Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Д. О. Орлов, Геометрические реализации колчанных алгебр, Труды МИАН, 2015, том 290, 80–94
DOI: https://doi.org/10.1134/S0371968515030073
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
5 ноября 2022 г., 19:11:00
УДК 512.7
Геометрические реализации колчанных алгебр
1Д. О. Орлов
2Поступило 15 марта 2015 г.
Светлой памяти моего научного руководителя Андрея Николаевича Тюрина по случаю его 75-летнего юбилея Изучаются конструкции сильных исключительных наборов векторных расслоений на гладких проективных многообразиях с заранее заданной алгеброй эндоморфизмов. Доказывается, что дан- ная задача всегда имеет решение. Обсуждаются применения к некоммутативным проективным плоскостям и к колчану трехточечной функции Изинга.
DOI:10.1134/S0371968515030073
ВВЕДЕНИЕ
Основная цель данной статьи — предъявить конструкции сильных исключительных на- боров из векторных расслоений на гладких проективных многообразиях с заданной зара- нее алгеброй эндоморфизмов. Нас интересуют триангулированные категории T, обладающие полным исключительным набором σ = (E1, . . . , En). Не так давно было показано, что ес- ли T имеет оснащение, т.е. эквивалентна гомотопической категории H0(A) для некоторой дифференциально-градуированной категории A, то в этом случае она может быть реализова- на как допустимая подкатегория в ограниченной производной категории когерентных пучков на гладком проективном многообразии (см. [17, Theorem 5.8]). Напомним, что триангулиро- ванная категория N ⊂ Db(cohX), где X — гладкое проективное многообразие, называется допустимой, если она полная и функтор вложения имеет правый и левый сопряженные. До- пустимые подкатегории обладают многими замечательными свойствами и дают обширную подборку гладких собственных некоммутативных схем [17].
Для лучшего понимания напомним один из результатов [17] более подробно. Предполо- жим, что гомотопическая категория T = H0(A) для некоторой малой дифференциально- градуированной категории A имеет полный исключительный набор T = E1, . . . , En. Тогда существуют гладкая проективная схема X и исключительный набор из линейных расслоений σ= (L1, . . . ,Ln)наXтакие, что полная подкатегорияDb(cohX), порожденнаяσ, эквивалент- на T. В статье [17] описана точная конструкция многообразия X в виде последовательности проективных расслоений. Отсюда следует, что X само обладает полным исключительным на- бором. Кроме того, показано, что полный исключительный набор на X может быть выбран так, что он будет содержать наборσ = (L1, . . . ,Ln)в качестве поднабора. В этой ситуации мы получаем функтор из триангулированной категории T в производную категорию Db(cohX), переводящий исключительные объекты Ei в сдвиги линейных расслоений Li[ri]для целых ri.
1Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-50-00005).
2Отдел алгебраической геометрии, Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия.
E-mail: orlov@mi.ras.ru
c Д.О. Орлов, 2015
В общем случае мы не можем, конечно, ожидать, что Ei будут переходить в несдвинутые линейные расслоения.
С другой стороны, в наиболее важной ситуации, когда исключительный набор(E1, . . . , En) является сильным, было бы очень желательно найти реализацию в виде векторных расслое- ний (без сдвигов). В данной статье мы работаем с сильными исключительными наборами и обсуждаем различные конструкции геометрических реализаций в виде векторных расслоений на гладких проективных многообразиях. Мы показываем, что для триангулированной катего- рии T с сильным исключительным набором σ = (E1, . . . , En) всегда возможно найти гладкое проективное многообразие X и вполне строгий функтор из T в ограниченную производную категорию когерентных пучков Db(cohX), который переводит исключительные объектыEi в векторные расслоенияEiнаX (см. теорему 2.6 и следствие 2.7 ниже). В этом случае получаем сильный исключительный набор (E1, . . . ,En) из векторных расслоений на X с той же самой алгеброй эндоморфизмов, которую имеет σ.
