В. Г. Приказчиков, Разностная задача на собственные зна- чения для эллиптического оператора четвертого поряд- ка, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, том 17, но- мер 6, 1432–1442

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Г. Приказчиков, Разностная задача на собственные зна- чения для эллиптического оператора четвертого поряд- ка, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, том 17, но- мер 6, 1432–1442

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 02:00:14

(2)

ЖУРНАЛ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Том 17 Ноябрь 1977 Декабрь №'6

УДК 518.517.944/.947 РАЗНОСТНАЯ ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ З Н А Ч Е Н И Я

Д Л Я ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА ПРИКАЗЧИКОВ в. г.

(Киев)

Д о к а з ы в а е т с я точность метода сеток, когда на границе прямоуголь

н и к а з а д а н ы собственная ф у н к ц и я и ее н о р м а л ь н а я производная. Оценки погрешности метода сеток у с т а н о в л е н ы с учетом роста производных р е ш е н и я в окрестности угловых точек. Оценка погрешности д л я собствен

н ы х ф у н к ц и й получена в равномерной метрике.

Точность метода сеток при дискретизации задачи на собственные зна

чения для бигармонического оператора исследовалась в [*]. Там получе

ны оценки 0(h²) погрешности собственных значодий (с.з,) и оценки 0(h² ln'^/2 fe^-1) погрешности собственных функций (с.ф.) в равномерной метрике, когда на достаточно гладкой границе произвольной области за

дана с.ф. и ее нормальная производная. При этом предполагалось, что с.ф. непрерывна вместе со своими производными до шестого порядка

включительно в замкнутой области. -

В настоящей работе получены оценки точности метода сеток в задаче на с.з. для эллиптического оператора четвертого порядка с переменными коэффициентами и краевыми условиями, как в •[*], когда область —пря

моугольник; Разностная схема строится интегроинтерполяционным мето

дом. Оценки погрешности получены с учетом роста производных с.ф. в окрестности угловых точек.

§ 1. Исходная задача

В прямоугольной области &{0^х<1^и 0<у<1²} с границей Г рассмот

рим задачу на с.з.

(1) Lu(P)==ku{P), P ^ Q ,

< 2 ) . ::• * ( Р) = 0 , Р^ Г ,

ди ди • .^ч ди ; _ . . (3) — = — cos(n,x) + — cos (Л, у)=0, Р^Т,

дп дх ду

д² г д²и^ч д²и^I

i „ ⁽ ^l, ^y ^{) =} _ [ ^X ⁱ ^f ^e ^! , ) _ ⁺ ^K ( x , ^! ^/ ) - ]⁺

(3)

Разностная задача на собственные значения 1433

где Р — точка с координатами х, у, п — нормаль к границе.

Предположим, что выполняются достаточные условия эллиптичности оператора

(4) c²>K^a>^Ci>0, а = 1 , 2, 3, К,К²-К²>с⁰>0.

§ 2. Дискретная задача

Введем в й прямоугольную сетку с шагами h^v=lJN^u h²=l²/N² и мно

жество сеточных узлов Р= (х^и у^д) = (х, у):

a)={xi=ih^u уМК I = 1 , 2 , . . . , N^t-1, / = 1 , 2 , . . . , N²-l}, со = { ( * , , У>), 0, 1 , . . . , / = - 1 , 0 , 1 , . . . , W²+ l } , Т^{( 1 )}= { ( ^ и ) , * = 0 , iVi, 2 , . . . , Л ^ - 1 } ,

Т^{( 2 )} = { ( ^ 7=O^r7V², * = 1 , 2 , . . . , ЛГ²-1},

Множество у образуется из у присоединением к нему четырех угловых точек.

Разностные уравнения в узлах Р^со получаются интегроинтерполяци- онным методом [²~⁴] :

(5> L^hv= (aiU^x+аиуу) х х + 2 {a^zv^) ^х^у+ (av^+a²v^yy)

Разностные аналоги коэффициентов дифференциального уравнения будем вычислять по формулам

«1 (*и Уд = # i fa, У,), ^ 2 {хг,

у

^д

)

=К² {хи

у

²

),

.(6)

а{хи y3)=K(xi,

yj),

^а³^{х^и у^=К³(х^{-0.5к^и yj-0.5h²).

