Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. В. Цветкова, Асимптотики собственных функций двумерного оператора ∇D ( x ) ∇ , связанные с бильярдами с полужесткими стенками, и захваченные бе- реговые волны, Матем. заметки , 2019, том 105, выпуск 5, 792–797 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12285
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
3 ноября 2022 г., 15:14:51
Математические заметки
Том 105 выпуск 5 май 2019
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
Асимптотики собственных функций двумерного оператора∇𝐷(𝑥)∇, связанные с бильярдами с полужесткими стенками,
и захваченные береговые волны
А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. В. Цветкова Ключевые слова: асимптотические собственные функции, бильярды с “по- лужесткими стенками”, волны на мелкой воде, захваченные берегом, стационар- ная задача.
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12285
1. Введение. В теории гравитационных поверхностных волн на воде хорошо известны решения двумерных задач (с одной горизонтальной переменной 𝑥 и одной вертикальной переменной 𝑧) в областях вида угла на плоскости (𝑥, 𝑧), описывающие так называемые волны, захваченные берегами – волны Стокса и Урселла (см. [1]–[3]). Эти волны быстро затухают при удалении от вершины угла (берега). Если угол достаточно мал, то для их описания можно использовать длинноволновое приближение, что приводит к появлению оператора вида 𝐿̂︀ = (𝜕/𝜕𝑥)𝐷(𝑥)𝜕/𝜕𝑥 с вырождающимся в точке 𝑥 = 𝑥0 коэффициен- том 𝐷(𝑥), определяющим глубину бассейна, и вопрос состоит в построении собственных функций такого оператора, затухающих при удалении от точки𝑥=𝑥0. Настоящая замет- ка посвящена аналогичной задаче в ситуации с двумя пространственными переменными 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2), а именно, мы интересуемся собственными функциями оператора ∇𝐷(𝑥)∇
в области Ω, быстро затухающими при удалении от границы областиΩ, т.е. кривой, зада- ваемой уравнением 𝐷(𝑥) = 0. Эта задача изучена гораздо хуже (см. [4], [5] в радиально симметричном случае).
Сформулируем постановку задачи. Пусть Ω⊂R2 – область, граница которой является гладкой регулярной замкнутой кривой𝜕Ω. Функция 𝐷(𝑥) предполагается строго положи- тельной в Ω и равной нулю на 𝜕Ω, причем ∇𝐷 ̸= 0 на𝜕Ω. Сама область может распола- гаться как вне кривой (остров в открытом океане), так и внутри кривой (ограниченный водоем). Рассмотрим в областиΩ спектральную задачу для функции 𝜓(𝑥):
𝐿𝜓̂︀ =∇(𝐷(𝑥)∇𝜓) =−𝜔2𝜓. (1) Следуя [6], [7], на функцию 𝜓наложим условия ограниченности интеграла энергии
1
2((∇𝜓, 𝐷∇𝜓)𝐿2+𝜔2‖𝜓‖2𝐿2),
при этом никакие локальные краевые условия (типа условий Дирихле или Неймана) не ставятся. Цель этой работы – построение асимптотических собственных функций (квази- мод) оператора𝐿̂︀при больших значениях𝜔, т.е. функций, удовлетворяющих уравнению (1)
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 16-11-10282.
○c А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, А. В. Цветкова, 2019
792
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 793 с невязкой𝑂(1). Вопрос о близости квазимод к некоторым настоящим собственным функ- циям, и даже о существовании последних здесь не рассматривается.