В последнем разделе мы рассмотрим некоторые применения данных конструкций к специ- альным интересным исключительным наборам из трех объектов. Первый пример — это колчан, связанный с трехточечной функцией Изинга, в то время как второй пример — это семейство колчанов, описывающих некоммутативные проективные плоскости.
1. ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ НАБОРЫ, ТРИАНГУЛИРОВАННЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГРАДУИРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ
1.1. Исключительные наборы. Напомним вначале некоторые определения и факты, имеющие отношение к допустимым подкатегориям, полуортогональным разложениям и ис- ключительным наборам (см. [3]). Пусть T — это k-линейная триангулированная категория над произвольным полем k, и пусть N ⊂ T — некоторая полная триангулированная подка- тегория. Напомним, что правым ортогоналом (соответственно левым ортогоналом) к N на- зывается полная подкатегория N⊥⊂ T (соответственно ⊥N), состоящая из всех объектов X, для которых Hom(Y, X) = 0 (соответственно Hom(X, Y) = 0) при любом Y ∈ N. Очевидно, что все ортогоналы являются триангулированными категориями.
Определение 1.1. Пустьj:N → T — полное вложение триангулированных категорий.
Мы скажем, что N является допустимой справа (соответственно допустимой слева), если существует правый (соответственно левый) сопряженный функтор q:T → N. Категория N называется допустимой, если она допустима с обеих сторон.
Хорошо известно, что подкатегорияN допустима тогда и только тогда, когда для каждого объекта Z ∈ T существует точный треугольникY →Z →X, для которогоY ∈ N,X ∈ N⊥.
Пусть N ⊂ T — полная триангулированная подкатегория. Если N допустима справа (со- ответственно слева), то фактор-категория T/N эквивалентна N⊥ (соответственно ⊥N). Об- ратно, если функтор проекцииT → T/N имеет левый (соответственно правый) сопряженный, то T/N эквивалентна N⊥ (соответственно ⊥N).
Определение 1.2. Полуортогональным разложением для триангулированной катего- рии T называется последовательность триангулированных подкатегорий N1, . . . ,Nn в T та- кая, что существует возрастающая фильтрация 0 = T0 ⊂ T1 ⊂ . . . ⊂ Tn = T допустимых слева подкатегорий, для которой левые ортогоналы ⊥Tp−1 в Tp совпадают с Np. В частности, Np∼=Tp/Tp−1. Мы пишем T =N1, . . . ,Nn.
В некоторых ситуациях мы можем надеяться на то, что T имеет полуортогональное раз- ложениеT =N1, . . . ,Nn, в котором всеNp устроены максимально просто, т.е. эквивалентны ограниченной производной категории конечномерных векторных пространств.
Определение 1.3. Объект E в k-линейной триангулированной категории T называется исключительным, если Hom(E, E[l]) = 0 для всех l= 0 и Hom(E, E) = k.Исключительным
набором вT называется последовательность исключительных объектовσ = (E1, . . . , En), удо- влетворяющих условию полуортогональности Hom(Ei, Ej[l]) = 0для всех l, когда i > j.
Если триангулированная категория T имеет исключительный наборσ = (E1, . . . , En), ко- торый порождает всюT, то этот набор называется полным. В этом случаеT имеет полуорто- гональное разложение сNp=Ep. Так какEp исключительный, каждая из данных категорий эквивалентна ограниченной производной категории конечномерныхk-векторных пространств.
В этой ситуации мы пишем T =E1, . . . , En.
Определение 1.4. Исключительный набор σ = (E1, . . . , En) называется сильным, если дополнительно Hom(Ei, Ej[l]) = 0для всех iи j приl= 0.
Пусть T — триангулированная категория с полным сильным исключительным набором σ= (E1, . . . , En). Алгебра Endn
i=1Ei
называется алгеброй эндоморфизмов набора σ.
