Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. К. Иванов, О некорректно поставленных задачах, Ма- тем. сб. , 1963, том 61(103), номер 2, 211–223
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 01:36:15
О некорректно поставленных задачах
В. К. Иванов (Свердловск)
Введение
1. Как известно [6], краевая задача в теории дифференциальных урав
нений с частными производными считается поставленной корректно, если ее решение удовлетворяет следующим условиям: оно 1) существует, 2) един
ственно, 3) непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво). Класси
ческие задачи математической физики обычно удовлетворяют этим условиям.
Однако в приложениях приходится сталкиваться и с некорректными зада
чами. К таким задачам относятся, например, математические вопросы гео
физики [2], [31]. Наиболее исследованными из них являются задача о продолжении потенциала, эквивалентная задаче Коши для уравнения Лап
ласа, и обратная задача потенциала, состоящая в нахождении формы тела по его внешнему потенциалу, если последний задан в области, находящейся на некотором положительном расстоянии от искомого тела.
В работе К- Пуччи [31] подробно обсуждаются физический смысл и рациональная постановка задачи Коши для эллиптических уравнений, в связи с этим приводится ряд интересных примеров прикладного харак
тера. О возросшем интересе к этой задаче свидетельствует большое число работ, посвященных ее приближенному решению: [7], [14], [18], [19], [21],
| 3 ] , [24], [26], [28]-[31].
** С уточки зрения физиков, при решении уравнения теплопроводности естественно искать распределение температуры и для прошедшего времени;
этой задаче посвящена работа Ф. Иона [13] (см. также [32]). К неустойчивым задачам относятся: решение интегральных уравнений первого рода [11], [22], [23], [36], аналитическое продолжение аналитических и гармонических функций [8], [19], [20], [23], проблема моментов и др.
Задача Коши для системы нелинейных эллиптических уравнений встре
чается при расчете ударных волн в сверхзвуковой аэродинамике. П. Р. Га- рабедяном и X. М. Либерштейном [4], [5] разработан интересный способ ее решения, состоящий в замене одной из вещественных координат — ком
плексной, что позволяет свести вопрос к решению гиперболической системы.
Как показал анализ Линь Цзя-цзяо [25], для метода П. Р. Гарабедяна существенно умение численно решать неустойчивую задачу об аналитиче
ском продолжении начальных данных Коши в комплексную область.
Некорректным задачам в банаховом пространстве посвящены работы [16]
и [17].
Общие вопросы постановки некорректных задач рассматриваются в ра
ботах [15], [19], [23], [31], [33]. Недавно понятие корректности подверглось
пересмотру в работе Г. Фикера [34]; к сожалению, он рассматривает лишь линейные задачи.
2. Большинство некорректных задач может быть сведено к интеграль
ным или функциональным уравнениям первого рода [22], [23], поэтому важное значение имеет развитие теории таких уравнений. Первостепенное значение здесь имеет правильная постановка; этому вопросу посвящена пер
вая глава работы. В ней обсуждаются различные способы постановки не
корректных задач и предлагается новая постановка, состоящая в замене точного решения наилучшим приближением. Вводимое в этой главе квази
решение является обобщением обычного решения и совпадает с истинным решением, когда последнее существует.
Во второй главе показывается, что квазирешения обладают в известном смысле устойчивостью (^-устойчивость). Главные трудности возникают при отсутствии единственности: здесь приходится привлекать теорию прост
ранств, составленных из замкнутых множеств («Zerlegungsraume»—в книге [1]) и ^-непрерывность многозначных отображений [3]. Как следствие получается, что при наличии единственности во многих важных случаях квазирешения удовлетворяют классическим условиям корректности.
В третьей главе рассматривается один из приближенных способов на
хождения квазирешений и в качестве иллюстрации приводятся примеры из обратной задачи потенциала и задачи Коши для уравнения Лапласа.
I. О постановке некорректных задач
3. Пусть X и Y — полные линейные метрические пространства, А — непрерывный (не обязательно линейный) оператор, действующий из X в Y.
Большинство некорректных задач может быть сведено к решению уравнения
Ах = у, (3.1) где у — данный элемент пространства Y, а х— искомый элемент прост
ранства X. Мы будем предполагать, что область значений оператора А в пространстве Y незамкнута и что обратное отображение Л"1 (вообще многозначное) не является непрерывным. При принятых предположениях условия корректности п. 1 не выполняются: вследствие отсутствия непре
рывности у обратного отображения Л"1, решение уравнения (3.1) будет неустойчиво относительно малых изменений у. Большие затруднения возни
кают также с условиями существования решения. Обычно они имеют вид бесконечного числа соотношений, которым должно удовлетворять //, и по
этому не могут быть эффективно проверены. Кроме того, вследствие незамкнутости в пространстве Y множества значений DA оператора А эти условия неустойчивы: существуют такие пары точек уг и у2, что
P(#i, </2)<S ( 6 > 0 ) , y±eDA, y2$DA.