Умножая обе части уравнения (1) на −𝜔−2 и обозначая𝜔−1=𝜀, получаем задачу 𝐻𝜓̂︀ =𝜓, 𝐻̂︀ =⟨𝑝, 𝐷(𝑥)̂︀ 𝑝̂︀⟩, 𝑝̂︀=−𝑖𝜀∇. (2) Вопрос теперь состоит в том, при каких значениях 𝜀 оператор 𝐻̂︀ имеет собственное зна- чение 1. В духе теории канонического оператора Маслова [8], [9] следует ожидать, что соответствующие асимптотические собственные функции ассоциированы с компактными лагранжевыми многообразиями, лежащими на множестве уровня {𝐻(𝑝, 𝑥) = 1} ⊂ R4𝑝,𝑥
гамильтониана
𝐻(𝑝, 𝑥) =𝐷(𝑥)(𝑝21+𝑝22) (3)
задачи (2) и удовлетворяющими условию квантования. В качестве таких многообразий можно брать инвариантные лиувиллевы торы гамильтоновой системы в предположении ее интегрируемости. Гамильтониан (3) задает геодезический поток в области Ω вырождаю- щейся на границе 𝜕Ω метрики. В результате этого характеристики – решения гамильто- новой системы с гамильтонианом (3) – уходят по импульсам на бесконечность за конечное время (не выполнено так называемое условие полноты фазового потока). В силу свойства инвариантности проекция компактных лагранжевых многообразий, пригодных для описа- ния решений задачи (2), имеет пустое пересечение с𝜕Ω. Такие лагранжевы многообразия порождают асимптотические собственные функции, локализованные вдали от берега или волны, захваченные на глубине. Нетривиальные примеры такого сорта лагранжевых мно- гообразий и отвечающих им решений были приведены в работе [10].
Для построения решений задачи (2), локализованных вблизи берега, мы используем модификацию канонического оператора Маслова, предложенную сравнительно недавно в работах [11], [12] для уравнений с вырождениями такого рода на границе. Основная идея этой модификации состоит в рассмотрении вместо обычного фазового пространства Φ = 𝑇*Ω так называемого пополненного Φ = Φ∪Φ∞. Здесь Φ∞ – гиперповерхность в Φ, отвечающая бесконечным импульсам в ее окрестности можно ввести локально симплекти- ческие координаты (𝑑𝑝1∧𝑑𝑥1+𝑑𝑝2∧𝑑𝑥2=𝑑𝜃∧𝑑𝑞+𝑑𝜉∧𝑑𝑦):
𝑥1=𝑓(𝑦) +𝑞2𝜃, 𝑝1=𝑞−1, 𝑥2=𝑦, 𝑝2=𝜉−𝑓′(𝑦)𝑞−1, (4) где предполагается, что𝑥1=𝑓(𝑥2) – уравнение границы𝜕Ω, а внутри области 𝑥1> 𝑓(𝑥2).
В новых координатах поверхность Φ∞ задается уравнением 𝑞 = 0. Гамильтониан в новых координатах представляет собой, как несложно видеть, гладкую функцию в окрестности 𝑞 = 0 и, таким образом, корректно задает там динамику. В частности, в пространстве Φ характеристики могут быть продолжены после достижения ими границы области, и усло- вие полноты потока уже не нарушается. Таким образом, гамильтонова система с гамильто- нианом (3), рассматриваемая в пополненном фазовом пространстве, определяет динамику бильярдного типа в замкнутой области Ω. Мы будем эту систему называть “бильярдом с полужесткими стенками”.
Модифицированный канонический оператор [12] представляет собой обобщение кон- струкции обычного канонического оператора Маслова [8] для лагранжевых многообразий в пространствеΦ. Для модифицированного канонического оператора были получены про- стые формулы на границе области [13], а затем и в ее окрестности [14]. Для построения решений задачи (2) мы будем поступать следующим образом. Предположим, что гамиль- тонова система (3), рассмотренная в Φ, вполне интегрируема (интегрируемый бильярд с полужесткими стенками). Пусть Λ ⊂ Φ – инвариантный тор Лиувилля, удовлетворяю- щий условию квантования. (В исходных координатах 𝑝, 𝑥 он уже вовсе не обязан быть тором). Тогда асимптотическая собственная функция задается формулой 𝜓 = 𝐾Λ1, где 𝐾Λ – модифицированный канонический оператор. Ниже мы приводим явные примеры интегрируемых бильярдов с полужесткими стенками, а также отвечающие им лагранжевы многообразия и асимптотические собственные функции.