1.2. Дифференциально-градуированные категории и оснащения. Здесь мы толь- ко введем некоторые обозначения и напомним основные факты о дифференциально-градуиро- ванных категориях. Основными источниками сведений о дифференциально-градуированных категориях служат работы [10, 7] (см. также [13, 17]).Дифференциально-градуированная (ДГ) категория — это k-линейная категория A, в которой пространства морфизмов Hom(X, Y) имеют структуру комплексов k-векторных пространств, так что для любых X, Y, Z ∈Ob(A) композиция Hom(Y, Z)⊗Hom(X, Y) → Hom(X, Z) является морфизмом дифференциально- градуированных k-модулей, а тождественный морфизм1X ∈Hom(X, X)является замкнутым элементом степени нуль.
Для ДГ-категорииA обозначим черезH0(A) ее гомотопическую категорию. Гомотопиче- ская категорияH0(A) имеет те же самые объекты, что и ДГ-категорияA, а морфизмы в ней определяются как нулевые когомологии H0HomA(X, Y) комплекса HomA(X, Y).
Как обычно, ДГ-функтор F:A → B задается отображением F: Ob(A) → Ob(B) и мор- физмами дифференциально-градуированных k-модулей
FX,Y: HomA(X, Y)→HomB(FX,FY), X, Y ∈Ob(A),
совместимыми с композицией и единицами. ДГ-функтор F: A → B называется квазиэкви- валентностью, если FX,Y — квазиизоморфизм для всех пар объектов X, Y из A и индуци- рованный функтор H0(F) :H0(A)→ H0(B) есть эквивалентность. Две ДГ-категории A и B квазиэквивалентны, если существуют ДГ-категорияC и квазиэквивалентностиA ←−∼ C −→∼ B. Для данной малой ДГ-категории A определим правый дифференциально-градуированный A-модуль как ДГ-функтор M:Aop → Mod-k, где Mod-k — это ДГ-категория дифферен- циально-градуированных k-модулей. Обозначим через Mod-A ДГ-категорию правых диффе- ренциально-градуированных A-модулей. Каждый объектY из A определяет правый модуль HomA(−, Y), который называется свободным ДГ-модулем, представимым Y. Мы получаем ДГ-функтор Йонедыh•:A →Mod-A, который является вполне строгим.Производнаякате- гория D(A)определяется как фактор по Вердье
D(A) :=H0(Mod-A)/H0(Ac-A),
где Ac-A — полная ДГ-подкатегория Mod-A, состоящая из всех ацикличных ДГ-модулей, т.е. ДГ-модулей M, для которых комплексы k-модулейM(X) ацикличны для всехX∈A.
Определение 1.5. Триангулированная категориясовершенных ДГ-модулей Perf-A оп- ределяется как наименьшая триангулированная подкатегория в D(A), содержащая все сво- бодные ДГ-модули и замкнутая относительно взятия прямых слагаемых.
Триангулированные категории D(A) и Perf-A инвариантны относительно квазиэквива- лентной замены A.
Для всякой ДГ-категории A существуют ДГ-категория Apre-tr, называемая претриан- гулированной оболочкой для A, и канонический вполне строгий ДГ-функтор A → Apre-tr. Идея определения Apre-tr состоит в добавлении к A всех сдвигов, всех конусов, конусов морфизмов между конусами, и т.д. ДГ-категория A называется претриангулированной, если канонический ДГ-функтор A → Apre-tr является квазиэквивалентностью. Это равносильно требованию, что гомотопическая категория H0(A) является триангулированной как подкате- гория в H0(Mod-A). ДГ-категория Apre-tr всегда является претриангулированной, и также H0(Apre-tr) является триангулированной категорией.
Определение 1.6. ПустьT — триангулированная категория.ОснащениемT называется пара (A, ε), где A — претриангулированная категория, а ε: H0(A) −→ T∼ — точная эквива- лентность.
Для всякой квазикомпактной и отделимой схемыX над произвольным полем kпроизвод- ная категорияD(QcohX)имеет оснащение, которое происходит из рассмотрения h-инъектив- ных комплексов (см., например, [9]), т.е. H0(I(X))∼=D(QcohX), где I(X) — ДГ-категория h-инъективных комплексов. Как следствие мы получаем оснащение для полной триангулиро- ванной подкатегории вD(QcohX), к примеру для триангулированной категории совершенных комплексовPerf-Xи для ограниченной производной категории когерентных пучковDb(cohX) в нётеровом случае.
