7i ( p j , т) (рх)=т\0 cos (npjb). З н а к и « + » обозначают д в е стороны П Ф , а р а с с е я н и е на м я г к о й моде (рассеяние « н а з а д » ) переводит частицы с одной с т о р о н ы н а д р у г у ю . Сделав сдвиг переменной и н т е г р и р о вания по t (что с о о т в е т с т в у е т п е р е х о д у к изоэнергетической п о в е р х н о с т и ) , можно п о л у ч и т ь симметричные по cx=cos {npjb) и c2= c o s [п (р±—
—к±)/Ь] в ы р а ж е н и я . Поэтому п о д ы н т е г р а л ь н о е выражение в и н т е г р а л е , в ы р а ж а ю щ е м п р о и з в о д с т в о энтропии, есть (для простоты о с т а в л е н ы две функции)
vF
Г 7 7 Г Т Т - Х AT ch* I
Ы('+S-N'+^)14(-+Ь)Ч
г V 5 7 ) + I ъ ) J
(8)
Коэффициент А (Т) — интерполяционный п а р а м е т р , описывающий изменение амплитуды р а с с е я н и я с ростом передачи продольного импульса.
В области т е м п е р а т у р ниже дебаевской эта з а в и с и м о с т ь м о ж е т быть очень сильной (экспоненциально п а д а ю щ е й ) , чему отвечает достаточно быстрое убывание А (Т) с понижением т е м п е р а т у р ы . Л о г а р и ф м и ч е с к и й закон д л я амплитуды р а с с е я н и я п о в т о р я е т тот ж е з а к о н для зависимости (к) I1' 3] . В (8) не войдет м а л а я константа электрон-фононного взаимо
действия и з - з а того, что ш2 ~ о > ^л, а поперечной дисперсией пренебре- жено. Однако этот п р о и г р ы ш в проводимости м о ж е т быть компенсирован эффектом перераспределения носителей, к а к о б ъ я с н я л о с ь во Введеаии.
Условие применимости кинетического у р а в н е н и я 1 выполня
ется л и ш ь численно в области достаточно н и з к и х т е м п е р а т у р .
Сложность физической ситуации с ф о р м а л ь н о й точки з р е н и я иллю
стрируется тем, что выражение [3] п р е д с т а в л я е т собой частное от деле-
-
-
2_-
1 ( 1
0.3 0.6 0.9
Рис. 1 . Зависимость проводимости от т е м п е р а т у р ы .
1 получены в т-приближении, 2 — результаты настоящей работы. А»: а — 0.25, 6 — 4. РезкЕй асимметричный максимум схож с кривыми, приведенными в [7] . (<*# - пе*/т*Тр).
ния полинома 8-го п о р я д к а н а полином 2-го. В ы ч и с л е н и е ч а с т н о г о и остатка (а потом их интегрирование и решение системы линейных уравнений) в случае достаточно б о л ь ш о г о числа пробных функций т р е б у е т примене
ния Э В М . Подробности этих вычислений приведены в Приложении.
Коэффициенты в (8) т а к о в ы , что при и н т е г р и р о в а н и и по t и усреднении по Дц, ^ п о л у ч и т с я к в а д р а т и ч н а я форма (Рц'П21+2Ри'%%+/>22712+* • •)»
определяющая величины Pi r Эти матричные элементы с и л ь н о отличаются друг от д р у г а по п о р я д к у величины, что о т р а ж а е т с л о ж н ы й х а р а к т е р ки
нетической задачи и з - з а вовлеченности носителей с в е с ь м а разными по- движностями. Н е с м о т р я на то что в н а ш е й у п р о щ е н н о й модели смягчается большой фазовый объем фононов, можно п о л у ч и т ь металлический эакон проводимости (о р а с т е т с понижением Г ) , в з я в достаточно быстро убы
в а ю щ у ю функцию А ( Г ) . Мы п о п ы т а е м с я о х в а т и т ь в о з м о ж н о более широ
кую область т е м п е р а т у р .