2. Интегрируемые в Φ геодезические потоки. Будем считать, что граница обла- сти задается уравнением: 𝑥21+𝑥22 = 1. Мы рассматриваем случай острова в открытом океане, т.е. область Ω : 𝑥21+𝑥22>1. Случай ограниченного водоема Ω : 𝑥21+𝑥22<1, как мы увидим ниже, рассматривается аналогично. Следуя [10], введем симплектические коорди- наты:
𝑥1=𝑒𝑢cos𝑣, 𝑥2=𝑒𝑢sin𝑣,
(︂𝑝1
𝑝2 )︂
=𝑒−𝑢
(︂cos𝑣 −sin𝑣 sin𝑣 cos𝑣
)︂ (︂
𝑝𝑢
𝑝𝑣 )︂
.
В новых координатах область Ω задается условиями: 𝑢 > 0, 𝑣 mod 2𝜋. Пусть в новых координатах гамильтониан имеет вид
𝐻 = 𝑝2𝑢+𝑝2𝑣
𝑓(𝑢) +ℎ(𝑣) (5)
для некоторой гладкой 2𝜋-периодической функцииℎ(𝑣)и функции𝑓(𝑢), на которую усло- вия будут наложены ниже. Тогда в исходных координатах он записывается в виде (3), где
𝐷(𝑥) = 𝑥21+𝑥22 𝑓(ln√︀
𝑥21+𝑥22) +ℎ(arg(𝑥1+𝑖𝑥2)).
Гамильтонова система (5) (геодезический поток метрики Лиувилля) интегрируема. Первый интеграл, независимый с𝐻, имеет вид
𝐹 = ℎ(𝑣)𝑝2𝑢−𝑓(𝑢)𝑝2𝑣 𝑓(𝑢) +ℎ(𝑣) .
Наложим дополнительные условия, чтобы метрика вырождалась правильным образом на 𝜕Ω, и чтобы совместное множество уровня 𝑀𝑎 = {𝐻 = 1, 𝐹 = −𝑎} было компактным в Φ:
𝑓(𝑢) =𝑢−1𝑔(𝑢), 𝑔(𝑢)>0, lim
𝑢→+∞𝑓(𝑢) = 0, min
𝑣 ℎ(𝑣)>−𝑎, 𝑎 >0. (6) Функция 𝑔(𝑢) предполагается гладкой.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (6). Тогда множество 𝑀𝑎 является инвари- антным лиувиллевым тором гамильтоновой системы (5) в пополненном фазовом про- странстве Φ.
Доказательство. Введем в пространстве Φ в окрестности поверхности Φ∞, задавае- мой уравнением 𝑢 = 0, симплектические координаты (4); в данном случае они определя- ются формулами 𝑝𝑢 =𝑞−1,𝑢=𝑞2𝜃. В них функции 𝐻 и 𝐹 запишутся в виде:
𝐻 = 𝜃(1 +𝑞2𝑝2𝑣)
𝑔(𝑞2𝜃) +𝑞2𝜃ℎ(𝑣), 𝐻|𝑢=0= 𝜃 𝑔(0), 𝐹 = ℎ(𝑣)𝜃−𝑔(𝑞2𝜃)𝑝2𝑣
𝑔(𝑞2𝜃) +𝑞2𝜃ℎ(𝑣), 𝐹|𝑢=0= ℎ(𝑣)𝜃−𝑔(0)𝑝2𝑣 𝑔(0) .
(7)
Таким образом, обе функции регулярны в окрестности Φ∞. В силу того, что замена коор- динат симплектическая, функция 𝐹 является первым интегралом в Φ. Проверим, что при условиях (6) множество 𝑀𝑎 компактно. Действительно, множество 𝑀𝑎, из которого удалена окрестность границы 𝑢= 0, может быть задано равенствами
𝑝2𝑢=𝑓−𝑎, 𝑝2𝑣 =ℎ+𝑎, (8)
откуда следует, что𝜋𝑀𝑎 (где 𝜋 – естественная проекция из фазового пространства в кон- фигурационное) содержится в области𝑓(𝑢)−𝑎>0, которая ограничена в силу условий (6).
Импульсы также ограничены, поскольку функция 𝑓(𝑢) +ℎ(𝑣) ограничена сверху.