Используя в со законтурные точки, производные по нормали аппроксими

руем центральными разностными производными. Соответствующие (2) и (3) разностные условия запишем в виде

i<7) г;=0, Р ^ у ,

(8) v$pos(n, x)+v°cos(n¹ г / ) = 0 , Pe=v.^с Очевидно, c²^ a^a^ C i > 0 , a = l , 2, 3, a ^ — a²^ c⁰> 0 .

§ 3. Свойства оператора дискретной задачи м Для исследования задачи (5) —(8) рассмотрим пространство Н сеточ

ных функций, заданных в узлах сетки со. Введем скалярное произведение и норму в этом пространстве:

г=1 j= i 4 Ж В М и М Ф , N* 6

(4)

1434 Приказчиков В. Г.

Таким образом, имеем линейное нормированное пространство сеточных функций. В нем определена соответствующая ( 5 ) — ( 8 ) задача на собст

венные значения^v

( 9 ) Av=X^hv, i ^ c o .

Очевидно, оператор Л совпадает с оператором L^h из ( 5 ) на сеточных функциях, удовлетворяющих условиям ( 7 ) , ( 8 ) . Имеют место следующие леммы.

Л е м м а 1 . Оператор А самосопряжен в Я , т. е.

{Av, w) =:(v, Aw).

Утверждение легко доказывается при помощи следующих формул?

суммирования по частям [²] :

( 1 0 ) (Wvc, V) = (W, V^) + {[WxV--WVx]i=N-[WxV-WVx]i=:o, l )j,

( 1 1 ) (Wyy, V)=(W, Vyy) + ([WyV-WVy]^N2-\[wyV-WUy]j=,Ql 1 ) \

( 1 2 ) (w^xy,v) = (w,v^Xy] + {lw^xv]^^N-[^

+ ( [ WyV] i =N - [ W^y+U) V]^{i = 0}/ l ) ( 1 » V ) t= N t, i = N 2 -

Здесь и в дальнейшем приняты обозначения

J V i- i Ni N2

(у, w)¹ = ^ vwh^u (v, ^ ^ j^v^w^hⁱ ^f^l^2-

i==l j= i

В силу самосопряженности оператора Л, задача (9) эквивалентна следую

щей вариационной задаче.

В классе сеточных функций, удовлетворяющих ( 7 ) , ( 8 ) , требуется найти минимум функционала

D^h[v] = (Av;v), E^h[v] = (v,v), E^h[v]

( Л У , и) = {aiV^+lav^Vyy+azVyy²,1) + 2 (a³v^Xy²] +

+ — ( [ ^ x x²] i = o + [ a i i ; x x²] i = K n l )^j + — ( [ « 2 ^ у²] ; = о + [ а²1 ; ^²]³= ^ 1)K

2i £ Этот минимум определяет первое с.з. и достигается на первой с.ф.

v^{i), т. е. %i^h===mmJ^h[u]^J^h[v^{i)]. Остальные с.з. А*\ ft>4, находятся как m i n /^{7 1} [v] на тех же сеточных функциях, удовлетворяющих дополнитель

ным условиям ортогональности (v, y^{( S )}) = 0 , где v^{s) — с.ф., найденные ранее.

Л е м м а 2. Для с.з. задачи ( 9 ) справедливы двусторонние оценки [⁵]

( 1 3 ) QA^k°>Xk^h>QiX^k°

(5)

Разностная задача на собственные значения 1 4 3 5

и оценки снизу

(14) а *^л> е д л

где 6²= 2 с²+ ( с^{2 2}— с⁰) ' \ ' 9 i = m i n {с^и с²— {с² —с⁰)'^/2}, ЯД Л** — с.з. номера к, соответственно, следующих задач:

(15) £ М Р ) = ^ + ^ = Ь Ч Р е^ш, v = 0 , Р ^ у , i ^ c o s ( r c , # ) + z ; ° c o s (п, z / ) = 0 , Р^Ъ

(16) L V ( P ) = ^ + 2 ^ ^y + ^^y = r y , Р^со, у = 0 , Р е у , Д о к а з а т е л ь с т в о основано на минимаксимальном принципе. Оцен

ки (13) следуют из неравенств

G²(L°i;, v)>(L% v)>Wv, v),

которые означают энергетическую эквивалентность операторов L^h и V.