Считая д л я определенности т )0^ 2 0 0 К , в о з ь м е м д л я т е м п е р а т у р ы пере
хода 2г'р=7]( )/6, что примерно соответствует т е м п е р а т у р а м переходов в ор
ганических соединениях типа T T F - T C N Q . В этой высокотемпературной области А (Т) не м о ж е т быть с л и ш к о м м а л о й , а н а с интересует в основном критическое поведение, п о с к о л ь к у при н а ш е й п о с т а н о в к е з а д а ч и темпе
ратурный з а к о н проводимости м о ж е т быть любым. Е с л и зафиксировать температурный з а к о н у б ы в а н и я / ( r ) = (l-f-e (ti0/2T)*)-\ A (T)=AQf (Г), и менять л и ш ь коэффициент А0, то при у м е н ь ш е н и и А0 р а с т е т значение проводимости в к а ж д о й точке, у в е л и ч и в а е т с я отношение а/а1 (см. Вве
дение), а м а к с и м у м проводимости в б л и з и т е м п е р а т у р ы перехода становится все более резким (рис. 1) ( s = 0 . 1 - i - 0 . 3 ) .
Максимум проводимости вблизи ТР м о ж н о получить у ж е в простом т-нриближенни С о о т в е т с т в у ю щ и е к р и в ы е приведены п а рис. 1; и х отличие от найденных нами очень в е л и к о . С физической точки з р е н и я м а к симум в ^-приближении обусловлен очевидной конкуренцией м е ж д у п р о цессами уменьшения чисел заполнения фонолой и роста амплитуды р а с сеяния на м я г к и х фононах при Т -+ ТР, однако этот максимум м а л о от
личается от п л а т о , тогда к а к п о л у ч а ю щ и й с я у нас м а к с и м у м достаточно высокий и р е з к и й , к а к в р е а л ь н ы х соединениях. Он в ы з в а н с л о ж н ы м перераспределением носителей, которое не может быть сведено к обыч
ному т - п р и б л и ж е н и ю , о чем свидетельствует большое значение п а р а м е т р а
0/0 l= 1 0 4 - 2 0 .
В р а б о т е I1] было сделано качественное замечание о в о з м о ж н о с т и такого п р о и с х о ж д е н и я м а к с и м у м а , а п р е д л о ж е н н а я интерпретация со-
Рис. 2. График on (t, ) (t — продольный импульс) при разных значениях поперечного импульса pL и А0.
А0: 1 — 1, 2- 0.2Г). а-в -р± = 0, -/46, тс/26; а (кривая О) — А0 = 1, ТР — у 14. [р0 = r0/ » F ) .
стояла в том, что в б л и з и Тр р е а л и з у е т с я специфическое токовое состояние с малым п р о и з в о д с т в о м энтропии, п о с к о л ь к у именно в окрестности пере
хода а м п л и т у д а р а с с е я н и я наиболее сильно з а в и с и т от передачи и м п у л ь с а . По аналогии с п р е д ы д у щ и м рассуждением в д у х е ^ п р и б л и ж е н и я м о ж н о у т в е р ж д а т ь , что с у щ е с т в у е т к о н к у р е н ц и я м е ж д у процессами, к о т о р ы е стремятся соответственно у м е н ь ш и т ь и у в е л и ч и т ь эффективную з а в и с и мость амплитуды р а с с е я н и я от передачи и м п у л ь с а . Н а п р и м е р , у ж е п р о стое понижение т е м п е р а т у р ы у м е н ь ш а е т эту з а в и с и м о с т ь , п р е п я т с т в у я носителям п о к и д а т ь области наиболее сильного р а с с е я н и я с б о л ь ш и м производством энтропии.