Тогда при у = ух решение уравнения (3.1) существует, а при у = у2 не существует; если б ниже предела погрешности, с которой задано у,, то вопрос о существовании решения теряет смысл.
Все это показывает, что некорректную задачу нельзя ставить так же, как корректную, и вопрос о ее рациональной постановке приобретает пер
востепенное значение.
4. В вопросе постановки некорректных задач принципиальное значение имеют работы А. Н. Тихонова [33], М. М. Лаврентьева [22], [23], Ф. Иона [13], [15], К. Пуччи [31].
Пусть Ш — компакт, лежащий в пространстве X, и 91 = ЛЗЛ. В основе подхода А. Н. Тихонова лежит следующая
Т е о р е м а 1. Если А — взаимно однозначное и непрерывное отобра
жение компакта 3R в хаусдорфово пространство Y, АШ = SR, то обрат
ное отображение А"1^ = 9R также непрерывно.
Доказательство см. в книге [1], стр. 95, 96 или в книге [35], стр. 148.
В постановке А. Н. Тихонова предполагаются выполненными следую
щие требования:
A) Решение уравнения (3.1) существует и принадлежит данному ком
пакту Зй.
B) Решение в 9R единственно.
C) При варьировании у мы не выходим за пределы 3i = A3R (см. [23], [31], [33]).
При выполнении этих условий, согласно теореме 1, обеспечивается не
прерывная зависимость х от у. Оценка степени устойчивости определяется модулем непрерывности обратного отображения А"1 на Ш
со (6) == supp(;c, х') при х, я'еЗЛ, р (Ах, А к ' ) < б. (4.1) При численном решении вместо истинного значения у нам бывает известно лишь его приближение у^ вообще не лежащее в 31. М. М. Лаврентьевым [19], [22], [23] построен приближенный способ решения уравнения типа (3.1), при котором строится элемент xa§, зависящий от неточности б в задании 1/6 и параметра ос. Зная мажоранту функции со (б) и предполагая, что ис
тинное значение г/£3}, можно оценить уклонение хаь от истинного реше
ния х, причем a = а (б) можно выбрать так, что limp(xa6, х) = 0. Сходный
6->о
метод содержится также в работе Ф. Иона [13]. Таким образом, метод М. М. Лаврентьева позволяет снять требование С). Однако затруднения, связанные с условием А), остаются: требование существования решения в данном классе Ж делает задачу переопределенной, и она не всегда будет иметь решение. Трудности усугубляются тем, что признаки существования и принадлежности решения множеству SK неэффективны и неустойчивы относительно малых изменений у. Учитывая, что обычно у задается при
ближенно, мы бываем не в состоянии выяснить вопрос о существовании решения для того г/, с которым мы проводим вычисления. То, что обычно принимается за «решение», — такая точка л:^ЗК, для которой р(Ах9 у) не превосходит допустимой погрешности б в задании у (см. [19], [31]).
5. В связи с переопределенностью задачи и с возникающими при этом трудностями представляется естественным изменить постановку зада
чи, отказавшись от поисков точного решения уравнения (3.1) и заменив
их нахождением наилучшего приближения (см. [31], стр. 141 —143). Мы это сделаем, основываясь на следующем определении.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть Ж — заданное компактное замкнутое мно
жество пространства X. Назовем к в а з и р е ш е н и е м уравнения
Ах = у0 (5.1)
на 9R такой элемент х0 £ Ж, для которого функционал / (х) = р (Ах, у0) принимает на SR минимальное значение.
Вследствие компактности 9R, квазирешение существует для любого yQ £ У'. Его нахождение сводится к минимизации функционала р (Ах, у0) на Ж, что может быть выполнено эффективно (см. гл. III). Квазирешение обеспечивает минимальное уклонение левой части уравнения (5.1) от пра
вой. В тех случаях, когда истинное решение на 9R существует, квазире
шение с ним совпадает, поэтому оно может рассматриваться в качестве обобщения истинного решения.
Если у0 задано приближенно с точностью б и для квазирешения х0
уклонение р (Ах0, у0) <; б, то х0 можно принять за приближенное решение;
если же окажется, что р (Ах0, у0) > б, то это будет означать, что в пре
делах заданной точности приближенного решения уравнения (5.1) на 3R' не существует.