Более точная оценка (14) следует из неравенства {L^hv,v)>Q^Y(L*v^rv). ' . . Обратим внимание на следующее:

1) в задаче (15) переменные разделяются;

2) с.з. задачи (16) выписываются в явном виде:

л г^а= 1 , 2 , . . . , Л^^а—1, а = 1 , 2, и нумеруются одним индексом /с;

3) для максимального с.з. задачи (9) практически удобно использо

вать оценку сверху 64

Я / = —^т( с²+ ( с^{2 2}- с⁰)¹'²) , Л . = т Ш { Л¹, А²} ;

4) из оценки (14) следует положительная определенность операто

ра Л: '

§ 4. Сходимость решения разностной задачи

Основной факт, на который опирается доказательство сходимости ре

шения разностной задачи, состоит в установлении компактности воспол

нения сеточных функций. Укажем схему доказательства, не проводя его подробно. Установим сходимость первого с.з. и первой с.ф. Для остальных решений задачи ( 9 ) рассуждения будут аналогичными с небольшими из

менениями.

Пусть w^C²(Q) — любая функция, удовлетворяющая (2) и ( 3 ) , У —се

точная функция, удовлетворяющая ( 7 ) , (8) и условию нормировки (и, у ) = 1 . • -

4*

(6)

1 4 3 6 Приказчиков В. Г.

Тогда по свойству интегральных сумм при A = m a x {h^u h²}-*0 имеем⁴ J^h[w]-+J[w]=D[w]/E[w], E[w] = ^w²dxdy,

Q

гТ I d^zw \² d²w d²w

(

^d²^w^\²^/^d²^w^\²^{1 /}

Так как

(17) Р[ю]>тшР[и]=Ъ^н,

то при h^h⁰ числовая последовательность {ki^h} равномерно ограничена сверху.

Используя соотношение (^²у, 1] = (Ъь, Vyy),

которое доказывается при помощи формул суммирования по частям, ж очевидное неравенство

а&²+2аЪ&+а&> ( с²- ( с^{2 2}- с⁰)^{V a}) ( i i^a+ i^{2 2}) , нетрудно получить оценку

(L^hv, i ; ) > 9 i ( A 4 A^hv), 8¹= m i n {c^u c²— ( c^{2 2}— c⁰)^v' } ,

где А^Л — разностный оператор Лапласа. Отсюда, принимая во внимание- (17), получаем

Я⁴( - А Ч v)<(A^hv, A^hv)<M, где Ai — первое с.з. задачи

-A^hw=lw, Р^со, и?=0, Р е у . Таким образом, приходим к оценке

( А Ч A^hv) - ( А Ч у) + (i;, у) <АГ,

которая характеризует равномерную ограниченность минимизирующих функций v в сеточной норме пространства И^²\(со). Рассуждениями, по

добными [⁶] , устанавливается компактность того или иного восполнениям минимизирующих сеточных функций v в пространстве W^^Z\Q). Далее^

следуя, например, [⁷] , можно показать, что предельная функция

<f^'(Q) является с.ф. исходной задачи. В результате будет справедлива Т е о р е м а 1. Пусть Я^А, u^{h) — соответственно, простое с.з. и принадле

жащая ему с.ф. номера к исходной задачи (1) — ( 4 ) , а ЯД v^{h) —простое с. з. и принадлежащая ему с.ф. номера к дискретной задачи ( 9 ) . Тогда

\imX^hh=K lim |]г7^{( А )}—«<^{f t}>|L^a=0.

ft-*0 Л->-0

(7)

J .

Если X^h имеет кратность г, т.е. Xh=X^k+i= . . . =X^h+r-u то при достаточно малом шаге сетки существует г с.з. A£^{+ i}, г = 0 , 1 , . . . , г—1, и им соответст

вующих с.ф. v⁽ⁱ⁾ таких, что

limXft+i=A,ft, t = 0 , l,...,r— 1,

л-»-о

lim 8 ^Й - Г в д ^| ^; ^| = 0 .

§ 5. Структура погрешности аппроксимации

Пусть %ъ — простое с.з. исходной задачи. Точность метода сеток опре

деляется величиной ошибки z^{h)=v^(h)—u^{h\ где u^ih) и v^{h) — с.ф. номера ft, соответственно, исходной (1) —(4) и разностной (9) задач.

Предположим, что функция u^{h) (х, у) симметрично продолжена за гра

ницу области, как в [⁸] . Например, при продолжении через сторону пря

моугольника, лежащую на прямой х==0; выполняется соотношение u{-h,y)=u(h,y).

Подставляя v^ik)=z^{h)+u^{h) в ( 9 ) , получаем уравнение для погрешности (18) Az(^h)(P)-X^hhz(P)=W^w(P), Р е ю .