Д л я описания функции распределения, к о т о р а я р е а л и з у е т к в а з и о д номерные т о к о в ы е с о с т о я н и я , целесообразно р а с с м а т р и в а т ь сечения з о н ы Б р и л л ю э п а п л о с к о с т я м и с фиксированным значением поперечного им
пульса. В с л у ч а е обычных ( « к в а з п т р е х м е р н ы х » ) т о к о в ы х состояний в л ю бом сечении в о з н и к н у т одинаковые функции, п р о п о р ц и о н а л ь н ы е ферми- евскому ф а к т о р у (—дп0/де), но сдвинутые д р у г относительно д р у г а и з - з а
«гофрировки» П Ф , что отвечает ситуации, в к о т о р о й все носители п р и обретают о д и н а к о в у ю дрейфовую с к о р о с т ь . Е с л и следить з а изменением Ьп (р) при р а з в и т и и в системе м я г к о й моды, то (при фиксированной тем
п е р а т у р е , к о т о р у ю мы для н а г л я д н о с т и в ы б е р е м б л и з к о й к Тр) следует
исследовать з а в и с и м о с т ь от п а р а м е т р а А0. П р и у б ы в а н и и А0 носители стремятся п о к и н у т ь о б л а с т и н а и б о л ь ш е г о с м я г ч е н и я и перейти в области с большими п о д в и ж н о с т я м и . Достаточно привести 3 сечения со значениями рх соответственно 0 , ти/46, к/2Ь (рис. 2 ) . Н а и б о л е е сильно этот эффект в ы р а ж е н п р и рх= 0 ; здесь и с к а ж е н и е «горба» н а и б о л ь ш е е . При
= Tc/4fe «горб» с т а н о в и т с я меньше, меньше с т а н о в и т с я и его асимметрия.
Н а к о н е ц , при р±=п/2Ь высота симметричного «горба» н а и м е н ь ш а я . Д а л ь н е й ш е е уменьшение А (Т) приводит к т о м у , что п о п р а в к а к функ
ции распределения с т а н о в и т с я знакопеременной (рис. 2 ) . Причина такого поведения достаточно очевидна — при быстром изменении амплитуды р а с с е я н и я в ы р а ж е н и я д л я производства энтропии и д л я т о к а становятся в определенном смысле независимыми, поэтому н а д л е ж а щ и м выбором знакопеременной Ьп (р) уменьшение п р о и з в о д с т в а энтропии можно сде
л а т ь более существенным, чем уменьшение т о к а [2] .
В е р н е м с я теперь к вопросу о критическом поведении сопротивления или о максимуме проводимости. Н е т р п в и а л ь н о с т ь этого поведения за
л о ж е н а у ж е в самом вариационном принципе, в к о т о р о м фигурирует все носители, а не т о л ь к о т е , к о т о р ы е непосредственно взаимодействует с наиболее мягкими фононами. Н а ш а п р о с т а я и н т е р п о л я ц и о н н а я модель демонстрирует в е с ь м а сложное поведение функции р а с п р е д е л е н и я (рис. ^2).
Х о т я общий вид Ьп (р) аналогичен приведенному ранее, перестройка 'то
кового состояния очень в е л и к а , в е л и к и р а з б р о с дрейфовых скоростей, приобретаемых носителями.
Любопытно, что функция распределения ведет себя аналогичным об
разом в ш и р о к о м и н т е р в а л е т е м п е р а т у р . П о х о ж и м будет и критическое поведение для н и з к о т е м п е р а т у р н ы х ф а з о в ы х п е р е х о д о в . Т а к а я универ
сальность, скорее всего, с в я з а н а с в ы б р а н н ь ш нами единым видом амп
литуды рассеяния.