Существуют различные понятия генераторов в триангулированных категориях. Напом- ним наиболее полезное понятие порождения триангулированной категории, а именно понятие классического генератора.
Определение 1.7. Объект E ∈ T называется классическим генератором, если катего- рияT совпадает с наименьшей триангулированной подкатегорией, содержащей Eи замкнутой относительно взятия прямых слагаемых.
Отметим, что категория совершенных комплексов Perf-X допускает классический генера- тор для любой квазикомпактной и квазиотделимой схемы X (см. [14, 5]). Если X квазипро- ективна размерности d, то об ъект d
p=0L⊗p, где L — очень обильное линейное расслоение, является классическим генератором (см. [16]).
Следующая теорема показывает, что понятие классического генератора очень полезно для триангулированных категорий с оснащением.
Теорема 1.8 [10, 11]. ПустьT — идемпотентно полнаятриангулированнаякатегория, имеющаяоснащение A, и пусть E ∈ T — классический генератор. Тогда категория T эк- вивалентна триангулированной категории Perf-A, где A = HomA(E, E) — это ДГ-алгебра эндоморфизмов объекта E в ДГ-категории A.
В дальнейшем будет полезно такое следствие из данной теоремы.
Следствие 1.9. Пусть T — триангулированнаякатегория, допускающаяоснащение.
Предположим, что T имеет полный сильный исключительный наборσ = (E1, . . . , En). Тогда категория T эквивалентна производной категории Db(mod-A), где A = Endn
i=1Ei
— алгебра эндоморфизмов набора σ.
Доказательство. Так как наборσ полный, объект E =n
i=1Ei является классическим генератором. Так какσсильный, ДГ-алгебра эндоморфизмов объектаEимеет только нулевые когомологии. Следовательно, данная ДГ-алгебра квазиизоморфна обычной алгебре эндомор- физмов набораσ. Как триангулированная категория с полным исключительным набором ка- тегория T идемпотентно полна, и, таким образом, утверждение следует из теоремы 1.8 и того факта, что для алгебры конечной глобальной размерности производная категория Db(mod-A) эквивалентна категории совершенных комплексов над A.
В статье [17] было показано, что любая триангулированная категория с полным исклю- чительным набором допускает геометрическую реализацию, если она имеет оснащение. Более точно, было доказано следующее.
Теорема 1.10 [17, Theorem 5.8]. Пусть A — малаяДГ-категориянад полем k та- кая, что гомотопическая категория T = H0(A) имеет полный исключительный набор T =E1, . . . , En. Тогда существуют гладкаяпроективнаясхема X и исключительный набор линейных расслоений σ= (L1, . . . ,Ln) на X такой, что подкатегория Db(cohX),порожден- ная σ, эквивалентна T. Более того, схема X является последовательностью проективных расслоений и сама обладает полным исключительным набором.
СхемаX имеет полный исключительный набор как последовательность проективных рас- слоений (см. [15]). Более того, из конструкции следует, что на X имеется полный исключи- тельный набор, содержащий σ= (L1, . . . ,Ln)в качестве поднабора.
При доказательстве данной теоремы был построен функтор из триангулированной кате- гории T в производную категорию Db(cohX), переводящий исключительные объекты Ei в сдвиги линейных расслоений Li[ri]для некоторых целых ri. В общем случае мы, конечно, не можем ожидать, что Ei перейдут в линейные расслоения без сдвигов. С другой стороны, в случае сильного исключительного набора естественно попробовать найти реализацию в виде набора векторных расслоений (без сдвигов) на гладкой проективной схеме. Можно показать, что в общем случае мы не можем реализовать сильный исключительный набор как набор линейных расслоений (см. замечание 3.2), однако кажется вполне естественным попытаться представить набор в виде векторных расслоений.