В случае задачи Коши для уравнения Лапласа идея использовать вместо точного решения наилучшее приближение содержится у С. Н. Мер- геляна [26] и К. Пуччи [31].
II. О корректности задачи нахождения квазирешений
6. Согласно определению 1, квазирешение х уравнения (3.1) на 3R есть такая точка х б SK, для которой
Р(Ах,у) = Р(у,Щ, (6.1)
где 3} == Л9К. Если положить Ах = q, то q — точка множества 3J, для которой
Р(У,Я) = Р(У,Щ- (6.2) Вследствие непрерывности А и компактности и замкнутости Ж, мно
жество 31 также компактно и замкнуто.
О п р е д е л е н и е 2. Точку q компакта 9?, для которой выполняется равенство (6.2), будем называть п р о е к ц и е й точки у на 3?.
Множество N проекций точки у на 3? — непустое (в силу компактности 3J) замкнутое множество. Таким образом, существует (вообще, многозначное) отображение пространства Y на компакт 3?
PY = 31, (6.3) ставящее в соответствие каждой точке у б Y множество N ее проекций
на 31.
Отображению ЛЗК = 32, осуществляемому оператором А уравнения (3.1), соответствует обратное (вообще, многозначное) отображение Л_1Э?= Ж, ста
вящее в соответствие каждой точке q из № множество всех ее прообразов
на 9R. Множество М квазирешений уравнения (3.1) на Ж, отвечающее данному у, есть полный прообраз N множества проекций у на 3i: M=A ~XN.
Множество М как полный прообраз замкнутого множества N при непре
рывном отображении Л замкнуто. Таким образом, полная система М ква
зирешений уравнения (3.1), отвечающая данному у, связана с у суперпо
зицией двух (многозначных) отображений
М = А~1Ру. (6.4)
7. Без предположения единственности устойчивость квазирешения удается дать в терминах р-непрерывности многозначных отображений, вве
денной Е. А. Барбашиным [3].
Пусть R— полное метрическое пространство, А и В — множества из R.
Согласно работе [3], п о л у о т к л о н е н и е м Р(Л, В) множества А от мно
жества В называется (J (Л, В) = sup p (х, В). О т к л о н е н и е м а (А, В) хел
(см. [35]) двух множеств А и В называется а (Л, B)=max{$(A,B)9 Р(В, Л)}
О п р е д е л е н и е 3. Отображение (многозначное) R± = FR метрического пространства R на метрическое пространство Rt будем называть р-непре
р ы в н ы м ( а - н е п р е р ы в н ы м ) в т о ч к е x0£R, если для каждого 8 > 0 найдется такое б^>0, что для каждой точки х £R, для которой р (х, х0) <^ б, выполняется неравенство р (F (x), F (x0)) <^ s (соответственно a(F(x), F(x0))<^s), где F (х) и F (х0) — полные системы образов точек х и х0 при отображении F.
Отображение называется р - н е п р е р ы в н ы м ( а - н е п р е р ы в н ы м), если оно р-непрерывно (а-непрерывно) в каждой точке R.
Всякое ос-непрерывное отображение р-непрерывно. Однозначное р-непре- рывное отображение непрерывно в обычном смысле.
Если Ri = FLR и R2 = F2R± и отображения F1 и F2 р-непрерывны (a-непрерывны), то их суперпозиция F ^F2F± р-непрерывна (а-непрерывна).
8. С уравнением (3.1) связано непрерывное отображение Л компакта $}
на компакт 3J. Если N — замкнутое подмножество из 3}, то под M=A~1N будем понимать полный прообраз множества N при отображении Л. Вслед
ствие непрерывности Л, множество М замкнуто. Д"1 можно рассматривать как (многозначное) отображение компакта 9J на компакт Ш.
Т е о р е м а 2. Если А—непрерывное отображение компакта Ж на ком
пакт 3i, то обратное отображение Л"1 (многозначное) а-непрерывно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства можно использовать понятие пространства разбиений («Zerlegungsraum») и его свойства (см. [1], стр.
61—64 и 111 — 116).
Отображение 3? = Л9К порождает разложение компакта Ш на непересе
кающиеся замкнутые подмножества М—полные прообразы точек q ком
пакта 9?. Совокупность всех таких подмножеств М, рассматриваемых как
«точки», и есть пространство разбиений Z, порождаемое отображением Л.