Здесь *Р — погрешность аппроксимации

(19) W^+@+(Kh-X)u,

г|)(Р) = ~ J Lu dx dy—Au, 6=A, (и — — j и dx dy \ ,

щр) ^n(p) где S — площадь прямоугольника П ( Р ) , ограниченного отрезками пря

мых, проходящих через точки (x±0.5h^u у), (x,y±0.5h²) параллельно' осям координат Ох и Оу. Структуру главной части погрешности аппроксимации устанавливает очевидная

Л е м м а 3. Если коэффициенты разностной схемы вычисляются по формулам ( 6 ) , то погрешность г|) представляется в дивергентном виде:

(20) г|) (Р) =ц£ (Р) + 2т|j^y3) (Р) +т,£^} (РУ.

Здесь

(21) r ,^{( s )}( P H

sl»?v

^{+ 4 1}

'

^{M W )}

l

^{0 (}

*>v

Г <5³гг(<9) I

dx

²

дг/

²

дж

²

<fy

²

'

i

(8)

1 4 3 8 Приказчиков В. Г.

"д² д² ii дЫЮ) I , '

d#² <?г/^{2 0}e Q I дх^а ду^[Ь I / & = т а х h²}.

§ 6. Априорная оценка погрешности собственных значений

Чтобы получить формулу для погрешности X—А\ умножим скалярно (18) на с.ф. разностной задачи и воспользуемся (19). Имеем

(22) ^.„емже.»),

(и, V)

Чтобы не загромождать изложение, индекс А: будем часто опускать. При

нимая во внимание (20), краевые условия ( 7 ) , (8) и формулы (10) —(12), для первого слагаемого в числителе получим

Ш <1>>

У ) - ( П^{( 1 )}. %*)+2(т,<»>, % ] + ( т ,^{( г}\

+ - у Ц пи )М « - . + [ ч( 1 )Ы « - * . , 0 ' +

+ - y( [ r i^{( 2 ,}^ ] i = o + [ r i^{( 2 ,}^ ] i = ^ l )¹.

Используя неравенство Коши — Буняковского и соотношения /?^л[г;]—1, Z?*|>]=A^{f t}, находим

(24) (у, i7)i»<Af<4,

т|>,

^{( в , У}⁾²< ( 6 , 0 ) ,

г д е ' .^N

<Т], Т]> = <Г), Г ) > 1 + < Г ] , Г | > 2 ,

<Ч, n > i = ( r i^{( 1 )}, л^{( 1 )}) + ( л^{( я )}, ч^{( 1 )}) + ( л Ч ч⁽»^}] ,

<ть.л>. = у ( [ л ( ^

В силу факта сходимости, можно считать, что при достаточно малом шаге сетки h<h⁰ будет выполняться соотношение'

(25) (u,v)>c>0.

Объединяя (22), (24), (25)„убеждаемся в том, что верна

Т е о р е м а 2! Для погрешности с.з. при достаточно малом h справед

лива оценка

(26) (X^k-X^hh)²<M(k) [<г],^ч> + ( е , G) ] ,

где А*, Хк—с.з. номера к, соответственно, исходной (1) —(2) и дискретной ( 9 ) задач.

(9)

§. 7. Разностная функция Грина : Функция Грина определяется как решение задачи

(27) L/G(P,Q) = ^ ^ - , Q^y,

hih²

(28) G | c o s ( ^ , | ) + G ° c o s ( ^ 9 ) = 0 , G ( P , < ? ) = 0 , Q^.

Здесь L^Qh — оператор, действующий на функцию аргумента Q, точки Р и Q имеют, соответственно, координаты (х, у) и (£, ср), 8(P,Q) — символ Кронекера.

Л е м м а 4. Функция Грина симметрична и равномерно по h ограни

чена, т. е.

( 2 9 ) G(P,Q)=G(Q,P), [G{P,-Q)\<M.

Первое утверждение следует из самосопряженного оператора L^h. Для доказательства второго утверждения умножим (27) на G, просуммируем по Q и воспользуемся формулами (10) —(12). В результате имеем •

(30) (aⁱGi^t2+2aGi^lG^+a^zG^^<t2,l)+2(a³Gi/] +

+ Y

([ а£-^и* ]ⁱ⁼o + [ afii^%*)^{i = N l}, 1) i+

.. + - ^ a «²G^$,²]³' = o + [ a²G ^²W², l )ⁱ= G ( P , P ) , Р е ю .