2 . Г а л ь в а н о м а г н и т н ы е я в л е н и я
Вариационный принцип может быть получен и в магнитном поле, если т р е б о в а т ь стационарности п р о и з в о д с т в а энтропии [21 ; при этом базис пробных функций должен быть дополнен ф у н к ц и я м и , не дающими в к л а д а в продольный т о к . Мы п о к а не пытаемся о п и с а т ь эффект Холла, а л и ш ь хотим описать в ы з в а н н о е «смешиванием» носителей изменение в продольной проводимости. В трехмерном с л у ч а е ( т - п р и б л и ж е н и е ) до
статочно взять две функции Ф1 = цр, Ф . , = = [u X р ] Н / Я , первая из них описывает проводимость, вторая — эффект Х о л л а . Обобщение (4) в маг
нитном поле дает
* . — 2 ^ + 2 ^ л - >
Г d*P ~ * f "\ дфу (Р)
*ч = 1 W $ i ( p ) 7 r S T J 9 I v p х н ] Ч р - (9)
Ф у н к ц и и Ф ! и Ф2 с в я з а н ы л и ш ь посредством о п е р а т о р а М. Легко ви
деть, что из (9) п о л у ч а ю т с я обычные в ы р а ж е н и я д л я т е п з о р а проводи
мости [8] в изотропном случае. С л у ч а й з а м к н у т ы х т р е х м е р н ы х орбит в определенном смысле наиболее прост [31 , п о с к о л ь к у магнитное поле не меняет п о р я д к а величины с о п р о т и в л е н и я . Это о з н а ч а е т , что новых механизмов диссипации не в о з н и к а е т . Эффект в ы з в а н л и б о перераспре
делением носителей по П Ф и з - з а зависимости п а р а м е т р о в рассеяния (например, транспортного сечения) от у г л о в , л и б о наличием носителей раз
ных з н а к о в . Иначе г о в о р я , магнитосопротивление я в л я е т с я мерой отли
чия р а з н ы х г р у п п носителей по к а к о м у - л и б о п а р а м е т р у (времени релак
сации, з н а к у з а р я д а и т. п . ) . Поэтому в и з о т р о п н о м с л у ч а е в т-прибли- жении сопротивление не меняется п р и включении магнитного поля.
О б н а р у ж е н н ы й в работе эффект « с м е ш и в а н и я » носителей м о ж е т б ы т ь легко и н т е р п р е т и р о в а н в т-приближении к а к о б р а з о в а н и е р а з н ы х г р у п п носителей п р и в о з н и к н о в е н и и описанного в ы ш е квазиодномерного т о к о вого с о с т о я н и я . О д н а к о н а самом деле эффект сильнее, чем можно было бы о ж и д а т ь из - - п р и б л и ж е н и я . Причина состоит в том, что поперечное магнитное поле очень сильно н а р у ш а е т т о к о в о е состояние, п р е ж д е в с е г о в области б о л ь ш и х подвижностей.
Д л я о п и с а н и я г а л ь в а н о м а г н и т н ы х состояний необходимо по аналогии с трехмерным с л у ч а е м д о б а в и т ь аналогичные х о л л о в с к и м функции, к о торые мы д л я к р а т к о с т и будем н а з ы в а т ь бестоковыми. Естественно пред
положить, что этот н а б о р тоже д о л ж е н быть достаточно б о л ь ш и м и с л о ж ным, к а к и ( 7 ) . И з - з а определенных в ы
числительных трудностей мы п о к а не будем о п и с ы в а т ь эффект Х о л л а , а бес
токовые функции (функции 6—8) в о з ь мем четными по с т о р о н а м П Ф
* sin (*/>±/&), is sin ( т с рх/ 6 ) , t*sin*(npjb). ( 1 0 ) Эти функции аналогичны х о л л о в ским, но их в к л а д в поперечную со
ставляющую т о к а равен 0 и з - з а нечет
ности по /. Н е п о д л е ж и т сомнению, что квазиодномериые т о к о в ы е состояния проявятся и в поперечной проводи
мости, и в эффекте Х о л л а , однако мы ограничимся л и ш ь изучением п р о д о л ь ной п р о в о д и м о с т и .