Пространство Z — компакт, расстояние в котором — а-отклонение двух множеств. Отображение Л индуцирует взаимно однозначное и непрерывное отображение Z на 3J: AZ =^Ш. В силу теоремы 1, обратное отображение
Z = А х9? непрерывно, что и означает а-непрерывность отображения Ш =
=А~1?Я.
Т е о р е м а 3. Проектирование Р пространства Y на компактное множество 31 (см. определение 2) ^-непрерывно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что в точке у0 отображение Р не является р-непрерывным. Тогда найдется такое е > 0 , что при любом 6 > 0 существует такая точка у, что р (у, у0) <[ 6, но р (Ру, Ру0) > е.
Возьмем последовательность 6п = — и для каждого п найдем такое уп, п
что р(уп, z/0)< — , но р (Руп, Руо) > е. Множества Nn = Руп и N0 = Р#0
я
непусты, замкнуты и компактны как подмножества компакта 31, поэтому в каждом Nn найдется такая точка qn, что р (qn, N0) = P (Nn, N0) > е. Все qn (я = 1, 2, . . .) принадлежат компакту 31, поэтому из последователь
ности {qn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Произведя в случае необходимости перенумерацию, будем считать, что последователь
ность {qn} сходится к точке q0. Расстояние р(у, 3?) — непрерывная число
вая функция точки у, поэтому из сходимости уп-*Уо следует, что
limp (уп, Зг) = р (г/0, 31). (8.1)
я->оо
Каждая точка qn принадлежит множеству Nn = Руп> т. е. является проек
цией уп на 3?. Тогда, по определению проекции,
?{Уп, <7*) = p(jfc, Щ. (8.2) Сравнивая формулы (8.1) и (8.2), находим, что
lim р (уП9 qn) = р (у0, 31). (8.3)
Из неравенства, треугольника следует, что
Р (ЯПУ У о) — Р (#0> */л) < Р 0/л» ?л) < Р (Яп, У о) + Р (Уо> Уп).
Переходя к пределу при п—>оо, находим, что
lim р (уП9 qn) = Р (<7о> #<>)• (8-4)
л-х»
Учитывая соотношение (8.3), получим: р(у0, q0) = p(y0, 31). Отсюда следует, что q0 б Л/0 и, следовательно, р (^0, JV0) = 0, Но, с другой стороны, Р (<7о> Л^0; = lim p (qn, N0) - lim p (Nn, N0), и так как р (Nn, N0) > e, то и
П-НХ) П-^ОО
Р (Яо> N0) > 8. Полученное противоречие и доказывает теорему.
З а м е ч а н и е . Проектирование Р может и не быть а-непрерывным.
Пусть, например, Y — двумерное эвклидово пространство, 31 — полуокруж
ность,
л; + т]
яа= 1, ъ < о , y
0= (o,o)
fy* = (-£->
0)-
Здесь No-^Руо совпадает с 31, а каждое #л состоит [из двух точек: точ- ш (0,1) и точки (0,-1). Тогда $(Nn, N0) = 0, но <х(ЛГя> #0) = У"2".
9. Если дано уравнение (3.1) и компакт З К с Х , то каждой точке y£Y соответствует непустое замкнутое множество М (Z 3R—множество квазире
шений уравнения (3.1) на 9R. Тем самым определяется (многозначное) отображение F пространства Y на множество Ж, FY = Ж, Fy = М. Отобра
жение F есть суперпозиция двух отображений: проектирования Р прост
ранства Y на 3J = Л9К и отображения А"1, М = Fy = A~xPy.
Учитывая, что суперпозиция ^-непрерывного и а-непрерывного отобра
жений р-непрерывна и пользуясь теоремами 2 и 3, приходим к следующему предложению.
Т е о р е м а 4. Отображение F, ставящее в соответствие каждой точке y£Y множество квазирешений М уравнения (3.1), на компакте 2К
^-непрерывно.
Эта теорема показывает, что в самом общем случае, когда не предпо
лагается единственность, квазирешение обладает ^-устойчивостью. Из опре
деления ^-непрерывности следует, что для всякого s > 0 найдется такое 6 > 0 , ЧТО если р(у, r/r) <C^, то для каждого квазирешения х' уравнения Ах' = у' на 3R найдется такое квазирешение уравнения Ах = у на 3R, что р(х', х)<^&. Это означает, что если у' аппроксимирует у с точностью б, то каждое х' аппроксимирует некоторое х с точностью е.
Особенно интересен тот случай, когда множество Fy состоит из одной точки х. Тогда, если даже множество Fy' содержит более одной точки, все множество М' = Fy' при условии р(у', y)<i$ будет лежать в е-окрест- ности точки х. В этом случае любая из точек х' £М' может служить приближением к х. Подобная ситуация имеет место в обратной задаче потенциала (см. п. 13).