В данной статье мы будем иметь дело с сильными исключительными наборами и рас- смотрим различные конструкции геометрических реализаций в виде сильных исключитель- ных наборов векторных расслоений на гладких проективных схемах. Мы покажем, что такие реализации всегда существуют.
2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЕАЛИЗАЦИИ
2.1. Колчанные алгебры. Колчаном называется конечный направленный граф, воз- можно, с кратными ребрами и петлями. Более точно, колчан Q состоит из набора дан- ных (Q0, Q1, s, t), где Q0, Q1 — конечные множества вершин и стрелок соответственно, а s, t:Q1→Q0 — отображения, ставящие в соответствие каждой стрелке ее начало и конец.
Определимk-алгебру путей колчана Q как алгебру kQ, заданную порождающимиeq для q∈Q0 и aдляa∈Q1, со следующими соотношениями:
e2q =eq, ereq= 0 при r=q и et(a)a=aes(a)=a.
В частности, элементы eq являются ортогональными идемпотентами алгебры kQ. Из соотно- шений следует, чтоeqa= 0 всегда, за исключениемq =t(a), и aeq = 0, еслиq=s(a).
Как k-векторное пространство алгебра путей kQ имеет базис, состоящий из множества всех путей в Q, где путем pназывается (возможно, пустая) последовательность amam−1. . . a1
компонируемых стрелок, т.е. s(ai+1) = t(ai) при всех i = 1, . . . , m−1. Для пустого пути мы должны выбрать вершину изQ0. Композиция двух путей p1 иp2 вQопределяется естествен- ным образом какp2p1при условии, что их можно компонировать, и как0в противном случае.
Данное определение произведения в алгебре путей является более естественным.
Для того чтобы получить более широкий класс алгебр, полезно ввести понятие колчана с соотношениями. Соотношением в колчане Q называется подпространство в kQ, натянутое на комбинации путей с общим началом и общим концом, имеющих длину по крайней мере 2.
Колчаном с соотношениемназывается пара(Q, I), гдеQ— колчан, аI— двусторонний идеал в
алгебре путей kQ, порожденный соотношениями. Фактор-алгебра kQ/I называется алгеброй колчана с соотношением (Q, I). Можно показать, что над алгебраически замкнутым полем любая категория модулейmod-A над конечномерной алгеброй Aэквивалентнаmod-kQ/I для некоторого колчана с соотношением (Q, I) (см. [8]).
Колчанная алгебра A = kQ/I как правый модуль над собой может быть разложена в прямую сумму проективных модулей Pq = eqA для q ∈ Q0, т.е. A =
q∈Q0Pq. Проективные модули Pq ⊂A состоят из всех путейp с фиксированным концом t(p) =q.
В данной статье мы будем рассматривать колчанные алгебры для колчанов специального вида, которые связаны с исключительными наборами.
Определение 2.1. Скажем, чтоA — этоколчаннаяалгебра на n упорядоченных верши- нах, если это алгебра колчана с соотношением (Q, I), у которого Q0 ={1, . . . , n} — упорядо- ченное множество из nэлементов и s(a)< t(a) для любой стрелкиa∈Q1.
Очевидно, что алгебра эндоморфизмов (сильного) исключительного набораσ= (E1, . . . , En) является колчанной алгеброй на n упорядоченных вершинах. Обратно, колчанная алгебра A наnупорядоченных вершинах имеет конечную глобальную размерность и, более того, ее про- изводная категория Db(mod-A) имеет полный исключительный набор из проективных моду- лейPi дляi= 1, . . . , n. Алгебра A есть в точности алгебра эндоморфизмов данного полного и сильного исключительного набора.
2.2. Сильные исключительные наборы и геометрические реализации. Рассмот- рим колчанную алгебру A на n упорядоченных вершинах. Обозначим через P1, . . . , Pn со- ответствующие правые проективные модули. Как было отмечено выше, набор из проектив- ных модулей (P1, . . . , Pn) является полным и сильным исключительным набором в категории Db(mod-A).