Мы будем н а з ы в а т ь бестоковые сос
тояния т а к ж е х о л л о в с к и м и , п о с к о л ь к у отсутствие поперечного в к л а д а в ток является п р и б л и ж е н н ы м . Н а г л я д н а я
картина м а г н е т о т р а н с п о р т а с точки з р е н и я вариационного принципа такова. П р и н а л о ж е н и и магнитного п о л я в системе в о з н и к а е т х о л л о в - ское состояние, не д а ю щ е е в к л а д а в п р о д о л ь н ы й ток, но дающее в к л а д в п р о и з в о д с т в о энтропии. Это значит, что м а т р и ц а Pfj р а с п а д а е т с я на д в а д и а г о н а л ь н ы х б л о к а — 5 x 5 и 3 x 3 , остальные элементы р а в н ы нулю. Х о т я д в и ж е н и е носителей в магнитном поле бездыссппативно, м а г нитное поле с в я з ы в а е т токовое и х о л л о в с к о е состояния, матричные э л е менты Mir Б л а г о д а р я этому в о з н и к а е т эффект Х о л л а и магнитосопро- тивление.
К а к у ж е о т м е ч а л о с ь (и н а ш и п р е д в а р и т е л ь н ы е р е з у л ь т а т ы п о д т в е р ж дают э т о ) , х о л л о в с к о е состояние т о ж е р е а л и з у е т с я достаточно с л о ж н о й знакопеременной функцией р а с п р е д е л е н и я . Поэтому в целом к а р т и н а м а г н е т о т р а н с п о р т а п р е д с т а в л я е т с я в е с ь м а с л о ж н о й и з - з а в з а и м о д е й с т в и я двух к в а з и о д н о м е р п ы х т о к о в ы х состояний. М ы ограничимся демонстра
цией б о л ь ш о г о м а г н и т о с о п р о т и в л е н и я п р и м а л ы х Я , обусловленного вкладом в п р о в о д и м о с т ь носителей с б о л ь ш и м и подвижностями, а т а к ж е приведем к р и в ы е с ( Я ) и функции распределения.
Вычисление матричных элементов очевидно, а элементы PfJ п о л у ч а ю т с я а н а л о г и ч н о (8), но в ы р а ж е н и е в числителе будет
Рис. 3. Типичный вид Р ( Я ) (а ( Я ) ) .
кривых Максимальное значение магнитного поля соответствует нескольким десяткам Т л , Величина р (Н) может и не насыщаться при этих полях. 1 — сопротивление, 2 —
проводимость.
Ь
в[{'
t + —• сг I sin {*pjb) t + 7 Jcs ) я'»1 (я (Pa. ' • kx)/b)+
t + — C, j S i l l .
Р а з н и ц а в з н а к а х с в я з а н а с р а з л и ч н о й четностью функций по с т о р о нам П Ф и с н а ш и м в ы б о р о м потенциала р а с с е я н и я « н а з а д » .
Типичный в и д з а в и с и м о с т и а ( Я ) приведен н а рис. 3. Т а к а я п а д а ю щ а я зависимость имеет у н и в е р с а л ь н ы й в и д в ш и р о к о й области т е м п е р а т у р .
Д л я в с е х к р и в ы х х а р а к т е р е н быстрый спад при м а л ы х Я и выход на р е ж и м н а с ы щ е н и я п р и б о л ь ш и х п о л я х . Однако ш и р и н а и в ы с о т а макси
м у м а а ( Я ) сильно з а в и с я т от т е м п е р а т у р ы и величины А0. К а к и следо
в а л о о ж и д а т ь , величина магнитосопротивления очень ч у в с т в и т е л ь н а к пере
стройке токового с о с т о я н и я , описанной в предыдущем р а з д е л е . Поэтому имеется определенная к о р р е л я ц и я между п о л о ж е н и е м м а к с и м у м а про
водимости и величиной м а г н и т о с о п р о т и в л е н и я , х о т я эта с в я з ь не столь т р и в и а л ь н а , и однозначна.