10. Компактное множество 9J в линейном метрическом пространстве Y называется ч е б ы ш е в с к и м , если проекция каждой точки у g Y на это множество единственна (см. [9]). Учитывая, что однозначное р-непрерыв- ное отображение непрерывно в обычном смысле, и используя теоремы 2, 3 и 4, приходим к следующим теоремам.
Т е о р е м а 5. Если 3i — чебышевское множество, то отображение проектирования Р непрерывно в обычном смысле, а отображение F =
= А "1Р а-непрерывно.
Т е о р е м а 6. Если при выполнении условий теоремы 5 уравнение 3.1) может иметь на компакте 9К не более одного решения, то отобра
жение F = А*гР непрерывно.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При наличии единственности отображение Л- 1, в силу теоремы 1, непрерывно, тогда и отображение F = А-ХР как супер
позиция двух непрерывных отображений также непрерывно.
С л е д с т в и е 1. В условиях теоремы 6 квазирешение удовлетворяет всем требованиям корректности п. 1.
11. Для случая, когда уравнение (3.1) линейно, можно получить значи
тельно более полные результаты (см. [12]).
Т е о р е м а 7. Пусть уравнение (ЗЛ) линейно, однородное уравнение
Ах = 0 (ИЛ)
7 Математический сборник, т. 61(103), № 2
имеет лишь нулевое решение и выполнены следующие условия:
1) Ш выпукло,
2) сфера в пространстве Y строго выпукла.
Тогда квазирешение уравнения (3.1) на компакте 3R удовлетворяет всем требованиям корректности п. 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В условиях теоремы А — линейный оператору а линейное отображение сохраняет выпуклость. Поэтому при выполнении условий 1) и 2) 31 = ЛЗК — чебышевское множество, и применимо следствие из теоремы 6.
Заметим, что теорема 7 может быть доказана независимо от развивае
мой в этой главе теории многозначных отображений (см. [12]).
Условия теоремы 7 выполняются для многих линейных некорректных задач, таких, как, например, задача Коши для эллиптических уравнений и уравнения обратной теплопроводности, для задач аналитического продол
жения аналитических и гармонических функций и т. д.
В качестве Ш обычно берется либо шар в пространствах t2, С и дру
гих, либо множество положительных гармонических функций. Все эти множества выпуклы. Переход к квазирешениям полностью восстанавливает в этих задачах корректность по Адамару.
Если однородное уравнение (11.1) имеет ненулевые решения, то, переходя к факторпространству Хг = X/U, где U — линейное подпространство реше
ний уравнения (11.1), мы сможем применить теорему 7.
III. Приближенные способы нахождения квазирешений
12. Пусть имеется возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств
^ c 5 B2 C . . . C » « C . . C f , (12.1)
оо
такая, что замыкание суммы 2 ®1п совпадает с Ж. Введем обозначения:
/ г = 1
A$5ln = 31л (п = 1, 2, . . .). Множества 3?„ компактны и замкнуты. Далее
« 1 С Э1а с • • • С 31„ С . . . С 31, (12.2)
оо
и замыкание суммы 2 ®п совпадает с 3}. Обозначим через Nn и N мно-
П=1
жества проекций точки y£Y соответственно на множества 31я и 3J.
Т е о р е м а 8. Последовательность множеств Nn ^-сходится к N.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (12.2) следует, что
Р (у, SRi) > Р (у, %) > •. • > Р (у, 31л) > . . . > р (у, 31). (12.3)
оо
Так как сумма 2 31л всюду плотна в 3?, то для всякого s > 0 найдется такое п0, что при п^>п0 р (у, SRn) < р (у, 3?) + е. Сравнивая это неравенство с неравенствами (12.3), находим, что lim p(y, fRn) = р(у, 31). Но, по опреде-
/г->оо
лению множеств Nn и N, р (у, Nn) = р (у, 3}п) и р (t/, Л/) = р (у, 31), поэтому
limp(r/, Nn) = p(y9N). (12.4)
я-юо
Каждое множество Nn как непустое замкнутое подмножество компакта 31 компактно, поэтому в каждом Nn найдется такая точка qn, что $(Nn, N) =
= Р (?л> Л/)- Обозначим через Е множество предельных точек последова
тельности {qn}. Вследствие компактности 31 множество Е непусто. Пусть q' £E и qnk->q'. Учитывая равенство (12.4), имеем
Р {у, q') = lim p (у, qnk) = lim р {у, Nnk) = p{y,N) = p (у, 91),
откуда вытекает, что р(у, q') = р(у, 31). Следовательно, q'£N, и так как д' — произвольная точка из £, то EczN. Но тогда, в силу определения р-уклонения (см. п. 6), $(Nn, Е) >Р(МЛ, N) и нам достаточно доказать, что последовательность {Nn} (3-сходится к Е.