Основная цель 2.2. Пусть A — колчанная алгебра на nупорядоченных вершинах. Ос- новная цель — найти гладкую проективную схему X и сильный (не полный) исключительный наборσ = (E1, . . . ,En)из векторных расслоений наXс алгеброй эндоморфизмовEndn
i=1Ei
, совпадающей с A.
Предположим, что на гладкой проективной схеме X уже существует сильный исключи- тельный набор σ = (E1, . . . ,En) с алгеброй эндоморфизмов Endn
i=1Ei
, совпадающей с A.
В этом случае согласно следствию 1.9 допустимая подкатегория вDb(cohX), порожденная на- боромσ, эквивалентна производной категории Db(mod-A)для алгебры A. Функтор вложения переводит проективные модули Pi в Ei. Правым сопряженным функтором является функтор
RHom
.
(E,−) : Db(cohX)→Db(mod-A), где E= ni=1
Ei.
Все данные утверждения верны не только для векторных расслоений, но и для любых объ- ектов Ei, и, как доказано в [17], такая реализация существует для любого исключительного набора. Основная цель данной статьи — предъявить конструкции сильных исключительных наборов в виде векторных расслоений. Главная техника — это индукция по числу вершин и переход от алгебры Aк ее простому расширению с помощьюA-модуля.
Пусть A — это колчанная алгебра на n упорядоченных вершинах. Обозначим через Si, i= 1, . . . , n, ее простые модули. Набор из простых модулей(Sn, . . . , S1)также является полным (не сильным) исключительным набором в Db(mod-A) и называется двойственным к набору из проективных модулей. Имеются следующие полуортогональные разложения:
Db(mod-A) =P1, . . . , Pn=Sn, . . . , S1.
Отметим, что для всякого конечного правого A-модуля M существует фильтрация 0 =
=M0 ⊂M1 ⊂. . .⊂Mn=M с присоединенными факторами Mp/Mp−1, изоморфными (конеч- ным) прямым суммам простого модуля Sp.
Теперь рассмотрим колчанную алгебру A на n+ 1 упорядоченных вершинах. Обозначим черезP1, . . . ,Pn+1ее правые проективные модули, а черезSiсоответствующие простые модули.
Возьмем первые n вершин и через A обозначим колчанную алгебру подколчана, соответ- ствующего этим вершинам. Имеется полное вложение mod-A → mod-A абелевых категорий.
Это точный функтор, переводящий простые A-модулиSi в простыеA-модули Si, а проектив- ные A-модулиPi в проективные A-модули Pi для всех i= 1, . . . , n. Кроме того, индуцирован- ный производный функтор i:Db(mod-A)→Db(mod-A) является вполне строгим.
Получаем полуортогональные разложения Db(mod-A) = Sn+1,Db(mod-A)
=
Db(mod-A),Pn+1 .
Рассмотрим естественную сюръекцию Pn+1 Sn+1 и обозначим черезM ядро этого отобра- жения. В точной последовательности A-модулей
0→M →Pn+1→Sn+1 →0
модуль M принадлежит подкатегории i(Db(mod-A)) и, значит, может быть рассмотрен как A-модуль. В частности, для всех i= 1, . . . , nимеются изоморфизмы
HomA(Pi,Pn+1)∼= HomA(Pi, M)∼= HomA(Pi, M).
Получаем, что алгебра Aможет быть описана в виде нижнетреугольной алгебры A= A 0
M k
, (2.1)
гдеA— это колчанная алгебра наnвершинах, аM — правыйA-модуль. АлгебраAоднозначно определяется выбором алгебры Aи правого A-модуля M.
Определение 2.3. Алгебра A, определенная по правилу (2.1), будет называться про- стым расширением алгебры A с помощью A-модуля M.
Начиная с заданной реализации алгебры A в виде векторных расслоений, мы попытаемся продолжить ее до реализации алгебры A. Вначале зафиксируем простой, но полезный для применений факт.