Д л я количественного исследования при м а л ы х Я мы в в е д е м величину а ( Г ) , определенную следующим о б р а з о м
Р(#, П = р ( Г ) [ 1 + « ( П ^ ( Л )2] , (11)
где £2Я — ц и к л о т р о н н а я частота д в и ж е н и я э л е к т р о н а по о т к р ы т о й орбите (QE—TzeHvFlbc). В обычной трехмерной ситуации а ~ 1 , а д л я квазиодно-
1 I I 1 I £ > 1 I I 1
1.0 1.2 1Л 1.0 1.2 1Л Т/ТР
Рис. 4. Сравнительный вид кривых проводимости и магнитосопротивления.
Сплошные кривые — магнитоеопротивление а (Т), штриховые — проводимость в ( Г ) , а — Тр=
я=ц0/6. 3 и 1 —проводимость и магнитоеопротивление для А0= 1 . 4 и 2 — то ж е д л я Ав= 0.25.
б — rp=Tfo>/i4. а — для 3 и 1 А0= 2 . 1 . Д л я проводимости отложено 10*а ( Г ) . Д л я 4 и 2 А«=0.1.
Очевидна аналогия между рисунками а и б.
мерного м е т а л л а без м я г к о й моды (обычное х-приближение) величина се ~ (t±/eF)2 < ^ 1 , где t± — т}0 — поперечный и н т е г р а л п е р е к р ы т и я или величина «гофрировки» почти плоских П Ф . В е л и ч и н а х (Т) определяется из элементарного газокинетического соотношения о (T) — ne2z (T)/m*.
Т а к о е стандартное представление данных д а л е к о не бесспорно в ситуации с заметными отличиями от х-приближения. Н а рис. 4 приведены некото
рые к р и в ы е а (Т). Сама величина а (Т) может б ы т ь очень б о л ь ш о й (102— 1 03) , если и з м е р я т ь ее в очень с л а б ы х п о л я х .
Б о л ь ш и е величины магнитосопротивления при высоких температурах в «классических» квазиодномерных соединениях типа T T F - T C N Q изве
стны у ж е давно, однако подробное исследование гальваномагнитных свойств в окрестности максимума проводимости не п р о в о д и л о с ь , насколько известно а в т о р а м . Обычно большое магнитоеопротивление в двухцепочеч- ных соединениях типа T T F — T C N Q п р и п и с ы в а е т с я наличию носителей р а з н ы х з н а к о в , а в соединениях тина T M T S F2X — р а з н о г о рода флук- туационным эффектам [5J . Д л я с у щ е с т в о в а н и я п р е д с к а з а н н о г о нами эф
фекта б е з р а з л и ч н о , к а к и м образом р е а л и з у е т с я с и л ь н а я з а в и с и м о с т ь ам
плитуды р а с с е я н и я . Поэтому наличие сильного магнитосопротивления (или его отсутствие) не может с л у ж и т ь предвестником того или иного фазового перехода.
О б о б щ а я р е з у л ь т а т ы расчетов, можно з а к л ю ч и т ь , что от параметра А0 очень сильно з а в и с я т к а к величина м а г н и т о с о п р о т и в л е н и я , т а к и вид
кривой а ( Г ) (рис. 4 ) . Величина а (Т) может быть очень большой в ш и р о ком и н т е р в а л е т е м п е р а т у р , но меняется в е с ь м а заметно п р и Т -+ Тр.