Допустим, что это не так. Тогда существует такое е^>0 и такая по
следовательность {ns} натуральных индексов, что р (Nns, Е) > 8 и, следова
тельно, р (qns, Е) > 8, что невозможно, так как Е состоит из предельных точек последовательности {qs}.
Из теорем 8 и 2 вытекает
С л е д с т в и е . Если Мп иМ— множества квазирешений уравнения (3.1) наУЛп иШ соответственно, то последовательность {Мп} ^-сходится к М.
Если М состоит из одной точки х, то так же, как и в п. 10, любая точка из Мп может рассматриваться как приближение к х, так что здесь единственность квазирешения на Шп несущественна.
Следствие из теоремы 8 может быть эффективно использовано для приближенного построения квазирешений, если множества 9Кл конечно
мерны. Задача нахождения квазирешения на компакте 9R„ сводится к ми
нимизации определенного на 3Rrt функционала f(x) = p(Ax,y)f который в случае конечномерных множеств Шп является функцией конечного числа параметров. Для минимизации функции п переменных на n-мерном компакте существуют эффективные способы.
13. В качестве одного из приложений рассмотрим обратную задачу потенциала в следующей постановке.
В полупространстве £<7& (ft > 0) пространства (£, т], £) имеется неизвест
ное тело 7, звездное относительно начала координат и заполненное ве
ществом с единичной плотностью. В области 5, лежащей в плоскости t, = h, известен ньютоновский потенциал V(£, л»£) т е л а Т. Требуется найти тело Т. Если граница тела Т задана при помощи уравнения р = f (9, ф), то задача сведется к нахождению функции f (0, Ф). Если в выражении для потенциала
Т о о о
7*
произвести интегрирование по р, то, беря точку Р=Р(%, r\, £) в области S, мы придем к нелинейному интегральному уравнению первого рода для / (0, ср)
1/(1, ц, h) = $ $ т л , е , <p,f(e, q>)]sineded<p. (i3.i)
о о
Возьмем в качестве X пространство С непрерывных функций х = х (9, ср), определенных на единичной сфере (0 < 0 <; я, 0 < ^ ф < 2 я ) , а в качестве Y — пространство L2 функций у (£, rj), определенных в области 5. Тогда уравнение (13.1) приобретает вид уравнения (3.1) с х = f (0, Ф), у = V (£, r\, h) и непрерывным отображением Л из Л" в Y, определяемым ядром К. В ка
честве 59J здесь можно взять, например, семейство неотрицательных равно
мерно ограниченных функций с равномерно ограниченными производны
ми (ср. [33]). Для построения конечномерных подмножеств Шп можно ис
пользовать, например, приближения к / (0, Ф) в виде сферических полино
мов или аппроксимацию Т многогранниками.
Вследствие звездности 7\ отображение А взаимно однозначно (см. [27]), и поэтому, в силу теоремы 1, обратное отображение А'1 непрерывно на 59?.
Если считать, что «истинное» у лежит в 9Z (законность такого пред
положения обычно мотивируется в геофизике физическими соображениями), то уравнение (13.1) (и (3.1)) будет иметь на 591 единственное решение. В дей
ствительности нам будет известно некоторое приближение у> полученное из измерений, которое может не лежать в 31 и даже не быть потенциалом какого-либо тела, между тем нахождение квазирешений уравнения
Ах = у (13.2) на 59?, вследствие их конечномерности, можно выполнить эффективно. Как
это следует из замечаний в конце п. 12, находя какие-нибудь квазире
шения хп уравнения (13.2) на 59?Л (здесь единственности может и не быть), мы будем получать наилучшие приближения к искомому решению х. Эти соображения могут быть использованы для построения вычислительных схем для приближенного решения обратной задачи потенциала.
Интересно отметить, что при малых возмущениях внешнего потенциала на поверхности тела его форма изменяется непрерывно с изменением по
тенциала (см. [10]). Отсюда видно, что неустойчивость обратной задачи потенциала в постановке А. Н. Тихонова [33] связана с неустойчивостью аналитического продолжения гармонических функций.