Предложение 2.4. Пусть A — колчаннаяалгебра на n упорядоченных вершинах, и пусть A— ее простое расширение с помощью A-модуля M. Предположим, что существуют гладкаяпроективнаясхема X и вполне строгий функтор r:Db(mod-A)→ Db(cohX), пере- водящий проективные модули Pi в векторные расслоения Ei. Предположим, что существует такое векторное расслоениеMна X,чтоRHom
.
ni=1Ei,M∼=M в Db(mod-A). Тогда най- дутсягладкаяпроективнаясхема X и вполне строгий функторr: Db(mod-A) →Db(cohX), переводящий проективные модули Pi в векторные расслоения Ei на X.
Доказательство. ПоложимX =P(M∨)с естественной проекциейπ:X →X. Существу- ет каноническая точная последовательность наX
0→ΩX/X (1)→π∗M → OX(1)→0, (2.2) где ΩX/X — относительное кокасательное расслоение и OX(−1) — тавтологическое линейное расслоение наX.
Возьмем Ei = π∗(Ei) для всех i = 1, . . . , n и положим En+1 = OX(1). Легко видеть, что набор σ= (E1, . . . ,En,En+1) исключительный. Имеем изоморфизмы
Extj
X(Ei,En+1) = Extj
X
π∗Ei,OX(1)∼= ExtjX
Ei,Rπ∗OX(1) ∼= ExtjX(Ei,M)∼= ExtjA(Pi, M) для всех i = 1, . . . , n. Отсюда следует, что исключительный набор σ является сильным и алгебра эндоморфизмов данного набора есть расширенная алгебраA.
Имеется другая конструкция, при которой в качестве X берется проективизация P(M).
В этом случае нужно рассмотреть двойственную точную последовательность
0→ OX(−1)→π∗M → TX/X (−1)→0. (2.3) Как и выше, мы возьмем Ei = π∗(Ei) для всех i = 1, . . . , n, но положим En+1 = TX/X (−1).
Аналогичные вычисления показывают, что набор σ = (E1, . . . ,En,En+1) является сильным ис- ключительным с алгеброй эндоморфизмов, изоморфной расширенной алгебре A.
В обоих случаях имеем вполне строгий функторr:Db(mod-A) →Db(cohX), переводящий проективные модули Pi в векторные расслоения Ei на X для всех i= 1, . . . , n+ 1.
Данные конструкции бывают полезны при построении сильных исключительных наборов векторных расслоений на гладких проективных схемах. Однако они не могут помочь при дока- зательстве общего утверждения, так как мы не можем гарантировать представимость данного модуля векторным расслоением на каждом шаге индукции.
2.3. Основная теорема. Пусть A— колчанная алгебра наnупорядоченных вершинах.
Предположим, что имеется точный функтор u: mod-A → coh(X) между абелевыми кате- гориями. Через u обозначим производный функтор из Db(mod-A) в Db(cohX). Так как u точен, производный функтор определен и совпадает с u на абелевой категории mod-A, т.е.
u(M)∼=u(M) для любого A-модуля M.
Будем говорить, что функторu: mod-A→coh(X)обладает свойством (V), если выполнены следующие условия:
1) производный функтор u:Db(mod-A)→ Db(cohX) строго полный;
2) функтор u переводит простые модули Si в линейные расслоения Li наX;
3) существует линейное расслоение L на X такое, что L ∈ ⊥u(Db(mod-A)), линейные расслоения L ⊗ L−i 1 порождены глобальными сечениями и Hj(X,L ⊗ L−i 1) = 0 для j≥1 и всех i= 1, . . . , n.
Так как каждый модульM имеет фильтрацию с присоединенными факторами из простых модулей, из условия 2) следует, что любойA-модульM переходит в векторное расслоение под действием функтора u. Более того, по тем же причинам векторное расслоение u(M) имеет фильтрацию с факторами в виде линейных расслоений Li. Теперь несложно проверить, что из условия 3) в (V) вытекает следующее условие:
3) существует линейное расслоение L на X такое, что L ∈ ⊥u(Db(mod-A)) и векторные расслоенияL ⊗u(M)∨ порождены глобальными сечениями для всехM ∈mod-A.