Критическое поведение а ( Г ) , к а к у к а з ы в а л о с ь в ы ш е , весьма р а з н о о б р а з н о (рис. 4 ) . Х о т я вид ф у н к ц и й распределения Ьп (£, p j в значительной с т е пени у н и в е р с а л е н , величина а ( Г ) , о б у с л о в л е н н а я различием п о д в и ж н о - стей р а з н ы х г р у п п носителей, очень ч у в с т в и т е л ь н а к д е т а л я м поведения этих функций. Н а п р и м е р , рост п о л о ж и т е л ь н о г о «выброса» п р и р±~0 и его сужение в п р о д о л ь н о м и в поперечном н а п р а в л е н и я х отвечает домини
рованию в проводимости с о о т в е т с т в у ю щ е й г р у п п ы носителей, что п р и водит к у м е н ь ш е н и ю а . Т а к о е поведение р е а л и з у е т с я наиболее часто п р и
Т -> Тр. И с х о д я и з в и д а функций распределения, нетрудно п о н я т ь и д р у гие особенности ф у н к ц и й а (Т). В о в с я к о м с л у ч а е , здесь нет н и к а к о г о противоречия с у н и в е р с а л ь н о с т ь ю функций распределения.
8п(Р) 8п(р)
Р и с . 5 . Ф у н к ц и я распределения в магнитном поле.
с —изменение токового состояния. Сплошная кривая — Я = 0 , штриховые — токовые состояния при включении магнитного поля. Столь сильное воздействие оказывает поле величиной в несколько Тл. б — функция распределения, описывающая холловское (четное по сторонам П Ф ) состояние.
Сплошная к р и в а я — Я — 0.1 — 1 Т л , штриховые а и б отвечают одинаковым магнитным полям.
В обоих случаях магнитное поле сильно «сглаживает» функцию распределения.
Наиболее с и л ь н о магнитное поле изменяет функцию распределения при малых рх, т. е. т а м , где п е р е с т р о й к а т о к о в о г о состояния м а к с и м а л ь н а . Магнитное поле с т р е м и т с я « с п л ю щ и т ь » функцию распределения, у в е л и чивая в к л а д , с о з д а в а е м ы й носителями с б о л ь ш и м и поперечными и м п у л ь сами (рис. 5). Т а к о е поведение в п о л н е с о г л а с у е т с я с н а ш е й и н т е р п р е т а цией в т е р м и н а х « с м е ш и в а н и я » носителей, п о с к о л ь к у «смешивание» н а и более сильно в о б л а с т я х с б о л ь ш и м изменением функций р а с п р е д е л е н и я . Типичный вид х о л л о в с к и х («бестоковых») функций приведен н а рис. 5, из которого видно, что х о л л о в с к о е состояние тоже р е а л и з у е т с я посред
ством з н а к о п е р е м е н н о й функции р а с п р е д е л е н и я .
Наиболее интересным п р е д с т а в л я е т с я в о п р о с о применимости н а ш и х представлений в о б л а с т и н и з к и х т е м п е р а т у р д л я описания р е а л ь н ы х к в а зиодномерных соединений. В частности, о т к р ы т ы м остается вопрос о в о з можности немонотонной зависимости о (Н). Н а м к а ж е т с я , что в с т о л ь простой модели в пренебрежении поперечной зависимостью а м п л и т у д ы рассеяния и с у н и в е р с а л ь н о й функцией распределения ответ должен б ы т ь отрицательным. О д н а к о в принципе н е л ь з я исключить в о з м о ж н о с т и т а кой ситуации, в к о т о р о й магнитное поле меняло бы вид функции р а с п р е деления и п р и в о д и л о к немонотонности а (Н).
Н а к о н е ц , обсудим в е с ь м а интересный и в а ж н ы й вопрос о н а с ы щ е н и и сопротивления в сильном магнитном поле. В с л у ч а е з а м к н у т ы х т р е х м е р ных орбит д в и ж е н и е по циклотронной орбите приводит фактически к н е которому усреднению времени р е л а к с а ц и и носителя по т р а е к т о р и и . Поскольку в б о л ь ш и н с т в е с л у ч а е в изменение времени р е л а к с а ц и и с р а в -
нимо с самим его значением ( [ о Ч / т I ~ 1 ) , то насыщение наступит при.