14. Для иллюстрации способов решения линейных задач (см. п. 11) рассмотрим простейший пример задачи Коши для уравнения Лапласа. Тре
буется найти в прямоугольнике 0 <; £ <; я, О ^ г ] ^ / гармоническую функ
цию и (£, г)), удовлетворяющую условиям
и(0,ч) = 0, a(/,Ti)=0f и(Б,0) = Ш , М £ , 0 ) ^ 0 . (14.1) Положим
Ш = 2
bn sin"Ь
Ьп= i у ®
sin nl dl (14,2)и будем искать
00
и(%, I) = ^ansmnl. (14.3)
n=l
Чтобы выделить компактное множество, потребуем выполнения неравенства
я
J-Ja»(6,/)d£<M"- (14.4)
О
Задача нахождения гармонической функции по условиям (14.1) и (14.4) является переопределенной и может не иметь решения; в этом заключается специфическая трудность, о которой говорилось в п. 3.
Мы будем искать гармоническую функцию, удовлетворяющую условиям
и (О, т)) = 0, и (/, л) = 0, иц (£, 0) = 0, (14.5) условию (14.4) и такую, что и (1,0) приближает наилучшим образом в
метрике L2 функцию / (£). В соответствии с результатами п. 11 такая за
дача будет корректной в смысле п. 1.
Возьмем в качестве X пространство /2 со слабой топологией, а в качестве Y — пространство /2 с сильной топологией. Известным элементом является у = {&„}, искомым — х = {ап}, оператор А уравнения (3.1) опреде ляется соотношениями
та = 6« (" = 1-2,...). (Н.6)
множество 3R — условием
оо
1№ = 2 a*n<M\ (14.7)
Как ограниченное множество пространства /2 множество 3R слабо компакт
но. Квазирешением будет такое х = {#„}, для которого \\Ах — у\\2 дости
гает на ЗЕ минимума. Из равенства (14.6) имеем: ап =bnchnl. Если ока
жется, что
00
2 ^ c h2n / < M2, (14.8)
П=1
то у £ 91 и существует принадлежащее 9R истинное решение. Это означает, что условия (14.1) и (14,4) совместны и задача имеет решение
оо
ы (£, Л) = 2 bn c h пУ] s i n n^' (14.9) Если неравенство (14.8) не выполняется, что вследствие погрешностей в
задании Ьп практически всегда будет иметь место, ищем ап, обеспечиваю
щие минимум выражения
ОО 2
/ 2 = 1
S Математический сборник, т. 61(103), № 2
при условии
оо
2 а» = №.
^2 П=1Применяя метод множителей Лагранжа, приходим к системе уравнений -£--Ьп + Хап = 0 ( / 1 = 1 , 2 , . . . ) ,
откуда
b„ ch nl
а"=ЩШш- (1 4 Л 0>
Искомая гармоническая функция будет иметь вид
оо ь
" ^ 4 ) = 2 irdh^i
chnr]s[nnZ- 04-п)
/ г = 1
Число X — положительный корень уравнения
/ г = 1
Исходя из равенства (14.10), находим:
оо
!Л,-,,1Г^2М(пдаЫ
\l+kch nl)Если окажется, что \\Ах — у\\ не превосходит допустимую погрешность б, то функцию (14.11) можно принять за приближенное решение задачи, если же \\Ах — у || превзойдет б, то это будет означать, что в пределах задан
ной точности приближенного решения в 3R не существует.
Мы привели здесь простейший пример с целью показать сущность пред
лагаемого подхода к некорректным задачам. Аналогичным образом могут быть рассмотрены и более сложные задачи.
(Поступило в редакцию 20/Ш 1962 г.)
Литература
1. P. A l e x a n d r o f f u n d H. H o p f , Topologie, I, Berlin, Springer, 1936.
2. Б. А. А н д р е е в , Расчеты пространственного распределения потенциальных полей, Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 13, № 1 (1949), 256—267.
3. Е. А. Б а р б а ш и н, К теории обобщенных динамических систем, Ученые записки МГУ, математика, т. 2, вып. 135 (1949), 110—134. -
4. П. Р. Г а р а б е д я н, Численное построение отошедших ударных волн, Механика, 6:52 (1958), 23—35.
5. П. Р. Г а р а б е д я н и X. М. Л и б е р ш т е й н , О численном расчете ударных волн в гиперзвуковом потоке, Механика, 2 : 54 (1959), 3—20.
6. J. H a d a m a r d , Le probleme de Cauchy, Paris, 1932.
7. J. Ir. D o u g l a s a n d Т. М. G a 11 i e, An approximate solution of an improper boundary value problem, Duke Math. J., 26, № 3 (1959), 339—347.