Отсюда следует „ (31) G(P,P)^{H^QhG,A^QhG). '

Так как G удовлетворяет (28), то справедливо соотношение (32) G(P, Q)=—(G°(P, R), AR^hG(R, Q))^R, P, Q^Uy,

где G° — функция Грина разностного оператора Лапласа: ....*.;

6 ( Р R)⁰

Д / б ° ( ^ й ) = - У , » #^е< » , С ( Р , Д ) = 0 , R^y.

Принимая во внимание представление G⁰ через собственные функции оне^

ратора Лапласа, можно установить оценку [⁹] (33) (G°(P,R),G°(P,R))^R<M.

Из (32) после использования неравенства Коши — Буняковского и оценок (30) и (32) следует

G²(P,Q)<MG(P^yP) Р, (?eo)Uy.

В частности, при P=Q >

(34) G ( P , P ) < i l f ,

что доказывает второе утверждение леммы.^;

(10)

§ 8 . Априорная оценка погрешности собственных функций Решение задачи (18) будем искать в виде z=z^t+z², где z^t и ^ — реше

ния задач

(35) Az²(P)-K^hz²{P)=X^hzⁱ{P).

Очевидно,

(36)^Zi(P) = (G(P,Q),W(Q)) =

(G^)+{G,e)

+ (K^h-%)(G,u).

Как и при получении оценки погрешности с.з., слагаемое (G, г|)) преобра

зуется по формуле (23), если в ней v заменить на G.

Принимая во внимание (26), (29), (30), (34), из (36) находим (37) « | * . ( Р ) < Л Г ( Х^Л) [ < л , т | > + ( в^|в ) ] .

Решение задачи (35) представим в виде

( 3 8 )^zf > = z^{3 ( k )} = V - ^ - ( Г , v")»<•>.

АшяЛ д3 —д,^

Отсюда легко получить оценку ; (39) ( z „ * . ) < ( * i , Z i ) £ ( • ^ ^ )²< ^ ( 2 . , zⁱ) ( G²( P , P ) , l ) ^ (^{Z l},^{Z l}) .

Для коэффициента [к, как и в [⁹] , имеем

(40) | f } | < M + ( * W ,

где % = 1 — (и²,1).

Таким образом, собирая (37) —(40), устанавливали оценку' погреш

ности с.ф. в среднем:

(z, z) <M(K^h) [ <ть г]>+ ( 0 , 0 ) + х²] /

Для получения равномерной оценки остается воспользоваться «интеграль

ным» уравнением

Z( P ) = X " ( G ( P , < ? )^{) Z}( C ) ) +^{Z l}( P ) . Таким образом, справедлива

Т е о р е м а 3. Для погрешности с.ф. при достаточно малом h имеет место оценка -

(41) [v(P)-u{P)]²^M(X^h)[<4, г)>+(@,@)+к²], где гг(Р), v(P) — с.ф. номера к, соответственно, исходной (1) —(4) и ди

скретной (9) задач.

(11)

Разностная задача на. собственные, значения 1441

§ 9. Точность разностной задачи .

Предположим, что коэффициенты К(х,у), K^s(x, у), s = l , 2, 3, являют

ся аналитическими функциями в открытой области Tⁱ которая содержит

& =fiUГ. Обозначим через а><* объединение окрестностей со^^а), а = 1 , 2 , 3 , 4 , всех угловых точек.

Используя [^{1 0 , и}] , можно убедиться в том, что справедлива

Л е м м а 5. С.ф. задачи (1) — (4) аналитичны в Q \ c o^d, а в o^d их поведе

ние определяется оценкой

д*и 10(1), 0 = ^ < 4 ,

10(р

⁴

-*1пр-'),

дх^аду* I С К р ^ Ч п р -¹) , q>A.

Здесь p^d — расстояние от точки P^co^d до соответствующей угловой точ

ки, d>0 — фиксированное число, a+$=q.

Эта лемма позволяет выделить порядок погрешности аппроксимации.

Действительно, из (21) при 5= 1 , 2, 3 следует

(42) . V^S> =

0(h²), P e Q \ c o^d,

.0(h), P^^is).

Нетрудно показать, что (43) в ~ х = 0 ( А²) .

Чтобы установить точность, нужно воспользоваться априорными оценка

ми (26) и (41). Выражение <г), r)>i представим в виде

<т], т¹>¹= < т^{1 2} ( Р О , 1 >¹+ < т^{1 2} ( р²) ,^; где Pi^Q\<o^d, P²^ Q n o ) d . В силу ( 4 2 ) , \ ,

< r^{] 2}( P¹) , l >¹= 0 ( f e⁴) , < т |²( Р ) , 1 >²= 0 ( Л³) , (44)

4 . . . . . . . .