<~1Ит т. е. когда циклотронная частота станет сравнимой с временем релаксации. В рассматриваемой нами ситуации подобного рода оценку привести значительно труднее, поскольку изменение подвижности носи
телей на орбите очень велико. Полному «смешиванию» носителей отвечает значение проводимости ах (см. Введение), соответствующее ситуации, в которой все возможные подвижности входят с одинаковым весом.
При циклотронном движении подобная ситуация р е а л и з о в а л а с ь бы лишь в столь сильном магнитном поле, что ^> 1, где Tm i n — некоторое время релаксации в области наиболее сильного рассеяния. Оценить это время трудно, так как нужно учесть относительный в к л а д участков с силь
ным рассеянием, причем сама величина т меняется на орбите на несколько порядков величины. Иначе говоря, электрон должен «пройти» участки сильного рассеяния столь быстро, чтобы и з б е ж а т ь там столкновений.
При этом проводимость будет стремиться к ох и наступит режим насыще
ния. Н е л ь з я , однако, исключить ситуации, в которой тт 1 п будет столь малым, что фактически режим насыщения не наступит.
Наши данные даже в полях в несколько десятков Тл дают значения проводимости большие, чем сх. При этом в низкотемпературной области 7 р = т <0/ 1 4 , Т -> Тр имеется область с отсутствием насыщения (рис. 3).
Эти кривые напоминают результаты работы [9] .
Кратко предложенное выше объяснение можно сформулировать так:
в некоторых участках П Ф имеется очень сильное рассеяние электронов, которое может не п р о я в л я т ь с я в проводимости, по проявится в магнито- сопротивлении. Нам к а ж е т с я , что этот эффект может служить наиболее прямым свидетельством в пользу справедливости предлагаемой физиче
ской картины.
3. О б с у ж д е н и е р е з у л ь т а т о в
Основным результатом работы является построенное с помощью чис
ленного счета на ЭВМ квазиодномерное токовое состояние, реализуемое посредством сложной знакопеременной функции распределения. Это со
стояние возникает при наличии в системе сильной зависимости амплитуды рассеяния носителей от передачи импульса. Транспортные х а р а к т е р и стики системы существенно отличаются от х а р а к т е р и с т и к в обычном
т-приближеиии даже в рассмотренном простейшем случае зависимости амплитуды рассеяния л и ш ь от продольного импульса.
Одним из проявлений квазиодпомерных токовых состояний мог бы быть резкий максимум проводимости вблизи структурного фазового пере
хода. Столь резкий максимум нельзя получить в т-приближении даже в случае «одномерных» фононов без поперечной дисперсии.
Квазиодномерные токовые состояния могут т а к ж е приводить к боль
шому магнитосопротивлепию в области достаточпо высоких температур (выше точек всевозможных фазовых переходов), хотя цпклотронные орбиты носителей открытые. Т а к а я интерпретация гальваномагшггных явлений является альтернативной, поскольку опа в значительной степени чисто кинетическая. Мы уже подчеркивали условность разделения эффек
тов па термодинамические и кинетические в соедипепиях, где амплитуда рассеяния является сложпой фупкцпей всех взаимодействий, приводящих к фазовым переходам, и поэтому сильно зависит от магпитного поля.
Тем пе менее в нашей модели термин «кинетический» вполне уместен, поскольку гальваномагпитные эффекты будут с у щ е с т в о в а т ь и при «замо
роженной» мягкой моде. Однако первопрпчипои всех кинетических эф
фектов, обусловленных мягкой модой, является близость системы к струк
турной неустойчивости, т. е. термодинамический фактор.
Н а ш основной результат применительно к г а л ь в а н о м а г н п т н ы м явле
ниям состоит в том, что сильная зависимость сопротивления от попереч- лого магнитного поля обусловлена «смешиванием» носителей при движе
нии по циклотронным орбитам. Параметры этой зависимости очень сильно