8. J. Ir. D о u g 1 a s, A numerical methor for analytic continuation. Boundary Problems in Differential Equations, Proc. Sympos., Madison Wisconsin Press, 1960, 206—209.
9. H. В. Е ф и м о в и С. Б. С т е ч к и н, Некоторые свойства чебышевских множеств, ДАН СССР, т. 118, № 1 (1958), 17—19.
10. В. К. И в а н о в , Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному, Изв.
АН СССР, сер. матем., т. 20 (1956), 793—818.
11. В. К. И в а н о в , Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала, ДАН СССР, т. 142, № 5 (1962), 997—1000.
12. В. К. И в а н о в . О линейных некорректных задачах, ДАН СССР, т. 145, № 2 (1962), 270—272.
13. F. J o h n , Numerical solution of the heat equation for preceding' times, Ann, mat.
pura ed appl., 4, 40 (1955), 129—142.
14. F. J o h n , A note on «improper» problems in partial differential equations, Comm.
Pure Appl. Math., 8 (1955), 591—594.
15. F. J o h n , Differential Equations with Approximate and Improper Date, Lectures, New York, 1955.
16. С. Г. К р е й н , О классах корректности для некоторых граничных задач, ДАН СССР, т. 114, № 6 (1957), 1162—1165.
1.7. С. Г. К р е й н и О. И. П р о з о р о в с к а я , Аналитические полугруппы для эво
люционных уравнений, ДАН СССР, т. 133,№ 2 (1960), 277—280.
18. М. М. Л а в р е н т ь е в , О задаче Коши для уравнения Лапласа, ДАН СССР, т. 102,
№ 2 (1955), 205-206.
19. М. М. Л а в р е н т ь е в , О задаче Коши для уравнения Лапласа, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 20, (1956), 819—842.
20. М. М. Л а в р е н т ь е в , Количественные уточнения внутренних теорем единствен
ности, ДАН СССР, т. ПО, № 5 (1956), 731—734.
21. М. М. Л а в р е н т ь е в , О задаче Коши для линейных эллиптическшх уравнений второго порядка, ДАН СССР, т. 112, № 2 (1957), 195—197.
22. М. М. Л а в р е н т ь е в , Об интегральных уравнениях первого рода, ДАН СССР, т. 133, № 2 (1960), 277—280.
23. М. М. Л а в р е н т ь е в , О некоторых некорректных задачах математической фи
зики, Докторская диссертация, Новосибирск, 1961.
24. Е. М. Л а н д и с, О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений, ДАН СССР, т. 107, № 5 (1956), 640—643.
25. Л и н ь Ц з я - ц з я о, Заметка о работе Гарабедяна «Численное построение ото
шедших ударных волн», Механика, 6:52 (1958), 37—40.
26. С. Н. М е р г е л я н , Гармоническая аппроксимация и приближенное решение зада
чи Коши для уравнения Лапласа, Успехи матем. наук, т. XI, вып. 5 (1956), 3—26.
27. П. С. Н о в и к о в , Об единственности решения обратной задачи потенциала, ДАН СССР, т. 18, № 3 (1938), 165—168.
28. D. J. N e w m a n , Numerical method for solution of an elliptic Cauchy problem.
J. Math, and Phys., 39, № 1 (1960), 72—75.
29. L. E. P a n e, Bounds in the Cauchy problem for the Laplace equation, Arch. Rational.
Mech. Anal., 5, № 1 (1960), 35—45.
30. С P u c c i , Sui problemi di Cauchy non «ben posti», Rend. Accad. Naz. Lincei, 8,
№ 18 (1955), 473—477.
31. С P u c c i , Discussione del problema di Cauchy per le equazioni di tipo ellittico, Ann. mat. pura ed appl., 4, 46 (1958), 131—153.
32. С P u c c i , On the improperly posed Cauchy problems for parabolic equations, Sym- pos. Numeric. Treatment Partial Different. Equations with Real Characteristics, Rome,
1959, 140—144.
33. A. H. Т и х о н о в , Об устойчивости обратных задач, ДАН СССР, т. 39, № 5 (1943), 195—198.
34. G. F i c h e r a , Sul concetto di problema «ben posto» per una equazione differentiate, Rend. mat. e appl, 19, № 1—2 (1960), 95—121.
35. Ф. Х а у с д о р ф , Теория множеств, Москва — Ленинград, ОНТИ, 1937.
36. Б. С. Ц ы б а к о в и В. П. Я к о в л е в , О восстановлении входного действия по отклику прибора, Изв. ВУЗ'ов, Радиофизика, т. 1, № 5—6, (1958), 98—104.
8*