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 795 Замечание 1. Как было сказано выше, равенства (8) справедливы вне окрестности границы. Тем не менее, второе из этих равенств остается справедливым и на границе.
Действительно, из (7) следует, что при𝑢= 0имеет место равенство ℎ(𝑣)−𝑝2𝑣+𝑎= 0.
Замечание 2. Из предыдущего замечания следует, что𝜋𝑀𝑎 целиком содержит грани- цу области 𝑢= 0.
Замечание 3. Из условий (6) и из равенств (7), (8) следует, что 𝑝2𝑣 >0 всюду на 𝑀𝑎. Таким образом, фокусировки лучей на границе области не происходит, что сильно упро- щает формулы для канонического оператора в окрестности границы (см. [14]).
Замечание 4. Отметим, что при выполнении условий (6) знаменатель в (5) может обращаться в нуль или быть отрицательным в некоторой области конфигурационного про- странства. Однако в интересующей нас области𝜋𝑀𝑎 этот знаменатель оказывается строго положительным, посколькуℎ+𝑓 =𝑝2𝑢+𝑝2𝑣>0.
Замечание 5. Случай ограниченного водоема аналогичен. Область задается неравен- ством 𝑢 <0, а условия (6) нужно заменить на
𝑓(𝑢) =𝑢−1𝑔(𝑢), 𝑔(𝑢)<0, lim
𝑢→−∞𝑓(𝑢) = 0, min
𝑣 ℎ(𝑣)>−𝑎, 𝑎 >0.
Замечание 6. Можно рассмотреть случай острова в ограниченном водоеме. В этом случае область Ω является кольцом 1 6𝑥21+𝑥22 6𝑒. Соответствующие результаты будут приведены в полной версии статьи.
3. Пример. Приведем пример построения асимптотических решений задачи (2) с по- мощью модифицированного канонического оператора [11], [12]. Простейший случай, где ℎ(𝑣)является константой, известен из работы [4]. Здесь имеет место радиальная симметрия дна𝐷(𝑥), и он сводится к одномерной задаче.
Приведем для случая неограниченного водоема более сложный пример, существенно двумерный, в котором инвариантное лагранжево многообразие явно находится. Положим 𝑔(𝑢) = 1,ℎ(𝑣) = sin2𝑣+ 6 sin𝑣+ 5, тогда функция𝐷(𝑥1, 𝑥2) имеет вид (см. рис.1)
𝐷(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥21+𝑥22 1/ln(√︀
𝑥21+𝑥22) +ℎ(arg(𝑥1+𝑖𝑥2)). (9)
Рис. 1. Форма дна
Лагранжево многообразие определяется лиувиллевым тором𝑀𝑎 и вне окрестности гра- ниц области задается следующим образом
Λ𝑎 = {︂
𝑝2𝑢 = 1
𝑢 −𝑎, 𝑝2𝑣 = sin2𝑣+ 6 sin𝑣+ 5 +𝑎 }︂
.
Рис. 2. Проекция лагранжева многообразияΛ𝑎 на(𝑞, 𝜃)
В координатах (𝑞, 𝑣, 𝜃, 𝑝𝑣) в пополненном фазовом пространстве Φ его можно переписать в виде (см. рис.2)
Λ𝑎= {︂
𝜃= 1
1 +𝑎𝑞2, 𝑝2𝑣 = sin2𝑣+ 6 sin𝑣+ 5 +𝑎 }︂
. (10)
Модифицированный канонический оператор определен на лагранжевом многообразии Λ𝑎 при выполнении условий квантования [12]
2 𝜋𝜀
∫︁
𝛾
𝑝𝑢𝑑𝑢+𝑝𝑣𝑑𝑣= ind𝛾 (mod 4)
для любого цикла𝛾на этом лагранжевом многообразии,ind𝛾– индекс кривой вΦ. Доста- точно проверить выполнение этих условий для базисных циклов. Если в качестве первого цикла взять𝛾1={𝑞 = 0}, индекс которого равен нулю, а в качестве второго –𝛾2={𝑣= 0}
с индексом, равным двум, то условия квантования примут вид
∫︁ 2𝜋
0
√︀ℎ(𝑣) +𝑎 𝑑𝑣= 2𝜋𝑘𝜀, 2
∫︁ 1/𝑎
0
√︂1
𝑢−𝑎 𝑑𝑢= 𝜋
√𝑎 = (2𝑛+ 1)𝜋𝜀, 𝑘, 𝑛∈Z. (11) Соотношения (11) являются системой из двух уравнений для𝑎и 𝜀, правые части которых содержат целочисленные параметры𝑘и𝑛. Решая эти уравнения, получим последователь- ность {𝜀𝑘𝑛} значений малого параметра𝜀 (и квадратов частот 𝜔𝑘𝑛2 = 1/𝜀2𝑘𝑛), при которых условия квантования (11) выполнены на лагранжевом многообразииΛ𝑎, где𝑎=𝑎𝑘𝑛. При этом следует рассматривать только такие значения параметров𝑘→ ∞и𝑛→ ∞, при кото- рых соотношение 𝑘/𝑛 остается заключенным между некоторыми положительными посто- янными.