< T I²( P²) , 1 > I = O ( / I⁴ J г ( 1 п г -^,)²* - й ф ) = С > ( ^ ) . ' \ a=l

«,<«)

d

Следовательно, подставляя ( 4 3 ) , (44) в (26) и (41), убеждаемся в том, что справедлива

Т е о р е м а 4. Если коэффициенты уравнения (1) — аналитические функции в открытой области Т, которая содержит О, то при достаточно малом шаге сетки h^h⁰ точность дискретного аналога исходной задачи характеризуется оценками

I V- ^ К Ж Д / с ) ^ , m a x k^w( P ) - «^{( f t )}( P ) l^ 2 № ) f o%,

Р е ©

где X^h, u^{h) (Р) — некратное с.з. номера к и ему соответствующая с.ф, исходной задачи (1) —(4), ЯД v^{h)(P) — соответствующее решение разност

ной задачи ( 9 ) , A = m a x {h^u / г²} , M^s(k), 5 = 1 , 2 , —- постоянные, зависящие

ОТ С, Со, C i , Сг, Хь*.

\

(12)

З а м е ч а н и е . Д л я большей наглядности все рассмотрения проведены в п р я м о угольной области н а равномерной сетке. Однако и з л о ж е н н а я в ы ш е методика позво

л я е т провести исследования точности, когда сетка произвольная, н е р а в н о м е р н а я По к а ж д о м у направлению, а область ступенчатого типа. П р и этом н у ж н о у ч и т ы в а т ь поведение с.ф. вблизи у г л о в ы х точек с в н у т р е н н и м раствором у г л а J t / v , п р и н и м а я во внимание оценку

- д*и г ' 0 ( 1 ) , 0 < ? < 2 + v , дхаду* { О С р ^ - Ч п р -1) , q>2+v.

В заключение выражаю благодарность А. А. Самарскому за обсужде

ние полученных результатов и И. В. Фрязинову за долезные замечания по редакции работы.

Поступила в редакцию 31.10.1975 Переработанный вариант 10.06.1977

Ц и т и р о в а н н а я литература

1. Kuttler 7. R. A finite-difference a p p r o x i m a t i o n for t h e e i g e n v a l u e s of t h e c l a m p e d plate. N u m e r . Math., 1971, 17, № 3, 2 3 0 - 2 3 8 .

2. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1971.

'3. Самарский А. А., Фрязинов И. В. О разностных схемах р е ш е н и я задачи Д и р и х л е в произвольной области д л я эллиптического у р а в н е н и я с п е р е м е н н ы м и крэффи- ц и е н т а м и . Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1971, И , № 2, 385—410.

• 4. Приказчиков В. Г. Интегро-интерполяционный метод построения р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й в задаче колебаний прямоугольной ортотропной п л а с т и н ы . Уч. з а п . ЦАГИ, 1973, 4, № 4, 7 3 - 7 6 .

5 . П р и к а з ч и к о в В. Г. Оценки собственных чисел разностной задачи для п л а с т и н ы . Прикл. механ., 1973, 9, № 3, 9 0 - 9 5 . , ;

6. Ладыженская О. А. К р а е в ы е задачи математической ф и з и к и . М., «Наука», 1973.

7. Ладыженская О. А. С м е ш а н н а я задача д л я гиперболического у р а в н е н и я . М., Гос- техиздат, 1953.

8. Zlamal М. Asymptotic error e s t i m a t e s in solving elliptic e q u a t i o n s of t h e fourth order b y 'the m e t h o d of finite differences. J. SIAM N u m e r . Analys., 1965, 2, № 2, 3 3 7 - 3 4 4 .

9. Приказчиков В. Г. Р а з н о с т н а я задача на собственные з н а ч е н и я д л я эллиптиче

ского оператора. Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1965, 5, № 4, 6 4 8 - 6 5 7 . 10. Агмон С, Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки р е ш е н и й эллиптических у р а в н е н и й

вблизи границы. М., Изд-во ин. лит., 1969.

11. Кондратьев В. А. Краевые задачи д л я эллиптических у р а в н е н и й в областях с к о ническими или угловыми точками. Тр. Моск. матем. об-ва, 1967, 16, 2 0 9 - 2 9 2 .