Рассмотрим точный функторu: mod-A→coh(X)и обозначим через Ei векторные рассло- ения u(Pi) для всех i = 1, . . . , n. Так как производный функтор u вполне строгий, последо- вательность векторных расслоений σ = (E1, . . . ,En) на X образует сильный исключительный набор.
Предложение 2.5. Пусть A — колчаннаяалгебра на n упорядоченных вершинах, и пусть A — ее простое расширение с помощью A-модуля M. Предположим, существуют
гладкаяпроективнаясхема X и точный функтор u: mod-A → coh(X), обладающие свой- ством (V). Тогда найдутсявекторное расслоение F на X и точный функтор u: mod-A→
→ coh(P(F)), также обладающие свойством (V). Более того, ограничение функтора u на mod-A изоморфно π∗◦u, где π: P(F)→X — естественнаяпроекция.
Доказательство. Пусть u: mod-A → coh(X) — точный вполне строгий функтор, обла- дающий свойством (V). Обозначим через M векторное расслоение u(M). По условию 3) и его следствию 3) существует сюръекция (L−1)⊕m M∨ при некотором m ∈ N. Пусть F — векторное расслоение на X, двойственное ядру данной сюръекции. Таким образом, имеется точная последовательность
0→ F∨ →(L−1)⊕m→ M∨ →0. (2.4) Выбирая достаточно большое m, можем предполагать, что ранг F больше 2. Рассмотрим проективное расслоение π:P(F) → X и обозначим его через X. Существуют естественные точные последовательности на X вида
0→ΩX/X (1)→π∗F∨ → OX(1)→0 и 0→ OX(−1)→π∗F → TX/X (−1)→0, где OX(−1) — тавтологическое линейное расслоение, а TX/X и ΩX/X — относительные каса- тельное и кокасательное расслоения соответственно.
Обозначим через Li подъем линейных расслоений π∗Li при i = 1, . . . , n и положим Ln+1 =OX(−1). При изоморфизмах
Ext1X(M∨,F∨)∼= Ext1X
π∗M∨,OX(1)∼= Ext1X
OX(−1), π∗M
элемент e∈Ext1X(M∨,F∨), задающий точную последовательность (2.4), определяет элемент e∈Ext1
X(O(−1), π∗M). Элемент e дает следующее расширение:
0→π∗M →En+1 → O(−1)→0, (2.5) которое может рассматриваться как определение векторного расслоения En+1.
Из определения точной последовательности (2.5) следует, что двойственная последователь- ность при взятии прямого образа переходит в последовательность (2.4). В частности, получаем изоморфизм Rπ∗En+1∨ ∼= (L−1)⊕m. Данный факт влечет за собой равенство нулю
Homi
X(En+1, π∗N)∼=Hi X, π∗N ⊗En+1∨ ∼=Hi
X,N ⊗Rπ∗En+1∨ ∼=
∼=Hi
X,N ⊗(L−1)⊕m∼= HomiX(L⊕m,N) = 0 (2.6) для любого объектаN из образа функтораuпо условию 3) из (V). Следовательно, векторное расслоение En+1 принадлежит ортогоналу ⊥π∗u(Db(mod-A)).
Более того, так как Hom
.
X(En+1, π∗M) = 0 и Hom
.
X(π∗M,OX(−1)) = 0, короткая точная последовательность (2.5) индуцирует изоморфизмы
Hom
.
X(En+1,En+1)∼= Hom
.
X En+1,OX(−1)∼= Hom
.
X
OX(−1),OX(−1)
. (2.7)
Получаем, чтоEn+1исключительный. Обозначим черезEi векторное расслоениеπ∗Ei для всех i= 1, . . . , n. В силу свойств (2.6) и изоморфизмов (2.7) упорядоченное множество(E1, . . . ,En+1) образует исключительный набор. Обозначим его через σ.