Теорема 2.Модифицированный канонический оператор Маслова наΛ𝑎𝑛𝑘 определен для последовательности значений{𝜀𝑘𝑛}. Функции𝜓𝑛𝑘(𝑥) = [𝐾Λ1/𝜔𝑛𝑘
𝑎𝑛𝑘 1](𝑥)являются асимпто- тическими собственными функциями задачи (1), (9), отвечающими асимптотическим собственными значениям 𝜔𝑘𝑛2 = 1/𝜀2𝑘𝑛.
В частном случае при𝑎= 4и 𝑘= 12𝑛+ 6получаем, что 𝜀𝑛= 1/(4𝑛+ 2) и 𝜔𝑛 = 4𝑛+ 2, 𝑛∈Z.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] F. Ursell, Proc. Roy. Soc. London. Ser. A, A214, 79–97. [2] A. I. Komech, A. E. Mer- zon, P. N. Zhevandrov, Russ. J. Math. Phys., 4:4 (1997), 457–486. [3] A. E. Merzon, P. N. Zhevandrov,SIAM J.Appl.Math.,59:2 (1998), 529–546. [4]С. Ю. Доброхотов,Докл.АН СССР,289:3 (1986), 575–579. [5]С. Ю. Доброхотов, П. Н. Жевандров, К. В. Симонов, “Вол- ны Стокса в замкнутых бассейнах”, Теоретические и экспериментальные исследования
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ 797 длинноволновых процессов, ДВНЦ АН СССР, Владивосток, 1985, 13–19. [6] М. Ш. Бир- ман, М. З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильберто- вом пространстве, ЛГУ, Л., 1980. [7] О. А. Олейник, Е. В. Радкевич, Итоги науки. Сер.
Математика. Мат. анал. 1969, ВИНИТИ, М., 1971, 7–252. [8] В. П. Маслов, М. В. Фе- дорюк, Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976. [9] V. F. Lazutkin, KAM Theory and Semiclassical Approximations to Eigenfunctions, Springer-Verlag, Berlin, 1993. [10] В. С. Матвеев, Матем. заметки, 64:3 (1998), 414–422.
[11] В. Е. Назайкинский, Матем. заметки, 92:1 (2012), 153–156. [12] В. Е. Назайкин- ский,Матем.заметки,96:2 (2014), 261–276. [13]С. Ю. Доброхотов, В. Е. Назайкинский, Матем.заметки,100:5 (2016), 710–731. [14]А. Ю. Аникин, С. Ю. Доброхотов, В. Е. На- зайкинский, Матем.заметки,104:4 (2018), 483–504.
А. Ю. Аникин
Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва;
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
E-mail:anikin83@inbox.ru С. Ю. Доброхотов
Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва;
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
E-mail:dobr@ipmnet.ru В. Е. Назайкинский Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва;
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
E-mail:nazaikinskii@yandex.ru А. В. Цветкова
Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва;
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), г. Долгопрудный, Московская обл.
E-mail:moskal_1@mail.ru
Поступило 12.12.2018 Принята к публикации 12.12.2018
